Analysis Beispiele

$f (x) = 100 (x - \frac{4}{x^{2}})$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Da $100$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $100 (x - \frac{4}{x^{2}})$ nach $x$ gleich $100 \frac{d}{d x} [x - \frac{4}{x^{2}}]$ .

$100 \frac{d}{d x} [x - \frac{4}{x^{2}}]$

Schritt 1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - \frac{4}{x^{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}]$ .

$100 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}])$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$100 (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}])$

Schritt 1.4

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{4}{x^{2}}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$100 (1 - 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}])$

Schritt 1.5

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.5.1

Schreibe $\frac{1}{x^{2}}$ als ${(x^{2})}^{- 1}$ um.

$100 (1 - 4 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}])$

Schritt 1.5.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.5.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$100 (1 - 4 \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}])$

Schritt 1.5.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$100 (1 - 4 \frac{d}{d x} [x^{- 2}])$

Schritt 1.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 2$ .

$100 (1 - 4 (- 2 x^{- 3}))$

Schritt 1.7

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 4$ .

$100 (1 + 8 x^{- 3})$

Schritt 1.8

Vereinfache.

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Schritt 1.8.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$100 (1 + 8 \frac{1}{x^{3}})$

Schritt 1.8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$100 \cdot 1 + 100 (8 \frac{1}{x^{3}})$

Schritt 1.8.3

Vereine die Terme

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Schritt 1.8.3.1

Mutltipliziere $100$ mit $1$ .

$100 + 100 (8 \frac{1}{x^{3}})$

Schritt 1.8.3.2

Kombiniere $8$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$100 + 100 \frac{8}{x^{3}}$

Schritt 1.8.3.3

Kombiniere $100$ und $\frac{8}{x^{3}}$ .

$100 + \frac{100 \cdot 8}{x^{3}}$

Schritt 1.8.3.4

Mutltipliziere $100$ mit $8$ .

$100 + \frac{800}{x^{3}}$

Schritt 1.8.4

Stelle die Terme um.

$\frac{800}{x^{3}} + 100$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{800}{x^{3}} + 100$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{800}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [100]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{800}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (100)$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{800}{x^{3}}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $800$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{800}{x^{3}}$ nach $x$ gleich $800 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$f'' (x) = 800 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (100)$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{1}{x^{3}}$ als ${(x^{3})}^{- 1}$ um.

$f'' (x) = 800 \frac{d}{d x} ({(x^{3})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (100)$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{3}$ .

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Schritt 2.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{3}$ .

$f'' (x) = 800 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (100)$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f'' (x) = 800 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}) + \frac{d}{d x} (100)$

Schritt 2.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{3}$ .

$f'' (x) = 800 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}) + \frac{d}{d x} (100)$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f'' (x) = 800 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (100)$

Schritt 2.2.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Schritt 2.2.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 800 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (100)$

Schritt 2.2.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = 800 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (100)$

Schritt 2.2.6

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 800 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} (100)$

Schritt 2.2.7

Multipliziere $x^{- 6}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.7.1

Bewege $x^{2}$ .

$f'' (x) = 800 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} (100)$

Schritt 2.2.7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = 800 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} (100)$

Schritt 2.2.7.3

Subtrahiere $6$ von $2$ .

$f'' (x) = 800 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} (100)$

Schritt 2.2.8

Mutltipliziere $- 3$ mit $800$ .

$f'' (x) = - 2400 x^{- 4} + \frac{d}{d x} (100)$

Schritt 2.3

Da $100$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $100$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - 2400 x^{- 4} + 0$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 2400 \frac{1}{x^{4}} + 0$

Schritt 2.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.4.2.1

Kombiniere $- 2400$ und $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2400}{x^{4}} + 0$

Schritt 2.4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{2400}{x^{4}} + 0$

Schritt 2.4.2.3

Addiere $- \frac{2400}{x^{4}}$ und $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2400}{x^{4}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{800}{x^{3}} + 100 = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Da $100$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $100 (x - \frac{4}{x^{2}})$ nach $x$ gleich $100 \frac{d}{d x} [x - \frac{4}{x^{2}}]$ .

$100 \frac{d}{d x} [x - \frac{4}{x^{2}}]$

Schritt 4.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - \frac{4}{x^{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}]$ .

$100 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}])$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$100 (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}])$

Schritt 4.1.4

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{4}{x^{2}}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$100 (1 - 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}])$

Schritt 4.1.5

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.1.5.1

Schreibe $\frac{1}{x^{2}}$ als ${(x^{2})}^{- 1}$ um.

$100 (1 - 4 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}])$

Schritt 4.1.5.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.1.5.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$100 (1 - 4 \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}])$

Schritt 4.1.5.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$100 (1 - 4 \frac{d}{d x} [x^{- 2}])$

Schritt 4.1.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 2$ .

$100 (1 - 4 (- 2 x^{- 3}))$

Schritt 4.1.7

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 4$ .

$100 (1 + 8 x^{- 3})$

Schritt 4.1.8

Vereinfache.

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Schritt 4.1.8.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$100 (1 + 8 \frac{1}{x^{3}})$

Schritt 4.1.8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$100 \cdot 1 + 100 (8 \frac{1}{x^{3}})$

Schritt 4.1.8.3

Vereine die Terme

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Schritt 4.1.8.3.1

Mutltipliziere $100$ mit $1$ .

$100 + 100 (8 \frac{1}{x^{3}})$

Schritt 4.1.8.3.2

Kombiniere $8$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$100 + 100 \frac{8}{x^{3}}$

Schritt 4.1.8.3.3

Kombiniere $100$ und $\frac{8}{x^{3}}$ .

$100 + \frac{100 \cdot 8}{x^{3}}$

Schritt 4.1.8.3.4

Mutltipliziere $100$ mit $8$ .

$100 + \frac{800}{x^{3}}$

Schritt 4.1.8.4

Stelle die Terme um.

$f' (x) = \frac{800}{x^{3}} + 100$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{800}{x^{3}} + 100$ .

$\frac{800}{x^{3}} + 100$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{800}{x^{3}} + 100 = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{800}{x^{3}} + 100 = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $100$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{800}{x^{3}} = - 100$

Schritt 5.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 5.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x^{3}, 1$

Schritt 5.3.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x^{3}$

Schritt 5.4

Multipliziere jeden Term in $\frac{800}{x^{3}} = - 100$ mit $x^{3}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 5.4.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{800}{x^{3}} = - 100$ mit $x^{3}$ .

$\frac{800}{x^{3}} x^{3} = - 100 x^{3}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{3}$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{800}{x^{3}} x^{3} = - 100 x^{3}$

Schritt 5.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$800 = - 100 x^{3}$

Schritt 5.5

Löse die Gleichung.

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Schritt 5.5.1

Schreibe die Gleichung als $- 100 x^{3} = 800$ um.

$- 100 x^{3} = 800$

Schritt 5.5.2

Subtrahiere $800$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 100 x^{3} - 800 = 0$

Schritt 5.5.3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.5.3.1

Faktorisiere $- 100$ aus $- 100 x^{3} - 800$ heraus.

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Schritt 5.5.3.1.1

Faktorisiere $- 100$ aus $- 100 x^{3}$ heraus.

$- 100 x^{3} - 800 = 0$

Schritt 5.5.3.1.2

Faktorisiere $- 100$ aus $- 800$ heraus.

$- 100 x^{3} - 100 \cdot 8 = 0$

Schritt 5.5.3.1.3

Faktorisiere $- 100$ aus $- 100 (x^{3}) - 100 (8)$ heraus.

$- 100 (x^{3} + 8) = 0$

Schritt 5.5.3.2

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$- 100 (x^{3} + 2^{3}) = 0$

Schritt 5.5.3.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = x$ und $b = 2$ .

$- 100 ((x + 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

Schritt 5.5.3.4

Faktorisiere.

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Schritt 5.5.3.4.1

Vereinfache.

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Schritt 5.5.3.4.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 100 ((x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2})) = 0$

Schritt 5.5.3.4.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$- 100 ((x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)) = 0$

Schritt 5.5.3.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$- 100 (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) = 0$

Schritt 5.5.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

$x^{2} - 2 x + 4 = 0$

Schritt 5.5.5

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.5.5.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 5.5.5.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 5.5.6

Setze $x^{2} - 2 x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.5.6.1

Setze $x^{2} - 2 x + 4$ gleich $0$ .

$x^{2} - 2 x + 4 = 0$

Schritt 5.5.6.2

Löse $x^{2} - 2 x + 4 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.5.6.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 5.5.6.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 2$ und $c = 4$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.6.2.3

Vereinfache.

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Schritt 5.5.6.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.5.6.2.3.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.6.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Schritt 5.5.6.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.6.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.6.2.3.1.3

Subtrahiere $16$ von $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.6.2.3.1.4

Schreibe $- 12$ als $- 1 (12)$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.6.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (12)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.6.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.6.2.3.1.7

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 5.5.6.2.3.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.6.2.3.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.6.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.6.2.3.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.6.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 5.5.6.2.3.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{3}$

Schritt 5.5.6.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 5.5.6.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.5.6.2.4.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.6.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Schritt 5.5.6.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.6.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.6.2.4.1.3

Subtrahiere $16$ von $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.6.2.4.1.4

Schreibe $- 12$ als $- 1 (12)$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.6.2.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (12)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.6.2.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.6.2.4.1.7

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 5.5.6.2.4.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.6.2.4.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.6.2.4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.6.2.4.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.6.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 5.5.6.2.4.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{3}$

Schritt 5.5.6.2.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = 1 + i \sqrt{3}$

Schritt 5.5.6.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 5.5.6.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.5.6.2.5.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.6.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Schritt 5.5.6.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.6.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.6.2.5.1.3

Subtrahiere $16$ von $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.6.2.5.1.4

Schreibe $- 12$ als $- 1 (12)$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.6.2.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (12)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.6.2.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.6.2.5.1.7

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 5.5.6.2.5.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.6.2.5.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.6.2.5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.6.2.5.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.6.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 5.5.6.2.5.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{3}$

Schritt 5.5.6.2.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = 1 - i \sqrt{3}$

Schritt 5.5.6.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 1 + i \sqrt{3}, 1 - i \sqrt{3}$

Schritt 5.5.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- 100 (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) = 0$ wahr machen.

$x = - 2, 1 + i \sqrt{3}, 1 - i \sqrt{3}$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Setze den Nenner in $\frac{800}{x^{3}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{3} = 0$

Schritt 6.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \sqrt[3]{0}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

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Schritt 6.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 6.2.2.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$x = 0$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = - 2$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - 2$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \frac{2400}{{(- 2)}^{4}}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Potenziere $- 2$ mit $4$ .

$- \frac{2400}{16}$

Schritt 9.2

Dividiere $2400$ durch $16$ .

$- 1 \cdot 150$

Schritt 9.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $150$ .

$- 150$

Schritt 10

$x = - 2$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = - 2$ ist ein lokales Maximum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = - 2$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f (- 2) = 100 ((- 2) - \frac{4}{{(- 2)}^{2}})$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$f (- 2) = 100 (- 2 - \frac{4}{4})$

Schritt 11.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 11.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 2) = 100 (- 2 - \frac{4}{4})$

Schritt 11.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (- 2) = 100 (- 2 - 1 \cdot 1)$

Schritt 11.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (- 2) = 100 (- 2 - 1)$

Schritt 11.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 11.2.2.1

Subtrahiere $1$ von $- 2$ .

$f (- 2) = 100 \cdot - 3$

Schritt 11.2.2.2

Mutltipliziere $100$ mit $- 3$ .

$f (- 2) = - 300$

Schritt 11.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 300$ .

$y = - 300$

Schritt 12

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = 100 (x - \frac{4}{x^{2}})$ .

$(- 2, - 300)$ ist ein lokales Maximum

Schritt 13