Analysis Beispiele

$f (x) = 10 x - 10 \cos (x)$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $10 x - 10 \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 10 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 10 \cos (x)]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [10 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $10 x$ nach $x$ gleich $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10 \cos (x)]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 10 \cos (x)]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $10$ mit $1$ .

$10 + \frac{d}{d x} [- 10 \cos (x)]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 10 \cos (x)]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Da $- 10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 10 \cos (x)$ nach $x$ gleich $- 10 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$10 - 10 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 1.3.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$10 - 10 (- \sin (x))$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 10$ .

$10 + 10 \sin (x)$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $10 + 10 \sin (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [10 \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (10) + \frac{d}{d x} (10 \sin (x))$

Schritt 2.1.2

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $10$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (10 \sin (x))$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [10 \sin (x)]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $10 \sin (x)$ nach $x$ gleich $10 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = 0 + 10 \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 0 + 10 \cos (x)$

Schritt 2.3

Addiere $0$ und $10 \cos (x)$ .

$f'' (x) = 10 \cos (x)$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$10 + 10 \sin (x) = 0$

Schritt 4

Subtrahiere $10$ von beiden Seiten der Gleichung.

$10 \sin (x) = - 10$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $10 \sin (x) = - 10$ durch $10$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $10 \sin (x) = - 10$ durch $10$ .

$\frac{10 \sin (x)}{10} = \frac{- 10}{10}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{10 \sin (x)}{10} = \frac{- 10}{10}$

Schritt 5.2.1.2

Dividiere $\sin (x)$ durch $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 10}{10}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Dividiere $- 10$ durch $10$ .

$\sin (x) = - 1$

Schritt 6

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (- 1)$

Schritt 7

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Der genau Wert von $\arcsin (- 1)$ ist $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Schritt 8

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Schritt 9

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Schritt 9.2

Der resultierende Winkel von $\frac{3 π}{2}$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 10

Die Lösung der Gleichung $x = - \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Schritt 11

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - \frac{π}{2}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$10 \cos (- \frac{π}{2})$

Schritt 12

Berechne die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1

Addiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$10 \cos (\frac{3 π}{2})$

Schritt 12.2

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$10 \cos (\frac{π}{2})$

Schritt 12.3

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$10 \cdot 0$

Schritt 12.4

Mutltipliziere $10$ mit $0$ .

$0$

Schritt 13

Da es mindestens einen Punkt mit $0$ oder eine nicht definierte zweite Ableitung gibt, wende den ersten Ableitungstest an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu $0$ oder nicht definiert machen.

$(- \infty, - \frac{π}{2}) \cup (- \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}) \cup (\frac{3 π}{2}, \infty)$

Schritt 13.2

Setze eine beliebige Zahl, wie $- 4$ , aus dem Intervall $(- \infty, - \frac{π}{2})$ in die erste Ableitung $10 + 10 \sin (x)$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 4$ .

$f' (- 4) = 10 + 10 \sin (- 4)$

Schritt 13.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.2.2.1.1

Berechne $\sin (- 4)$ .

$f' (- 4) = 10 + 10 \cdot 0.75680249$

Schritt 13.2.2.1.2

Mutltipliziere $10$ mit $0.75680249$ .

$f' (- 4) = 10 + 7.56802495$

Schritt 13.2.2.2

Addiere $10$ und $7.56802495$ .

$f' (- 4) = 17.56802495$

Schritt 13.2.2.3

Die endgültige Lösung ist $17.56802495$ .

$17.56802495$

Schritt 13.3

Setze eine beliebige Zahl, wie $0$ , aus dem Intervall $(- \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ in die erste Ableitung $10 + 10 \sin (x)$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f' (0) = 10 + 10 \sin (0)$

Schritt 13.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.3.2.1.1

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$f' (0) = 10 + 10 \cdot 0$

Schritt 13.3.2.1.2

Mutltipliziere $10$ mit $0$ .

$f' (0) = 10 + 0$

Schritt 13.3.2.2

Addiere $10$ und $0$ .

$f' (0) = 10$

Schritt 13.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $10$ .

$10$

Schritt 13.4

Setze eine beliebige Zahl, wie $7$ , aus dem Intervall $(\frac{3 π}{2}, \infty)$ in die erste Ableitung $10 + 10 \sin (x)$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $7$ .

$f' (7) = 10 + 10 \sin (7)$

Schritt 13.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.4.2.1.1

Berechne $\sin (7)$ .

$f' (7) = 10 + 10 \cdot 0.65698659$

Schritt 13.4.2.1.2

Mutltipliziere $10$ mit $0.65698659$ .

$f' (7) = 10 + 6.56986598$

Schritt 13.4.2.2

Addiere $10$ und $6.56986598$ .

$f' (7) = 16.56986598$

Schritt 13.4.2.3

Die endgültige Lösung ist $16.56986598$ .

$16.56986598$

Schritt 13.5

Da die erste Ableitung das Vorzeichen um $x = - \frac{π}{2}$ nicht gewechselt hat, ist dies kein lokales Maximum oder Minimum.

Kein lokales Maximum oder Minimum

Schritt 13.6

Keine lokalen Maxima oder Minima für $f (x) = 10 x - 10 \cos (x)$ gefunden.

Keine lokalen Maxima oder Minima

Schritt 14