Analysis Beispiele

$f (x) = 136 x^{7} + 576 x^{7} \ln (3 x)$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $136 x^{7} + 576 x^{7} \ln (3 x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [136 x^{7}] + \frac{d}{d x} [576 x^{7} \ln (3 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [136 x^{7}] + \frac{d}{d x} [576 x^{7} \ln (3 x)]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [136 x^{7}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $136$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $136 x^{7}$ nach $x$ gleich $136 \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$136 \frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [576 x^{7} \ln (3 x)]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 7$ .

$136 (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [576 x^{7} \ln (3 x)]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $7$ mit $136$ .

$952 x^{6} + \frac{d}{d x} [576 x^{7} \ln (3 x)]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [576 x^{7} \ln (3 x)]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $576$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $576 x^{7} \ln (3 x)$ nach $x$ gleich $576 \frac{d}{d x} [x^{7} \ln (3 x)]$ .

$952 x^{6} + 576 \frac{d}{d x} [x^{7} \ln (3 x)]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{7}$ und $g (x) = \ln (3 x)$ .

$952 x^{6} + 576 (x^{7} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)] + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 3 x$ .

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Schritt 1.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x$ .

$952 x^{6} + 576 (x^{7} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Schritt 1.3.3.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$952 x^{6} + 576 (x^{7} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Schritt 1.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x$ .

$952 x^{6} + 576 (x^{7} (\frac{1}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Schritt 1.3.4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$952 x^{6} + 576 (x^{7} (\frac{1}{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Schritt 1.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$952 x^{6} + 576 (x^{7} (\frac{1}{3 x} (3 \cdot 1)) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Schritt 1.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 7$ .

$952 x^{6} + 576 (x^{7} (\frac{1}{3 x} (3 \cdot 1)) + \ln (3 x) (7 x^{6}))$

Schritt 1.3.7

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$952 x^{6} + 576 (x^{7} (\frac{1}{3 x} \cdot 3) + \ln (3 x) (7 x^{6}))$

Schritt 1.3.8

Kombiniere $\frac{1}{3 x}$ und $3$ .

$952 x^{6} + 576 (x^{7} \frac{3}{3 x} + \ln (3 x) (7 x^{6}))$

Schritt 1.3.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.3.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$952 x^{6} + 576 (x^{7} \frac{3}{3 x} + \ln (3 x) (7 x^{6}))$

Schritt 1.3.9.2

Forme den Ausdruck um.

$952 x^{6} + 576 (x^{7} \frac{1}{x} + \ln (3 x) (7 x^{6}))$

Schritt 1.3.10

Kombiniere $x^{7}$ und $\frac{1}{x}$ .

$952 x^{6} + 576 (\frac{x^{7}}{x} + \ln (3 x) (7 x^{6}))$

Schritt 1.3.11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{7}$ und $x$ .

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Schritt 1.3.11.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{7}$ heraus.

$952 x^{6} + 576 (\frac{x \cdot x^{6}}{x} + \ln (3 x) (7 x^{6}))$

Schritt 1.3.11.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.11.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$952 x^{6} + 576 (\frac{x \cdot x^{6}}{x^{1}} + \ln (3 x) (7 x^{6}))$

Schritt 1.3.11.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$952 x^{6} + 576 (\frac{x \cdot x^{6}}{x \cdot 1} + \ln (3 x) (7 x^{6}))$

Schritt 1.3.11.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$952 x^{6} + 576 (\frac{x \cdot x^{6}}{x \cdot 1} + \ln (3 x) (7 x^{6}))$

Schritt 1.3.11.2.4

Forme den Ausdruck um.

$952 x^{6} + 576 (\frac{x^{6}}{1} + \ln (3 x) (7 x^{6}))$

Schritt 1.3.11.2.5

Dividiere $x^{6}$ durch $1$ .

$952 x^{6} + 576 (x^{6} + \ln (3 x) (7 x^{6}))$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$952 x^{6} + 576 x^{6} + 576 (\ln (3 x) (7 x^{6}))$

Schritt 1.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.4.2.1

Mutltipliziere $7$ mit $576$ .

$952 x^{6} + 576 x^{6} + 4032 (\ln (3 x) (x^{6}))$

Schritt 1.4.2.2

Addiere $952 x^{6}$ und $576 x^{6}$ .

$1528 x^{6} + 4032 \ln (3 x) x^{6}$

Schritt 1.4.3

Stelle die Terme um.

$1528 x^{6} + 4032 x^{6} \ln (3 x)$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1528 x^{6} + 4032 x^{6} \ln (3 x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1528 x^{6}] + \frac{d}{d x} [4032 x^{6} \ln (3 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1528 x^{6}) + \frac{d}{d x} (4032 x^{6} \ln (3 x))$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [1528 x^{6}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $1528$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1528 x^{6}$ nach $x$ gleich $1528 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$f'' (x) = 1528 \frac{d}{d x} (x^{6}) + \frac{d}{d x} (4032 x^{6} \ln (3 x))$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 6$ .

$f'' (x) = 1528 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (4032 x^{6} \ln (3 x))$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $6$ mit $1528$ .

$f'' (x) = 9168 x^{5} + \frac{d}{d x} (4032 x^{6} \ln (3 x))$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [4032 x^{6} \ln (3 x)]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $4032$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4032 x^{6} \ln (3 x)$ nach $x$ gleich $4032 \frac{d}{d x} [x^{6} \ln (3 x)]$ .

$f'' (x) = 9168 x^{5} + 4032 \frac{d}{d x} (x^{6} \ln (3 x))$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{6}$ und $g (x) = \ln (3 x)$ .

$f'' (x) = 9168 x^{5} + 4032 (x^{6} \frac{d}{d x} (\ln (3 x)) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} (x^{6}))$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 3 x$ .

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Schritt 2.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x$ .

$f'' (x) = 9168 x^{5} + 4032 (x^{6} (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (3 x)) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} (x^{6}))$

Schritt 2.3.3.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$f'' (x) = 9168 x^{5} + 4032 (x^{6} (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (3 x)) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} (x^{6}))$

Schritt 2.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x$ .

$f'' (x) = 9168 x^{5} + 4032 (x^{6} (\frac{1}{3 x} \cdot \frac{d}{d x} (3 x)) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} (x^{6}))$

Schritt 2.3.4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 9168 x^{5} + 4032 (x^{6} (\frac{1}{3 x} \cdot (3 \frac{d}{d x} (x))) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} (x^{6}))$

Schritt 2.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 9168 x^{5} + 4032 (x^{6} (\frac{1}{3 x} \cdot (3 \cdot 1)) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} (x^{6}))$

Schritt 2.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 6$ .

$f'' (x) = 9168 x^{5} + 4032 (x^{6} (\frac{1}{3 x} \cdot (3 \cdot 1)) + \ln (3 x) (6 x^{5}))$

Schritt 2.3.7

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$f'' (x) = 9168 x^{5} + 4032 (x^{6} (\frac{1}{3 x} \cdot 3) + \ln (3 x) (6 x^{5}))$

Schritt 2.3.8

Kombiniere $\frac{1}{3 x}$ und $3$ .

$f'' (x) = 9168 x^{5} + 4032 (x^{6} (\frac{3}{3 x}) + \ln (3 x) (6 x^{5}))$

Schritt 2.3.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.3.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = 9168 x^{5} + 4032 (x^{6} (\frac{3}{3 x}) + \ln (3 x) (6 x^{5}))$

Schritt 2.3.9.2

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = 9168 x^{5} + 4032 (x^{6} (\frac{1}{x}) + \ln (3 x) (6 x^{5}))$

Schritt 2.3.10

Kombiniere $x^{6}$ und $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 9168 x^{5} + 4032 (\frac{x^{6}}{x} + \ln (3 x) (6 x^{5}))$

Schritt 2.3.11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{6}$ und $x$ .

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Schritt 2.3.11.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{6}$ heraus.

$f'' (x) = 9168 x^{5} + 4032 (\frac{x \cdot x^{5}}{x} + \ln (3 x) (6 x^{5}))$

Schritt 2.3.11.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.11.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = 9168 x^{5} + 4032 (\frac{x \cdot x^{5}}{x} + \ln (3 x) (6 x^{5}))$

Schritt 2.3.11.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$f'' (x) = 9168 x^{5} + 4032 (\frac{x \cdot x^{5}}{x \cdot 1} + \ln (3 x) (6 x^{5}))$

Schritt 2.3.11.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = 9168 x^{5} + 4032 (\frac{x \cdot x^{5}}{x \cdot 1} + \ln (3 x) (6 x^{5}))$

Schritt 2.3.11.2.4

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = 9168 x^{5} + 4032 (\frac{x^{5}}{1} + \ln (3 x) (6 x^{5}))$

Schritt 2.3.11.2.5

Dividiere $x^{5}$ durch $1$ .

$f'' (x) = 9168 x^{5} + 4032 (x^{5} + \ln (3 x) (6 x^{5}))$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = 9168 x^{5} + 4032 x^{5} + 4032 (\ln (3 x) (6 x^{5}))$

Schritt 2.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.4.2.1

Mutltipliziere $6$ mit $4032$ .

$f'' (x) = 9168 x^{5} + 4032 x^{5} + 24192 (\ln (3 x) (x^{5}))$

Schritt 2.4.2.2

Addiere $9168 x^{5}$ und $4032 x^{5}$ .

$f'' (x) = 13200 x^{5} + 24192 \ln (3 x) x^{5}$

Schritt 2.4.3

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = 13200 x^{5} + 24192 x^{5} \ln (3 x)$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$1528 x^{6} + 4032 x^{6} \ln (3 x) = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $136 x^{7} + 576 x^{7} \ln (3 x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [136 x^{7}] + \frac{d}{d x} [576 x^{7} \ln (3 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [136 x^{7}] + \frac{d}{d x} [576 x^{7} \ln (3 x)]$

Schritt 4.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [136 x^{7}]$ .

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Schritt 4.1.2.1

Da $136$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $136 x^{7}$ nach $x$ gleich $136 \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$136 \frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [576 x^{7} \ln (3 x)]$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 7$ .

$136 (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [576 x^{7} \ln (3 x)]$

Schritt 4.1.2.3

Mutltipliziere $7$ mit $136$ .

$952 x^{6} + \frac{d}{d x} [576 x^{7} \ln (3 x)]$

Schritt 4.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [576 x^{7} \ln (3 x)]$ .

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Schritt 4.1.3.1

Da $576$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $576 x^{7} \ln (3 x)$ nach $x$ gleich $576 \frac{d}{d x} [x^{7} \ln (3 x)]$ .

$952 x^{6} + 576 \frac{d}{d x} [x^{7} \ln (3 x)]$

Schritt 4.1.3.2

$952 x^{6} + 576 (x^{7} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)] + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Schritt 4.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 3 x$ .

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Schritt 4.1.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x$ .

$952 x^{6} + 576 (x^{7} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Schritt 4.1.3.3.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$952 x^{6} + 576 (x^{7} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Schritt 4.1.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x$ .

$952 x^{6} + 576 (x^{7} (\frac{1}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Schritt 4.1.3.4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$952 x^{6} + 576 (x^{7} (\frac{1}{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Schritt 4.1.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$952 x^{6} + 576 (x^{7} (\frac{1}{3 x} (3 \cdot 1)) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Schritt 4.1.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 7$ .

$952 x^{6} + 576 (x^{7} (\frac{1}{3 x} (3 \cdot 1)) + \ln (3 x) (7 x^{6}))$

Schritt 4.1.3.7

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$952 x^{6} + 576 (x^{7} (\frac{1}{3 x} \cdot 3) + \ln (3 x) (7 x^{6}))$

Schritt 4.1.3.8

Kombiniere $\frac{1}{3 x}$ und $3$ .

$952 x^{6} + 576 (x^{7} \frac{3}{3 x} + \ln (3 x) (7 x^{6}))$

Schritt 4.1.3.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.1.3.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$952 x^{6} + 576 (x^{7} \frac{3}{3 x} + \ln (3 x) (7 x^{6}))$

Schritt 4.1.3.9.2

Forme den Ausdruck um.

$952 x^{6} + 576 (x^{7} \frac{1}{x} + \ln (3 x) (7 x^{6}))$

Schritt 4.1.3.10

Kombiniere $x^{7}$ und $\frac{1}{x}$ .

$952 x^{6} + 576 (\frac{x^{7}}{x} + \ln (3 x) (7 x^{6}))$

Schritt 4.1.3.11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{7}$ und $x$ .

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Schritt 4.1.3.11.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{7}$ heraus.

$952 x^{6} + 576 (\frac{x \cdot x^{6}}{x} + \ln (3 x) (7 x^{6}))$

Schritt 4.1.3.11.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.3.11.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$952 x^{6} + 576 (\frac{x \cdot x^{6}}{x^{1}} + \ln (3 x) (7 x^{6}))$

Schritt 4.1.3.11.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$952 x^{6} + 576 (\frac{x \cdot x^{6}}{x \cdot 1} + \ln (3 x) (7 x^{6}))$

Schritt 4.1.3.11.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$952 x^{6} + 576 (\frac{x \cdot x^{6}}{x \cdot 1} + \ln (3 x) (7 x^{6}))$

Schritt 4.1.3.11.2.4

Forme den Ausdruck um.

$952 x^{6} + 576 (\frac{x^{6}}{1} + \ln (3 x) (7 x^{6}))$

Schritt 4.1.3.11.2.5

Dividiere $x^{6}$ durch $1$ .

$952 x^{6} + 576 (x^{6} + \ln (3 x) (7 x^{6}))$

Schritt 4.1.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$952 x^{6} + 576 x^{6} + 576 (\ln (3 x) (7 x^{6}))$

Schritt 4.1.4.2

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.4.2.1

Mutltipliziere $7$ mit $576$ .

$952 x^{6} + 576 x^{6} + 4032 (\ln (3 x) (x^{6}))$

Schritt 4.1.4.2.2

Addiere $952 x^{6}$ und $576 x^{6}$ .

$1528 x^{6} + 4032 \ln (3 x) x^{6}$

Schritt 4.1.4.3

Stelle die Terme um.

$f' (x) = 1528 x^{6} + 4032 x^{6} \ln (3 x)$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $1528 x^{6} + 4032 x^{6} \ln (3 x)$ .

$1528 x^{6} + 4032 x^{6} \ln (3 x)$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $1528 x^{6} + 4032 x^{6} \ln (3 x) = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$1528 x^{6} + 4032 x^{6} \ln (3 x) = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $1528 x^{6}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4032 x^{6} \ln (3 x) = - 1528 x^{6}$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $4032 x^{6} \ln (3 x) = - 1528 x^{6}$ durch $4032 x^{6}$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $4032 x^{6} \ln (3 x) = - 1528 x^{6}$ durch $4032 x^{6}$ .

$\frac{4032 x^{6} \ln (3 x)}{4032 x^{6}} = \frac{- 1528 x^{6}}{4032 x^{6}}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4032$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4032 x^{6} \ln (3 x)}{4032 x^{6}} = \frac{- 1528 x^{6}}{4032 x^{6}}$

Schritt 5.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{6} \ln (3 x)}{x^{6}} = \frac{- 1528 x^{6}}{4032 x^{6}}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{6}$ .

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Schritt 5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{6} \ln (3 x)}{x^{6}} = \frac{- 1528 x^{6}}{4032 x^{6}}$

Schritt 5.3.2.2.2

Dividiere $\ln (3 x)$ durch $1$ .

$\ln (3 x) = \frac{- 1528 x^{6}}{4032 x^{6}}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 1528$ und $4032$ .

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Schritt 5.3.3.1.1

Faktorisiere $8$ aus $- 1528 x^{6}$ heraus.

$\ln (3 x) = \frac{8 (- 191 x^{6})}{4032 x^{6}}$

Schritt 5.3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.1.2.1

Faktorisiere $8$ aus $4032 x^{6}$ heraus.

$\ln (3 x) = \frac{8 (- 191 x^{6})}{8 (504 x^{6})}$

Schritt 5.3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (3 x) = \frac{8 (- 191 x^{6})}{8 (504 x^{6})}$

Schritt 5.3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\ln (3 x) = \frac{- 191 x^{6}}{504 x^{6}}$

Schritt 5.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{6}$ .

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Schritt 5.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (3 x) = \frac{- 191 x^{6}}{504 x^{6}}$

Schritt 5.3.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (3 x) = \frac{- 191}{504}$

Schritt 5.3.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\ln (3 x) = - \frac{191}{504}$

Schritt 5.4

Um nach $x$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (3 x)} = e^{- \frac{191}{504}}$

Schritt 5.5

Schreibe $\ln (3 x) = - \frac{191}{504}$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{191}{504}} = 3 x$

Schritt 5.6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.6.1

Schreibe die Gleichung als $3 x = e^{- \frac{191}{504}}$ um.

$3 x = e^{- \frac{191}{504}}$

Schritt 5.6.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = e^{- \frac{191}{504}}$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 5.6.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = e^{- \frac{191}{504}}$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{e^{- \frac{191}{504}}}{3}$

Schritt 5.6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.6.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{e^{- \frac{191}{504}}}{3}$

Schritt 5.6.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{e^{- \frac{191}{504}}}{3}$

Schritt 5.6.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.6.2.3.1

Bringe $e^{- \frac{191}{504}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Setze das Argument in $\ln (3 x)$ kleiner oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$3 x \leq 0$

Schritt 6.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x \leq 0$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x \leq 0$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} \leq \frac{0}{3}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} \leq \frac{0}{3}$

Schritt 6.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \leq \frac{0}{3}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.3.1

Dividiere $0$ durch $3$ .

$x \leq 0$

Schritt 6.3

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = \frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$13200 {(\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}})}^{5} + 24192 {(\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}})}^{5} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 9.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}$ an.

$13200 \frac{1^{5}}{{(3 e^{\frac{191}{504}})}^{5}} + 24192 {(\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}})}^{5} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

Schritt 9.1.1.2

Wende die Produktregel auf $3 e^{\frac{191}{504}}$ an.

$13200 \frac{1^{5}}{3^{5} {(e^{\frac{191}{504}})}^{5}} + 24192 {(\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}})}^{5} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

Schritt 9.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$13200 \frac{1}{3^{5} {(e^{\frac{191}{504}})}^{5}} + 24192 {(\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}})}^{5} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

Schritt 9.1.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.1.3.1

Potenziere $3$ mit $5$ .

$13200 \frac{1}{243 {(e^{\frac{191}{504}})}^{5}} + 24192 {(\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}})}^{5} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

Schritt 9.1.3.2

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{\frac{191}{504}})}^{5}$ .

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Schritt 9.1.3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$13200 \frac{1}{243 e^{\frac{191}{504} \cdot 5}} + 24192 {(\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}})}^{5} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

Schritt 9.1.3.2.2

Multipliziere $\frac{191}{504} \cdot 5$ .

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Schritt 9.1.3.2.2.1

Kombiniere $\frac{191}{504}$ und $5$ .

$13200 \frac{1}{243 e^{\frac{191 \cdot 5}{504}}} + 24192 {(\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}})}^{5} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

Schritt 9.1.3.2.2.2

Mutltipliziere $191$ mit $5$ .

$13200 \frac{1}{243 e^{\frac{955}{504}}} + 24192 {(\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}})}^{5} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

Schritt 9.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 9.1.4.1

Faktorisiere $3$ aus $13200$ heraus.

$3 (4400) \frac{1}{243 e^{\frac{955}{504}}} + 24192 {(\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}})}^{5} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

Schritt 9.1.4.2

Faktorisiere $3$ aus $243 e^{\frac{955}{504}}$ heraus.

$3 (4400) \frac{1}{3 (81 e^{\frac{955}{504}})} + 24192 {(\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}})}^{5} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

Schritt 9.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \cdot 4400 \frac{1}{3 (81 e^{\frac{955}{504}})} + 24192 {(\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}})}^{5} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

Schritt 9.1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$4400 \frac{1}{81 e^{\frac{955}{504}}} + 24192 {(\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}})}^{5} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

Schritt 9.1.5

Kombiniere $4400$ und $\frac{1}{81 e^{\frac{955}{504}}}$ .

$\frac{4400}{81 e^{\frac{955}{504}}} + 24192 {(\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}})}^{5} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

Schritt 9.1.6

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 9.1.6.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}$ an.

$\frac{4400}{81 e^{\frac{955}{504}}} + 24192 \frac{1^{5}}{{(3 e^{\frac{191}{504}})}^{5}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

Schritt 9.1.6.2

Wende die Produktregel auf $3 e^{\frac{191}{504}}$ an.

$\frac{4400}{81 e^{\frac{955}{504}}} + 24192 \frac{1^{5}}{3^{5} {(e^{\frac{191}{504}})}^{5}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

Schritt 9.1.7

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{4400}{81 e^{\frac{955}{504}}} + 24192 \frac{1}{3^{5} {(e^{\frac{191}{504}})}^{5}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

Schritt 9.1.8

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.1.8.1

Potenziere $3$ mit $5$ .

$\frac{4400}{81 e^{\frac{955}{504}}} + 24192 \frac{1}{243 {(e^{\frac{191}{504}})}^{5}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

Schritt 9.1.8.2

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{\frac{191}{504}})}^{5}$ .

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Schritt 9.1.8.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4400}{81 e^{\frac{955}{504}}} + 24192 \frac{1}{243 e^{\frac{191}{504} \cdot 5}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

Schritt 9.1.8.2.2

Multipliziere $\frac{191}{504} \cdot 5$ .

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Schritt 9.1.8.2.2.1

Kombiniere $\frac{191}{504}$ und $5$ .

$\frac{4400}{81 e^{\frac{955}{504}}} + 24192 \frac{1}{243 e^{\frac{191 \cdot 5}{504}}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

Schritt 9.1.8.2.2.2

Mutltipliziere $191$ mit $5$ .

$\frac{4400}{81 e^{\frac{955}{504}}} + 24192 \frac{1}{243 e^{\frac{955}{504}}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

Schritt 9.1.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $27$ .

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Schritt 9.1.9.1

Faktorisiere $27$ aus $24192$ heraus.

$\frac{4400}{81 e^{\frac{955}{504}}} + 27 (896) \frac{1}{243 e^{\frac{955}{504}}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

Schritt 9.1.9.2

Faktorisiere $27$ aus $243 e^{\frac{955}{504}}$ heraus.

$\frac{4400}{81 e^{\frac{955}{504}}} + 27 (896) \frac{1}{27 (9 e^{\frac{955}{504}})} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

Schritt 9.1.9.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4400}{81 e^{\frac{955}{504}}} + 27 \cdot 896 \frac{1}{27 (9 e^{\frac{955}{504}})} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

Schritt 9.1.9.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4400}{81 e^{\frac{955}{504}}} + 896 \frac{1}{9 e^{\frac{955}{504}}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

Schritt 9.1.10

Kombiniere $896$ und $\frac{1}{9 e^{\frac{955}{504}}}$ .

$\frac{4400}{81 e^{\frac{955}{504}}} + \frac{896}{9 e^{\frac{955}{504}}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

Schritt 9.1.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 9.1.11.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4400}{81 e^{\frac{955}{504}}} + \frac{896}{9 e^{\frac{955}{504}}} \ln (3 \frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}})$

Schritt 9.1.11.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4400}{81 e^{\frac{955}{504}}} + \frac{896}{9 e^{\frac{955}{504}}} \ln (\frac{1}{e^{\frac{191}{504}}})$

Schritt 9.1.12

Bringe $e^{\frac{191}{504}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{4400}{81 e^{\frac{955}{504}}} + \frac{896}{9 e^{\frac{955}{504}}} \ln (e^{- \frac{191}{504}})$

Schritt 9.1.13

Zerlege $\ln (e^{- \frac{191}{504}})$ durch Herausziehen von $- \frac{191}{504}$ aus dem Logarithmus.

$\frac{4400}{81 e^{\frac{955}{504}}} + \frac{896}{9 e^{\frac{955}{504}}} (- \frac{191}{504} \ln (e))$

Schritt 9.1.14

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$\frac{4400}{81 e^{\frac{955}{504}}} + \frac{896}{9 e^{\frac{955}{504}}} (- \frac{191}{504} \cdot 1)$

Schritt 9.1.15

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{4400}{81 e^{\frac{955}{504}}} + \frac{896}{9 e^{\frac{955}{504}}} (- \frac{191}{504})$

Schritt 9.1.16

Kürze den gemeinsamen Faktor von $56$ .

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Schritt 9.1.16.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{191}{504}$ in den Zähler.

$\frac{4400}{81 e^{\frac{955}{504}}} + \frac{896}{9 e^{\frac{955}{504}}} \cdot \frac{- 191}{504}$

Schritt 9.1.16.2

Faktorisiere $56$ aus $896$ heraus.

$\frac{4400}{81 e^{\frac{955}{504}}} + \frac{56 (16)}{9 e^{\frac{955}{504}}} \cdot \frac{- 191}{504}$

Schritt 9.1.16.3

Faktorisiere $56$ aus $504$ heraus.

$\frac{4400}{81 e^{\frac{955}{504}}} + \frac{56 \cdot 16}{9 e^{\frac{955}{504}}} \cdot \frac{- 191}{56 \cdot 9}$

Schritt 9.1.16.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4400}{81 e^{\frac{955}{504}}} + \frac{56 \cdot 16}{9 e^{\frac{955}{504}}} \cdot \frac{- 191}{56 \cdot 9}$

Schritt 9.1.16.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4400}{81 e^{\frac{955}{504}}} + \frac{16}{9 e^{\frac{955}{504}}} \cdot \frac{- 191}{9}$

Schritt 9.1.17

Mutltipliziere $\frac{16}{9 e^{\frac{955}{504}}}$ mit $\frac{- 191}{9}$ .

$\frac{4400}{81 e^{\frac{955}{504}}} + \frac{16 \cdot - 191}{9 e^{\frac{955}{504}} \cdot 9}$

Schritt 9.1.18

Mutltipliziere $16$ mit $- 191$ .

$\frac{4400}{81 e^{\frac{955}{504}}} + \frac{- 3056}{9 e^{\frac{955}{504}} \cdot 9}$

Schritt 9.1.19

Mutltipliziere $9$ mit $9$ .

$\frac{4400}{81 e^{\frac{955}{504}}} + \frac{- 3056}{81 e^{\frac{955}{504}}}$

Schritt 9.1.20

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{4400}{81 e^{\frac{955}{504}}} - \frac{3056}{81 e^{\frac{955}{504}}}$

Schritt 9.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 9.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4400 - 3056}{81 e^{\frac{955}{504}}}$

Schritt 9.2.2

Subtrahiere $3056$ von $4400$ .

$\frac{1344}{81 e^{\frac{955}{504}}}$

Schritt 9.2.3

Faktorisiere $3$ aus $1344$ heraus.

$\frac{3 (448)}{81 e^{\frac{955}{504}}}$

Schritt 9.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.3.1

Faktorisiere $3$ aus $81 e^{\frac{955}{504}}$ heraus.

$\frac{3 (448)}{3 (27 e^{\frac{955}{504}})}$

Schritt 9.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 448}{3 (27 e^{\frac{955}{504}})}$

Schritt 9.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{448}{27 e^{\frac{955}{504}}}$

Schritt 10

$x = \frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}$ .

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = 136 {(\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}})}^{7} + 576 {(\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}})}^{7} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 11.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}$ an.

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = 136 (\frac{1^{7}}{{(3 e^{\frac{191}{504}})}^{7}}) + 576 {(\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}})}^{7} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

Schritt 11.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $3 e^{\frac{191}{504}}$ an.

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = 136 (\frac{1^{7}}{3^{7} {(e^{\frac{191}{504}})}^{7}}) + 576 {(\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}})}^{7} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

Schritt 11.2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = 136 (\frac{1}{3^{7} {(e^{\frac{191}{504}})}^{7}}) + 576 {(\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}})}^{7} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

Schritt 11.2.1.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 11.2.1.3.1

Potenziere $3$ mit $7$ .

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = 136 (\frac{1}{2187 {(e^{\frac{191}{504}})}^{7}}) + 576 {(\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}})}^{7} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

Schritt 11.2.1.3.2

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{\frac{191}{504}})}^{7}$ .

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Schritt 11.2.1.3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = 136 (\frac{1}{2187 e^{\frac{191}{504} \cdot 7}}) + 576 {(\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}})}^{7} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

Schritt 11.2.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 11.2.1.3.2.2.1

Faktorisiere $7$ aus $504$ heraus.

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = 136 (\frac{1}{2187 e^{\frac{191}{7 (72)} \cdot 7}}) + 576 {(\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}})}^{7} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

Schritt 11.2.1.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = 136 (\frac{1}{2187 e^{\frac{191}{7 \cdot 72} \cdot 7}}) + 576 {(\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}})}^{7} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

Schritt 11.2.1.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = 136 (\frac{1}{2187 e^{\frac{191}{72}}}) + 576 {(\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}})}^{7} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

Schritt 11.2.1.4

Kombiniere $136$ und $\frac{1}{2187 e^{\frac{191}{72}}}$ .

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136}{2187 e^{\frac{191}{72}}} + 576 {(\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}})}^{7} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

Schritt 11.2.1.5

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 11.2.1.5.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}$ an.

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136}{2187 e^{\frac{191}{72}}} + 576 (\frac{1^{7}}{{(3 e^{\frac{191}{504}})}^{7}}) \cdot \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

Schritt 11.2.1.5.2

Wende die Produktregel auf $3 e^{\frac{191}{504}}$ an.

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136}{2187 e^{\frac{191}{72}}} + 576 (\frac{1^{7}}{3^{7} {(e^{\frac{191}{504}})}^{7}}) \cdot \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

Schritt 11.2.1.6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136}{2187 e^{\frac{191}{72}}} + 576 (\frac{1}{3^{7} {(e^{\frac{191}{504}})}^{7}}) \cdot \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

Schritt 11.2.1.7

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 11.2.1.7.1

Potenziere $3$ mit $7$ .

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136}{2187 e^{\frac{191}{72}}} + 576 (\frac{1}{2187 {(e^{\frac{191}{504}})}^{7}}) \cdot \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

Schritt 11.2.1.7.2

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{\frac{191}{504}})}^{7}$ .

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Schritt 11.2.1.7.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136}{2187 e^{\frac{191}{72}}} + 576 (\frac{1}{2187 e^{\frac{191}{504} \cdot 7}}) \cdot \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

Schritt 11.2.1.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 11.2.1.7.2.2.1

Faktorisiere $7$ aus $504$ heraus.

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136}{2187 e^{\frac{191}{72}}} + 576 (\frac{1}{2187 e^{\frac{191}{7 (72)} \cdot 7}}) \cdot \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

Schritt 11.2.1.7.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136}{2187 e^{\frac{191}{72}}} + 576 (\frac{1}{2187 e^{\frac{191}{7 \cdot 72} \cdot 7}}) \cdot \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

Schritt 11.2.1.7.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136}{2187 e^{\frac{191}{72}}} + 576 (\frac{1}{2187 e^{\frac{191}{72}}}) \cdot \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

Schritt 11.2.1.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 11.2.1.8.1

Faktorisiere $9$ aus $576$ heraus.

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136}{2187 e^{\frac{191}{72}}} + 9 (64) (\frac{1}{2187 e^{\frac{191}{72}}}) \cdot \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

Schritt 11.2.1.8.2

Faktorisiere $9$ aus $2187 e^{\frac{191}{72}}$ heraus.

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136}{2187 e^{\frac{191}{72}}} + 9 (64) (\frac{1}{9 (243 e^{\frac{191}{72}})}) \cdot \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

Schritt 11.2.1.8.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136}{2187 e^{\frac{191}{72}}} + 9 \cdot (64 (\frac{1}{9 (243 e^{\frac{191}{72}})})) \cdot \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

Schritt 11.2.1.8.4

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136}{2187 e^{\frac{191}{72}}} + 64 (\frac{1}{243 e^{\frac{191}{72}}}) \cdot \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

Schritt 11.2.1.9

Kombiniere $64$ und $\frac{1}{243 e^{\frac{191}{72}}}$ .

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136}{2187 e^{\frac{191}{72}}} + \frac{64}{243 e^{\frac{191}{72}}} \cdot \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

Schritt 11.2.1.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 11.2.1.10.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136}{2187 e^{\frac{191}{72}}} + \frac{64}{243 e^{\frac{191}{72}}} \cdot \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

Schritt 11.2.1.10.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136}{2187 e^{\frac{191}{72}}} + \frac{64}{243 e^{\frac{191}{72}}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{191}{504}}})$

Schritt 11.2.1.11

Bringe $e^{\frac{191}{504}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136}{2187 e^{\frac{191}{72}}} + \frac{64}{243 e^{\frac{191}{72}}} \cdot \ln (e^{- \frac{191}{504}})$

Schritt 11.2.1.12

Zerlege $\ln (e^{- \frac{191}{504}})$ durch Herausziehen von $- \frac{191}{504}$ aus dem Logarithmus.

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136}{2187 e^{\frac{191}{72}}} + \frac{64}{243 e^{\frac{191}{72}}} \cdot (- \frac{191}{504} \cdot \ln (e))$

Schritt 11.2.1.13

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136}{2187 e^{\frac{191}{72}}} + \frac{64}{243 e^{\frac{191}{72}}} \cdot (- \frac{191}{504} \cdot 1)$

Schritt 11.2.1.14

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136}{2187 e^{\frac{191}{72}}} + \frac{64}{243 e^{\frac{191}{72}}} \cdot (- \frac{191}{504})$

Schritt 11.2.1.15

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 11.2.1.15.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{191}{504}$ in den Zähler.

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136}{2187 e^{\frac{191}{72}}} + \frac{64}{243 e^{\frac{191}{72}}} \cdot \frac{- 191}{504}$

Schritt 11.2.1.15.2

Faktorisiere $8$ aus $64$ heraus.

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136}{2187 e^{\frac{191}{72}}} + \frac{8 (8)}{243 e^{\frac{191}{72}}} \cdot \frac{- 191}{504}$

Schritt 11.2.1.15.3

Faktorisiere $8$ aus $504$ heraus.

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136}{2187 e^{\frac{191}{72}}} + \frac{8 \cdot 8}{243 e^{\frac{191}{72}}} \cdot \frac{- 191}{8 \cdot 63}$

Schritt 11.2.1.15.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136}{2187 e^{\frac{191}{72}}} + \frac{8 \cdot 8}{243 e^{\frac{191}{72}}} \cdot \frac{- 191}{8 \cdot 63}$

Schritt 11.2.1.15.5

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136}{2187 e^{\frac{191}{72}}} + \frac{8}{243 e^{\frac{191}{72}}} \cdot \frac{- 191}{63}$

Schritt 11.2.1.16

Mutltipliziere $\frac{8}{243 e^{\frac{191}{72}}}$ mit $\frac{- 191}{63}$ .

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136}{2187 e^{\frac{191}{72}}} + \frac{8 \cdot - 191}{243 e^{\frac{191}{72}} \cdot 63}$

Schritt 11.2.1.17

Mutltipliziere $8$ mit $- 191$ .

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136}{2187 e^{\frac{191}{72}}} + \frac{- 1528}{243 e^{\frac{191}{72}} \cdot 63}$

Schritt 11.2.1.18

Mutltipliziere $63$ mit $243$ .

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136}{2187 e^{\frac{191}{72}}} + \frac{- 1528}{15309 e^{\frac{191}{72}}}$

Schritt 11.2.1.19

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136}{2187 e^{\frac{191}{72}}} - \frac{1528}{15309 e^{\frac{191}{72}}}$

Schritt 11.2.2

Um $\frac{136}{2187 e^{\frac{191}{72}}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{7}{7}$ .

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136}{2187 e^{\frac{191}{72}}} \cdot \frac{7}{7} - \frac{1528}{15309 e^{\frac{191}{72}}}$

Schritt 11.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $15309 e^{\frac{191}{72}}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 11.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{136}{2187 e^{\frac{191}{72}}}$ mit $\frac{7}{7}$ .

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136 \cdot 7}{2187 e^{\frac{191}{72}} \cdot 7} - \frac{1528}{15309 e^{\frac{191}{72}}}$

Schritt 11.2.3.2

Mutltipliziere $7$ mit $2187$ .

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136 \cdot 7}{15309 e^{\frac{191}{72}}} - \frac{1528}{15309 e^{\frac{191}{72}}}$

Schritt 11.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136 \cdot 7 - 1528}{15309 e^{\frac{191}{72}}}$

Schritt 11.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.2.5.1

Mutltipliziere $136$ mit $7$ .

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{952 - 1528}{15309 e^{\frac{191}{72}}}$

Schritt 11.2.5.2

Subtrahiere $1528$ von $952$ .

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{- 576}{15309 e^{\frac{191}{72}}}$

Schritt 11.2.6

Faktorisiere $9$ aus $- 576$ heraus.

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{9 (- 64)}{15309 e^{\frac{191}{72}}}$

Schritt 11.2.7

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.2.7.1

Faktorisiere $9$ aus $15309 e^{\frac{191}{72}}$ heraus.

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{9 (- 64)}{9 (1701 e^{\frac{191}{72}})}$

Schritt 11.2.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{9 \cdot - 64}{9 (1701 e^{\frac{191}{72}})}$

Schritt 11.2.7.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{- 64}{1701 e^{\frac{191}{72}}}$

Schritt 11.2.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = - \frac{64}{1701 e^{\frac{191}{72}}}$

Schritt 11.2.9

Die endgültige Lösung ist $- \frac{64}{1701 e^{\frac{191}{72}}}$ .

$y = - \frac{64}{1701 e^{\frac{191}{72}}}$

Schritt 12

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = 136 x^{7} + 576 x^{7} \ln (3 x)$ .

$(\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}, - \frac{64}{1701 e^{\frac{191}{72}}})$ ist ein lokales Minimum

Schritt 13