Analysis Beispiele

$f (x) = 2 {(\frac{x}{4})}^{2}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{x}{4}$ an.

$\frac{d}{d x} [2 \frac{x^{2}}{4^{2}}]$

Schritt 1.1.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\frac{d}{d x} [2 \frac{x^{2}}{16}]$

Schritt 1.1.3

Kombiniere $2$ und $\frac{x^{2}}{16}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{16}]$

Schritt 1.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $16$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (x^{2})}{16}]$

Schritt 1.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{2 \cdot 8}]$

Schritt 1.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{2 \cdot 8}]$

Schritt 1.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{8}]$

Schritt 1.2

Da $\frac{1}{8}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x^{2}}{8}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{8} (2 x)$

Schritt 1.4

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{8}$ .

$\frac{2}{8} x$

Schritt 1.4.2

Kombiniere $\frac{2}{8}$ und $x$ .

$\frac{2 x}{8}$

Schritt 1.4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $8$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{2 (x)}{8}$

Schritt 1.4.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\frac{2 x}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x}{4}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot 1$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{4}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{x}{4} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{x}{4}$ an.

$\frac{d}{d x} [2 \frac{x^{2}}{4^{2}}]$

Schritt 4.1.1.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\frac{d}{d x} [2 \frac{x^{2}}{16}]$

Schritt 4.1.1.3

Kombiniere $2$ und $\frac{x^{2}}{16}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{16}]$

Schritt 4.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $16$ .

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Schritt 4.1.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (x^{2})}{16}]$

Schritt 4.1.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{2 \cdot 8}]$

Schritt 4.1.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{2 \cdot 8}]$

Schritt 4.1.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{8}]$

Schritt 4.1.2

Da $\frac{1}{8}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x^{2}}{8}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{8} (2 x)$

Schritt 4.1.4

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.4.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{8}$ .

$\frac{2}{8} x$

Schritt 4.1.4.2

Kombiniere $\frac{2}{8}$ und $x$ .

$\frac{2 x}{8}$

Schritt 4.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $8$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.4.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{2 (x)}{8}$

Schritt 4.1.4.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.4.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\frac{2 x}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.1.4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.1.4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (x) = \frac{x}{4}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{x}{4}$ .

$\frac{x}{4}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{x}{4} = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{x}{4} = 0$

Schritt 5.2

Setze den Zähler gleich Null.

$x = 0$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 0$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{1}{4}$

Schritt 9

$x = 0$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 0$ ist ein lokales Minimum

Schritt 10

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 0$ .

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Schritt 10.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = 2 {(\frac{0}{4})}^{2}$

Schritt 10.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 10.2.1

Dividiere $0$ durch $4$ .

$f (0) = 2 \cdot 0^{2}$

Schritt 10.2.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 2 \cdot 0$

Schritt 10.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$f (0) = 0$

Schritt 10.2.4

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$y = 0$

Schritt 11

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = 2 {(\frac{x}{4})}^{2}$ .

$(0, 0)$ ist ein lokales Minimum

Schritt 12