Analysis Beispiele

$f (x) = 12 e^{x} - e^{2 x}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $12 e^{x} - e^{2 x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [12 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [12 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [12 e^{x}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12 e^{x}$ nach $x$ gleich $12 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$12 e^{x} + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- e^{2 x}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$12 e^{x} - \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 1.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$12 e^{x} - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 1.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$12 e^{x} - (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 1.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$12 e^{x} - (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 1.3.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 e^{x} - (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$12 e^{x} - (e^{2 x} (2 \cdot 1))$

Schritt 1.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$12 e^{x} - (e^{2 x} \cdot 2)$

Schritt 1.3.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{2 x}$ .

$12 e^{x} - (2 \cdot e^{2 x})$

Schritt 1.3.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$12 e^{x} - 2 e^{2 x}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $12 e^{x} - 2 e^{2 x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [12 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{2 x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{2 x})$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [12 e^{x}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12 e^{x}$ nach $x$ gleich $12 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{2 x})$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 12 e^{x} + \frac{d}{d x} (- 2 e^{2 x})$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 e^{2 x}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 e^{2 x}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$f'' (x) = 12 e^{x} - 2 \frac{d}{d x} e^{2 x}$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$f'' (x) = 12 e^{x} - 2 (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (2 x))$

Schritt 2.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 12 e^{x} - 2 (e^{u} \frac{d}{d x} (2 x))$

Schritt 2.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$f'' (x) = 12 e^{x} - 2 (e^{2 x} \frac{d}{d x} (2 x))$

Schritt 2.3.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 e^{x} - 2 (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 e^{x} - 2 (e^{2 x} (2 \cdot 1))$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f'' (x) = 12 e^{x} - 2 (e^{2 x} \cdot 2)$

Schritt 2.3.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{2 x}$ .

$f'' (x) = 12 e^{x} - 2 (2 \cdot e^{2 x})$

Schritt 2.3.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = 12 e^{x} - 4 e^{2 x}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$12 e^{x} - 2 e^{2 x} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $12 e^{x} - e^{2 x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [12 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [12 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$

Schritt 4.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [12 e^{x}]$ .

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Schritt 4.1.2.1

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12 e^{x}$ nach $x$ gleich $12 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$12 e^{x} + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$

Schritt 4.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$ .

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Schritt 4.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- e^{2 x}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$12 e^{x} - \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Schritt 4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 4.1.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$12 e^{x} - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 4.1.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$12 e^{x} - (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 4.1.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$12 e^{x} - (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 4.1.3.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 e^{x} - (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 4.1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$12 e^{x} - (e^{2 x} (2 \cdot 1))$

Schritt 4.1.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$12 e^{x} - (e^{2 x} \cdot 2)$

Schritt 4.1.3.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{2 x}$ .

$12 e^{x} - (2 \cdot e^{2 x})$

Schritt 4.1.3.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f' (x) = 12 e^{x} - 2 e^{2 x}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $12 e^{x} - 2 e^{2 x}$ .

$12 e^{x} - 2 e^{2 x}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $12 e^{x} - 2 e^{2 x} = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$12 e^{x} - 2 e^{2 x} = 0$

Schritt 5.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Schreibe $e^{2 x}$ als ${(e^{x})}^{2}$ um.

$12 e^{x} - 2 {(e^{x})}^{2} = 0$

Schritt 5.2.2

Es sei $u = e^{x}$ . Ersetze $u$ für alle $e^{x}$ .

$12 u - 2 u^{2} = 0$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $2 u$ aus $12 u - 2 u^{2}$ heraus.

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Schritt 5.2.3.1

Faktorisiere $2 u$ aus $12 u$ heraus.

$2 u (6) - 2 u^{2} = 0$

Schritt 5.2.3.2

Faktorisiere $2 u$ aus $- 2 u^{2}$ heraus.

$2 u (6) + 2 u (- u) = 0$

Schritt 5.2.3.3

Faktorisiere $2 u$ aus $2 u (6) + 2 u (- u)$ heraus.

$2 u (6 - u) = 0$

Schritt 5.2.4

Ersetze alle $u$ durch $e^{x}$ .

$2 e^{x} (6 - e^{x}) = 0$

Schritt 5.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$e^{x} = 0$

$6 - e^{x} = 0$

Schritt 5.4

Setze $e^{x}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.4.1

Setze $e^{x}$ gleich $0$ .

$e^{x} = 0$

Schritt 5.4.2

Löse $e^{x} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.4.2.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Schritt 5.4.2.2

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (0)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 5.4.2.3

Es gibt keine Lösung für $e^{x} = 0$

Keine Lösung

Schritt 5.5

Setze $6 - e^{x}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.5.1

Setze $6 - e^{x}$ gleich $0$ .

$6 - e^{x} = 0$

Schritt 5.5.2

Löse $6 - e^{x} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.5.2.1

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- e^{x} = - 6$

Schritt 5.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- e^{x} = - 6$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- e^{x} = - 6$ durch $- 1$ .

$\frac{- e^{x}}{- 1} = \frac{- 6}{- 1}$

Schritt 5.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{e^{x}}{1} = \frac{- 6}{- 1}$

Schritt 5.5.2.2.2.2

Dividiere $e^{x}$ durch $1$ .

$e^{x} = \frac{- 6}{- 1}$

Schritt 5.5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.2.2.3.1

Dividiere $- 6$ durch $- 1$ .

$e^{x} = 6$

Schritt 5.5.2.3

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (6)$

Schritt 5.5.2.4

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 5.5.2.4.1

Zerlege $\ln (e^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (e) = \ln (6)$

Schritt 5.5.2.4.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (6)$

Schritt 5.5.2.4.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x = \ln (6)$

Schritt 5.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 e^{x} (6 - e^{x}) = 0$ wahr machen.

$x = \ln (6)$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = \ln (6)$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \ln (6)$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$12 e^{\ln (6)} - 4 e^{2 (\ln (6))}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.1.1

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$12 \cdot 6 - 4 e^{2 (\ln (6))}$

Schritt 9.1.2

Mutltipliziere $12$ mit $6$ .

$72 - 4 e^{2 (\ln (6))}$

Schritt 9.1.3

Vereinfache $2 (\ln (6))$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$72 - 4 e^{\ln (6^{2})}$

Schritt 9.1.4

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$72 - 4 \cdot 6^{2}$

Schritt 9.1.5

Potenziere $6$ mit $2$ .

$72 - 4 \cdot 36$

Schritt 9.1.6

Mutltipliziere $- 4$ mit $36$ .

$72 - 144$

Schritt 9.2

Subtrahiere $144$ von $72$ .

$- 72$

Schritt 10

$x = \ln (6)$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \ln (6)$ ist ein lokales Maximum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \ln (6)$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\ln (6)$ .

$f (\ln (6)) = 12 e^{\ln (6)} - e^{2 (\ln (6))}$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.1.1

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f (\ln (6)) = 12 \cdot 6 - e^{2 (\ln (6))}$

Schritt 11.2.1.2

Mutltipliziere $12$ mit $6$ .

$f (\ln (6)) = 72 - e^{2 (\ln (6))}$

Schritt 11.2.1.3

Vereinfache $2 (\ln (6))$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$f (\ln (6)) = 72 - e^{\ln (6^{2})}$

Schritt 11.2.1.4

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f (\ln (6)) = 72 - 6^{2}$

Schritt 11.2.1.5

Potenziere $6$ mit $2$ .

$f (\ln (6)) = 72 - 1 \cdot 36$

Schritt 11.2.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $36$ .

$f (\ln (6)) = 72 - 36$

Schritt 11.2.2

Subtrahiere $36$ von $72$ .

$f (\ln (6)) = 36$

Schritt 11.2.3

Die endgültige Lösung ist $36$ .

$y = 36$

Schritt 12

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = 12 e^{x} - e^{2 x}$ .

$(\ln (6), 36)$ ist ein lokales Maximum

Schritt 13