Analysis Beispiele

$f (x) = 12 x - 20 \ln (x)$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $12 x - 20 \ln (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 20 \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 20 \ln (x)]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12 x$ nach $x$ gleich $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 20 \ln (x)]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 20 \ln (x)]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $12$ mit $1$ .

$12 + \frac{d}{d x} [- 20 \ln (x)]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 20 \ln (x)]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 20$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 20 \ln (x)$ nach $x$ gleich $- 20 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$12 - 20 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 1.3.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$12 - 20 \frac{1}{x}$

Schritt 1.3.3

Kombiniere $- 20$ und $\frac{1}{x}$ .

$12 + \frac{- 20}{x}$

Schritt 1.3.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$12 - \frac{20}{x}$

Schritt 1.4

Stelle die Terme um.

$- \frac{20}{x} + 12$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- \frac{20}{x} + 12$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- \frac{20}{x}] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{20}{x}) + \frac{d}{d x} (12)$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{20}{x}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 20$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{20}{x}$ nach $x$ gleich $- 20 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f'' (x) = - 20 \frac{d}{d x} \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} (12)$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$f'' (x) = - 20 \frac{d}{d x} x^{- 1} + \frac{d}{d x} (12)$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f'' (x) = - 20 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} (12)$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 20$ .

$f'' (x) = 20 x^{- 2} + \frac{d}{d x} (12)$

Schritt 2.3

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 20 x^{- 2} + 0$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 20 (\frac{1}{x^{2}}) + 0$

Schritt 2.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.4.2.1

Kombiniere $20$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{20}{x^{2}} + 0$

Schritt 2.4.2.2

Addiere $\frac{20}{x^{2}}$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{20}{x^{2}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- \frac{20}{x} + 12 = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $12 x - 20 \ln (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 20 \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 20 \ln (x)]$

Schritt 4.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

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Schritt 4.1.2.1

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12 x$ nach $x$ gleich $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 20 \ln (x)]$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 20 \ln (x)]$

Schritt 4.1.2.3

Mutltipliziere $12$ mit $1$ .

$12 + \frac{d}{d x} [- 20 \ln (x)]$

Schritt 4.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 20 \ln (x)]$ .

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Schritt 4.1.3.1

Da $- 20$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 20 \ln (x)$ nach $x$ gleich $- 20 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$12 - 20 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 4.1.3.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$12 - 20 \frac{1}{x}$

Schritt 4.1.3.3

Kombiniere $- 20$ und $\frac{1}{x}$ .

$12 + \frac{- 20}{x}$

Schritt 4.1.3.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$12 - \frac{20}{x}$

Schritt 4.1.4

Stelle die Terme um.

$f' (x) = - \frac{20}{x} + 12$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{20}{x} + 12$ .

$- \frac{20}{x} + 12$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{20}{x} + 12 = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{20}{x} + 12 = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $12$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{20}{x} = - 12$

Schritt 5.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 5.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x, 1$

Schritt 5.3.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x$

Schritt 5.4

Multipliziere jeden Term in $- \frac{20}{x} = - 12$ mit $x$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 5.4.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{20}{x} = - 12$ mit $x$ .

$- \frac{20}{x} x = - 12 x$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{20}{x}$ in den Zähler.

$\frac{- 20}{x} x = - 12 x$

Schritt 5.4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 20}{x} x = - 12 x$

Schritt 5.4.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 20 = - 12 x$

Schritt 5.5

Löse die Gleichung.

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Schritt 5.5.1

Schreibe die Gleichung als $- 12 x = - 20$ um.

$- 12 x = - 20$

Schritt 5.5.2

Teile jeden Ausdruck in $- 12 x = - 20$ durch $- 12$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 12 x = - 20$ durch $- 12$ .

$\frac{- 12 x}{- 12} = \frac{- 20}{- 12}$

Schritt 5.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 12$ .

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Schritt 5.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 12 x}{- 12} = \frac{- 20}{- 12}$

Schritt 5.5.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 20}{- 12}$

Schritt 5.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 20$ und $- 12$ .

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Schritt 5.5.2.3.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus $- 20$ heraus.

$x = \frac{- 4 (5)}{- 12}$

Schritt 5.5.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.5.2.3.1.2.1

Faktorisiere $- 4$ aus $- 12$ heraus.

$x = \frac{- 4 \cdot 5}{- 4 \cdot 3}$

Schritt 5.5.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{- 4 \cdot 5}{- 4 \cdot 3}$

Schritt 5.5.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{5}{3}$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Setze den Nenner in $\frac{20}{x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = 0$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = \frac{5}{3}$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{5}{3}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{20}{{(\frac{5}{3})}^{2}}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{3}$ an.

$\frac{20}{\frac{5^{2}}{3^{2}}}$

Schritt 9.1.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\frac{20}{\frac{25}{3^{2}}}$

Schritt 9.1.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{20}{\frac{25}{9}}$

Schritt 9.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$20 (\frac{9}{25})$

Schritt 9.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 9.3.1

Faktorisiere $5$ aus $20$ heraus.

$5 (4) \frac{9}{25}$

Schritt 9.3.2

Faktorisiere $5$ aus $25$ heraus.

$5 \cdot 4 \frac{9}{5 \cdot 5}$

Schritt 9.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 \cdot 4 \frac{9}{5 \cdot 5}$

Schritt 9.3.4

Forme den Ausdruck um.

$4 (\frac{9}{5})$

Schritt 9.4

Kombiniere $4$ und $\frac{9}{5}$ .

$\frac{4 \cdot 9}{5}$

Schritt 9.5

Mutltipliziere $4$ mit $9$ .

$\frac{36}{5}$

Schritt 10

$x = \frac{5}{3}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{5}{3}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{5}{3}$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{5}{3}$ .

$f (\frac{5}{3}) = 12 (\frac{5}{3}) - 20 \ln (\frac{5}{3})$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 11.2.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$f (\frac{5}{3}) = 3 (4) (\frac{5}{3}) - 20 \ln (\frac{5}{3})$

Schritt 11.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{5}{3}) = 3 \cdot (4 (\frac{5}{3})) - 20 \ln (\frac{5}{3})$

Schritt 11.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{5}{3}) = 4 \cdot 5 - 20 \ln (\frac{5}{3})$

Schritt 11.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$f (\frac{5}{3}) = 20 - 20 \ln (\frac{5}{3})$

Schritt 11.2.1.3

Vereinfache $- 20 \ln (\frac{5}{3})$ , indem du $20$ in den Logarithmus ziehst.

$f (\frac{5}{3}) = 20 - \ln ({(\frac{5}{3})}^{20})$

Schritt 11.2.1.4

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{3}$ an.

$f (\frac{5}{3}) = 20 - \ln (\frac{5^{20}}{3^{20}})$

Schritt 11.2.1.5

Potenziere $5$ mit $20$ .

$f (\frac{5}{3}) = 20 - \ln (\frac{95367431640625}{3^{20}})$

Schritt 11.2.1.6

Potenziere $3$ mit $20$ .

$f (\frac{5}{3}) = 20 - \ln (\frac{95367431640625}{3486784401})$

Schritt 11.2.2

Die endgültige Lösung ist $20 - \ln (\frac{95367431640625}{3486784401})$ .

$y = 20 - \ln (\frac{95367431640625}{3486784401})$

Schritt 12

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = 12 x - 20 \ln (x)$ .

$(\frac{5}{3}, 20 - \ln (\frac{95367431640625}{3486784401}))$ ist ein lokales Minimum

Schritt 13