Analysis Beispiele

$f (x) = 12 x^{2} - 2 x^{3} + 3 y^{2} + 6 x y$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $12 x^{2} - 2 x^{3} + 3 y^{2} + 6 x y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12 x^{2}$ nach $x$ gleich $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$12 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $12$ .

$24 x + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$24 x - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$24 x - 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$24 x - 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Schritt 1.4

Da $3 y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 y^{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$24 x - 6 x^{2} + 0 + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Schritt 1.5

Berechne $\frac{d}{d x} [6 x y]$ .

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Schritt 1.5.1

Da $6 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x y$ nach $x$ gleich $6 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 x - 6 x^{2} + 0 + 6 y \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$24 x - 6 x^{2} + 0 + 6 y \cdot 1$

Schritt 1.5.3

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$24 x - 6 x^{2} + 0 + 6 y$

Schritt 1.6

Vereinfache.

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Schritt 1.6.1

Addiere $24 x - 6 x^{2}$ und $0$ .

$24 x - 6 x^{2} + 6 y$

Schritt 1.6.2

Stelle die Terme um.

$- 6 x^{2} + 24 x + 6 y$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 6 x^{2} + 24 x + 6 y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [6 y]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (24 x) + \frac{d}{d x} (6 y)$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (24 x) + \frac{d}{d x} (6 y)$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (24 x) + \frac{d}{d x} (6 y)$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 6$ .

$f'' (x) = - 12 x + \frac{d}{d x} (24 x) + \frac{d}{d x} (6 y)$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [24 x]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $24$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $24 x$ nach $x$ gleich $24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 12 x + 24 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (6 y)$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - 12 x + 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (6 y)$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $24$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 12 x + 24 + \frac{d}{d x} (6 y)$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.4.1

Da $6 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - 12 x + 24 + 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $- 12 x + 24$ und $0$ .

$f'' (x) = - 12 x + 24$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- 6 x^{2} + 24 x + 6 y = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Schritt 4.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

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Schritt 4.1.2.1

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12 x^{2}$ nach $x$ gleich $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$12 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Schritt 4.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $12$ .

$24 x + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Schritt 4.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

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Schritt 4.1.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$24 x - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Schritt 4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$24 x - 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Schritt 4.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$24 x - 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Schritt 4.1.4

Da $3 y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 y^{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$24 x - 6 x^{2} + 0 + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Schritt 4.1.5

Berechne $\frac{d}{d x} [6 x y]$ .

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Schritt 4.1.5.1

Da $6 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x y$ nach $x$ gleich $6 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 x - 6 x^{2} + 0 + 6 y \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$24 x - 6 x^{2} + 0 + 6 y \cdot 1$

Schritt 4.1.5.3

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$24 x - 6 x^{2} + 0 + 6 y$

Schritt 4.1.6

Vereinfache.

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Schritt 4.1.6.1

Addiere $24 x - 6 x^{2}$ und $0$ .

$24 x - 6 x^{2} + 6 y$

Schritt 4.1.6.2

Stelle die Terme um.

$f' (x) = - 6 x^{2} + 24 x + 6 y$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 6 x^{2} + 24 x + 6 y$ .

$- 6 x^{2} + 24 x + 6 y$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 6 x^{2} + 24 x + 6 y = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- 6 x^{2} + 24 x + 6 y = 0$

Schritt 5.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 5.3

Setze die Werte $a = - 6$ , $b = 24$ und $c = 6 y$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 24 \pm \sqrt{24^{2} - 4 \cdot (- 6 \cdot (6 y))}}{2 \cdot - 6}$

Schritt 5.4

Vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.4.1.1

Potenziere $24$ mit $2$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot - 6 \cdot (6 y)}}{2 \cdot - 6}$

Schritt 5.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 6 \cdot 6$ .

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Schritt 5.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 6$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 + 24 \cdot (6 y)}}{2 \cdot - 6}$

Schritt 5.4.1.2.2

Mutltipliziere $24$ mit $6$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 + 144 y}}{2 \cdot - 6}$

Schritt 5.4.1.3

Faktorisiere $144$ aus $576 + 144 y$ heraus.

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Schritt 5.4.1.3.1

Faktorisiere $144$ aus $576$ heraus.

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{144 \cdot 4 + 144 y}}{2 \cdot - 6}$

Schritt 5.4.1.3.2

Faktorisiere $144$ aus $144 \cdot 4 + 144 y$ heraus.

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{144 (4 + y)}}{2 \cdot - 6}$

Schritt 5.4.1.4

Schreibe $144 (4 + y)$ als $12^{2} (2^{2} + y)$ um.

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Schritt 5.4.1.4.1

Schreibe $144$ als $12^{2}$ um.

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{12^{2} (4 + y)}}{2 \cdot - 6}$

Schritt 5.4.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{12^{2} (2^{2} + y)}}{2 \cdot - 6}$

Schritt 5.4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 24 \pm 12 \sqrt{2^{2} + y}}{2 \cdot - 6}$

Schritt 5.4.1.6

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 24 \pm 12 \sqrt{4 + y}}{2 \cdot - 6}$

Schritt 5.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 6$ .

$x = \frac{- 24 \pm 12 \sqrt{4 + y}}{- 12}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache $\frac{- 24 \pm 12 \sqrt{4 + y}}{- 12}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{4 + y}$

Schritt 5.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 5.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.5.1.1

Potenziere $24$ mit $2$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot - 6 \cdot (6 y)}}{2 \cdot - 6}$

Schritt 5.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 6 \cdot 6$ .

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Schritt 5.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 6$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 + 24 \cdot (6 y)}}{2 \cdot - 6}$

Schritt 5.5.1.2.2

Mutltipliziere $24$ mit $6$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 + 144 y}}{2 \cdot - 6}$

Schritt 5.5.1.3

Faktorisiere $144$ aus $576 + 144 y$ heraus.

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Schritt 5.5.1.3.1

Faktorisiere $144$ aus $576$ heraus.

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{144 \cdot 4 + 144 y}}{2 \cdot - 6}$

Schritt 5.5.1.3.2

Faktorisiere $144$ aus $144 \cdot 4 + 144 y$ heraus.

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{144 (4 + y)}}{2 \cdot - 6}$

Schritt 5.5.1.4

Schreibe $144 (4 + y)$ als $12^{2} (2^{2} + y)$ um.

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Schritt 5.5.1.4.1

Schreibe $144$ als $12^{2}$ um.

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{12^{2} (4 + y)}}{2 \cdot - 6}$

Schritt 5.5.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{12^{2} (2^{2} + y)}}{2 \cdot - 6}$

Schritt 5.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 24 \pm 12 \sqrt{2^{2} + y}}{2 \cdot - 6}$

Schritt 5.5.1.6

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 24 \pm 12 \sqrt{4 + y}}{2 \cdot - 6}$

Schritt 5.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 6$ .

$x = \frac{- 24 \pm 12 \sqrt{4 + y}}{- 12}$

Schritt 5.5.3

Vereinfache $\frac{- 24 \pm 12 \sqrt{4 + y}}{- 12}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{4 + y}$

Schritt 5.5.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = 2 + \sqrt{4 + y}$

Schritt 5.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 5.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.6.1.1

Potenziere $24$ mit $2$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot - 6 \cdot (6 y)}}{2 \cdot - 6}$

Schritt 5.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 6 \cdot 6$ .

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Schritt 5.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 6$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 + 24 \cdot (6 y)}}{2 \cdot - 6}$

Schritt 5.6.1.2.2

Mutltipliziere $24$ mit $6$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 + 144 y}}{2 \cdot - 6}$

Schritt 5.6.1.3

Faktorisiere $144$ aus $576 + 144 y$ heraus.

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Schritt 5.6.1.3.1

Faktorisiere $144$ aus $576$ heraus.

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{144 \cdot 4 + 144 y}}{2 \cdot - 6}$

Schritt 5.6.1.3.2

Faktorisiere $144$ aus $144 \cdot 4 + 144 y$ heraus.

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{144 (4 + y)}}{2 \cdot - 6}$

Schritt 5.6.1.4

Schreibe $144 (4 + y)$ als $12^{2} (2^{2} + y)$ um.

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Schritt 5.6.1.4.1

Schreibe $144$ als $12^{2}$ um.

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{12^{2} (4 + y)}}{2 \cdot - 6}$

Schritt 5.6.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{12^{2} (2^{2} + y)}}{2 \cdot - 6}$

Schritt 5.6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 24 \pm 12 \sqrt{2^{2} + y}}{2 \cdot - 6}$

Schritt 5.6.1.6

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 24 \pm 12 \sqrt{4 + y}}{2 \cdot - 6}$

Schritt 5.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 6$ .

$x = \frac{- 24 \pm 12 \sqrt{4 + y}}{- 12}$

Schritt 5.6.3

Vereinfache $\frac{- 24 \pm 12 \sqrt{4 + y}}{- 12}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{4 + y}$

Schritt 5.6.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = 2 - \sqrt{4 + y}$

Schritt 5.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 2 + \sqrt{4 + y}$

$x = 2 - \sqrt{4 + y}$

$x = 2 + \sqrt{4 + y}$

$x = 2 - \sqrt{4 + y}$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 2 + \sqrt{4 + y}$

$x = 2 - \sqrt{4 + y}$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 2 + \sqrt{4 + y}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- 12 (2 + \sqrt{4 + y}) + 24$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 12 \cdot 2 - 12 \sqrt{4 + y} + 24$

Schritt 9.1.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $2$ .

$- 24 - 12 \sqrt{4 + y} + 24$

Schritt 9.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 24 - 12 \sqrt{4 + y} + 24$ .

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Schritt 9.2.1

Addiere $- 24$ und $24$ .

$0 - 12 \sqrt{4 + y}$

Schritt 9.2.2

Subtrahiere $12 \sqrt{4 + y}$ von $0$ .

$- 12 \sqrt{4 + y}$

Schritt 10

Da der erste Ableitungstest nicht erfolgreich war, gibt es kein lokales Extremum.

Keine lokalen Extrema

Schritt 11