Analysis Beispiele

$f (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{5}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{5}{3}}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{2}{3}}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{\frac{2}{3}}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{5}{3}}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{2}{3}$ .

$5 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{5}{3}}]$

Schritt 1.2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$5 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{5}{3}}]$

Schritt 1.2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$5 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{5}{3}}]$

Schritt 1.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$5 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{5}{3}}]$

Schritt 1.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$5 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{5}{3}}]$

Schritt 1.2.6.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$5 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{5}{3}}]$

Schritt 1.2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$5 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{5}{3}}]$

Schritt 1.2.8

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$5 \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{5}{3}}]$

Schritt 1.2.9

Kombiniere $5$ und $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{5 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{5}{3}}]$

Schritt 1.2.10

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$\frac{10 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{5}{3}}]$

Schritt 1.2.11

Bringe $x^{- \frac{1}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{5}{3}}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{5}{3}}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x^{\frac{5}{3}}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}]$ .

$\frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{5}{3}$ .

$\frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 2 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1})$

Schritt 1.3.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 2 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Schritt 1.3.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 2 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 1.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 2 (\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 1.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 2 (\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 3}{3}})$

Schritt 1.3.6.2

Subtrahiere $3$ von $5$ .

$\frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 2 (\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 1.3.7

Kombiniere $\frac{5}{3}$ und $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 2 \frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}$

Schritt 1.3.8

Kombiniere $- 2$ und $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{- 2 (5 x^{\frac{2}{3}})}{3}$

Schritt 1.3.9

Mutltipliziere $5$ mit $- 2$ .

$\frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{- 10 x^{\frac{2}{3}}}{3}$

Schritt 1.3.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3})$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $\frac{10}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ nach $x$ gleich $\frac{10}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3})$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ als ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ um.

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (- \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3})$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .

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Schritt 2.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3})$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3})$

Schritt 2.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3})$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} (- \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3})$

Schritt 2.2.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ .

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Schritt 2.2.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot (- x^{\frac{1}{3} \cdot - 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} (- \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3})$

Schritt 2.2.5.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot (- x^{\frac{- 2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} (- \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3})$

Schritt 2.2.5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} (- \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3})$

Schritt 2.2.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3})$

Schritt 2.2.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3})$

Schritt 2.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3})$

Schritt 2.2.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3})$

Schritt 2.2.9.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3})$

Schritt 2.2.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3})$

Schritt 2.2.11

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3})$

Schritt 2.2.12

Kombiniere $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ und $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot (- \frac{x^{- \frac{2}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3})$

Schritt 2.2.13

Multipliziere $x^{- \frac{2}{3}}$ mit $x^{- \frac{2}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.13.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot (- \frac{x^{- \frac{2}{3} - \frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3})$

Schritt 2.2.13.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 2 - 2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3})$

Schritt 2.2.13.3

Subtrahiere $2$ von $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 4}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3})$

Schritt 2.2.13.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3})$

Schritt 2.2.14

Bringe $x^{- \frac{4}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot (- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3})$

Schritt 2.2.15

Mutltipliziere $\frac{10}{3}$ mit $\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{10}{3 (3 x^{\frac{4}{3}})} + \frac{d}{d x} (- \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3})$

Schritt 2.2.16

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f'' (x) = - \frac{10}{9 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{d}{d x} (- \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3})$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- \frac{10}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{10}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{10}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{10}{3} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}}$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{10}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{10}{3} \cdot (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Schritt 2.3.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{10}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{10}{3} \cdot (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Schritt 2.3.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{10}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{10}{3} \cdot (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 2.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = - \frac{10}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{10}{3} \cdot (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 2.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f'' (x) = - \frac{10}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{10}{3} \cdot (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Schritt 2.3.6.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$f'' (x) = - \frac{10}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{10}{3} \cdot (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Schritt 2.3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{10}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{10}{3} \cdot (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Schritt 2.3.8

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{10}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{10}{3} \cdot \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Schritt 2.3.9

Mutltipliziere $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ mit $\frac{10}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{10}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{2 x^{- \frac{1}{3}} \cdot 10}{3 \cdot 3}$

Schritt 2.3.10

Mutltipliziere $10$ mit $2$ .

$f'' (x) = - \frac{10}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{20 x^{- \frac{1}{3}}}{3 \cdot 3}$

Schritt 2.3.11

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f'' (x) = - \frac{10}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{20 x^{- \frac{1}{3}}}{9}$

Schritt 2.3.12

Bringe $x^{- \frac{1}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{10}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{20}{9 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{5}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{5}{3}}]$

Schritt 4.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{2}{3}}]$ .

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Schritt 4.1.2.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{\frac{2}{3}}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{5}{3}}]$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{2}{3}$ .

$5 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{5}{3}}]$

Schritt 4.1.2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$5 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{5}{3}}]$

Schritt 4.1.2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$5 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{5}{3}}]$

Schritt 4.1.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$5 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{5}{3}}]$

Schritt 4.1.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$5 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{5}{3}}]$

Schritt 4.1.2.6.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$5 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{5}{3}}]$

Schritt 4.1.2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$5 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{5}{3}}]$

Schritt 4.1.2.8

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$5 \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{5}{3}}]$

Schritt 4.1.2.9

Kombiniere $5$ und $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{5 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{5}{3}}]$

Schritt 4.1.2.10

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$\frac{10 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{5}{3}}]$

Schritt 4.1.2.11

Bringe $x^{- \frac{1}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{5}{3}}]$

Schritt 4.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{5}{3}}]$ .

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Schritt 4.1.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x^{\frac{5}{3}}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}]$ .

$\frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}]$

Schritt 4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{5}{3}$ .

$\frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 2 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1})$

Schritt 4.1.3.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 2 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Schritt 4.1.3.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 2 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 4.1.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 2 (\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 4.1.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 2 (\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 3}{3}})$

Schritt 4.1.3.6.2

Subtrahiere $3$ von $5$ .

$\frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 2 (\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 4.1.3.7

Kombiniere $\frac{5}{3}$ und $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 2 \frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}$

Schritt 4.1.3.8

Kombiniere $- 2$ und $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{- 2 (5 x^{\frac{2}{3}})}{3}$

Schritt 4.1.3.9

Mutltipliziere $5$ mit $- 2$ .

$\frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{- 10 x^{\frac{2}{3}}}{3}$

Schritt 4.1.3.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} = 0$

Schritt 5.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$3 x^{\frac{1}{3}}, 3, 1$

Schritt 5.2.2

Da $3 x^{\frac{1}{3}}, 3, 1$ sowohl Zahlen als auch Variablen enthält, sind zwei Schritte notwendig, um das kgV zu finden. Finde das kgV für den numerischen Teil $3, 3, 1$ und anschließend für den variablen Teil $x^{\frac{1}{3}}$ .

Schritt 5.2.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 5.2.4

Da $3$ keine Teiler außer $1$ und $3$ hat.

$3$ ist eine Primzahl

Schritt 5.2.5

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 5.2.6

Das kgV von $3, 3, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$3$

Schritt 5.2.7

Das kgV von $x^{\frac{1}{3}}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$x^{\frac{1}{3}}$

Schritt 5.2.8

Das kgV von $3 x^{\frac{1}{3}}, 3, 1$ ist der numerische Teil $3$ multipliziert mit dem variablen Teil.

$3 x^{\frac{1}{3}}$

Schritt 5.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} = 0$ mit $3 x^{\frac{1}{3}}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 5.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} = 0$ mit $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) - \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} - \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 5.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} - \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 5.3.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{10}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} - \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 5.3.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{\frac{1}{3}}$ .

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Schritt 5.3.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{10}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} - \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 5.3.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$10 - \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 5.3.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.2.1.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3}$ in den Zähler.

$10 + \frac{- 10 x^{\frac{2}{3}}}{3} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 5.3.2.1.4.2

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{\frac{1}{3}}$ heraus.

$10 + \frac{- 10 x^{\frac{2}{3}}}{3} (3 (x^{\frac{1}{3}})) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 5.3.2.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$10 + \frac{- 10 x^{\frac{2}{3}}}{3} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 5.3.2.1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$10 - 10 x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}} = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 5.3.2.1.5

Multipliziere $x^{\frac{2}{3}}$ mit $x^{\frac{1}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.2.1.5.1

Bewege $x^{\frac{1}{3}}$ .

$10 - 10 (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 5.3.2.1.5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$10 - 10 x^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 5.3.2.1.5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$10 - 10 x^{\frac{1 + 2}{3}} = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 5.3.2.1.5.4

Addiere $1$ und $2$ .

$10 - 10 x^{\frac{3}{3}} = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 5.3.2.1.5.5

Dividiere $3$ durch $3$ .

$10 - 10 x^{1} = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 5.3.2.1.6

Vereinfache $- 10 x^{1}$ .

$10 - 10 x = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Multipliziere $0 (3 x^{\frac{1}{3}})$ .

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Schritt 5.3.3.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$10 - 10 x = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Schritt 5.3.3.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $x^{\frac{1}{3}}$ .

$10 - 10 x = 0$

Schritt 5.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 5.4.1

Subtrahiere $10$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 10 x = - 10$

Schritt 5.4.2

Teile jeden Ausdruck in $- 10 x = - 10$ durch $- 10$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 10 x = - 10$ durch $- 10$ .

$\frac{- 10 x}{- 10} = \frac{- 10}{- 10}$

Schritt 5.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 10$ .

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Schritt 5.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 10 x}{- 10} = \frac{- 10}{- 10}$

Schritt 5.4.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 10}{- 10}$

Schritt 5.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.2.3.1

Dividiere $- 10$ durch $- 10$ .

$x = 1$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 6.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{10}{3 \sqrt[3]{x^{1}}} - \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3}$

Schritt 6.1.2

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{10}{3 \sqrt[3]{x^{1}}} - \frac{10 \sqrt[3]{x^{2}}}{3}$

Schritt 6.1.3

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$\frac{10}{3 \sqrt[3]{x}} - \frac{10 \sqrt[3]{x^{2}}}{3}$

Schritt 6.2

Setze den Nenner in $\frac{10}{3 \sqrt[3]{x}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$3 \sqrt[3]{x} = 0$

Schritt 6.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${(3 \sqrt[3]{x})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 6.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 6.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.2.1

Vereinfache ${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $3 x^{\frac{1}{3}}$ an.

$3^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 6.3.2.2.1.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$27 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 6.3.2.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 6.3.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 6.3.2.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$27 x^{1} = 0^{3}$

Schritt 6.3.2.2.1.4

Vereinfache.

$27 x = 0^{3}$

Schritt 6.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$27 x = 0$

Schritt 6.3.3

Teile jeden Ausdruck in $27 x = 0$ durch $27$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $27 x = 0$ durch $27$ .

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Schritt 6.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $27$ .

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Schritt 6.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Schritt 6.3.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{27}$

Schritt 6.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.3.3.1

Dividiere $0$ durch $27$ .

$x = 0$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 1, 0$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 1$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \frac{10}{9 {(1)}^{\frac{4}{3}}} - \frac{20}{9 {(1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{10}{9 \cdot 1} - \frac{20}{9 {(1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 9.1.2

Mutltipliziere $9$ mit $1$ .

$- \frac{10}{9} - \frac{20}{9 {(1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 9.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{10}{9} - \frac{20}{9 \cdot 1}$

Schritt 9.1.4

Mutltipliziere $9$ mit $1$ .

$- \frac{10}{9} - \frac{20}{9}$

Schritt 9.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 9.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 10 - 20}{9}$

Schritt 9.2.2

Subtrahiere $20$ von $- 10$ .

$\frac{- 30}{9}$

Schritt 9.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 30$ und $9$ .

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Schritt 9.2.3.1

Faktorisiere $3$ aus $- 30$ heraus.

$\frac{3 (- 10)}{9}$

Schritt 9.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$\frac{3 \cdot - 10}{3 \cdot 3}$

Schritt 9.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot - 10}{3 \cdot 3}$

Schritt 9.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 10}{3}$

Schritt 9.2.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{10}{3}$

Schritt 10

$x = 1$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 1$ ist ein lokales Maximum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 1$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = 5 {(1)}^{\frac{2}{3}} - 2 {(1)}^{\frac{5}{3}}$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = 5 \cdot 1 - 2 {(1)}^{\frac{5}{3}}$

Schritt 11.2.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$f (1) = 5 - 2 {(1)}^{\frac{5}{3}}$

Schritt 11.2.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = 5 - 2 \cdot 1$

Schritt 11.2.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$f (1) = 5 - 2$

Schritt 11.2.2

Subtrahiere $2$ von $5$ .

$f (1) = 3$

Schritt 11.2.3

Die endgültige Lösung ist $3$ .

$y = 3$

Schritt 12

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \frac{10}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}} - \frac{20}{9 {(0)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 13.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 13.1.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$- \frac{10}{9 {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}} - \frac{20}{9 {(0)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 13.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{10}{9 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}} - \frac{20}{9 {(0)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 13.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{10}{9 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}} - \frac{20}{9 {(0)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 13.2.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{10}{9 \cdot 0^{4}} - \frac{20}{9 {(0)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 13.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 13.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{10}{9 \cdot 0} - \frac{20}{9 {(0)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 13.3.2

Mutltipliziere $9$ mit $0$ .

$- \frac{10}{0} - \frac{20}{9 {(0)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 13.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$- \frac{10}{0} - \frac{20}{9 {(0)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 13.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 14

Da es mindestens einen Punkt mit $0$ oder eine nicht definierte zweite Ableitung gibt, wende den ersten Ableitungstest an.

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Schritt 14.1

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu $0$ oder nicht definiert machen.

$(- \infty, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Schritt 14.2

Setze eine beliebige Zahl, wie $- 2$ , aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die erste Ableitung $\frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 14.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f' (- 2) = \frac{10}{3 {(- 2)}^{\frac{1}{3}}} - \frac{10 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}}{3}$

Schritt 14.2.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{10}{3 {(- 2)}^{\frac{1}{3}}} - \frac{10 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{10}{3 {(- 2)}^{\frac{1}{3}}} - \frac{10 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}}{3}$

Schritt 14.3

Setze eine beliebige Zahl, wie $0.5$ , aus dem Intervall $(0, 1)$ in die erste Ableitung $\frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 14.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.5$ .

$f' (0.5) = \frac{10}{3 {(0.5)}^{\frac{1}{3}}} - \frac{10 {(0.5)}^{\frac{2}{3}}}{3}$

Schritt 14.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 14.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 14.3.2.1.1

Potenziere $0.5$ mit $\frac{1}{3}$ .

$f' (0.5) = \frac{10}{3 \cdot 0.79370052} - \frac{10 {(0.5)}^{\frac{2}{3}}}{3}$

Schritt 14.3.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $0.79370052$ .

$f' (0.5) = \frac{10}{2.38110157} - \frac{10 {(0.5)}^{\frac{2}{3}}}{3}$

Schritt 14.3.2.1.3

Dividiere $10$ durch $2.38110157$ .

$f' (0.5) = 4.19973683 - \frac{10 {(0.5)}^{\frac{2}{3}}}{3}$

Schritt 14.3.2.1.4

Potenziere $0.5$ mit $\frac{2}{3}$ .

$f' (0.5) = 4.19973683 - \frac{10 \cdot 0.62996052}{3}$

Schritt 14.3.2.1.5

Mutltipliziere $10$ mit $0.62996052$ .

$f' (0.5) = 4.19973683 - \frac{6.29960524}{3}$

Schritt 14.3.2.1.6

Dividiere $6.29960524$ durch $3$ .

$f' (0.5) = 4.19973683 - 1 \cdot 2.09986841$

Schritt 14.3.2.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $2.09986841$ .

$f' (0.5) = 4.19973683 - 2.09986841$

Schritt 14.3.2.2

Subtrahiere $2.09986841$ von $4.19973683$ .

$f' (0.5) = 2.09986841$

Schritt 14.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $2.09986841$ .

$2.09986841$

Schritt 14.4

Setze eine beliebige Zahl, wie $4$ , aus dem Intervall $(1, \infty)$ in die erste Ableitung $\frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 14.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f' (4) = \frac{10}{3 {(4)}^{\frac{1}{3}}} - \frac{10 {(4)}^{\frac{2}{3}}}{3}$

Schritt 14.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 14.4.2.1

Entferne die Klammern.

$f' (4) = \frac{10}{3 \cdot 4^{\frac{1}{3}}} - \frac{10 \cdot 4^{\frac{2}{3}}}{3}$

Schritt 14.4.2.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{10}{3 \cdot 4^{\frac{1}{3}}} - \frac{10 \cdot 4^{\frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{10}{3 \cdot 4^{\frac{1}{3}}} - \frac{10 \cdot 4^{\frac{2}{3}}}{3}$

Schritt 14.5

Da die erste Ableitung um $x = 0$ herum das Vorzeichen von negativ zu positiv gewechselt hat, ist $x = 0$ ein lokales Minimum.

$x = 0$ ist ein lokales Minimum

Schritt 14.6

Da die erste Ableitung um $x = 1$ herum das Vorzeichen von positiv zu negativ gewechselt hat, ist $x = 1$ ein lokales Maximum.

$x = 1$ ist ein lokales Maximum

Schritt 14.7

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}}$ .

$x = 0$ ist ein lokales Minimum

$x = 1$ ist ein lokales Maximum

$x = 0$ ist ein lokales Minimum

$x = 1$ ist ein lokales Maximum

Schritt 15