Analysis Beispiele

$f (x) = 188 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 1}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Da $188$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $188 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 1}$ nach $x$ gleich $188 \frac{d}{d x} [{(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 1}]$ .

$188 \frac{d}{d x} [{(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 1}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = \frac{200}{x} + \frac{x}{15}$ .

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Schritt 1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{200}{x} + \frac{x}{15}$ .

$188 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [\frac{200}{x} + \frac{x}{15}])$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$188 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [\frac{200}{x} + \frac{x}{15}])$

Schritt 1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{200}{x} + \frac{x}{15}$ .

$188 (- {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} \frac{d}{d x} [\frac{200}{x} + \frac{x}{15}])$

Schritt 1.3

Differenziere.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $188$ .

$- 188 ({(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} \frac{d}{d x} [\frac{200}{x} + \frac{x}{15}])$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{200}{x} + \frac{x}{15}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{200}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{15}]$ .

$- 188 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [\frac{200}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{15}])$

Schritt 1.3.3

Da $200$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{200}{x}$ nach $x$ gleich $200 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$- 188 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} (200 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{15}])$

Schritt 1.3.4

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$- 188 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} (200 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{15}])$

Schritt 1.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- 188 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} (200 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [\frac{x}{15}])$

Schritt 1.3.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $200$ .

$- 188 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} (- 200 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{15}])$

Schritt 1.3.7

Da $\frac{1}{15}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{15}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{15} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 188 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 188 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15} \cdot 1)$

Schritt 1.3.9

Mutltipliziere $\frac{1}{15}$ mit $1$ .

$- 188 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Da $- 188$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 188 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})$ nach $x$ gleich $- 188 \frac{d}{d x} [{(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})]$ .

$f'' (x) = - 188 \frac{d}{d x} ({(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}))$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2}$ und $g (x) = - 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}$ .

$f'' (x) = - 188 ({(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} \frac{d}{d x} (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}) + (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}) \frac{d}{d x} ({(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2}))$

Schritt 2.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 200 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{15}]$ .

$f'' (x) = - 188 ({(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} (\frac{d}{d x} (- 200 x^{- 2}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{15})) + (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}) \frac{d}{d x} ({(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2}))$

Schritt 2.3.2

Da $- 200$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 200 x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- 200 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ .

$f'' (x) = - 188 ({(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} (- 200 \frac{d}{d x} x^{- 2} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{15})) + (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}) \frac{d}{d x} ({(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2}))$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 2$ .

$f'' (x) = - 188 ({(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} (- 200 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{15})) + (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}) \frac{d}{d x} ({(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2}))$

Schritt 2.3.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 200$ .

$f'' (x) = - 188 ({(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} (400 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{15})) + (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}) \frac{d}{d x} ({(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2}))$

Schritt 2.3.5

Da $\frac{1}{15}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{15}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - 188 ({(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} (400 x^{- 3} + 0) + (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}) \frac{d}{d x} ({(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2}))$

Schritt 2.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.6.1

Addiere $400 x^{- 3}$ und $0$ .

$f'' (x) = - 188 ({(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} (400 x^{- 3}) + (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}) \frac{d}{d x} ({(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2}))$

Schritt 2.3.6.2

Bringe $400$ auf die linke Seite von ${(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2}$ .

$f'' (x) = - 188 (400 \cdot ({(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} x^{- 3}) + (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}) \frac{d}{d x} ({(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2}))$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 2}$ und $g (x) = \frac{200}{x} + \frac{x}{15}$ .

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Schritt 2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{200}{x} + \frac{x}{15}$ .

$f'' (x) = - 188 (400 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} x^{- 3} + (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}) (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (\frac{200}{x} + \frac{x}{15})))$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 2$ .

$f'' (x) = - 188 (400 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} x^{- 3} + (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}) (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (\frac{200}{x} + \frac{x}{15})))$

Schritt 2.4.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{200}{x} + \frac{x}{15}$ .

$f'' (x) = - 188 (400 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} x^{- 3} + (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}) (- 2 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3} \frac{d}{d x} (\frac{200}{x} + \frac{x}{15})))$

Schritt 2.5

Differenziere.

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Schritt 2.5.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{200}{x} + \frac{x}{15}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{200}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{15}]$ .

$f'' (x) = - 188 (400 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} x^{- 3} + (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}) (- 2 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3} (\frac{d}{d x} (\frac{200}{x}) + \frac{d}{d x} (\frac{x}{15}))))$

Schritt 2.5.2

Da $200$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{200}{x}$ nach $x$ gleich $200 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f'' (x) = - 188 (400 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} x^{- 3} + (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}) (- 2 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3} (200 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (\frac{x}{15}))))$

Schritt 2.5.3

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$f'' (x) = - 188 (400 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} x^{- 3} + (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}) (- 2 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3} (200 \frac{d}{d x} (x^{- 1}) + \frac{d}{d x} (\frac{x}{15}))))$

Schritt 2.5.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f'' (x) = - 188 (400 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} x^{- 3} + (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}) (- 2 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3} (200 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} (\frac{x}{15}))))$

Schritt 2.5.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $200$ .

$f'' (x) = - 188 (400 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} x^{- 3} + (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}) (- 2 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3} (- 200 x^{- 2} + \frac{d}{d x} (\frac{x}{15}))))$

Schritt 2.5.6

Da $\frac{1}{15}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{15}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{15} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 188 (400 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} x^{- 3} + (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}) (- 2 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3} (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15} \cdot \frac{d}{d x} (x))))$

Schritt 2.5.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - 188 (400 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} x^{- 3} + (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}) (- 2 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3} (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15} \cdot 1)))$

Schritt 2.5.8

Mutltipliziere $\frac{1}{15}$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 188 (400 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} x^{- 3} + (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}) (- 2 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3} (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})))$

Schritt 2.6

Potenziere $- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 188 (400 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} x^{- 3} - 2 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3} ((- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}) (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})))$

Schritt 2.7

Potenziere $- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 188 (400 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} x^{- 3} - 2 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3} ((- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}) (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})))$

Schritt 2.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - 188 (400 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} x^{- 3} - 2 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3} {(- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})}^{1 + 1})$

Schritt 2.9

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = - 188 (400 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} x^{- 3} - 2 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3} {(- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})}^{2})$

Schritt 2.10

Vereinfache.

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Schritt 2.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - 188 (400 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} x^{- 3}) - 188 (- 2 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3} {(- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})}^{2})$

Schritt 2.10.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.10.2.1

Mutltipliziere $400$ mit $- 188$ .

$f'' (x) = - 75200 ({(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} x^{- 3}) - 188 (- 2 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3} {(- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})}^{2})$

Schritt 2.10.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 188$ .

$f'' (x) = - 75200 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} x^{- 3} + 376 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3} {(- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})}^{2}$

Schritt 2.10.3

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = - 75200 x^{- 3} {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} + 376 {(- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})}^{2} {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Schritt 2.10.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.10.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 75200 \frac{1}{x^{3}} \cdot {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} + 376 {(- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})}^{2} {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Schritt 2.10.4.2

Kombiniere $- 75200$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 75200}{x^{3}} \cdot {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} + 376 {(- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})}^{2} {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Schritt 2.10.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{75200}{x^{3}} \cdot {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} + 376 {(- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})}^{2} {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Schritt 2.10.4.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{75200}{x^{3}} \cdot \frac{1}{{(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{2}} + 376 {(- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})}^{2} {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Schritt 2.10.4.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.10.4.5.1

Um $\frac{200}{x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{15}{15}$ .

$f'' (x) = - \frac{75200}{x^{3}} \cdot \frac{1}{{(\frac{200}{x} \cdot \frac{15}{15} + \frac{x}{15})}^{2}} + 376 {(- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})}^{2} {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Schritt 2.10.4.5.2

Um $\frac{x}{15}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$f'' (x) = - \frac{75200}{x^{3}} \cdot \frac{1}{{(\frac{200}{x} \cdot \frac{15}{15} + \frac{x}{15} \cdot \frac{x}{x})}^{2}} + 376 {(- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})}^{2} {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Schritt 2.10.4.5.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $x \cdot 15$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.10.4.5.3.1

Mutltipliziere $\frac{200}{x}$ mit $\frac{15}{15}$ .

$f'' (x) = - \frac{75200}{x^{3}} \cdot \frac{1}{{(\frac{200 \cdot 15}{x \cdot 15} + \frac{x}{15} \cdot \frac{x}{x})}^{2}} + 376 {(- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})}^{2} {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Schritt 2.10.4.5.3.2

Mutltipliziere $\frac{x}{15}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$f'' (x) = - \frac{75200}{x^{3}} \cdot \frac{1}{{(\frac{200 \cdot 15}{x \cdot 15} + \frac{x \cdot x}{15 x})}^{2}} + 376 {(- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})}^{2} {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Schritt 2.10.4.5.3.3

Stelle die Faktoren von $x \cdot 15$ um.

$f'' (x) = - \frac{75200}{x^{3}} \cdot \frac{1}{{(\frac{200 \cdot 15}{15 x} + \frac{x \cdot x}{15 x})}^{2}} + 376 {(- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})}^{2} {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Schritt 2.10.4.5.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = - \frac{75200}{x^{3}} \cdot \frac{1}{{(\frac{200 \cdot 15 + x \cdot x}{15 x})}^{2}} + 376 {(- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})}^{2} {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Schritt 2.10.4.5.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.10.4.5.5.1

Mutltipliziere $200$ mit $15$ .

$f'' (x) = - \frac{75200}{x^{3}} \cdot \frac{1}{{(\frac{3000 + x \cdot x}{15 x})}^{2}} + 376 {(- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})}^{2} {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Schritt 2.10.4.5.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = - \frac{75200}{x^{3}} \cdot \frac{1}{{(\frac{3000 + x^{2}}{15 x})}^{2}} + 376 {(- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})}^{2} {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Schritt 2.10.4.5.6

Wende die Produktregel auf $\frac{3000 + x^{2}}{15 x}$ an.

$f'' (x) = - \frac{75200}{x^{3}} \cdot \frac{1}{\frac{{(3000 + x^{2})}^{2}}{{(15 x)}^{2}}} + 376 {(- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})}^{2} {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Schritt 2.10.4.5.7

Wende die Produktregel auf $15 x$ an.

$f'' (x) = - \frac{75200}{x^{3}} \cdot \frac{1}{\frac{{(3000 + x^{2})}^{2}}{15^{2} x^{2}}} + 376 {(- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})}^{2} {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Schritt 2.10.4.5.8

Potenziere $15$ mit $2$ .

$f'' (x) = - \frac{75200}{x^{3}} \cdot \frac{1}{\frac{{(3000 + x^{2})}^{2}}{225 x^{2}}} + 376 {(- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})}^{2} {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Schritt 2.10.4.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f'' (x) = - \frac{75200}{x^{3}} \cdot (1 (\frac{225 x^{2}}{{(3000 + x^{2})}^{2}})) + 376 {(- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})}^{2} {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Schritt 2.10.4.7

Mutltipliziere $\frac{225 x^{2}}{{(3000 + x^{2})}^{2}}$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{75200}{x^{3}} \cdot \frac{225 x^{2}}{{(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 {(- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})}^{2} {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Schritt 2.10.4.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.10.4.8.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{75200}{x^{3}}$ in den Zähler.

$f'' (x) = \frac{- 75200}{x^{3}} \cdot \frac{225 x^{2}}{{(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 {(- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})}^{2} {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Schritt 2.10.4.8.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{- 75200}{x^{2} x} \cdot \frac{225 x^{2}}{{(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 {(- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})}^{2} {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Schritt 2.10.4.8.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $225 x^{2}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{- 75200}{x^{2} x} \cdot \frac{x^{2} \cdot 225}{{(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 {(- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})}^{2} {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Schritt 2.10.4.8.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{- 75200}{x^{2} x} \cdot \frac{x^{2} \cdot 225}{{(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 {(- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})}^{2} {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Schritt 2.10.4.8.5

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{- 75200}{x} \cdot \frac{225}{{(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 {(- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})}^{2} {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Schritt 2.10.4.9

Mutltipliziere $\frac{- 75200}{x}$ mit $\frac{225}{{(3000 + x^{2})}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 75200 \cdot 225}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 {(- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})}^{2} {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Schritt 2.10.4.10

Mutltipliziere $- 75200$ mit $225$ .

$f'' (x) = \frac{- 16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 {(- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})}^{2} {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Schritt 2.10.4.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 {(- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})}^{2} {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Schritt 2.10.4.12

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.10.4.12.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 {(- 200 \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{15})}^{2} {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Schritt 2.10.4.12.2

Kombiniere $- 200$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 {(\frac{- 200}{x^{2}} + \frac{1}{15})}^{2} {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Schritt 2.10.4.12.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 {(- \frac{200}{x^{2}} + \frac{1}{15})}^{2} {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Schritt 2.10.4.13

Schreibe ${(- \frac{200}{x^{2}} + \frac{1}{15})}^{2}$ als $(- \frac{200}{x^{2}} + \frac{1}{15}) (- \frac{200}{x^{2}} + \frac{1}{15})$ um.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 ((- \frac{200}{x^{2}} + \frac{1}{15}) (- \frac{200}{x^{2}} + \frac{1}{15})) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Schritt 2.10.4.14

Multipliziere $(- \frac{200}{x^{2}} + \frac{1}{15}) (- \frac{200}{x^{2}} + \frac{1}{15})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.10.4.14.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 (- \frac{200}{x^{2}} \cdot (- \frac{200}{x^{2}} + \frac{1}{15}) + \frac{1}{15} \cdot (- \frac{200}{x^{2}} + \frac{1}{15})) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Schritt 2.10.4.14.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 (- \frac{200}{x^{2}} \cdot (- \frac{200}{x^{2}}) - \frac{200}{x^{2}} \cdot \frac{1}{15} + \frac{1}{15} \cdot (- \frac{200}{x^{2}} + \frac{1}{15})) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Schritt 2.10.4.14.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 (- \frac{200}{x^{2}} \cdot (- \frac{200}{x^{2}}) - \frac{200}{x^{2}} \cdot \frac{1}{15} + \frac{1}{15} \cdot (- \frac{200}{x^{2}}) + \frac{1}{15} \cdot \frac{1}{15}) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Schritt 2.10.4.15

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.10.4.15.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.10.4.15.1.1

Multipliziere $- \frac{200}{x^{2}} (- \frac{200}{x^{2}})$ .

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Schritt 2.10.4.15.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 (1 (\frac{200}{x^{2}}) \cdot \frac{200}{x^{2}} - \frac{200}{x^{2}} \cdot \frac{1}{15} + \frac{1}{15} \cdot (- \frac{200}{x^{2}}) + \frac{1}{15} \cdot \frac{1}{15}) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Schritt 2.10.4.15.1.1.2

Mutltipliziere $\frac{200}{x^{2}}$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 (\frac{200}{x^{2}} \cdot \frac{200}{x^{2}} - \frac{200}{x^{2}} \cdot \frac{1}{15} + \frac{1}{15} \cdot (- \frac{200}{x^{2}}) + \frac{1}{15} \cdot \frac{1}{15}) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Schritt 2.10.4.15.1.1.3

Mutltipliziere $\frac{200}{x^{2}}$ mit $\frac{200}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 (\frac{200 \cdot 200}{x^{2} x^{2}} - \frac{200}{x^{2}} \cdot \frac{1}{15} + \frac{1}{15} \cdot (- \frac{200}{x^{2}}) + \frac{1}{15} \cdot \frac{1}{15}) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Schritt 2.10.4.15.1.1.4

Mutltipliziere $200$ mit $200$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 (\frac{40000}{x^{2} x^{2}} - \frac{200}{x^{2}} \cdot \frac{1}{15} + \frac{1}{15} \cdot (- \frac{200}{x^{2}}) + \frac{1}{15} \cdot \frac{1}{15}) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Schritt 2.10.4.15.1.1.5

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.10.4.15.1.1.5.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 (\frac{40000}{x^{2 + 2}} - \frac{200}{x^{2}} \cdot \frac{1}{15} + \frac{1}{15} \cdot (- \frac{200}{x^{2}}) + \frac{1}{15} \cdot \frac{1}{15}) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Schritt 2.10.4.15.1.1.5.2

Addiere $2$ und $2$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 (\frac{40000}{x^{4}} - \frac{200}{x^{2}} \cdot \frac{1}{15} + \frac{1}{15} \cdot (- \frac{200}{x^{2}}) + \frac{1}{15} \cdot \frac{1}{15}) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Schritt 2.10.4.15.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 2.10.4.15.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{200}{x^{2}}$ in den Zähler.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 (\frac{40000}{x^{4}} + \frac{- 200}{x^{2}} \cdot \frac{1}{15} + \frac{1}{15} \cdot (- \frac{200}{x^{2}}) + \frac{1}{15} \cdot \frac{1}{15}) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Schritt 2.10.4.15.1.2.2

Faktorisiere $5$ aus $- 200$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 (\frac{40000}{x^{4}} + \frac{5 (- 40)}{x^{2}} \cdot \frac{1}{15} + \frac{1}{15} \cdot (- \frac{200}{x^{2}}) + \frac{1}{15} \cdot \frac{1}{15}) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Schritt 2.10.4.15.1.2.3

Faktorisiere $5$ aus $15$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 (\frac{40000}{x^{4}} + \frac{5 \cdot - 40}{x^{2}} \cdot \frac{1}{5 \cdot 3} + \frac{1}{15} \cdot (- \frac{200}{x^{2}}) + \frac{1}{15} \cdot \frac{1}{15}) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Schritt 2.10.4.15.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 2.10.4.15.1.2.5

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 (\frac{40000}{x^{4}} + \frac{- 40}{x^{2}} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{15} \cdot (- \frac{200}{x^{2}}) + \frac{1}{15} \cdot \frac{1}{15}) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Schritt 2.10.4.15.1.3

Mutltipliziere $\frac{- 40}{x^{2}}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 (\frac{40000}{x^{4}} + \frac{- 40}{x^{2} \cdot 3} + \frac{1}{15} \cdot (- \frac{200}{x^{2}}) + \frac{1}{15} \cdot \frac{1}{15}) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Schritt 2.10.4.15.1.4

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 (\frac{40000}{x^{4}} + \frac{- 40}{3 \cdot x^{2}} + \frac{1}{15} \cdot (- \frac{200}{x^{2}}) + \frac{1}{15} \cdot \frac{1}{15}) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Schritt 2.10.4.15.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 (\frac{40000}{x^{4}} - \frac{40}{3 \cdot x^{2}} + \frac{1}{15} \cdot (- \frac{200}{x^{2}}) + \frac{1}{15} \cdot \frac{1}{15}) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Schritt 2.10.4.15.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 2.10.4.15.1.6.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{200}{x^{2}}$ in den Zähler.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 (\frac{40000}{x^{4}} - \frac{40}{3 x^{2}} + \frac{1}{15} \cdot \frac{- 200}{x^{2}} + \frac{1}{15} \cdot \frac{1}{15}) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Schritt 2.10.4.15.1.6.2

Faktorisiere $5$ aus $15$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 (\frac{40000}{x^{4}} - \frac{40}{3 x^{2}} + \frac{1}{5 (3)} \cdot \frac{- 200}{x^{2}} + \frac{1}{15} \cdot \frac{1}{15}) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Schritt 2.10.4.15.1.6.3

Faktorisiere $5$ aus $- 200$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 (\frac{40000}{x^{4}} - \frac{40}{3 x^{2}} + \frac{1}{5 \cdot 3} \cdot \frac{5 \cdot - 40}{x^{2}} + \frac{1}{15} \cdot \frac{1}{15}) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Schritt 2.10.4.15.1.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 2.10.4.15.1.6.5

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 (\frac{40000}{x^{4}} - \frac{40}{3 x^{2}} + \frac{1}{3} \cdot \frac{- 40}{x^{2}} + \frac{1}{15} \cdot \frac{1}{15}) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Schritt 2.10.4.15.1.7

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{- 40}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 (\frac{40000}{x^{4}} - \frac{40}{3 x^{2}} + \frac{- 40}{3 x^{2}} + \frac{1}{15} \cdot \frac{1}{15}) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Schritt 2.10.4.15.1.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 (\frac{40000}{x^{4}} - \frac{40}{3 x^{2}} - \frac{40}{3 x^{2}} + \frac{1}{15} \cdot \frac{1}{15}) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Schritt 2.10.4.15.1.9

Multipliziere $\frac{1}{15} \cdot \frac{1}{15}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.10.4.15.1.9.1

Mutltipliziere $\frac{1}{15}$ mit $\frac{1}{15}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 (\frac{40000}{x^{4}} - \frac{40}{3 x^{2}} - \frac{40}{3 x^{2}} + \frac{1}{15 \cdot 15}) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Schritt 2.10.4.15.1.9.2

Mutltipliziere $15$ mit $15$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 (\frac{40000}{x^{4}} - \frac{40}{3 x^{2}} - \frac{40}{3 x^{2}} + \frac{1}{225}) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Schritt 2.10.4.15.2

Subtrahiere $\frac{40}{3 x^{2}}$ von $- \frac{40}{3 x^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 (\frac{40000}{x^{4}} - 2 \frac{40}{3 x^{2}} + \frac{1}{225}) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Schritt 2.10.4.16

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.10.4.16.1

Multipliziere $- 2 \frac{40}{3 x^{2}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.10.4.16.1.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{40}{3 x^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 (\frac{40000}{x^{4}} + \frac{- 2 \cdot 40}{3 x^{2}} + \frac{1}{225}) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Schritt 2.10.4.16.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $40$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 (\frac{40000}{x^{4}} + \frac{- 80}{3 x^{2}} + \frac{1}{225}) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Schritt 2.10.4.16.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 (\frac{40000}{x^{4}} - \frac{80}{3 x^{2}} + \frac{1}{225}) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Schritt 2.10.4.17

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + (376 (\frac{40000}{x^{4}}) + 376 (- \frac{80}{3 x^{2}}) + 376 (\frac{1}{225})) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Schritt 2.10.4.18

Vereinfache.

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Schritt 2.10.4.18.1

Multipliziere $376 \frac{40000}{x^{4}}$ .

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Schritt 2.10.4.18.1.1

Kombiniere $376$ und $\frac{40000}{x^{4}}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + (\frac{376 \cdot 40000}{x^{4}} + 376 (- \frac{80}{3 x^{2}}) + 376 (\frac{1}{225})) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Schritt 2.10.4.18.1.2

Mutltipliziere $376$ mit $40000$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + (\frac{15040000}{x^{4}} + 376 (- \frac{80}{3 x^{2}}) + 376 (\frac{1}{225})) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Schritt 2.10.4.18.2

Multipliziere $376 (- \frac{80}{3 x^{2}})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.10.4.18.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $376$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + (\frac{15040000}{x^{4}} - 376 \frac{80}{3 x^{2}} + 376 (\frac{1}{225})) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Schritt 2.10.4.18.2.2

Kombiniere $- 376$ und $\frac{80}{3 x^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + (\frac{15040000}{x^{4}} + \frac{- 376 \cdot 80}{3 x^{2}} + 376 (\frac{1}{225})) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Schritt 2.10.4.18.2.3

Mutltipliziere $- 376$ mit $80$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + (\frac{15040000}{x^{4}} + \frac{- 30080}{3 x^{2}} + 376 (\frac{1}{225})) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Schritt 2.10.4.18.3

Kombiniere $376$ und $\frac{1}{225}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + (\frac{15040000}{x^{4}} + \frac{- 30080}{3 x^{2}} + \frac{376}{225}) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Schritt 2.10.4.19

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + (\frac{15040000}{x^{4}} - \frac{30080}{3 x^{2}} + \frac{376}{225}) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Schritt 2.10.4.20

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + (\frac{15040000}{x^{4}} - \frac{30080}{3 x^{2}} + \frac{376}{225}) (\frac{1}{{(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{3}})$

Schritt 2.10.4.21

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.10.4.21.1

Um $\frac{200}{x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{15}{15}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + (\frac{15040000}{x^{4}} - \frac{30080}{3 x^{2}} + \frac{376}{225}) (\frac{1}{{(\frac{200}{x} \cdot \frac{15}{15} + \frac{x}{15})}^{3}})$

Schritt 2.10.4.21.2

Um $\frac{x}{15}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + (\frac{15040000}{x^{4}} - \frac{30080}{3 x^{2}} + \frac{376}{225}) (\frac{1}{{(\frac{200}{x} \cdot \frac{15}{15} + \frac{x}{15} \cdot \frac{x}{x})}^{3}})$

Schritt 2.10.4.21.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $x \cdot 15$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.10.4.21.3.1

Mutltipliziere $\frac{200}{x}$ mit $\frac{15}{15}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + (\frac{15040000}{x^{4}} - \frac{30080}{3 x^{2}} + \frac{376}{225}) (\frac{1}{{(\frac{200 \cdot 15}{x \cdot 15} + \frac{x}{15} \cdot \frac{x}{x})}^{3}})$

Schritt 2.10.4.21.3.2

Mutltipliziere $\frac{x}{15}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + (\frac{15040000}{x^{4}} - \frac{30080}{3 x^{2}} + \frac{376}{225}) (\frac{1}{{(\frac{200 \cdot 15}{x \cdot 15} + \frac{x \cdot x}{15 x})}^{3}})$

Schritt 2.10.4.21.3.3

Stelle die Faktoren von $x \cdot 15$ um.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + (\frac{15040000}{x^{4}} - \frac{30080}{3 x^{2}} + \frac{376}{225}) (\frac{1}{{(\frac{200 \cdot 15}{15 x} + \frac{x \cdot x}{15 x})}^{3}})$

Schritt 2.10.4.21.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + (\frac{15040000}{x^{4}} - \frac{30080}{3 x^{2}} + \frac{376}{225}) (\frac{1}{{(\frac{200 \cdot 15 + x \cdot x}{15 x})}^{3}})$

Schritt 2.10.4.21.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.10.4.21.5.1

Mutltipliziere $200$ mit $15$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + (\frac{15040000}{x^{4}} - \frac{30080}{3 x^{2}} + \frac{376}{225}) (\frac{1}{{(\frac{3000 + x \cdot x}{15 x})}^{3}})$

Schritt 2.10.4.21.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + (\frac{15040000}{x^{4}} - \frac{30080}{3 x^{2}} + \frac{376}{225}) (\frac{1}{{(\frac{3000 + x^{2}}{15 x})}^{3}})$

Schritt 2.10.4.21.6

Wende die Produktregel auf $\frac{3000 + x^{2}}{15 x}$ an.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + (\frac{15040000}{x^{4}} - \frac{30080}{3 x^{2}} + \frac{376}{225}) (\frac{1}{\frac{{(3000 + x^{2})}^{3}}{{(15 x)}^{3}}})$

Schritt 2.10.4.21.7

Wende die Produktregel auf $15 x$ an.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + (\frac{15040000}{x^{4}} - \frac{30080}{3 x^{2}} + \frac{376}{225}) (\frac{1}{\frac{{(3000 + x^{2})}^{3}}{15^{3} x^{3}}})$

Schritt 2.10.4.21.8

Potenziere $15$ mit $3$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + (\frac{15040000}{x^{4}} - \frac{30080}{3 x^{2}} + \frac{376}{225}) (\frac{1}{\frac{{(3000 + x^{2})}^{3}}{3375 x^{3}}})$

Schritt 2.10.4.22

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + (\frac{15040000}{x^{4}} - \frac{30080}{3 x^{2}} + \frac{376}{225}) (1 (\frac{3375 x^{3}}{{(3000 + x^{2})}^{3}}))$

Schritt 2.10.4.23

Mutltipliziere $\frac{3375 x^{3}}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + (\frac{15040000}{x^{4}} - \frac{30080}{3 x^{2}} + \frac{376}{225}) (\frac{3375 x^{3}}{{(3000 + x^{2})}^{3}})$

Schritt 2.10.4.24

Mutltipliziere $\frac{15040000}{x^{4}} - \frac{30080}{3 x^{2}} + \frac{376}{225}$ mit $\frac{3375 x^{3}}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{(\frac{15040000}{x^{4}} - \frac{30080}{3 x^{2}} + \frac{376}{225}) (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 2.10.4.25

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.10.4.25.1

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{(- \frac{30080}{3 x^{2}} + \frac{15040000}{x^{4}} + \frac{376}{225}) \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 2.10.4.25.2

Um $- \frac{30080}{3 x^{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{(- \frac{30080}{3 x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{15040000}{x^{4}} + \frac{376}{225}) \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 2.10.4.25.3

Um $\frac{15040000}{x^{4}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{(- \frac{30080}{3 x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{15040000}{x^{4}} \cdot \frac{3}{3} + \frac{376}{225}) \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 2.10.4.25.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $3 x^{4}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.10.4.25.4.1

Mutltipliziere $\frac{30080}{3 x^{2}}$ mit $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{(- \frac{30080 x^{2}}{3 x^{2} x^{2}} + \frac{15040000}{x^{4}} \cdot \frac{3}{3} + \frac{376}{225}) \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 2.10.4.25.4.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.10.4.25.4.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{(- \frac{30080 x^{2}}{3 (x^{2} x^{2})} + \frac{15040000}{x^{4}} \cdot \frac{3}{3} + \frac{376}{225}) \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 2.10.4.25.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{(- \frac{30080 x^{2}}{3 x^{2 + 2}} + \frac{15040000}{x^{4}} \cdot \frac{3}{3} + \frac{376}{225}) \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 2.10.4.25.4.2.3

Addiere $2$ und $2$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{(- \frac{30080 x^{2}}{3 x^{4}} + \frac{15040000}{x^{4}} \cdot \frac{3}{3} + \frac{376}{225}) \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 2.10.4.25.4.3

Mutltipliziere $\frac{15040000}{x^{4}}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{(- \frac{30080 x^{2}}{3 x^{4}} + \frac{15040000 \cdot 3}{x^{4} \cdot 3} + \frac{376}{225}) \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 2.10.4.25.4.4

Stelle die Faktoren von $x^{4} \cdot 3$ um.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{(- \frac{30080 x^{2}}{3 x^{4}} + \frac{15040000 \cdot 3}{3 x^{4}} + \frac{376}{225}) \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 2.10.4.25.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{(\frac{- 30080 x^{2} + 15040000 \cdot 3}{3 x^{4}} + \frac{376}{225}) \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 2.10.4.25.6

Mutltipliziere $15040000$ mit $3$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{(\frac{- 30080 x^{2} + 45120000}{3 x^{4}} + \frac{376}{225}) \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 2.10.4.25.7

Faktorisiere $30080$ aus $- 30080 x^{2} + 45120000$ heraus.

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Schritt 2.10.4.25.7.1

Faktorisiere $30080$ aus $- 30080 x^{2}$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{(\frac{30080 (- x^{2}) + 45120000}{3 x^{4}} + \frac{376}{225}) \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 2.10.4.25.7.2

Faktorisiere $30080$ aus $45120000$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{(\frac{30080 (- x^{2}) + 30080 (1500)}{3 x^{4}} + \frac{376}{225}) \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 2.10.4.25.7.3

Faktorisiere $30080$ aus $30080 (- x^{2}) + 30080 (1500)$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{(\frac{30080 (- x^{2} + 1500)}{3 x^{4}} + \frac{376}{225}) \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 2.10.4.25.8

Um $\frac{30080 (- x^{2} + 1500)}{3 x^{4}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{75}{75}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{(\frac{30080 (- x^{2} + 1500)}{3 x^{4}} \cdot \frac{75}{75} + \frac{376}{225}) \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 2.10.4.25.9

Um $\frac{376}{225}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{4}}{x^{4}}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{(\frac{30080 (- x^{2} + 1500)}{3 x^{4}} \cdot \frac{75}{75} + \frac{376}{225} \cdot \frac{x^{4}}{x^{4}}) \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 2.10.4.25.10

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $225 x^{4}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.10.4.25.10.1

Mutltipliziere $\frac{30080 (- x^{2} + 1500)}{3 x^{4}}$ mit $\frac{75}{75}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{(\frac{30080 (- x^{2} + 1500) \cdot 75}{3 x^{4} \cdot 75} + \frac{376}{225} \cdot \frac{x^{4}}{x^{4}}) \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 2.10.4.25.10.2

Mutltipliziere $75$ mit $3$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{(\frac{30080 (- x^{2} + 1500) \cdot 75}{225 x^{4}} + \frac{376}{225} \cdot \frac{x^{4}}{x^{4}}) \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 2.10.4.25.10.3

Mutltipliziere $\frac{376}{225}$ mit $\frac{x^{4}}{x^{4}}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{(\frac{30080 (- x^{2} + 1500) \cdot 75}{225 x^{4}} + \frac{376 x^{4}}{225 x^{4}}) \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 2.10.4.25.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{\frac{30080 (- x^{2} + 1500) \cdot 75 + 376 x^{4}}{225 x^{4}} \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 2.10.4.25.12

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.10.4.25.12.1

Faktorisiere $376$ aus $30080 (- x^{2} + 1500) \cdot 75 + 376 x^{4}$ heraus.

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Schritt 2.10.4.25.12.1.1

Faktorisiere $376$ aus $30080 (- x^{2} + 1500) \cdot 75$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{\frac{376 (80 (- x^{2} + 1500) \cdot 75) + 376 x^{4}}{225 x^{4}} \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 2.10.4.25.12.1.2

Faktorisiere $376$ aus $376 x^{4}$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{\frac{376 (80 (- x^{2} + 1500) \cdot 75) + 376 (x^{4})}{225 x^{4}} \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 2.10.4.25.12.1.3

Faktorisiere $376$ aus $376 (80 (- x^{2} + 1500) \cdot 75) + 376 (x^{4})$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{\frac{376 (80 (- x^{2} + 1500) \cdot 75 + x^{4})}{225 x^{4}} \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 2.10.4.25.12.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{\frac{376 ((80 (- x^{2}) + 80 \cdot 1500) \cdot 75 + x^{4})}{225 x^{4}} \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 2.10.4.25.12.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $80$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{\frac{376 ((- 80 x^{2} + 80 \cdot 1500) \cdot 75 + x^{4})}{225 x^{4}} \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 2.10.4.25.12.4

Mutltipliziere $80$ mit $1500$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{\frac{376 ((- 80 x^{2} + 120000) \cdot 75 + x^{4})}{225 x^{4}} \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 2.10.4.25.12.5

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{\frac{376 (- 80 x^{2} \cdot 75 + 120000 \cdot 75 + x^{4})}{225 x^{4}} \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 2.10.4.25.12.6

Mutltipliziere $75$ mit $- 80$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{\frac{376 (- 6000 x^{2} + 120000 \cdot 75 + x^{4})}{225 x^{4}} \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 2.10.4.25.12.7

Mutltipliziere $120000$ mit $75$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{\frac{376 (- 6000 x^{2} + 9000000 + x^{4})}{225 x^{4}} \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 2.10.4.25.12.8

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{\frac{376 (x^{4} - 6000 x^{2} + 9000000)}{225 x^{4}} \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 2.10.4.25.12.9

Schreibe $x^{4} - 6000 x^{2} + 9000000$ in eine faktorisierte Form um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.10.4.25.12.9.1

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{\frac{376 ({(x^{2})}^{2} - 6000 x^{2} + 9000000)}{225 x^{4}} \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 2.10.4.25.12.9.2

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{\frac{376 (u^{2} - 6000 u + 9000000)}{225 x^{4}} \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 2.10.4.25.12.9.3

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.10.4.25.12.9.3.1

Schreibe $9000000$ als $3000^{2}$ um.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{\frac{376 (u^{2} - 6000 u + 3000^{2})}{225 x^{4}} \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 2.10.4.25.12.9.3.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$6000 u = 2 \cdot u \cdot 3000$

Schritt 2.10.4.25.12.9.3.3

Schreibe das Polynom neu.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{\frac{376 (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 3000 + 3000^{2})}{225 x^{4}} \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 2.10.4.25.12.9.3.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = u$ und $b = 3000$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{\frac{376 {(u - 3000)}^{2}}{225 x^{4}} \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 2.10.4.25.12.9.4

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{\frac{376 {(x^{2} - 3000)}^{2}}{225 x^{4}} \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 2.10.4.25.13

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 2.10.4.25.13.1

Kombiniere $\frac{376 {(x^{2} - 3000)}^{2}}{225 x^{4}}$ und $3375$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{\frac{376 {(x^{2} - 3000)}^{2} \cdot 3375}{225 x^{4}} \cdot x^{3}}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 2.10.4.25.13.2

Mutltipliziere $3375$ mit $376$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{\frac{1269000 {(x^{2} - 3000)}^{2}}{225 x^{4}} \cdot x^{3}}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 2.10.4.25.13.3

Kombiniere $\frac{1269000 {(x^{2} - 3000)}^{2}}{225 x^{4}}$ und $x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{\frac{1269000 {(x^{2} - 3000)}^{2} x^{3}}{225 x^{4}}}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 2.10.4.25.14

Vereinfache den Ausdruck $\frac{1269000 {(x^{2} - 3000)}^{2} x^{3}}{225 x^{4}}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.10.4.25.14.1

Faktorisiere $225$ aus $1269000 {(x^{2} - 3000)}^{2} x^{3}$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{\frac{225 (5640 {(x^{2} - 3000)}^{2} x^{3})}{225 x^{4}}}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 2.10.4.25.14.2

Faktorisiere $225$ aus $225 x^{4}$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{\frac{225 (5640 {(x^{2} - 3000)}^{2} x^{3})}{225 (x^{4})}}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 2.10.4.25.14.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{\frac{225 (5640 {(x^{2} - 3000)}^{2} x^{3})}{225 x^{4}}}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 2.10.4.25.14.4

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{\frac{5640 {(x^{2} - 3000)}^{2} x^{3}}{x^{4}}}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 2.10.4.25.15

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{3}$ und $x^{4}$ .

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Schritt 2.10.4.25.15.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $5640 {(x^{2} - 3000)}^{2} x^{3}$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{\frac{x^{3} (5640 {(x^{2} - 3000)}^{2})}{x^{4}}}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 2.10.4.25.15.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.10.4.25.15.2.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{4}$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{\frac{x^{3} (5640 {(x^{2} - 3000)}^{2})}{x^{3} x}}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 2.10.4.25.15.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{\frac{x^{3} (5640 {(x^{2} - 3000)}^{2})}{x^{3} x}}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 2.10.4.25.15.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{\frac{5640 {(x^{2} - 3000)}^{2}}{x}}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 2.10.4.26

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{5640 {(x^{2} - 3000)}^{2}}{x} \cdot \frac{1}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 2.10.4.27

Kombinieren.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{5640 {(x^{2} - 3000)}^{2} \cdot 1}{x {(3000 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 2.10.4.28

Mutltipliziere $5640$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{5640 {(x^{2} - 3000)}^{2}}{x {(3000 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 2.10.5

Um $- \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3000 + x^{2}}{3000 + x^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} \cdot \frac{3000 + x^{2}}{3000 + x^{2}} + \frac{5640 {(x^{2} - 3000)}^{2}}{x {(3000 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 2.10.6

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $x {(3000 + x^{2})}^{3}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.10.6.1

Mutltipliziere $\frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}}$ mit $\frac{3000 + x^{2}}{3000 + x^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000 (3000 + x^{2})}{x {(3000 + x^{2})}^{2} (3000 + x^{2})} + \frac{5640 {(x^{2} - 3000)}^{2}}{x {(3000 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 2.10.6.2

Potenziere $3000 + x^{2}$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000 (3000 + x^{2})}{x ((3000 + x^{2}) {(3000 + x^{2})}^{2})} + \frac{5640 {(x^{2} - 3000)}^{2}}{x {(3000 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 2.10.6.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - \frac{16920000 (3000 + x^{2})}{x {(3000 + x^{2})}^{1 + 2}} + \frac{5640 {(x^{2} - 3000)}^{2}}{x {(3000 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 2.10.6.4

Addiere $1$ und $2$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000 (3000 + x^{2})}{x {(3000 + x^{2})}^{3}} + \frac{5640 {(x^{2} - 3000)}^{2}}{x {(3000 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 2.10.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{- 16920000 (3000 + x^{2}) + 5640 {(x^{2} - 3000)}^{2}}{x {(3000 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 2.10.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.10.8.1

Faktorisiere $5640$ aus $- 16920000 (3000 + x^{2}) + 5640 {(x^{2} - 3000)}^{2}$ heraus.

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Schritt 2.10.8.1.1

Faktorisiere $5640$ aus $- 16920000 (3000 + x^{2})$ heraus.

$f'' (x) = \frac{5640 (- 3000 (3000 + x^{2})) + 5640 {(x^{2} - 3000)}^{2}}{x {(3000 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 2.10.8.1.2

Faktorisiere $5640$ aus $5640 {(x^{2} - 3000)}^{2}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{5640 (- 3000 (3000 + x^{2})) + 5640 ({(x^{2} - 3000)}^{2})}{x {(3000 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 2.10.8.1.3

Faktorisiere $5640$ aus $5640 (- 3000 (3000 + x^{2})) + 5640 ({(x^{2} - 3000)}^{2})$ heraus.

$f'' (x) = \frac{5640 (- 3000 (3000 + x^{2}) + {(x^{2} - 3000)}^{2})}{x {(3000 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 2.10.8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{5640 (- 3000 \cdot 3000 - 3000 x^{2} + {(x^{2} - 3000)}^{2})}{x {(3000 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 2.10.8.3

Mutltipliziere $- 3000$ mit $3000$ .

$f'' (x) = \frac{5640 (- 9000000 - 3000 x^{2} + {(x^{2} - 3000)}^{2})}{x {(3000 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 2.10.8.4

Schreibe ${(x^{2} - 3000)}^{2}$ als $(x^{2} - 3000) (x^{2} - 3000)$ um.

$f'' (x) = \frac{5640 (- 9000000 - 3000 x^{2} + (x^{2} - 3000) (x^{2} - 3000))}{x {(3000 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 2.10.8.5

Multipliziere $(x^{2} - 3000) (x^{2} - 3000)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.10.8.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{5640 (- 9000000 - 3000 x^{2} + x^{2} (x^{2} - 3000) - 3000 (x^{2} - 3000))}{x {(3000 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 2.10.8.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{5640 (- 9000000 - 3000 x^{2} + x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 3000 - 3000 (x^{2} - 3000))}{x {(3000 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 2.10.8.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{5640 (- 9000000 - 3000 x^{2} + x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 3000 - 3000 x^{2} - 3000 \cdot - 3000)}{x {(3000 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 2.10.8.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.10.8.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.10.8.6.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.10.8.6.1.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{5640 (- 9000000 - 3000 x^{2} + x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 3000 - 3000 x^{2} - 3000 \cdot - 3000)}{x {(3000 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 2.10.8.6.1.1.2

Addiere $2$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{5640 (- 9000000 - 3000 x^{2} + x^{4} + x^{2} \cdot - 3000 - 3000 x^{2} - 3000 \cdot - 3000)}{x {(3000 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 2.10.8.6.1.2

Bringe $- 3000$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5640 (- 9000000 - 3000 x^{2} + x^{4} - 3000 \cdot x^{2} - 3000 x^{2} - 3000 \cdot - 3000)}{x {(3000 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 2.10.8.6.1.3

Mutltipliziere $- 3000$ mit $- 3000$ .

$f'' (x) = \frac{5640 (- 9000000 - 3000 x^{2} + x^{4} - 3000 x^{2} - 3000 x^{2} + 9000000)}{x {(3000 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 2.10.8.6.2

Subtrahiere $3000 x^{2}$ von $- 3000 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5640 (- 9000000 - 3000 x^{2} + x^{4} - 6000 x^{2} + 9000000)}{x {(3000 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 2.10.8.7

Addiere $- 9000000$ und $9000000$ .

$f'' (x) = \frac{5640 (- 3000 x^{2} + x^{4} - 6000 x^{2} + 0)}{x {(3000 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 2.10.8.8

Addiere $- 3000 x^{2} + x^{4} - 6000 x^{2}$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{5640 (- 3000 x^{2} + x^{4} - 6000 x^{2})}{x {(3000 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 2.10.8.9

Subtrahiere $6000 x^{2}$ von $- 3000 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5640 (x^{4} - 9000 x^{2})}{x {(3000 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 2.10.8.10

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{4} - 9000 x^{2}$ heraus.

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Schritt 2.10.8.10.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{4}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{5640 (x^{2} x^{2} - 9000 x^{2})}{x {(3000 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 2.10.8.10.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 9000 x^{2}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{5640 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 9000)}{x {(3000 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 2.10.8.10.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 9000$ heraus.

$f'' (x) = \frac{5640 (x^{2} (x^{2} - 9000))}{x {(3000 + x^{2})}^{3}}$

$f'' (x) = \frac{5640 x^{2} (x^{2} - 9000)}{x {(3000 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 2.10.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 2.10.9.1

Faktorisiere $x$ aus $5640 x^{2} (x^{2} - 9000)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{x (5640 x (x^{2} - 9000))}{x {(3000 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 2.10.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.10.9.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x {(3000 + x^{2})}^{3}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{x (5640 x (x^{2} - 9000))}{x ({(3000 + x^{2})}^{3})}$

Schritt 2.10.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{x (5640 x (x^{2} - 9000))}{x {(3000 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 2.10.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{5640 x (x^{2} - 9000)}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- 188 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}) = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Da $188$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $188 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 1}$ nach $x$ gleich $188 \frac{d}{d x} [{(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 1}]$ .

$188 \frac{d}{d x} [{(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 1}]$

Schritt 4.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = \frac{200}{x} + \frac{x}{15}$ .

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Schritt 4.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{200}{x} + \frac{x}{15}$ .

$188 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [\frac{200}{x} + \frac{x}{15}])$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$188 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [\frac{200}{x} + \frac{x}{15}])$

Schritt 4.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{200}{x} + \frac{x}{15}$ .

$188 (- {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} \frac{d}{d x} [\frac{200}{x} + \frac{x}{15}])$

Schritt 4.1.3

Differenziere.

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Schritt 4.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $188$ .

$- 188 ({(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} \frac{d}{d x} [\frac{200}{x} + \frac{x}{15}])$

Schritt 4.1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{200}{x} + \frac{x}{15}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{200}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{15}]$ .

$- 188 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [\frac{200}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{15}])$

Schritt 4.1.3.3

Da $200$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{200}{x}$ nach $x$ gleich $200 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$- 188 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} (200 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{15}])$

Schritt 4.1.3.4

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$- 188 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} (200 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{15}])$

Schritt 4.1.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- 188 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} (200 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [\frac{x}{15}])$

Schritt 4.1.3.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $200$ .

$- 188 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} (- 200 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{15}])$

Schritt 4.1.3.7

Da $\frac{1}{15}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{15}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{15} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 188 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.1.3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 188 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15} \cdot 1)$

Schritt 4.1.3.9

Mutltipliziere $\frac{1}{15}$ mit $1$ .

$f' (x) = - 188 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 188 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})$ .

$- 188 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 188 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}) = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- 188 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}) = 0$

Schritt 5.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

${(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} = 0$

$- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15} = 0$

Schritt 5.3

Setze ${(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.1

Setze ${(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2}$ gleich $0$ .

${(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} = 0$

Schritt 5.3.2

Löse ${(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.2.1

Vereinfache ${(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2}$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{2}} = 0$

Schritt 5.3.2.1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.2.1.2.1

Um $\frac{200}{x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{15}{15}$ .

$\frac{1}{{(\frac{200}{x} \cdot \frac{15}{15} + \frac{x}{15})}^{2}} = 0$

Schritt 5.3.2.1.2.2

Um $\frac{x}{15}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{1}{{(\frac{200}{x} \cdot \frac{15}{15} + \frac{x}{15} \cdot \frac{x}{x})}^{2}} = 0$

Schritt 5.3.2.1.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $x \cdot 15$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.3.2.1.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{200}{x}$ mit $\frac{15}{15}$ .

$\frac{1}{{(\frac{200 \cdot 15}{x \cdot 15} + \frac{x}{15} \cdot \frac{x}{x})}^{2}} = 0$

Schritt 5.3.2.1.2.3.2

Mutltipliziere $\frac{x}{15}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{1}{{(\frac{200 \cdot 15}{x \cdot 15} + \frac{x \cdot x}{15 x})}^{2}} = 0$

Schritt 5.3.2.1.2.3.3

Stelle die Faktoren von $x \cdot 15$ um.

$\frac{1}{{(\frac{200 \cdot 15}{15 x} + \frac{x \cdot x}{15 x})}^{2}} = 0$

Schritt 5.3.2.1.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{{(\frac{200 \cdot 15 + x \cdot x}{15 x})}^{2}} = 0$

Schritt 5.3.2.1.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.2.1.2.5.1

Mutltipliziere $200$ mit $15$ .

$\frac{1}{{(\frac{3000 + x \cdot x}{15 x})}^{2}} = 0$

Schritt 5.3.2.1.2.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{1}{{(\frac{3000 + x^{2}}{15 x})}^{2}} = 0$

Schritt 5.3.2.1.2.6

Wende die Produktregel auf $\frac{3000 + x^{2}}{15 x}$ an.

$\frac{1}{\frac{{(3000 + x^{2})}^{2}}{{(15 x)}^{2}}} = 0$

Schritt 5.3.2.1.2.7

Wende die Produktregel auf $15 x$ an.

$\frac{1}{\frac{{(3000 + x^{2})}^{2}}{15^{2} x^{2}}} = 0$

Schritt 5.3.2.1.2.8

Potenziere $15$ mit $2$ .

$\frac{1}{\frac{{(3000 + x^{2})}^{2}}{225 x^{2}}} = 0$

Schritt 5.3.2.1.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$1 \frac{225 x^{2}}{{(3000 + x^{2})}^{2}} = 0$

Schritt 5.3.2.1.4

Mutltipliziere $\frac{225 x^{2}}{{(3000 + x^{2})}^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{225 x^{2}}{{(3000 + x^{2})}^{2}} = 0$

Schritt 5.3.2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$225 x^{2} = 0$

Schritt 5.3.2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $225 x^{2} = 0$ durch $225$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.2.3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $225 x^{2} = 0$ durch $225$ .

$\frac{225 x^{2}}{225} = \frac{0}{225}$

Schritt 5.3.2.3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $225$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.3.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{225 x^{2}}{225} = \frac{0}{225}$

Schritt 5.3.2.3.1.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{225}$

Schritt 5.3.2.3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.2.3.1.3.1

Dividiere $0$ durch $225$ .

$x^{2} = 0$

Schritt 5.3.2.3.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 5.3.2.3.3

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 5.3.2.3.3.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 5.3.2.3.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 5.3.2.3.3.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 5.4

Setze $- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.4.1

Setze $- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}$ gleich $0$ .

$- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15} = 0$

Schritt 5.4.2

Löse $- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.2.1.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 200 \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{15} = 0$

Schritt 5.4.2.1.2

Kombiniere $- 200$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 200}{x^{2}} + \frac{1}{15} = 0$

Schritt 5.4.2.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{200}{x^{2}} + \frac{1}{15} = 0$

Schritt 5.4.2.2

Subtrahiere $\frac{1}{15}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{200}{x^{2}} = - \frac{1}{15}$

Schritt 5.4.2.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 5.4.2.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x^{2}, 15$

Schritt 5.4.2.3.2

Da $x^{2}, 15$ sowohl Zahlen als auch Variablen enthält, sind zwei Schritte notwendig, um das kgV zu finden. Finde das kgV für den numerischen Teil $1, 15$ und anschließend für den variablen Teil $x^{2}$ .

Schritt 5.4.2.3.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 5.4.2.3.4

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 5.4.2.3.5

$15$ hat Faktoren von $3$ und $5$ .

$3 \cdot 5$

Schritt 5.4.2.3.6

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$15$

Schritt 5.4.2.3.7

Die Teiler von $x^{2}$ sind $x \cdot x$ , was $x$ $2$ -mal mit sich selbst multipliziert ist.

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ tritt $2$ -mal auf.

Schritt 5.4.2.3.8

Das kgV von $x^{2}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$x \cdot x$

Schritt 5.4.2.3.9

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2}$

Schritt 5.4.2.3.10

Das kgV von $x^{2}, 15$ ist der numerische Teil $15$ multipliziert mit dem variablen Teil.

$15 x^{2}$

Schritt 5.4.2.4

Multipliziere jeden Term in $- \frac{200}{x^{2}} = - \frac{1}{15}$ mit $15 x^{2}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 5.4.2.4.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{200}{x^{2}} = - \frac{1}{15}$ mit $15 x^{2}$ .

$- \frac{200}{x^{2}} (15 x^{2}) = - \frac{1}{15} (15 x^{2})$

Schritt 5.4.2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.2.4.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{200}{x^{2}}$ in den Zähler.

$\frac{- 200}{x^{2}} (15 x^{2}) = - \frac{1}{15} (15 x^{2})$

Schritt 5.4.2.4.2.1.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $15 x^{2}$ heraus.

$\frac{- 200}{x^{2}} (x^{2} \cdot 15) = - \frac{1}{15} (15 x^{2})$

Schritt 5.4.2.4.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 200}{x^{2}} (x^{2} \cdot 15) = - \frac{1}{15} (15 x^{2})$

Schritt 5.4.2.4.2.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- 200 \cdot 15 = - \frac{1}{15} (15 x^{2})$

Schritt 5.4.2.4.2.2

Mutltipliziere $- 200$ mit $15$ .

$- 3000 = - \frac{1}{15} (15 x^{2})$

Schritt 5.4.2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.2.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $15$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.2.4.3.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{15}$ in den Zähler.

$- 3000 = \frac{- 1}{15} (15 x^{2})$

Schritt 5.4.2.4.3.1.2

Faktorisiere $15$ aus $15 x^{2}$ heraus.

$- 3000 = \frac{- 1}{15} (15 (x^{2}))$

Schritt 5.4.2.4.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 3000 = \frac{- 1}{15} (15 x^{2})$

Schritt 5.4.2.4.3.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- 3000 = - x^{2}$

Schritt 5.4.2.5

Löse die Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.2.5.1

Schreibe die Gleichung als $- x^{2} = - 3000$ um.

$- x^{2} = - 3000$

Schritt 5.4.2.5.2

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = - 3000$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.2.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = - 3000$ durch $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 3000}{- 1}$

Schritt 5.4.2.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.2.5.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 3000}{- 1}$

Schritt 5.4.2.5.2.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 3000}{- 1}$

Schritt 5.4.2.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.2.5.2.3.1

Dividiere $- 3000$ durch $- 1$ .

$x^{2} = 3000$

Schritt 5.4.2.5.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{3000}$

Schritt 5.4.2.5.4

Vereinfache $\pm \sqrt{3000}$ .

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Schritt 5.4.2.5.4.1

Schreibe $3000$ als $10^{2} \cdot 30$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.2.5.4.1.1

Faktorisiere $100$ aus $3000$ heraus.

$x = \pm \sqrt{100 (30)}$

Schritt 5.4.2.5.4.1.2

Schreibe $100$ als $10^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{10^{2} \cdot 30}$

Schritt 5.4.2.5.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm 10 \sqrt{30}$

Schritt 5.4.2.5.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.2.5.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 10 \sqrt{30}$

Schritt 5.4.2.5.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 10 \sqrt{30}$

Schritt 5.4.2.5.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 10 \sqrt{30}, - 10 \sqrt{30}$

Schritt 5.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- 188 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 10 \sqrt{30}, - 10 \sqrt{30}$

Schritt 5.6

Schließe die Lösungen aus, die $- 188 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}) = 0$ nicht erfüllen.

$x = 10 \sqrt{30}, - 10 \sqrt{30}$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Setze den Nenner in $\frac{200}{x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = 0$

Schritt 6.2

Setze die Basis in ${(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\frac{200}{x} + \frac{x}{15} = 0$

Schritt 6.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x, 15, 1$

Schritt 6.3.1.2

Da $x, 15, 1$ sowohl Zahlen als auch Variablen enthält, sind zwei Schritte notwendig, um das kgV zu finden. Finde das kgV für den numerischen Teil $1, 15, 1$ und anschließend für den variablen Teil $x^{1}$ .

Schritt 6.3.1.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 6.3.1.4

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 6.3.1.5

$15$ hat Faktoren von $3$ und $5$ .

$3 \cdot 5$

Schritt 6.3.1.6

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 6.3.1.7

Das kgV von $1, 15, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$3 \cdot 5$

Schritt 6.3.1.8

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$15$

Schritt 6.3.1.9

Der Teiler von $x^{1}$ ist $x$ selbst.

$x^{1} = x$

$x$ occurs $1$ time.

Schritt 6.3.1.10

Das kgV von $x^{1}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$x$

Schritt 6.3.1.11

Das kgV von $x, 15, 1$ ist der numerische Teil $15$ multipliziert mit dem variablen Teil.

$15 x$

Schritt 6.3.2

Multipliziere jeden Term in $\frac{200}{x} + \frac{x}{15} = 0$ mit $15 x$ um die Brüche zu eliminieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.2.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{200}{x} + \frac{x}{15} = 0$ mit $15 x$ .

$\frac{200}{x} (15 x) + \frac{x}{15} (15 x) = 0 (15 x)$

Schritt 6.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.2.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$15 \frac{200}{x} x + \frac{x}{15} (15 x) = 0 (15 x)$

Schritt 6.3.2.2.1.2

Multipliziere $15 \frac{200}{x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.2.2.1.2.1

Kombiniere $15$ und $\frac{200}{x}$ .

$\frac{15 \cdot 200}{x} x + \frac{x}{15} (15 x) = 0 (15 x)$

Schritt 6.3.2.2.1.2.2

Mutltipliziere $15$ mit $200$ .

$\frac{3000}{x} x + \frac{x}{15} (15 x) = 0 (15 x)$

Schritt 6.3.2.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.2.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3000}{x} x + \frac{x}{15} (15 x) = 0 (15 x)$

Schritt 6.3.2.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$3000 + \frac{x}{15} (15 x) = 0 (15 x)$

Schritt 6.3.2.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3000 + 15 \frac{x}{15} x = 0 (15 x)$

Schritt 6.3.2.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $15$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.2.2.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3000 + 15 \frac{x}{15} x = 0 (15 x)$

Schritt 6.3.2.2.1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$3000 + x \cdot x = 0 (15 x)$

Schritt 6.3.2.2.1.6

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$3000 + x^{2} = 0 (15 x)$

Schritt 6.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.2.3.1

Multipliziere $0 (15 x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.2.3.1.1

Mutltipliziere $15$ mit $0$ .

$3000 + x^{2} = 0 x$

Schritt 6.3.2.3.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $x$ .

$3000 + x^{2} = 0$

Schritt 6.3.3

Löse die Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.3.1

Subtrahiere $3000$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 3000$

Schritt 6.3.3.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{- 3000}$

Schritt 6.3.3.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 3000}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.3.3.1

Schreibe $- 3000$ als $- 1 (3000)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (3000)}$

Schritt 6.3.3.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (3000)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3000}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3000}$

Schritt 6.3.3.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{3000}$

Schritt 6.3.3.3.4

Schreibe $3000$ als $10^{2} \cdot 30$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.3.3.4.1

Faktorisiere $100$ aus $3000$ heraus.

$x = \pm i \cdot \sqrt{100 (30)}$

Schritt 6.3.3.3.4.2

Schreibe $100$ als $10^{2}$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{10^{2} \cdot 30}$

Schritt 6.3.3.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm i \cdot (10 \sqrt{30})$

Schritt 6.3.3.3.6

Bringe $10$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \pm 10 i \sqrt{30}$

Schritt 6.3.3.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.3.3.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 10 i \sqrt{30}$

Schritt 6.3.3.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 10 i \sqrt{30}$

Schritt 6.3.3.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 10 i \sqrt{30}, - 10 i \sqrt{30}$

Schritt 6.4

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x = 0$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 10 \sqrt{30}, - 10 \sqrt{30}$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 10 \sqrt{30}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{5640 (10 \sqrt{30}) ({(10 \sqrt{30})}^{2} - 9000)}{{(3000 + {(10 \sqrt{30})}^{2})}^{3}}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $5640$ mit $10$ .

$\frac{56400 \sqrt{30} ({(10 \sqrt{30})}^{2} - 9000)}{{(3000 + {(10 \sqrt{30})}^{2})}^{3}}$

Schritt 9.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.2.1

Wende die Produktregel auf $10 \sqrt{30}$ an.

$\frac{56400 \sqrt{30} ({(10 \sqrt{30})}^{2} - 9000)}{{(3000 + 10^{2} {\sqrt{30}}^{2})}^{3}}$

Schritt 9.2.2

Potenziere $10$ mit $2$ .

$\frac{56400 \sqrt{30} ({(10 \sqrt{30})}^{2} - 9000)}{{(3000 + 100 {\sqrt{30}}^{2})}^{3}}$

Schritt 9.2.3

Schreibe ${\sqrt{30}}^{2}$ als $30$ um.

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Schritt 9.2.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{30}$ als $30^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{56400 \sqrt{30} ({(10 \sqrt{30})}^{2} - 9000)}{{(3000 + 100 {(30^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{3}}$

Schritt 9.2.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{56400 \sqrt{30} ({(10 \sqrt{30})}^{2} - 9000)}{{(3000 + 100 \cdot 30^{\frac{1}{2} \cdot 2})}^{3}}$

Schritt 9.2.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{56400 \sqrt{30} ({(10 \sqrt{30})}^{2} - 9000)}{{(3000 + 100 \cdot 30^{\frac{2}{2}})}^{3}}$

Schritt 9.2.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.2.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{56400 \sqrt{30} ({(10 \sqrt{30})}^{2} - 9000)}{{(3000 + 100 \cdot 30^{\frac{2}{2}})}^{3}}$

Schritt 9.2.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{56400 \sqrt{30} ({(10 \sqrt{30})}^{2} - 9000)}{{(3000 + 100 \cdot 30^{1})}^{3}}$

Schritt 9.2.3.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{56400 \sqrt{30} ({(10 \sqrt{30})}^{2} - 9000)}{{(3000 + 100 \cdot 30)}^{3}}$

Schritt 9.2.4

Mutltipliziere $100$ mit $30$ .

$\frac{56400 \sqrt{30} ({(10 \sqrt{30})}^{2} - 9000)}{{(3000 + 3000)}^{3}}$

Schritt 9.2.5

Addiere $3000$ und $3000$ .

$\frac{56400 \sqrt{30} ({(10 \sqrt{30})}^{2} - 9000)}{6000^{3}}$

Schritt 9.2.6

Potenziere $6000$ mit $3$ .

$\frac{56400 \sqrt{30} ({(10 \sqrt{30})}^{2} - 9000)}{216000000000}$

Schritt 9.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.3.1

Wende die Produktregel auf $10 \sqrt{30}$ an.

$\frac{56400 \sqrt{30} (10^{2} {\sqrt{30}}^{2} - 9000)}{216000000000}$

Schritt 9.3.2

Potenziere $10$ mit $2$ .

$\frac{56400 \sqrt{30} (100 {\sqrt{30}}^{2} - 9000)}{216000000000}$

Schritt 9.3.3

Schreibe ${\sqrt{30}}^{2}$ als $30$ um.

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Schritt 9.3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{30}$ als $30^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{56400 \sqrt{30} (100 {(30^{\frac{1}{2}})}^{2} - 9000)}{216000000000}$

Schritt 9.3.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{56400 \sqrt{30} (100 \cdot 30^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 9000)}{216000000000}$

Schritt 9.3.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{56400 \sqrt{30} (100 \cdot 30^{\frac{2}{2}} - 9000)}{216000000000}$

Schritt 9.3.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.3.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{56400 \sqrt{30} (100 \cdot 30^{\frac{2}{2}} - 9000)}{216000000000}$

Schritt 9.3.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{56400 \sqrt{30} (100 \cdot 30^{1} - 9000)}{216000000000}$

Schritt 9.3.3.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{56400 \sqrt{30} (100 \cdot 30 - 9000)}{216000000000}$

Schritt 9.3.4

Mutltipliziere $100$ mit $30$ .

$\frac{56400 \sqrt{30} (3000 - 9000)}{216000000000}$

Schritt 9.3.5

Subtrahiere $9000$ von $3000$ .

$\frac{56400 \sqrt{30} \cdot - 6000}{216000000000}$

Schritt 9.3.6

Mutltipliziere $- 6000$ mit $56400$ .

$\frac{- 338400000 \sqrt{30}}{216000000000}$

Schritt 9.4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.4.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 338400000$ und $216000000000$ .

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Schritt 9.4.1.1

Faktorisiere $7200000$ aus $- 338400000 \sqrt{30}$ heraus.

$\frac{7200000 (- 47 \sqrt{30})}{216000000000}$

Schritt 9.4.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.4.1.2.1

Faktorisiere $7200000$ aus $216000000000$ heraus.

$\frac{7200000 (- 47 \sqrt{30})}{7200000 (30000)}$

Schritt 9.4.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7200000 (- 47 \sqrt{30})}{7200000 \cdot 30000}$

Schritt 9.4.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 47 \sqrt{30}}{30000}$

Schritt 9.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{47 \sqrt{30}}{30000}$

Schritt 10

$x = 10 \sqrt{30}$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 10 \sqrt{30}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 10 \sqrt{30}$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $10 \sqrt{30}$ .

$f (10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{200}{10 \sqrt{30}} + \frac{10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $200$ und $10$ .

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Schritt 11.2.1.1.1

Faktorisiere $10$ aus $200$ heraus.

$f (10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{10 \cdot 20}{10 \sqrt{30}} + \frac{10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Schritt 11.2.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.2.1.1.2.1

Faktorisiere $10$ aus $10 \sqrt{30}$ heraus.

$f (10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{10 \cdot 20}{10 (\sqrt{30})} + \frac{10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Schritt 11.2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{10 \cdot 20}{10 \sqrt{30}} + \frac{10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Schritt 11.2.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{20}{\sqrt{30}} + \frac{10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Schritt 11.2.1.2

Mutltipliziere $\frac{20}{\sqrt{30}}$ mit $\frac{\sqrt{30}}{\sqrt{30}}$ .

$f (10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{20}{\sqrt{30}} \cdot \frac{\sqrt{30}}{\sqrt{30}} + \frac{10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Schritt 11.2.1.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 11.2.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{20}{\sqrt{30}}$ mit $\frac{\sqrt{30}}{\sqrt{30}}$ .

$f (10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{20 \sqrt{30}}{\sqrt{30} \sqrt{30}} + \frac{10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Schritt 11.2.1.3.2

Potenziere $\sqrt{30}$ mit $1$ .

$f (10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{20 \sqrt{30}}{\sqrt{30} \sqrt{30}} + \frac{10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Schritt 11.2.1.3.3

Potenziere $\sqrt{30}$ mit $1$ .

$f (10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{20 \sqrt{30}}{\sqrt{30} \sqrt{30}} + \frac{10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Schritt 11.2.1.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{20 \sqrt{30}}{{\sqrt{30}}^{1 + 1}} + \frac{10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Schritt 11.2.1.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$f (10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{20 \sqrt{30}}{{\sqrt{30}}^{2}} + \frac{10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Schritt 11.2.1.3.6

Schreibe ${\sqrt{30}}^{2}$ als $30$ um.

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Schritt 11.2.1.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{30}$ als $30^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{20 \sqrt{30}}{{(30^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Schritt 11.2.1.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{20 \sqrt{30}}{30^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Schritt 11.2.1.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{20 \sqrt{30}}{30^{\frac{2}{2}}} + \frac{10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Schritt 11.2.1.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.2.1.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{20 \sqrt{30}}{30^{\frac{2}{2}}} + \frac{10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Schritt 11.2.1.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{20 \sqrt{30}}{30} + \frac{10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Schritt 11.2.1.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$f (10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{20 \sqrt{30}}{30} + \frac{10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Schritt 11.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $20$ und $30$ .

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Schritt 11.2.1.4.1

Faktorisiere $10$ aus $20 \sqrt{30}$ heraus.

$f (10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{10 (2 \sqrt{30})}{30} + \frac{10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Schritt 11.2.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.2.1.4.2.1

Faktorisiere $10$ aus $30$ heraus.

$f (10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{10 (2 \sqrt{30})}{10 (3)} + \frac{10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Schritt 11.2.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{10 (2 \sqrt{30})}{10 \cdot 3} + \frac{10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Schritt 11.2.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{2 \sqrt{30}}{3} + \frac{10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Schritt 11.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $15$ .

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Schritt 11.2.1.5.1

Faktorisiere $5$ aus $10 \sqrt{30}$ heraus.

$f (10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{2 \sqrt{30}}{3} + \frac{5 (2 \sqrt{30})}{15})}^{- 1}$

Schritt 11.2.1.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.2.1.5.2.1

Faktorisiere $5$ aus $15$ heraus.

$f (10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{2 \sqrt{30}}{3} + \frac{5 (2 \sqrt{30})}{5 (3)})}^{- 1}$

Schritt 11.2.1.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{2 \sqrt{30}}{3} + \frac{5 (2 \sqrt{30})}{5 \cdot 3})}^{- 1}$

Schritt 11.2.1.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{2 \sqrt{30}}{3} + \frac{2 \sqrt{30}}{3})}^{- 1}$

Schritt 11.2.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 11.2.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{2 \sqrt{30} + 2 \sqrt{30}}{3})}^{- 1}$

Schritt 11.2.2.2

Addiere $2 \sqrt{30}$ und $2 \sqrt{30}$ .

$f (10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{4 \sqrt{30}}{3})}^{- 1}$

Schritt 11.2.3

Ändere das Vorzeichen des Exponenten durch Umschreiben der Basis als ihren Kehrwert.

$f (10 \sqrt{30}) = 188 (\frac{3}{4 \sqrt{30}})$

Schritt 11.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 11.2.4.1

Faktorisiere $4$ aus $188$ heraus.

$f (10 \sqrt{30}) = 4 (47) (\frac{3}{4 \sqrt{30}})$

Schritt 11.2.4.2

Faktorisiere $4$ aus $4 \sqrt{30}$ heraus.

$f (10 \sqrt{30}) = 4 (47) (\frac{3}{4 (\sqrt{30})})$

Schritt 11.2.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (10 \sqrt{30}) = 4 \cdot (47 (\frac{3}{4 \sqrt{30}}))$

Schritt 11.2.4.4

Forme den Ausdruck um.

$f (10 \sqrt{30}) = 47 (\frac{3}{\sqrt{30}})$

Schritt 11.2.5

Kombiniere $47$ und $\frac{3}{\sqrt{30}}$ .

$f (10 \sqrt{30}) = \frac{47 \cdot 3}{\sqrt{30}}$

Schritt 11.2.6

Mutltipliziere $47$ mit $3$ .

$f (10 \sqrt{30}) = \frac{141}{\sqrt{30}}$

Schritt 11.2.7

Mutltipliziere $\frac{141}{\sqrt{30}}$ mit $\frac{\sqrt{30}}{\sqrt{30}}$ .

$f (10 \sqrt{30}) = \frac{141}{\sqrt{30}} \cdot \frac{\sqrt{30}}{\sqrt{30}}$

Schritt 11.2.8

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 11.2.8.1

Mutltipliziere $\frac{141}{\sqrt{30}}$ mit $\frac{\sqrt{30}}{\sqrt{30}}$ .

$f (10 \sqrt{30}) = \frac{141 \sqrt{30}}{\sqrt{30} \sqrt{30}}$

Schritt 11.2.8.2

Potenziere $\sqrt{30}$ mit $1$ .

$f (10 \sqrt{30}) = \frac{141 \sqrt{30}}{\sqrt{30} \sqrt{30}}$

Schritt 11.2.8.3

Potenziere $\sqrt{30}$ mit $1$ .

$f (10 \sqrt{30}) = \frac{141 \sqrt{30}}{\sqrt{30} \sqrt{30}}$

Schritt 11.2.8.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (10 \sqrt{30}) = \frac{141 \sqrt{30}}{{\sqrt{30}}^{1 + 1}}$

Schritt 11.2.8.5

Addiere $1$ und $1$ .

$f (10 \sqrt{30}) = \frac{141 \sqrt{30}}{{\sqrt{30}}^{2}}$

Schritt 11.2.8.6

Schreibe ${\sqrt{30}}^{2}$ als $30$ um.

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Schritt 11.2.8.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{30}$ als $30^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (10 \sqrt{30}) = \frac{141 \sqrt{30}}{{(30^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 11.2.8.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (10 \sqrt{30}) = \frac{141 \sqrt{30}}{30^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 11.2.8.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (10 \sqrt{30}) = \frac{141 \sqrt{30}}{30^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 11.2.8.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.2.8.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (10 \sqrt{30}) = \frac{141 \sqrt{30}}{30^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 11.2.8.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (10 \sqrt{30}) = \frac{141 \sqrt{30}}{30}$

Schritt 11.2.8.6.5

Berechne den Exponenten.

$f (10 \sqrt{30}) = \frac{141 \sqrt{30}}{30}$

Schritt 11.2.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $141$ und $30$ .

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Schritt 11.2.9.1

Faktorisiere $3$ aus $141 \sqrt{30}$ heraus.

$f (10 \sqrt{30}) = \frac{3 (47 \sqrt{30})}{30}$

Schritt 11.2.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.2.9.2.1

Faktorisiere $3$ aus $30$ heraus.

$f (10 \sqrt{30}) = \frac{3 (47 \sqrt{30})}{3 (10)}$

Schritt 11.2.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (10 \sqrt{30}) = \frac{3 (47 \sqrt{30})}{3 \cdot 10}$

Schritt 11.2.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (10 \sqrt{30}) = \frac{47 \sqrt{30}}{10}$

Schritt 11.2.10

Die endgültige Lösung ist $\frac{47 \sqrt{30}}{10}$ .

$y = \frac{47 \sqrt{30}}{10}$

Schritt 12

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - 10 \sqrt{30}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{5640 (- 10 \sqrt{30}) ({(- 10 \sqrt{30})}^{2} - 9000)}{{(3000 + {(- 10 \sqrt{30})}^{2})}^{3}}$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 13.1

Mutltipliziere $- 10$ mit $5640$ .

$\frac{- 56400 \sqrt{30} ({(- 10 \sqrt{30})}^{2} - 9000)}{{(3000 + {(- 10 \sqrt{30})}^{2})}^{3}}$

Schritt 13.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.2.1

Wende die Produktregel auf $- 10 \sqrt{30}$ an.

$\frac{- 56400 \sqrt{30} ({(- 10 \sqrt{30})}^{2} - 9000)}{{(3000 + {(- 10)}^{2} {\sqrt{30}}^{2})}^{3}}$

Schritt 13.2.2

Potenziere $- 10$ mit $2$ .

$\frac{- 56400 \sqrt{30} ({(- 10 \sqrt{30})}^{2} - 9000)}{{(3000 + 100 {\sqrt{30}}^{2})}^{3}}$

Schritt 13.2.3

Schreibe ${\sqrt{30}}^{2}$ als $30$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.2.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{30}$ als $30^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{- 56400 \sqrt{30} ({(- 10 \sqrt{30})}^{2} - 9000)}{{(3000 + 100 {(30^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{3}}$

Schritt 13.2.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 56400 \sqrt{30} ({(- 10 \sqrt{30})}^{2} - 9000)}{{(3000 + 100 \cdot 30^{\frac{1}{2} \cdot 2})}^{3}}$

Schritt 13.2.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{- 56400 \sqrt{30} ({(- 10 \sqrt{30})}^{2} - 9000)}{{(3000 + 100 \cdot 30^{\frac{2}{2}})}^{3}}$

Schritt 13.2.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.2.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 56400 \sqrt{30} ({(- 10 \sqrt{30})}^{2} - 9000)}{{(3000 + 100 \cdot 30^{\frac{2}{2}})}^{3}}$

Schritt 13.2.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 56400 \sqrt{30} ({(- 10 \sqrt{30})}^{2} - 9000)}{{(3000 + 100 \cdot 30^{1})}^{3}}$

Schritt 13.2.3.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{- 56400 \sqrt{30} ({(- 10 \sqrt{30})}^{2} - 9000)}{{(3000 + 100 \cdot 30)}^{3}}$

Schritt 13.2.4

Mutltipliziere $100$ mit $30$ .

$\frac{- 56400 \sqrt{30} ({(- 10 \sqrt{30})}^{2} - 9000)}{{(3000 + 3000)}^{3}}$

Schritt 13.2.5

Addiere $3000$ und $3000$ .

$\frac{- 56400 \sqrt{30} ({(- 10 \sqrt{30})}^{2} - 9000)}{6000^{3}}$

Schritt 13.2.6

Potenziere $6000$ mit $3$ .

$\frac{- 56400 \sqrt{30} ({(- 10 \sqrt{30})}^{2} - 9000)}{216000000000}$

Schritt 13.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.3.1

Wende die Produktregel auf $- 10 \sqrt{30}$ an.

$\frac{- 56400 \sqrt{30} ({(- 10)}^{2} {\sqrt{30}}^{2} - 9000)}{216000000000}$

Schritt 13.3.2

Potenziere $- 10$ mit $2$ .

$\frac{- 56400 \sqrt{30} (100 {\sqrt{30}}^{2} - 9000)}{216000000000}$

Schritt 13.3.3

Schreibe ${\sqrt{30}}^{2}$ als $30$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{30}$ als $30^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{- 56400 \sqrt{30} (100 {(30^{\frac{1}{2}})}^{2} - 9000)}{216000000000}$

Schritt 13.3.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 56400 \sqrt{30} (100 \cdot 30^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 9000)}{216000000000}$

Schritt 13.3.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{- 56400 \sqrt{30} (100 \cdot 30^{\frac{2}{2}} - 9000)}{216000000000}$

Schritt 13.3.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 13.3.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 56400 \sqrt{30} (100 \cdot 30^{\frac{2}{2}} - 9000)}{216000000000}$

Schritt 13.3.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 56400 \sqrt{30} (100 \cdot 30^{1} - 9000)}{216000000000}$

Schritt 13.3.3.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{- 56400 \sqrt{30} (100 \cdot 30 - 9000)}{216000000000}$

Schritt 13.3.4

Mutltipliziere $100$ mit $30$ .

$\frac{- 56400 \sqrt{30} (3000 - 9000)}{216000000000}$

Schritt 13.3.5

Subtrahiere $9000$ von $3000$ .

$\frac{- 56400 \sqrt{30} \cdot - 6000}{216000000000}$

Schritt 13.3.6

Mutltipliziere $- 6000$ mit $- 56400$ .

$\frac{338400000 \sqrt{30}}{216000000000}$

Schritt 13.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $338400000$ und $216000000000$ .

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Schritt 13.4.1

Faktorisiere $7200000$ aus $338400000 \sqrt{30}$ heraus.

$\frac{7200000 (47 \sqrt{30})}{216000000000}$

Schritt 13.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.4.2.1

Faktorisiere $7200000$ aus $216000000000$ heraus.

$\frac{7200000 (47 \sqrt{30})}{7200000 (30000)}$

Schritt 13.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7200000 (47 \sqrt{30})}{7200000 \cdot 30000}$

Schritt 13.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{47 \sqrt{30}}{30000}$

Schritt 14

$x = - 10 \sqrt{30}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = - 10 \sqrt{30}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 15

Ermittele den y-Wert, wenn $x = - 10 \sqrt{30}$ .

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Schritt 15.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 10 \sqrt{30}$ .

$f (- 10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{200}{- 10 \sqrt{30}} + \frac{- 10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Schritt 15.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 15.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $200$ und $- 10$ .

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Schritt 15.2.1.1.1

Faktorisiere $10$ aus $200$ heraus.

$f (- 10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{10 (20)}{- 10 \sqrt{30}} + \frac{- 10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Schritt 15.2.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 15.2.1.1.2.1

Faktorisiere $10$ aus $- 10 \sqrt{30}$ heraus.

$f (- 10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{10 (20)}{10 (- \sqrt{30})} + \frac{- 10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Schritt 15.2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{10 \cdot 20}{10 (- \sqrt{30})} + \frac{- 10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Schritt 15.2.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- 10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{20}{- \sqrt{30}} + \frac{- 10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Schritt 15.2.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- 10 \sqrt{30}) = 188 {(- \frac{20}{\sqrt{30}} + \frac{- 10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Schritt 15.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{20}{\sqrt{30}}$ mit $\frac{\sqrt{30}}{\sqrt{30}}$ .

$f (- 10 \sqrt{30}) = 188 {(- (\frac{20}{\sqrt{30}} \cdot \frac{\sqrt{30}}{\sqrt{30}}) + \frac{- 10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Schritt 15.2.1.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 15.2.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{20}{\sqrt{30}}$ mit $\frac{\sqrt{30}}{\sqrt{30}}$ .

$f (- 10 \sqrt{30}) = 188 {(- \frac{20 \sqrt{30}}{\sqrt{30} \sqrt{30}} + \frac{- 10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Schritt 15.2.1.4.2

Potenziere $\sqrt{30}$ mit $1$ .

$f (- 10 \sqrt{30}) = 188 {(- \frac{20 \sqrt{30}}{\sqrt{30} \sqrt{30}} + \frac{- 10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Schritt 15.2.1.4.3

Potenziere $\sqrt{30}$ mit $1$ .

$f (- 10 \sqrt{30}) = 188 {(- \frac{20 \sqrt{30}}{\sqrt{30} \sqrt{30}} + \frac{- 10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Schritt 15.2.1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (- 10 \sqrt{30}) = 188 {(- \frac{20 \sqrt{30}}{{\sqrt{30}}^{1 + 1}} + \frac{- 10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Schritt 15.2.1.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$f (- 10 \sqrt{30}) = 188 {(- \frac{20 \sqrt{30}}{{\sqrt{30}}^{2}} + \frac{- 10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Schritt 15.2.1.4.6

Schreibe ${\sqrt{30}}^{2}$ als $30$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.1.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{30}$ als $30^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (- 10 \sqrt{30}) = 188 {(- \frac{20 \sqrt{30}}{{(30^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{- 10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Schritt 15.2.1.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 10 \sqrt{30}) = 188 {(- \frac{20 \sqrt{30}}{30^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{- 10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Schritt 15.2.1.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (- 10 \sqrt{30}) = 188 {(- \frac{20 \sqrt{30}}{30^{\frac{2}{2}}} + \frac{- 10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Schritt 15.2.1.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.1.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 10 \sqrt{30}) = 188 {(- \frac{20 \sqrt{30}}{30^{\frac{2}{2}}} + \frac{- 10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Schritt 15.2.1.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (- 10 \sqrt{30}) = 188 {(- \frac{20 \sqrt{30}}{30} + \frac{- 10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Schritt 15.2.1.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$f (- 10 \sqrt{30}) = 188 {(- \frac{20 \sqrt{30}}{30} + \frac{- 10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Schritt 15.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $20$ und $30$ .

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Schritt 15.2.1.5.1

Faktorisiere $10$ aus $20 \sqrt{30}$ heraus.

$f (- 10 \sqrt{30}) = 188 {(- \frac{10 (2 \sqrt{30})}{30} + \frac{- 10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Schritt 15.2.1.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.1.5.2.1

Faktorisiere $10$ aus $30$ heraus.

$f (- 10 \sqrt{30}) = 188 {(- \frac{10 (2 \sqrt{30})}{10 (3)} + \frac{- 10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Schritt 15.2.1.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 10 \sqrt{30}) = 188 {(- \frac{10 (2 \sqrt{30})}{10 \cdot 3} + \frac{- 10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Schritt 15.2.1.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- 10 \sqrt{30}) = 188 {(- \frac{2 \sqrt{30}}{3} + \frac{- 10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Schritt 15.2.1.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 10$ und $15$ .

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Schritt 15.2.1.6.1

Faktorisiere $5$ aus $- 10 \sqrt{30}$ heraus.

$f (- 10 \sqrt{30}) = 188 {(- \frac{2 \sqrt{30}}{3} + \frac{5 (- 2 \sqrt{30})}{15})}^{- 1}$

Schritt 15.2.1.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.1.6.2.1

Faktorisiere $5$ aus $15$ heraus.

$f (- 10 \sqrt{30}) = 188 {(- \frac{2 \sqrt{30}}{3} + \frac{5 (- 2 \sqrt{30})}{5 (3)})}^{- 1}$

Schritt 15.2.1.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 10 \sqrt{30}) = 188 {(- \frac{2 \sqrt{30}}{3} + \frac{5 (- 2 \sqrt{30})}{5 \cdot 3})}^{- 1}$

Schritt 15.2.1.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- 10 \sqrt{30}) = 188 {(- \frac{2 \sqrt{30}}{3} + \frac{- 2 \sqrt{30}}{3})}^{- 1}$

Schritt 15.2.1.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- 10 \sqrt{30}) = 188 {(- \frac{2 \sqrt{30}}{3} - \frac{2 \sqrt{30}}{3})}^{- 1}$

Schritt 15.2.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 15.2.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- 10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{- 2 \sqrt{30} - 2 \sqrt{30}}{3})}^{- 1}$

Schritt 15.2.2.2

Subtrahiere $2 \sqrt{30}$ von $- 2 \sqrt{30}$ .

$f (- 10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{- 4 \sqrt{30}}{3})}^{- 1}$

Schritt 15.2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- 10 \sqrt{30}) = 188 {(- \frac{4 \sqrt{30}}{3})}^{- 1}$

Schritt 15.2.3

Ändere das Vorzeichen des Exponenten durch Umschreiben der Basis als ihren Kehrwert.

$f (- 10 \sqrt{30}) = 188 (- \frac{3}{4 \sqrt{30}})$

Schritt 15.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 15.2.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3}{4 \sqrt{30}}$ in den Zähler.

$f (- 10 \sqrt{30}) = 188 (\frac{- 3}{4 \sqrt{30}})$

Schritt 15.2.4.2

Faktorisiere $4$ aus $188$ heraus.

$f (- 10 \sqrt{30}) = 4 (47) (\frac{- 3}{4 \sqrt{30}})$

Schritt 15.2.4.3

Faktorisiere $4$ aus $4 \sqrt{30}$ heraus.

$f (- 10 \sqrt{30}) = 4 (47) (\frac{- 3}{4 (\sqrt{30})})$

Schritt 15.2.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 10 \sqrt{30}) = 4 \cdot (47 (\frac{- 3}{4 \sqrt{30}}))$

Schritt 15.2.4.5

Forme den Ausdruck um.

$f (- 10 \sqrt{30}) = 47 (\frac{- 3}{\sqrt{30}})$

Schritt 15.2.5

Kombiniere $47$ und $\frac{- 3}{\sqrt{30}}$ .

$f (- 10 \sqrt{30}) = \frac{47 \cdot - 3}{\sqrt{30}}$

Schritt 15.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 15.2.6.1

Mutltipliziere $47$ mit $- 3$ .

$f (- 10 \sqrt{30}) = \frac{- 141}{\sqrt{30}}$

Schritt 15.2.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- 10 \sqrt{30}) = - \frac{141}{\sqrt{30}}$

Schritt 15.2.7

Mutltipliziere $\frac{141}{\sqrt{30}}$ mit $\frac{\sqrt{30}}{\sqrt{30}}$ .

$f (- 10 \sqrt{30}) = - (\frac{141}{\sqrt{30}} \cdot \frac{\sqrt{30}}{\sqrt{30}})$

Schritt 15.2.8

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 15.2.8.1

Mutltipliziere $\frac{141}{\sqrt{30}}$ mit $\frac{\sqrt{30}}{\sqrt{30}}$ .

$f (- 10 \sqrt{30}) = - \frac{141 \sqrt{30}}{\sqrt{30} \sqrt{30}}$

Schritt 15.2.8.2

Potenziere $\sqrt{30}$ mit $1$ .

$f (- 10 \sqrt{30}) = - \frac{141 \sqrt{30}}{\sqrt{30} \sqrt{30}}$

Schritt 15.2.8.3

Potenziere $\sqrt{30}$ mit $1$ .

$f (- 10 \sqrt{30}) = - \frac{141 \sqrt{30}}{\sqrt{30} \sqrt{30}}$

Schritt 15.2.8.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (- 10 \sqrt{30}) = - \frac{141 \sqrt{30}}{{\sqrt{30}}^{1 + 1}}$

Schritt 15.2.8.5

Addiere $1$ und $1$ .

$f (- 10 \sqrt{30}) = - \frac{141 \sqrt{30}}{{\sqrt{30}}^{2}}$

Schritt 15.2.8.6

Schreibe ${\sqrt{30}}^{2}$ als $30$ um.

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Schritt 15.2.8.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{30}$ als $30^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (- 10 \sqrt{30}) = - \frac{141 \sqrt{30}}{{(30^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 15.2.8.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 10 \sqrt{30}) = - \frac{141 \sqrt{30}}{30^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 15.2.8.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (- 10 \sqrt{30}) = - \frac{141 \sqrt{30}}{30^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 15.2.8.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 15.2.8.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 10 \sqrt{30}) = - \frac{141 \sqrt{30}}{30^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 15.2.8.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (- 10 \sqrt{30}) = - \frac{141 \sqrt{30}}{30}$

Schritt 15.2.8.6.5

Berechne den Exponenten.

$f (- 10 \sqrt{30}) = - \frac{141 \sqrt{30}}{30}$

Schritt 15.2.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $141$ und $30$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.9.1

Faktorisiere $3$ aus $141 \sqrt{30}$ heraus.

$f (- 10 \sqrt{30}) = - \frac{3 (47 \sqrt{30})}{30}$

Schritt 15.2.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 15.2.9.2.1

Faktorisiere $3$ aus $30$ heraus.

$f (- 10 \sqrt{30}) = - \frac{3 (47 \sqrt{30})}{3 (10)}$

Schritt 15.2.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 10 \sqrt{30}) = - \frac{3 (47 \sqrt{30})}{3 \cdot 10}$

Schritt 15.2.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- 10 \sqrt{30}) = - \frac{47 \sqrt{30}}{10}$

Schritt 15.2.10

Die endgültige Lösung ist $- \frac{47 \sqrt{30}}{10}$ .

$y = - \frac{47 \sqrt{30}}{10}$

Schritt 16

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = 188 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 1}$ .

$(10 \sqrt{30}, \frac{47 \sqrt{30}}{10})$ ist ein lokales Maximum

$(- 10 \sqrt{30}, - \frac{47 \sqrt{30}}{10})$ ist ein lokales Minimum

Schritt 17