Analysis Beispiele

$f (x) = 10 x y - x^{3} - 5 y^{2}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $10 x y - x^{3} - 5 y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [10 x y] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [10 x y] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [10 x y]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $10 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $10 x y$ nach $x$ gleich $10 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$10 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $10$ mit $1$ .

$10 y + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$10 y - \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$10 y - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$10 y - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

Schritt 1.4

Da $- 5 y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 y^{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$10 y - 3 x^{2} + 0$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Addiere $10 y - 3 x^{2}$ und $0$ .

$10 y - 3 x^{2}$

Schritt 1.5.2

Stelle die Terme um.

$- 3 x^{2} + 10 y$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 3 x^{2} + 10 y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 y]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (10 y)$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (10 y)$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (10 y)$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$f'' (x) = - 6 x + \frac{d}{d x} (10 y)$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.3.1

Da $10 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $10 y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - 6 x + 0$

Schritt 2.3.2

Addiere $- 6 x$ und $0$ .

$f'' (x) = - 6 x$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- 3 x^{2} + 10 y = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $10 x y - x^{3} - 5 y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [10 x y] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [10 x y] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

Schritt 4.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [10 x y]$ .

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Schritt 4.1.2.1

Da $10 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $10 x y$ nach $x$ gleich $10 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$10 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

Schritt 4.1.2.3

Mutltipliziere $10$ mit $1$ .

$10 y + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

Schritt 4.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Schritt 4.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$10 y - \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

Schritt 4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$10 y - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

Schritt 4.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$10 y - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

Schritt 4.1.4

Da $- 5 y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 y^{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$10 y - 3 x^{2} + 0$

Schritt 4.1.5

Vereinfache.

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Schritt 4.1.5.1

Addiere $10 y - 3 x^{2}$ und $0$ .

$10 y - 3 x^{2}$

Schritt 4.1.5.2

Stelle die Terme um.

$f' (x) = - 3 x^{2} + 10 y$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 3 x^{2} + 10 y$ .

$- 3 x^{2} + 10 y$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 3 x^{2} + 10 y = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- 3 x^{2} + 10 y = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $10 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 x^{2} = - 10 y$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $- 3 x^{2} = - 10 y$ durch $- 3$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3 x^{2} = - 10 y$ durch $- 3$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 10 y}{- 3}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 10 y}{- 3}$

Schritt 5.3.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 10 y}{- 3}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x^{2} = \frac{10 y}{3}$

Schritt 5.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{\frac{10 y}{3}}$

Schritt 5.5

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{10 y}{3}}$ .

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Schritt 5.5.1

Schreibe $\sqrt{\frac{10 y}{3}}$ als $\frac{\sqrt{10 y}}{\sqrt{3}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{10 y}}{\sqrt{3}}$

Schritt 5.5.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{10 y}}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{10 y}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Schritt 5.5.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.5.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{10 y}}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{10 y} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 5.5.3.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{10 y} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 5.5.3.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{10 y} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 5.5.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm \frac{\sqrt{10 y} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 5.5.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{10 y} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 5.5.3.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 5.5.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm \frac{\sqrt{10 y} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 5.5.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{10 y} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 5.5.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{10 y} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.5.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.5.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm \frac{\sqrt{10 y} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.5.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm \frac{\sqrt{10 y} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Schritt 5.5.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm \frac{\sqrt{10 y} \sqrt{3}}{3}$

Schritt 5.5.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.5.4.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$x = \pm \frac{\sqrt{10 y \cdot 3}}{3}$

Schritt 5.5.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $10$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{30 y}}{3}$

Schritt 5.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{\sqrt{30 y}}{3}$

Schritt 5.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{\sqrt{30 y}}{3}$

Schritt 5.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{\sqrt{30 y}}{3}$

$x = - \frac{\sqrt{30 y}}{3}$

$x = \frac{\sqrt{30 y}}{3}$

$x = - \frac{\sqrt{30 y}}{3}$

$x = \frac{\sqrt{30 y}}{3}$

$x = - \frac{\sqrt{30 y}}{3}$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = \frac{\sqrt{30 y}}{3}$

$x = - \frac{\sqrt{30 y}}{3}$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{\sqrt{30 y}}{3}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- 6 \frac{\sqrt{30 y}}{3}$

Schritt 9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 9.1

Faktorisiere $3$ aus $- 6$ heraus.

$3 (- 2) \frac{\sqrt{30 y}}{3}$

Schritt 9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \cdot - 2 \frac{\sqrt{30 y}}{3}$

Schritt 9.3

Forme den Ausdruck um.

$- 2 \sqrt{30 y}$

Schritt 10

Da der erste Ableitungstest nicht erfolgreich war, gibt es kein lokales Extremum.

Keine lokalen Extrema

Schritt 11