Analysis Beispiele

$f (x) = 5 x^{\frac{7}{4}} - 70 x + 15$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x^{\frac{7}{4}} - 70 x + 15$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{7}{4}}] + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{7}{4}}] + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{7}{4}}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{\frac{7}{4}}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{4}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{4}}] + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{7}{4}$ .

$5 (\frac{7}{4} x^{\frac{7}{4} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Schritt 1.2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$5 (\frac{7}{4} x^{\frac{7}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}) + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Schritt 1.2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{4}{4}$ .

$5 (\frac{7}{4} x^{\frac{7}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Schritt 1.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$5 (\frac{7}{4} x^{\frac{7 - 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Schritt 1.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$5 (\frac{7}{4} x^{\frac{7 - 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Schritt 1.2.6.2

Subtrahiere $4$ von $7$ .

$5 (\frac{7}{4} x^{\frac{3}{4}}) + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Schritt 1.2.7

Kombiniere $\frac{7}{4}$ und $x^{\frac{3}{4}}$ .

$5 \frac{7 x^{\frac{3}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Schritt 1.2.8

Kombiniere $5$ und $\frac{7 x^{\frac{3}{4}}}{4}$ .

$\frac{5 (7 x^{\frac{3}{4}})}{4} + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Schritt 1.2.9

Mutltipliziere $7$ mit $5$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 70 x]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 70$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 70 x$ nach $x$ gleich $- 70 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [15]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [15]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $- 70$ mit $1$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70 + \frac{d}{d x} [15]$

Schritt 1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.4.1

Da $15$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $15$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70 + 0$

Schritt 1.4.2

Addiere $\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70$ und $0$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4}] + \frac{d}{d x} [- 70]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4}) + \frac{d}{d x} (- 70)$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $\frac{35}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4}$ nach $x$ gleich $\frac{35}{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$ .

$f'' (x) = \frac{35}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{4}}) + \frac{d}{d x} (- 70)$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{3}{4}$ .

$f'' (x) = \frac{35}{4} \cdot (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1}) + \frac{d}{d x} (- 70)$

Schritt 2.2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$f'' (x) = \frac{35}{4} \cdot (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}) + \frac{d}{d x} (- 70)$

Schritt 2.2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{4}{4}$ .

$f'' (x) = \frac{35}{4} \cdot (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{d}{d x} (- 70)$

Schritt 2.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{35}{4} \cdot (\frac{3}{4} x^{\frac{3 - 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{d}{d x} (- 70)$

Schritt 2.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f'' (x) = \frac{35}{4} \cdot (\frac{3}{4} x^{\frac{3 - 4}{4}}) + \frac{d}{d x} (- 70)$

Schritt 2.2.6.2

Subtrahiere $4$ von $3$ .

$f'' (x) = \frac{35}{4} \cdot (\frac{3}{4} x^{\frac{- 1}{4}}) + \frac{d}{d x} (- 70)$

Schritt 2.2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{35}{4} \cdot (\frac{3}{4} x^{- \frac{1}{4}}) + \frac{d}{d x} (- 70)$

Schritt 2.2.8

Kombiniere $\frac{3}{4}$ und $x^{- \frac{1}{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{35}{4} \cdot \frac{3 x^{- \frac{1}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} (- 70)$

Schritt 2.2.9

Mutltipliziere $\frac{35}{4}$ mit $\frac{3 x^{- \frac{1}{4}}}{4}$ .

$f'' (x) = \frac{35 (3 x^{- \frac{1}{4}})}{4 \cdot 4} + \frac{d}{d x} (- 70)$

Schritt 2.2.10

Mutltipliziere $3$ mit $35$ .

$f'' (x) = \frac{105 x^{- \frac{1}{4}}}{4 \cdot 4} + \frac{d}{d x} (- 70)$

Schritt 2.2.11

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$f'' (x) = \frac{105 x^{- \frac{1}{4}}}{16} + \frac{d}{d x} (- 70)$

Schritt 2.2.12

Bringe $x^{- \frac{1}{4}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{105}{16 x^{\frac{1}{4}}} + \frac{d}{d x} (- 70)$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.3.1

Da $- 70$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 70$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{105}{16 x^{\frac{1}{4}}} + 0$

Schritt 2.3.2

Addiere $\frac{105}{16 x^{\frac{1}{4}}}$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{105}{16 x^{\frac{1}{4}}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70 = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x^{\frac{7}{4}} - 70 x + 15$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{7}{4}}] + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{7}{4}}] + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Schritt 4.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{7}{4}}]$ .

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Schritt 4.1.2.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{\frac{7}{4}}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{4}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{4}}] + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{7}{4}$ .

$5 (\frac{7}{4} x^{\frac{7}{4} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Schritt 4.1.2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$5 (\frac{7}{4} x^{\frac{7}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}) + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Schritt 4.1.2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{4}{4}$ .

$5 (\frac{7}{4} x^{\frac{7}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Schritt 4.1.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$5 (\frac{7}{4} x^{\frac{7 - 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Schritt 4.1.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$5 (\frac{7}{4} x^{\frac{7 - 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Schritt 4.1.2.6.2

Subtrahiere $4$ von $7$ .

$5 (\frac{7}{4} x^{\frac{3}{4}}) + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Schritt 4.1.2.7

Kombiniere $\frac{7}{4}$ und $x^{\frac{3}{4}}$ .

$5 \frac{7 x^{\frac{3}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Schritt 4.1.2.8

Kombiniere $5$ und $\frac{7 x^{\frac{3}{4}}}{4}$ .

$\frac{5 (7 x^{\frac{3}{4}})}{4} + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Schritt 4.1.2.9

Mutltipliziere $7$ mit $5$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Schritt 4.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 70 x]$ .

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Schritt 4.1.3.1

Da $- 70$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 70 x$ nach $x$ gleich $- 70 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [15]$

Schritt 4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [15]$

Schritt 4.1.3.3

Mutltipliziere $- 70$ mit $1$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70 + \frac{d}{d x} [15]$

Schritt 4.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 4.1.4.1

Da $15$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $15$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70 + 0$

Schritt 4.1.4.2

Addiere $\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70 = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70 = 0$

Schritt 5.2

Addiere $70$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} = 70$

Schritt 5.3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{4}{35}$ .

$\frac{4}{35} \cdot \frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} = \frac{4}{35} \cdot 70$

Schritt 5.4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 5.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.1.1

Vereinfache $\frac{4}{35} \cdot \frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4}$ .

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Schritt 5.4.1.1.1

Kombinieren.

$\frac{4 (35 x^{\frac{3}{4}})}{35 \cdot 4} = \frac{4}{35} \cdot 70$

Schritt 5.4.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 (35 x^{\frac{3}{4}})}{35 \cdot 4} = \frac{4}{35} \cdot 70$

Schritt 5.4.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{35} = \frac{4}{35} \cdot 70$

Schritt 5.4.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{35} = \frac{4}{35} \cdot 70$

Schritt 5.4.1.1.5

Dividiere $x^{\frac{3}{4}}$ durch $1$ .

$x^{\frac{3}{4}} = \frac{4}{35} \cdot 70$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Vereinfache $\frac{4}{35} \cdot 70$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $35$ .

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Schritt 5.4.2.1.1.1

Faktorisiere $35$ aus $70$ heraus.

$x^{\frac{3}{4}} = \frac{4}{35} \cdot (35 (2))$

Schritt 5.4.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{3}{4}} = \frac{4}{35} \cdot (35 \cdot 2)$

Schritt 5.4.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{\frac{3}{4}} = 4 \cdot 2$

Schritt 5.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$x^{\frac{3}{4}} = 8$

Schritt 5.5

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $\frac{4}{3}$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}} = 8^{\frac{4}{3}}$

Schritt 5.6

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 5.6.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.6.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}}$ .

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Schritt 5.6.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}}$ .

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Schritt 5.6.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}} = 8^{\frac{4}{3}}$

Schritt 5.6.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.6.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}} = 8^{\frac{4}{3}}$

Schritt 5.6.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 8^{\frac{4}{3}}$

Schritt 5.6.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.6.1.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 8^{\frac{4}{3}}$

Schritt 5.6.1.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = 8^{\frac{4}{3}}$

Schritt 5.6.1.1.2

Vereinfache.

$x = 8^{\frac{4}{3}}$

Schritt 5.6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.6.2.1

Vereinfache $8^{\frac{4}{3}}$ .

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Schritt 5.6.2.1.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.6.2.1.1.1

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$x = {(2^{3})}^{\frac{4}{3}}$

Schritt 5.6.2.1.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 2^{3 (\frac{4}{3})}$

Schritt 5.6.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.6.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 2^{3 (\frac{4}{3})}$

Schritt 5.6.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 2^{4}$

Schritt 5.6.2.1.3

Potenziere $2$ mit $4$ .

$x = 16$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{35 \sqrt[4]{x^{3}}}{4} - 70$

Schritt 6.2

Setze den Radikanden in $\sqrt[4]{x^{3}}$ kleiner als $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{3} < 0$

Schritt 6.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Ungleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sqrt[3]{x^{3}} < \sqrt[3]{0}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 6.3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x < \sqrt[3]{0}$

Schritt 6.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.2.1

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$x < \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 6.3.2.2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x < 0$

Schritt 6.4

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 16$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 16$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{105}{16 {(16)}^{\frac{1}{4}}}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Multipliziere $16$ mit ${(16)}^{\frac{1}{4}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 9.1.1

Mutltipliziere $16$ mit ${(16)}^{\frac{1}{4}}$ .

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Schritt 9.1.1.1

Potenziere $16$ mit $1$ .

$\frac{105}{16^{1} {(16)}^{\frac{1}{4}}}$

Schritt 9.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{105}{16^{1 + \frac{1}{4}}}$

Schritt 9.1.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{105}{16^{\frac{4}{4} + \frac{1}{4}}}$

Schritt 9.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{105}{16^{\frac{4 + 1}{4}}}$

Schritt 9.1.4

Addiere $4$ und $1$ .

$\frac{105}{16^{\frac{5}{4}}}$

Schritt 9.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.2.1

Schreibe $16$ als $2^{4}$ um.

$\frac{105}{{(2^{4})}^{\frac{5}{4}}}$

Schritt 9.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{105}{2^{4 (\frac{5}{4})}}$

Schritt 9.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 9.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{105}{2^{4 (\frac{5}{4})}}$

Schritt 9.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{105}{2^{5}}$

Schritt 9.2.4

Potenziere $2$ mit $5$ .

$\frac{105}{32}$

Schritt 10

$x = 16$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 16$ ist ein lokales Minimum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 16$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $16$ .

$f (16) = 5 {(16)}^{\frac{7}{4}} - 70 \cdot 16 + 15$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.1.1

Schreibe $16$ als $2^{4}$ um.

$f (16) = 5 {(2^{4})}^{\frac{7}{4}} - 70 \cdot 16 + 15$

Schritt 11.2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (16) = 5 \cdot 2^{4 (\frac{7}{4})} - 70 \cdot 16 + 15$

Schritt 11.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 11.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (16) = 5 \cdot 2^{4 (\frac{7}{4})} - 70 \cdot 16 + 15$

Schritt 11.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f (16) = 5 \cdot 2^{7} - 70 \cdot 16 + 15$

Schritt 11.2.1.4

Potenziere $2$ mit $7$ .

$f (16) = 5 \cdot 128 - 70 \cdot 16 + 15$

Schritt 11.2.1.5

Mutltipliziere $5$ mit $128$ .

$f (16) = 640 - 70 \cdot 16 + 15$

Schritt 11.2.1.6

Mutltipliziere $- 70$ mit $16$ .

$f (16) = 640 - 1120 + 15$

Schritt 11.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 11.2.2.1

Subtrahiere $1120$ von $640$ .

$f (16) = - 480 + 15$

Schritt 11.2.2.2

Addiere $- 480$ und $15$ .

$f (16) = - 465$

Schritt 11.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 465$ .

$y = - 465$

Schritt 12

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = 5 x^{\frac{7}{4}} - 70 x + 15$ .

$(16, - 465)$ ist ein lokales Minimum

Schritt 13