Analysis Beispiele

$f (x) = x e^{- 0.5 x^{2}}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = e^{- 0.5 x^{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x^{2}}] + e^{- 0.5 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - 0.5 x^{2}$ .

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Schritt 1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- 0.5 x^{2}$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 0.5 x^{2}]) + e^{- 0.5 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- 0.5 x^{2}]) + e^{- 0.5 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $- 0.5 x^{2}$ .

$x (e^{- 0.5 x^{2}} \frac{d}{d x} [- 0.5 x^{2}]) + e^{- 0.5 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3

Differenziere.

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Schritt 1.3.1

Da $- 0.5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 0.5 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 0.5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x (e^{- 0.5 x^{2}} (- 0.5 \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- 0.5 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x (e^{- 0.5 x^{2}} (- 0.5 (2 x))) + e^{- 0.5 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 0.5$ .

$x (e^{- 0.5 x^{2}} (- x)) + e^{- 0.5 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{1} x (e^{- 0.5 x^{2}} \cdot (- 1)) + e^{- 0.5 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{1} x^{1} (e^{- 0.5 x^{2}} \cdot (- 1)) + e^{- 0.5 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{1 + 1} (e^{- 0.5 x^{2}} \cdot (- 1)) + e^{- 0.5 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.7.1

Addiere $1$ und $1$ .

$x^{2} (e^{- 0.5 x^{2}} \cdot (- 1)) + e^{- 0.5 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.7.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- 0.5 x^{2}}$ .

$x^{2} (- 1 \cdot e^{- 0.5 x^{2}}) + e^{- 0.5 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.7.3

Schreibe $- 1 e^{- 0.5 x^{2}}$ als $- e^{- 0.5 x^{2}}$ um.

$x^{2} (- e^{- 0.5 x^{2}}) + e^{- 0.5 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x^{2} (- e^{- 0.5 x^{2}}) + e^{- 0.5 x^{2}} \cdot 1$

Schritt 1.9

Mutltipliziere $e^{- 0.5 x^{2}}$ mit $1$ .

$x^{2} (- e^{- 0.5 x^{2}}) + e^{- 0.5 x^{2}}$

Schritt 1.10

Vereinfache.

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Schritt 1.10.1

Stelle die Terme um.

$- e^{- 0.5 x^{2}} x^{2} + e^{- 0.5 x^{2}}$

Schritt 1.10.2

Stelle die Faktoren in $- e^{- 0.5 x^{2}} x^{2} + e^{- 0.5 x^{2}}$ um.

$- x^{2} e^{- 0.5 x^{2}} + e^{- 0.5 x^{2}}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- x^{2} e^{- 0.5 x^{2}} + e^{- 0.5 x^{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- x^{2} e^{- 0.5 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x^{2}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{2} e^{- 0.5 x^{2}}) + \frac{d}{d x} (e^{- 0.5 x^{2}})$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{2} e^{- 0.5 x^{2}}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2} e^{- 0.5 x^{2}}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- 0.5 x^{2}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- 0.5 x^{2}}) + \frac{d}{d x} (e^{- 0.5 x^{2}})$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = e^{- 0.5 x^{2}}$ .

$f'' (x) = - (x^{2} \frac{d}{d x} (e^{- 0.5 x^{2}}) + e^{- 0.5 x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- 0.5 x^{2}})$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - 0.5 x^{2}$ .

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Schritt 2.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $- 0.5 x^{2}$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- 0.5 x^{2})) + e^{- 0.5 x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- 0.5 x^{2}})$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- 0.5 x^{2})) + e^{- 0.5 x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- 0.5 x^{2}})$

Schritt 2.2.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $- 0.5 x^{2}$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (e^{- 0.5 x^{2}} \frac{d}{d x} (- 0.5 x^{2})) + e^{- 0.5 x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- 0.5 x^{2}})$

Schritt 2.2.4

Da $- 0.5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 0.5 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 0.5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (e^{- 0.5 x^{2}} (- 0.5 \frac{d}{d x} x^{2})) + e^{- 0.5 x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- 0.5 x^{2}})$

Schritt 2.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (e^{- 0.5 x^{2}} (- 0.5 (2 x))) + e^{- 0.5 x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- 0.5 x^{2}})$

Schritt 2.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (e^{- 0.5 x^{2}} (- 0.5 (2 x))) + e^{- 0.5 x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- 0.5 x^{2}})$

Schritt 2.2.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 0.5$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (e^{- 0.5 x^{2}} (- x)) + e^{- 0.5 x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- 0.5 x^{2}})$

Schritt 2.2.8

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.8.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = - (x \cdot x^{2} (e^{- 0.5 x^{2}} \cdot (- 1)) + e^{- 0.5 x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- 0.5 x^{2}})$

Schritt 2.2.8.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 2.2.8.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = - (x \cdot x^{2} (e^{- 0.5 x^{2}} \cdot (- 1)) + e^{- 0.5 x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- 0.5 x^{2}})$

Schritt 2.2.8.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - (x^{1 + 2} (e^{- 0.5 x^{2}} \cdot (- 1)) + e^{- 0.5 x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- 0.5 x^{2}})$

Schritt 2.2.8.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f'' (x) = - (x^{3} (e^{- 0.5 x^{2}} \cdot (- 1)) + e^{- 0.5 x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- 0.5 x^{2}})$

Schritt 2.2.9

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- 0.5 x^{2}}$ .

$f'' (x) = - (x^{3} (- 1 \cdot e^{- 0.5 x^{2}}) + e^{- 0.5 x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- 0.5 x^{2}})$

Schritt 2.2.10

Schreibe $- 1 e^{- 0.5 x^{2}}$ als $- e^{- 0.5 x^{2}}$ um.

$f'' (x) = - (x^{3} (- e^{- 0.5 x^{2}}) + e^{- 0.5 x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- 0.5 x^{2}})$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x^{2}}]$ .

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - 0.5 x^{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $- 0.5 x^{2}$ .

$f'' (x) = - (x^{3} (- e^{- 0.5 x^{2}}) + e^{- 0.5 x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- 0.5 x^{2})$

Schritt 2.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - (x^{3} (- e^{- 0.5 x^{2}}) + e^{- 0.5 x^{2}} (2 x)) + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- 0.5 x^{2})$

Schritt 2.3.1.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $- 0.5 x^{2}$ .

$f'' (x) = - (x^{3} (- e^{- 0.5 x^{2}}) + e^{- 0.5 x^{2}} (2 x)) + e^{- 0.5 x^{2}} \frac{d}{d x} (- 0.5 x^{2})$

Schritt 2.3.2

Da $- 0.5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 0.5 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 0.5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - (x^{3} (- e^{- 0.5 x^{2}}) + e^{- 0.5 x^{2}} (2 x)) + e^{- 0.5 x^{2}} (- 0.5 \frac{d}{d x} x^{2})$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = - (x^{3} (- e^{- 0.5 x^{2}}) + e^{- 0.5 x^{2}} (2 x)) + e^{- 0.5 x^{2}} (- 0.5 (2 x))$

Schritt 2.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 0.5$ .

$f'' (x) = - (x^{3} (- e^{- 0.5 x^{2}}) + e^{- 0.5 x^{2}} (2 x)) + e^{- 0.5 x^{2}} (- x)$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - (x^{3} (- e^{- 0.5 x^{2}})) - (e^{- 0.5 x^{2}} (2 x)) + e^{- 0.5 x^{2}} (- x)$

Schritt 2.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.4.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (x^{3} (e^{- 0.5 x^{2}})) - (e^{- 0.5 x^{2}} (2 x)) + e^{- 0.5 x^{2}} (- x)$

Schritt 2.4.2.2

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $1$ .

$f'' (x) = x^{3} e^{- 0.5 x^{2}} - (e^{- 0.5 x^{2}} (2 x)) + e^{- 0.5 x^{2}} (- x)$

Schritt 2.4.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = x^{3} e^{- 0.5 x^{2}} - 2 (e^{- 0.5 x^{2}} (x)) + e^{- 0.5 x^{2}} (- x)$

Schritt 2.4.2.4

Bewege $e^{- 0.5 x^{2}}$ .

$f'' (x) = x^{3} e^{- 0.5 x^{2}} - 2 x e^{- 0.5 x^{2}} - x e^{- 0.5 x^{2}}$

Schritt 2.4.2.5

Subtrahiere $x e^{- 0.5 x^{2}}$ von $- 2 x e^{- 0.5 x^{2}}$ .

$f'' (x) = x^{3} e^{- 0.5 x^{2}} - 3 x e^{- 0.5 x^{2}}$

Schritt 2.4.3

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = e^{- 0.5 x^{2}} x^{3} - 3 e^{- 0.5 x^{2}} x$

Schritt 2.4.4

Stelle die Faktoren in $e^{- 0.5 x^{2}} x^{3} - 3 e^{- 0.5 x^{2}} x$ um.

$f'' (x) = x^{3} e^{- 0.5 x^{2}} - 3 x e^{- 0.5 x^{2}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- x^{2} e^{- 0.5 x^{2}} + e^{- 0.5 x^{2}} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

$x \frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x^{2}}] + e^{- 0.5 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - 0.5 x^{2}$ .

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Schritt 4.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- 0.5 x^{2}$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 0.5 x^{2}]) + e^{- 0.5 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- 0.5 x^{2}]) + e^{- 0.5 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $- 0.5 x^{2}$ .

$x (e^{- 0.5 x^{2}} \frac{d}{d x} [- 0.5 x^{2}]) + e^{- 0.5 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.3

Differenziere.

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Schritt 4.1.3.1

Da $- 0.5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 0.5 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 0.5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x (e^{- 0.5 x^{2}} (- 0.5 \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- 0.5 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x (e^{- 0.5 x^{2}} (- 0.5 (2 x))) + e^{- 0.5 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 0.5$ .

$x (e^{- 0.5 x^{2}} (- x)) + e^{- 0.5 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{1} x (e^{- 0.5 x^{2}} \cdot (- 1)) + e^{- 0.5 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{1} x^{1} (e^{- 0.5 x^{2}} \cdot (- 1)) + e^{- 0.5 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{1 + 1} (e^{- 0.5 x^{2}} \cdot (- 1)) + e^{- 0.5 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1.7.1

Addiere $1$ und $1$ .

$x^{2} (e^{- 0.5 x^{2}} \cdot (- 1)) + e^{- 0.5 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.7.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- 0.5 x^{2}}$ .

$x^{2} (- 1 \cdot e^{- 0.5 x^{2}}) + e^{- 0.5 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.7.3

Schreibe $- 1 e^{- 0.5 x^{2}}$ als $- e^{- 0.5 x^{2}}$ um.

$x^{2} (- e^{- 0.5 x^{2}}) + e^{- 0.5 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x^{2} (- e^{- 0.5 x^{2}}) + e^{- 0.5 x^{2}} \cdot 1$

Schritt 4.1.9

Mutltipliziere $e^{- 0.5 x^{2}}$ mit $1$ .

$x^{2} (- e^{- 0.5 x^{2}}) + e^{- 0.5 x^{2}}$

Schritt 4.1.10

Vereinfache.

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Schritt 4.1.10.1

Stelle die Terme um.

$- e^{- 0.5 x^{2}} x^{2} + e^{- 0.5 x^{2}}$

Schritt 4.1.10.2

Stelle die Faktoren in $- e^{- 0.5 x^{2}} x^{2} + e^{- 0.5 x^{2}}$ um.

$f' (x) = - x^{2} e^{- 0.5 x^{2}} + e^{- 0.5 x^{2}}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- x^{2} e^{- 0.5 x^{2}} + e^{- 0.5 x^{2}}$ .

$- x^{2} e^{- 0.5 x^{2}} + e^{- 0.5 x^{2}}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- x^{2} e^{- 0.5 x^{2}} + e^{- 0.5 x^{2}} = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- x^{2} e^{- 0.5 x^{2}} + e^{- 0.5 x^{2}} = 0$

Schritt 5.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $e^{- 0.5 x^{2}}$ aus $- x^{2} e^{- 0.5 x^{2}} + e^{- 0.5 x^{2}}$ heraus.

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Schritt 5.2.1.1

Faktorisiere $e^{- 0.5 x^{2}}$ aus $- x^{2} e^{- 0.5 x^{2}}$ heraus.

$e^{- 0.5 x^{2}} (- x^{2}) + e^{- 0.5 x^{2}} = 0$

Schritt 5.2.1.2

Multipliziere mit $1$ .

$e^{- 0.5 x^{2}} (- x^{2}) + e^{- 0.5 x^{2}} \cdot 1 = 0$

Schritt 5.2.1.3

Faktorisiere $e^{- 0.5 x^{2}}$ aus $e^{- 0.5 x^{2}} (- x^{2}) + e^{- 0.5 x^{2}} \cdot 1$ heraus.

$e^{- 0.5 x^{2}} (- x^{2} + 1) = 0$

Schritt 5.2.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$e^{- 0.5 x^{2}} (- x^{2} + 1^{2}) = 0$

Schritt 5.2.3

Stelle $- x^{2}$ und $1^{2}$ um.

$e^{- 0.5 x^{2}} (1^{2} - x^{2}) = 0$

Schritt 5.2.4

Faktorisiere.

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Schritt 5.2.4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = x$ .

$e^{- 0.5 x^{2}} ((1 + x) (1 - x)) = 0$

Schritt 5.2.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$e^{- 0.5 x^{2}} (1 + x) (1 - x) = 0$

Schritt 5.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$e^{- 0.5 x^{2}} = 0$

$1 + x = 0$

$1 - x = 0$

Schritt 5.4

Setze $e^{- 0.5 x^{2}}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.4.1

Setze $e^{- 0.5 x^{2}}$ gleich $0$ .

$e^{- 0.5 x^{2}} = 0$

Schritt 5.4.2

Löse $e^{- 0.5 x^{2}} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.4.2.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{- 0.5 x^{2}}) = \ln (0)$

Schritt 5.4.2.2

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (0)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 5.4.2.3

Es gibt keine Lösung für $e^{- 0.5 x^{2}} = 0$

Keine Lösung

Schritt 5.5

Setze $1 + x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.5.1

Setze $1 + x$ gleich $0$ .

$1 + x = 0$

Schritt 5.5.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 5.6

Setze $1 - x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.6.1

Setze $1 - x$ gleich $0$ .

$1 - x = 0$

Schritt 5.6.2

Löse $1 - x = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.6.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 1$

Schritt 5.6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 5.6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.6.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 5.6.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 5.6.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.6.2.2.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$x = 1$

Schritt 5.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $e^{- 0.5 x^{2}} (1 + x) (1 - x) = 0$ wahr machen.

$x = - 1, 1$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = - 1, 1$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - 1$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

${(- 1)}^{3} e^{- 0.5 {(- 1)}^{2}} - 3 \cdot - 1 e^{- 0.5 {(- 1)}^{2}}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.1.1

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$- 1 e^{- 0.5 {(- 1)}^{2}} - 3 \cdot - 1 e^{- 0.5 {(- 1)}^{2}}$

Schritt 9.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$- 1 e^{- 0.5 \cdot 1} - 3 \cdot - 1 e^{- 0.5 {(- 1)}^{2}}$

Schritt 9.1.3

Mutltipliziere $- 0.5$ mit $1$ .

$- 1 e^{- 0.5} - 3 \cdot - 1 e^{- 0.5 {(- 1)}^{2}}$

Schritt 9.1.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 1 \frac{1}{e^{0.5}} - 3 \cdot - 1 e^{- 0.5 {(- 1)}^{2}}$

Schritt 9.1.5

Schreibe $- 1 \frac{1}{e^{0.5}}$ als $- \frac{1}{e^{0.5}}$ um.

$- \frac{1}{e^{0.5}} - 3 \cdot - 1 e^{- 0.5 {(- 1)}^{2}}$

Schritt 9.1.6

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$- \frac{1}{e^{0.5}} + 3 e^{- 0.5 {(- 1)}^{2}}$

Schritt 9.1.7

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{1}{e^{0.5}} + 3 e^{- 0.5 \cdot 1}$

Schritt 9.1.8

Mutltipliziere $- 0.5$ mit $1$ .

$- \frac{1}{e^{0.5}} + 3 e^{- 0.5}$

Schritt 9.1.9

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{e^{0.5}} + 3 \frac{1}{e^{0.5}}$

Schritt 9.1.10

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{e^{0.5}}$ .

$- \frac{1}{e^{0.5}} + \frac{3}{e^{0.5}}$

Schritt 9.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 9.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 1 + 3}{e^{0.5}}$

Schritt 9.2.2

Addiere $- 1$ und $3$ .

$\frac{2}{e^{0.5}}$

Schritt 10

$x = - 1$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = - 1$ ist ein lokales Minimum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = - 1$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f (- 1) = (- 1) \cdot e^{- 0.5 {(- 1)}^{2}}$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- 1) = - 1 \cdot e^{- 0.5 \cdot 1}$

Schritt 11.2.2

Mutltipliziere $- 0.5$ mit $1$ .

$f (- 1) = - 1 \cdot e^{- 0.5}$

Schritt 11.2.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 1) = - 1 \cdot \frac{1}{e^{0.5}}$

Schritt 11.2.4

Schreibe $- 1 \frac{1}{e^{0.5}}$ als $- \frac{1}{e^{0.5}}$ um.

$f (- 1) = - \frac{1}{e^{0.5}}$

Schritt 11.2.5

Die endgültige Lösung ist $- \frac{1}{e^{0.5}}$ .

$y = - \frac{1}{e^{0.5}}$

Schritt 12

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 1$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

${(1)}^{3} e^{- 0.5 {(1)}^{2}} - 3 \cdot 1 e^{- 0.5 {(1)}^{2}}$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 13.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 e^{- 0.5 {(1)}^{2}} - 3 \cdot 1 e^{- 0.5 {(1)}^{2}}$

Schritt 13.1.2

Mutltipliziere $e^{- 0.5 {(1)}^{2}}$ mit $1$ .

$e^{- 0.5 {(1)}^{2}} - 3 \cdot 1 e^{- 0.5 {(1)}^{2}}$

Schritt 13.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$e^{- 0.5 \cdot 1} - 3 \cdot 1 e^{- 0.5 {(1)}^{2}}$

Schritt 13.1.4

Mutltipliziere $- 0.5$ mit $1$ .

$e^{- 0.5} - 3 \cdot 1 e^{- 0.5 {(1)}^{2}}$

Schritt 13.1.5

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e^{0.5}} - 3 \cdot 1 e^{- 0.5 {(1)}^{2}}$

Schritt 13.1.6

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$\frac{1}{e^{0.5}} - 3 e^{- 0.5 {(1)}^{2}}$

Schritt 13.1.7

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{e^{0.5}} - 3 e^{- 0.5 \cdot 1}$

Schritt 13.1.8

Mutltipliziere $- 0.5$ mit $1$ .

$\frac{1}{e^{0.5}} - 3 e^{- 0.5}$

Schritt 13.1.9

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e^{0.5}} - 3 \frac{1}{e^{0.5}}$

Schritt 13.1.10

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{e^{0.5}}$ .

$\frac{1}{e^{0.5}} + \frac{- 3}{e^{0.5}}$

Schritt 13.1.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{e^{0.5}} - \frac{3}{e^{0.5}}$

Schritt 13.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 13.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 - 3}{e^{0.5}}$

Schritt 13.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 13.2.2.1

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$\frac{- 2}{e^{0.5}}$

Schritt 13.2.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{e^{0.5}}$

Schritt 14

$x = 1$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 1$ ist ein lokales Maximum

Schritt 15

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 1$ .

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Schritt 15.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = (1) \cdot e^{- 0.5 {(1)}^{2}}$

Schritt 15.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 15.2.1

Mutltipliziere $e^{- 0.5 {(1)}^{2}}$ mit $1$ .

$f (1) = e^{- 0.5 {(1)}^{2}}$

Schritt 15.2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = e^{- 0.5 \cdot 1}$

Schritt 15.2.3

Mutltipliziere $- 0.5$ mit $1$ .

$f (1) = e^{- 0.5}$

Schritt 15.2.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (1) = \frac{1}{e^{0.5}}$

Schritt 15.2.5

Die endgültige Lösung ist $\frac{1}{e^{0.5}}$ .

$y = \frac{1}{e^{0.5}}$

Schritt 16

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = x e^{- 0.5 x^{2}}$ .

$(- 1, - \frac{1}{e^{0.5}})$ ist ein lokales Minimum

$(1, \frac{1}{e^{0.5}})$ ist ein lokales Maximum

Schritt 17