Analysis Beispiele

$f (x) = x^{4} + \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} - x + 1$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} + \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} - x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{3} x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} + \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$4 x^{3} + \frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.2.3

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{3}$ .

$4 x^{3} + \frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.2.4

Kombiniere $\frac{3}{3}$ und $x^{2}$ .

$4 x^{3} + \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 x^{3} + \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.2.5.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$4 x^{3} + x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} + x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 x^{3} + x^{2} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$4 x^{3} + x^{2} - 4 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Schritt 1.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} + x^{2} - 4 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 x^{3} + x^{2} - 4 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$4 x^{3} + x^{2} - 4 x - 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.5

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.5.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 x^{3} + x^{2} - 4 x - 1 + 0$

Schritt 1.5.2

Addiere $4 x^{3} + x^{2} - 4 x - 1$ und $0$ .

$4 x^{3} + x^{2} - 4 x - 1$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{3} + x^{2} - 4 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{3}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Schritt 2.4.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 2 x - 4 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 2 x - 4 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.5.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 2 x - 4 + 0$

Schritt 2.5.2

Addiere $12 x^{2} + 2 x - 4$ und $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 2 x - 4$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$4 x^{3} + x^{2} - 4 x - 1 = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Differenziere.

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Schritt 4.1.1.1

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 4.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 4.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

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Schritt 4.1.2.1

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{3} x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} + \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$4 x^{3} + \frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 4.1.2.3

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{3}$ .

$4 x^{3} + \frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 4.1.2.4

Kombiniere $\frac{3}{3}$ und $x^{2}$ .

$4 x^{3} + \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 4.1.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.1.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 x^{3} + \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 4.1.2.5.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$4 x^{3} + x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 4.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Schritt 4.1.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} + x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 x^{3} + x^{2} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 4.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$4 x^{3} + x^{2} - 4 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 4.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Schritt 4.1.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} + x^{2} - 4 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 4.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 x^{3} + x^{2} - 4 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 4.1.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$4 x^{3} + x^{2} - 4 x - 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 4.1.5

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 4.1.5.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 x^{3} + x^{2} - 4 x - 1 + 0$

Schritt 4.1.5.2

Addiere $4 x^{3} + x^{2} - 4 x - 1$ und $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + x^{2} - 4 x - 1$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $4 x^{3} + x^{2} - 4 x - 1$ .

$4 x^{3} + x^{2} - 4 x - 1$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $4 x^{3} + x^{2} - 4 x - 1 = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$4 x^{3} + x^{2} - 4 x - 1 = 0$

Schritt 5.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 5.2.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(4 x^{3} + x^{2}) - 4 x - 1 = 0$

Schritt 5.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x^{2} (4 x + 1) - (4 x + 1) = 0$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $4 x + 1$ .

$(4 x + 1) (x^{2} - 1) = 0$

Schritt 5.2.3

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$(4 x + 1) (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Schritt 5.2.4

Faktorisiere.

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Schritt 5.2.4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$(4 x + 1) ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Schritt 5.2.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$(4 x + 1) (x + 1) (x - 1) = 0$

Schritt 5.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$4 x + 1 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 5.4

Setze $4 x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.4.1

Setze $4 x + 1$ gleich $0$ .

$4 x + 1 = 0$

Schritt 5.4.2

Löse $4 x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.4.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = - 1$

Schritt 5.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = - 1$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = - 1$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Schritt 5.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Schritt 5.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{4}$

Schritt 5.4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{4}$

Schritt 5.5

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.5.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 5.5.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 5.6

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.6.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 5.6.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 5.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(4 x + 1) (x + 1) (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{1}{4}, - 1, 1$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = - \frac{1}{4}, - 1, 1$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - \frac{1}{4}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$12 {(- \frac{1}{4})}^{2} + 2 (- \frac{1}{4}) - 4$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 9.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{4}$ an.

$12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{4})}^{2}) + 2 (- \frac{1}{4}) - 4$

Schritt 9.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{4}$ an.

$12 ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{4^{2}}) + 2 (- \frac{1}{4}) - 4$

Schritt 9.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$12 (1 \frac{1^{2}}{4^{2}}) + 2 (- \frac{1}{4}) - 4$

Schritt 9.1.3

Mutltipliziere $\frac{1^{2}}{4^{2}}$ mit $1$ .

$12 \frac{1^{2}}{4^{2}} + 2 (- \frac{1}{4}) - 4$

Schritt 9.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$12 \frac{1}{4^{2}} + 2 (- \frac{1}{4}) - 4$

Schritt 9.1.5

Potenziere $4$ mit $2$ .

$12 (\frac{1}{16}) + 2 (- \frac{1}{4}) - 4$

Schritt 9.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 9.1.6.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$4 (3) \frac{1}{16} + 2 (- \frac{1}{4}) - 4$

Schritt 9.1.6.2

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$4 \cdot 3 \frac{1}{4 \cdot 4} + 2 (- \frac{1}{4}) - 4$

Schritt 9.1.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \cdot 3 \frac{1}{4 \cdot 4} + 2 (- \frac{1}{4}) - 4$

Schritt 9.1.6.4

Forme den Ausdruck um.

$3 (\frac{1}{4}) + 2 (- \frac{1}{4}) - 4$

Schritt 9.1.7

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{4}$ .

$\frac{3}{4} + 2 (- \frac{1}{4}) - 4$

Schritt 9.1.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.1.8.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{4}$ in den Zähler.

$\frac{3}{4} + 2 (\frac{- 1}{4}) - 4$

Schritt 9.1.8.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{3}{4} + 2 \frac{- 1}{2 (2)} - 4$

Schritt 9.1.8.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{4} + 2 \frac{- 1}{2 \cdot 2} - 4$

Schritt 9.1.8.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{4} + \frac{- 1}{2} - 4$

Schritt 9.1.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{3}{4} - \frac{1}{2} - 4$

Schritt 9.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 9.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{4} - (\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}) - 4$

Schritt 9.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2} - 4$

Schritt 9.2.3

Schreibe $- 4$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{3}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{- 4}{1}$

Schritt 9.2.4

Mutltipliziere $\frac{- 4}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{- 4}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 9.2.5

Mutltipliziere $\frac{- 4}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{- 4 \cdot 4}{4}$

Schritt 9.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{3}{4} - \frac{2}{4} + \frac{- 4 \cdot 4}{4}$

Schritt 9.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 - 2 - 4 \cdot 4}{4}$

Schritt 9.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.4.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$\frac{3 - 2 - 16}{4}$

Schritt 9.4.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$\frac{1 - 16}{4}$

Schritt 9.4.3

Subtrahiere $16$ von $1$ .

$\frac{- 15}{4}$

Schritt 9.4.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{15}{4}$

Schritt 10

$x = - \frac{1}{4}$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = - \frac{1}{4}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = - \frac{1}{4}$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{1}{4}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = {(- \frac{1}{4})}^{4} + \frac{1}{3} \cdot {(- \frac{1}{4})}^{3} - 2 {(- \frac{1}{4})}^{2} - (- \frac{1}{4}) + 1$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{4}$ an.

$f (- \frac{1}{4}) = {(- 1)}^{4} {(\frac{1}{4})}^{4} + \frac{1}{3} \cdot {(- \frac{1}{4})}^{3} - 2 {(- \frac{1}{4})}^{2} - (- \frac{1}{4}) + 1$

Schritt 11.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{4}$ an.

$f (- \frac{1}{4}) = {(- 1)}^{4} (\frac{1^{4}}{4^{4}}) + \frac{1}{3} \cdot {(- \frac{1}{4})}^{3} - 2 {(- \frac{1}{4})}^{2} - (- \frac{1}{4}) + 1$

Schritt 11.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 1 (\frac{1^{4}}{4^{4}}) + \frac{1}{3} \cdot {(- \frac{1}{4})}^{3} - 2 {(- \frac{1}{4})}^{2} - (- \frac{1}{4}) + 1$

Schritt 11.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{1^{4}}{4^{4}}$ mit $1$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1^{4}}{4^{4}} + \frac{1}{3} \cdot {(- \frac{1}{4})}^{3} - 2 {(- \frac{1}{4})}^{2} - (- \frac{1}{4}) + 1$

Schritt 11.2.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{4^{4}} + \frac{1}{3} \cdot {(- \frac{1}{4})}^{3} - 2 {(- \frac{1}{4})}^{2} - (- \frac{1}{4}) + 1$

Schritt 11.2.1.5

Potenziere $4$ mit $4$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{256} + \frac{1}{3} \cdot {(- \frac{1}{4})}^{3} - 2 {(- \frac{1}{4})}^{2} - (- \frac{1}{4}) + 1$

Schritt 11.2.1.6

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1.6.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{4}$ an.

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{256} + \frac{1}{3} \cdot ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{4})}^{3}) - 2 {(- \frac{1}{4})}^{2} - (- \frac{1}{4}) + 1$

Schritt 11.2.1.6.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{4}$ an.

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{256} + \frac{1}{3} \cdot ({(- 1)}^{3} (\frac{1^{3}}{4^{3}})) - 2 {(- \frac{1}{4})}^{2} - (- \frac{1}{4}) + 1$

Schritt 11.2.1.7

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{256} + \frac{1}{3} \cdot (- \frac{1^{3}}{4^{3}}) - 2 {(- \frac{1}{4})}^{2} - (- \frac{1}{4}) + 1$

Schritt 11.2.1.8

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{256} + \frac{1}{3} \cdot (- \frac{1}{4^{3}}) - 2 {(- \frac{1}{4})}^{2} - (- \frac{1}{4}) + 1$

Schritt 11.2.1.9

Potenziere $4$ mit $3$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{256} + \frac{1}{3} \cdot (- \frac{1}{64}) - 2 {(- \frac{1}{4})}^{2} - (- \frac{1}{4}) + 1$

Schritt 11.2.1.10

Multipliziere $\frac{1}{3} (- \frac{1}{64})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1.10.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{1}{64}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{256} - \frac{1}{3 \cdot 64} - 2 {(- \frac{1}{4})}^{2} - (- \frac{1}{4}) + 1$

Schritt 11.2.1.10.2

Mutltipliziere $3$ mit $64$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{256} - \frac{1}{192} - 2 {(- \frac{1}{4})}^{2} - (- \frac{1}{4}) + 1$

Schritt 11.2.1.11

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1.11.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{4}$ an.

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{256} - \frac{1}{192} - 2 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{4})}^{2}) - (- \frac{1}{4}) + 1$

Schritt 11.2.1.11.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{4}$ an.

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{256} - \frac{1}{192} - 2 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{4^{2}})) - (- \frac{1}{4}) + 1$

Schritt 11.2.1.12

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{256} - \frac{1}{192} - 2 (1 (\frac{1^{2}}{4^{2}})) - (- \frac{1}{4}) + 1$

Schritt 11.2.1.13

Mutltipliziere $\frac{1^{2}}{4^{2}}$ mit $1$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{256} - \frac{1}{192} - 2 \frac{1^{2}}{4^{2}} - (- \frac{1}{4}) + 1$

Schritt 11.2.1.14

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{256} - \frac{1}{192} - 2 \frac{1}{4^{2}} - (- \frac{1}{4}) + 1$

Schritt 11.2.1.15

Potenziere $4$ mit $2$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{256} - \frac{1}{192} - 2 (\frac{1}{16}) - (- \frac{1}{4}) + 1$

Schritt 11.2.1.16

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.2.1.16.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{256} - \frac{1}{192} + 2 (- 1) (\frac{1}{16}) - (- \frac{1}{4}) + 1$

Schritt 11.2.1.16.2

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{256} - \frac{1}{192} + 2 \cdot (- 1 \frac{1}{2 \cdot 8}) - (- \frac{1}{4}) + 1$

Schritt 11.2.1.16.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{256} - \frac{1}{192} + 2 \cdot (- 1 \frac{1}{2 \cdot 8}) - (- \frac{1}{4}) + 1$

Schritt 11.2.1.16.4

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{256} - \frac{1}{192} - 1 (\frac{1}{8}) - (- \frac{1}{4}) + 1$

Schritt 11.2.1.17

Schreibe $- 1 (\frac{1}{8})$ als $- (\frac{1}{8})$ um.

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{256} - \frac{1}{192} - (\frac{1}{8}) - (- \frac{1}{4}) + 1$

Schritt 11.2.1.18

Multipliziere $- (- \frac{1}{4})$ .

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Schritt 11.2.1.18.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{256} - \frac{1}{192} - \frac{1}{8} + 1 (\frac{1}{4}) + 1$

Schritt 11.2.1.18.2

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $1$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{256} - \frac{1}{192} - \frac{1}{8} + \frac{1}{4} + 1$

Schritt 11.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 11.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{256}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{256} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{192} - \frac{1}{8} + \frac{1}{4} + 1$

Schritt 11.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{256}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{3}{256 \cdot 3} - \frac{1}{192} - \frac{1}{8} + \frac{1}{4} + 1$

Schritt 11.2.2.3

Mutltipliziere $\frac{1}{192}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{3}{256 \cdot 3} - (\frac{1}{192} \cdot \frac{4}{4}) - \frac{1}{8} + \frac{1}{4} + 1$

Schritt 11.2.2.4

Mutltipliziere $\frac{1}{192}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{3}{256 \cdot 3} - \frac{4}{192 \cdot 4} - \frac{1}{8} + \frac{1}{4} + 1$

Schritt 11.2.2.5

Mutltipliziere $\frac{1}{8}$ mit $\frac{96}{96}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{3}{256 \cdot 3} - \frac{4}{192 \cdot 4} - (\frac{1}{8} \cdot \frac{96}{96}) + \frac{1}{4} + 1$

Schritt 11.2.2.6

Mutltipliziere $\frac{1}{8}$ mit $\frac{96}{96}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{3}{256 \cdot 3} - \frac{4}{192 \cdot 4} - \frac{96}{8 \cdot 96} + \frac{1}{4} + 1$

Schritt 11.2.2.7

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{192}{192}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{3}{256 \cdot 3} - \frac{4}{192 \cdot 4} - \frac{96}{8 \cdot 96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{192}{192} + 1$

Schritt 11.2.2.8

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{192}{192}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{3}{256 \cdot 3} - \frac{4}{192 \cdot 4} - \frac{96}{8 \cdot 96} + \frac{192}{4 \cdot 192} + 1$

Schritt 11.2.2.9

Schreibe $1$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{3}{256 \cdot 3} - \frac{4}{192 \cdot 4} - \frac{96}{8 \cdot 96} + \frac{192}{4 \cdot 192} + \frac{1}{1}$

Schritt 11.2.2.10

Mutltipliziere $\frac{1}{1}$ mit $\frac{768}{768}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{3}{256 \cdot 3} - \frac{4}{192 \cdot 4} - \frac{96}{8 \cdot 96} + \frac{192}{4 \cdot 192} + \frac{1}{1} \cdot \frac{768}{768}$

Schritt 11.2.2.11

Mutltipliziere $\frac{1}{1}$ mit $\frac{768}{768}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{3}{256 \cdot 3} - \frac{4}{192 \cdot 4} - \frac{96}{8 \cdot 96} + \frac{192}{4 \cdot 192} + \frac{768}{768}$

Schritt 11.2.2.12

Stelle die Faktoren von $256 \cdot 3$ um.

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{3}{3 \cdot 256} - \frac{4}{192 \cdot 4} - \frac{96}{8 \cdot 96} + \frac{192}{4 \cdot 192} + \frac{768}{768}$

Schritt 11.2.2.13

Mutltipliziere $3$ mit $256$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{3}{768} - \frac{4}{192 \cdot 4} - \frac{96}{8 \cdot 96} + \frac{192}{4 \cdot 192} + \frac{768}{768}$

Schritt 11.2.2.14

Stelle die Faktoren von $192 \cdot 4$ um.

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{3}{768} - \frac{4}{4 \cdot 192} - \frac{96}{8 \cdot 96} + \frac{192}{4 \cdot 192} + \frac{768}{768}$

Schritt 11.2.2.15

Mutltipliziere $4$ mit $192$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{3}{768} - \frac{4}{768} - \frac{96}{8 \cdot 96} + \frac{192}{4 \cdot 192} + \frac{768}{768}$

Schritt 11.2.2.16

Mutltipliziere $8$ mit $96$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{3}{768} - \frac{4}{768} - \frac{96}{768} + \frac{192}{4 \cdot 192} + \frac{768}{768}$

Schritt 11.2.2.17

Mutltipliziere $4$ mit $192$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{3}{768} - \frac{4}{768} - \frac{96}{768} + \frac{192}{768} + \frac{768}{768}$

Schritt 11.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{3 - 4 - 96 + 192 + 768}{768}$

Schritt 11.2.4

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 11.2.4.1

Subtrahiere $4$ von $3$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{- 1 - 96 + 192 + 768}{768}$

Schritt 11.2.4.2

Subtrahiere $96$ von $- 1$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{- 97 + 192 + 768}{768}$

Schritt 11.2.4.3

Addiere $- 97$ und $192$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{95 + 768}{768}$

Schritt 11.2.4.4

Addiere $95$ und $768$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{863}{768}$

Schritt 11.2.5

Die endgültige Lösung ist $\frac{863}{768}$ .

$y = \frac{863}{768}$

Schritt 12

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - 1$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$12 {(- 1)}^{2} + 2 (- 1) - 4$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 13.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$12 \cdot 1 + 2 (- 1) - 4$

Schritt 13.1.2

Mutltipliziere $12$ mit $1$ .

$12 + 2 (- 1) - 4$

Schritt 13.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$12 - 2 - 4$

Schritt 13.2

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 13.2.1

Subtrahiere $2$ von $12$ .

$10 - 4$

Schritt 13.2.2

Subtrahiere $4$ von $10$ .

$6$

Schritt 14

$x = - 1$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = - 1$ ist ein lokales Minimum

Schritt 15

Ermittele den y-Wert, wenn $x = - 1$ .

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Schritt 15.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f (- 1) = {(- 1)}^{4} + \frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - 2 {(- 1)}^{2} - (- 1) + 1$

Schritt 15.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 15.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.1.1

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$f (- 1) = 1 + \frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - 2 {(- 1)}^{2} - (- 1) + 1$

Schritt 15.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- 1) = 1 + \frac{1}{3} \cdot - 1 - 2 {(- 1)}^{2} - (- 1) + 1$

Schritt 15.2.1.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 1$ .

$f (- 1) = 1 + \frac{- 1}{3} - 2 {(- 1)}^{2} - (- 1) + 1$

Schritt 15.2.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- 1) = 1 - \frac{1}{3} - 2 {(- 1)}^{2} - (- 1) + 1$

Schritt 15.2.1.5

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- 1) = 1 - \frac{1}{3} - 2 \cdot 1 - (- 1) + 1$

Schritt 15.2.1.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$f (- 1) = 1 - \frac{1}{3} - 2 - (- 1) + 1$

Schritt 15.2.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- 1) = 1 - \frac{1}{3} - 2 + 1 + 1$

Schritt 15.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.2.1

Schreibe $1$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (- 1) = \frac{1}{1} - \frac{1}{3} - 2 + 1 + 1$

Schritt 15.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (- 1) = \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} - 2 + 1 + 1$

Schritt 15.2.2.3

Mutltipliziere $\frac{1}{1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (- 1) = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} - 2 + 1 + 1$

Schritt 15.2.2.4

Schreibe $- 2$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (- 1) = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} + \frac{- 2}{1} + 1 + 1$

Schritt 15.2.2.5

Mutltipliziere $\frac{- 2}{1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (- 1) = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{3}{3} + 1 + 1$

Schritt 15.2.2.6

Mutltipliziere $\frac{- 2}{1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (- 1) = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} + 1 + 1$

Schritt 15.2.2.7

Schreibe $1$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (- 1) = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} + \frac{1}{1} + 1$

Schritt 15.2.2.8

Mutltipliziere $\frac{1}{1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (- 1) = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} + \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{3} + 1$

Schritt 15.2.2.9

Mutltipliziere $\frac{1}{1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (- 1) = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} + \frac{3}{3} + 1$

Schritt 15.2.2.10

Schreibe $1$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (- 1) = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} + \frac{3}{3} + \frac{1}{1}$

Schritt 15.2.2.11

Mutltipliziere $\frac{1}{1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (- 1) = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} + \frac{3}{3} + \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 15.2.2.12

Mutltipliziere $\frac{1}{1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (- 1) = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} + \frac{3}{3} + \frac{3}{3}$

Schritt 15.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- 1) = \frac{3 - 1 - 2 \cdot 3 + 3 + 3}{3}$

Schritt 15.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.4.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$f (- 1) = \frac{3 - 1 - 6 + 3 + 3}{3}$

Schritt 15.2.4.2

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$f (- 1) = \frac{2 - 6 + 3 + 3}{3}$

Schritt 15.2.4.3

Subtrahiere $6$ von $2$ .

$f (- 1) = \frac{- 4 + 3 + 3}{3}$

Schritt 15.2.4.4

Addiere $- 4$ und $3$ .

$f (- 1) = \frac{- 1 + 3}{3}$

Schritt 15.2.4.5

Addiere $- 1$ und $3$ .

$f (- 1) = \frac{2}{3}$

Schritt 15.2.5

Die endgültige Lösung ist $\frac{2}{3}$ .

$y = \frac{2}{3}$

Schritt 16

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 1$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$12 {(1)}^{2} + 2 (1) - 4$

Schritt 17

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 17.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 17.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$12 \cdot 1 + 2 (1) - 4$

Schritt 17.1.2

Mutltipliziere $12$ mit $1$ .

$12 + 2 (1) - 4$

Schritt 17.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$12 + 2 - 4$

Schritt 17.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 17.2.1

Addiere $12$ und $2$ .

$14 - 4$

Schritt 17.2.2

Subtrahiere $4$ von $14$ .

$10$

Schritt 18

$x = 1$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 1$ ist ein lokales Minimum

Schritt 19

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 19.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = {(1)}^{4} + \frac{1}{3} \cdot {(1)}^{3} - 2 {(1)}^{2} - (1) + 1$

Schritt 19.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 19.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 19.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = 1 + \frac{1}{3} \cdot {(1)}^{3} - 2 {(1)}^{2} - (1) + 1$

Schritt 19.2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = 1 + \frac{1}{3} \cdot 1 - 2 {(1)}^{2} - (1) + 1$

Schritt 19.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $1$ .

$f (1) = 1 + \frac{1}{3} - 2 {(1)}^{2} - (1) + 1$

Schritt 19.2.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = 1 + \frac{1}{3} - 2 \cdot 1 - (1) + 1$

Schritt 19.2.1.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$f (1) = 1 + \frac{1}{3} - 2 - (1) + 1$

Schritt 19.2.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (1) = 1 + \frac{1}{3} - 2 - 1 + 1$

Schritt 19.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 19.2.2.1

Schreibe $1$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (1) = \frac{1}{1} + \frac{1}{3} - 2 - 1 + 1$

Schritt 19.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3} - 2 - 1 + 1$

Schritt 19.2.2.3

Mutltipliziere $\frac{1}{1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{3}{3} + \frac{1}{3} - 2 - 1 + 1$

Schritt 19.2.2.4

Schreibe $- 2$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (1) = \frac{3}{3} + \frac{1}{3} + \frac{- 2}{1} - 1 + 1$

Schritt 19.2.2.5

Mutltipliziere $\frac{- 2}{1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{3}{3} + \frac{1}{3} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{3}{3} - 1 + 1$

Schritt 19.2.2.6

Mutltipliziere $\frac{- 2}{1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{3}{3} + \frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} - 1 + 1$

Schritt 19.2.2.7

Schreibe $- 1$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (1) = \frac{3}{3} + \frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} + \frac{- 1}{1} + 1$

Schritt 19.2.2.8

Mutltipliziere $\frac{- 1}{1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{3}{3} + \frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{3}{3} + 1$

Schritt 19.2.2.9

Mutltipliziere $\frac{- 1}{1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{3}{3} + \frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + 1$

Schritt 19.2.2.10

Schreibe $1$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (1) = \frac{3}{3} + \frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{1}{1}$

Schritt 19.2.2.11

Mutltipliziere $\frac{1}{1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{3}{3} + \frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 19.2.2.12

Mutltipliziere $\frac{1}{1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{3}{3} + \frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{3}{3}$

Schritt 19.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (1) = \frac{3 + 1 - 2 \cdot 3 - 1 \cdot 3 + 3}{3}$

Schritt 19.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 19.2.4.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$f (1) = \frac{3 + 1 - 6 - 1 \cdot 3 + 3}{3}$

Schritt 19.2.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f (1) = \frac{3 + 1 - 6 - 3 + 3}{3}$

Schritt 19.2.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 19.2.5.1

Addiere $3$ und $1$ .

$f (1) = \frac{4 - 6 - 3 + 3}{3}$

Schritt 19.2.5.2

Subtrahiere $6$ von $4$ .

$f (1) = \frac{- 2 - 3 + 3}{3}$

Schritt 19.2.5.3

Subtrahiere $3$ von $- 2$ .

$f (1) = \frac{- 5 + 3}{3}$

Schritt 19.2.5.4

Addiere $- 5$ und $3$ .

$f (1) = \frac{- 2}{3}$

Schritt 19.2.5.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (1) = - \frac{2}{3}$

Schritt 19.2.6

Die endgültige Lösung ist $- \frac{2}{3}$ .

$y = - \frac{2}{3}$

Schritt 20

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = x^{4} + \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} - x + 1$ .

$(- \frac{1}{4}, \frac{863}{768})$ ist ein lokales Maximum

$(- 1, \frac{2}{3})$ ist ein lokales Minimum

$(1, - \frac{2}{3})$ ist ein lokales Minimum

Schritt 21