Analysis Beispiele

$f (x) = 5 + \frac{1}{9} x + \frac{10000}{x}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 + \frac{1}{9} x + \frac{10000}{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{9} x] + \frac{d}{d x} [\frac{10000}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{9} x] + \frac{d}{d x} [\frac{10000}{x}]$

Schritt 1.1.2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{9} x] + \frac{d}{d x} [\frac{10000}{x}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{9} x]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $\frac{1}{9}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{9} x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + \frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{10000}{x}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + \frac{1}{9} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{10000}{x}]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $\frac{1}{9}$ mit $1$ .

$0 + \frac{1}{9} + \frac{d}{d x} [\frac{10000}{x}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{10000}{x}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $10000$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{10000}{x}$ nach $x$ gleich $10000 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$0 + \frac{1}{9} + 10000 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 1.3.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$0 + \frac{1}{9} + 10000 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$0 + \frac{1}{9} + 10000 (- x^{- 2})$

Schritt 1.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $10000$ .

$0 + \frac{1}{9} - 10000 x^{- 2}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{1}{9} - 10000 \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 1.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.4.2.1

Addiere $0$ und $\frac{1}{9}$ .

$\frac{1}{9} - 10000 \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 1.4.2.2

Kombiniere $- 10000$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{9} + \frac{- 10000}{x^{2}}$

Schritt 1.4.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{9} - \frac{10000}{x^{2}}$

Schritt 1.4.3

Stelle die Terme um.

$- \frac{10000}{x^{2}} + \frac{1}{9}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- \frac{10000}{x^{2}} + \frac{1}{9}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- \frac{10000}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{9}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{10000}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{9})$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{10000}{x^{2}}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 10000$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{10000}{x^{2}}$ nach $x$ gleich $- 10000 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 10000 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{9})$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{1}{x^{2}}$ als ${(x^{2})}^{- 1}$ um.

$f'' (x) = - 10000 \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{9})$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 2.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2}$ .

$f'' (x) = - 10000 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{9})$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f'' (x) = - 10000 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{9})$

Schritt 2.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$f'' (x) = - 10000 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{9})$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = - 10000 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{9})$

Schritt 2.2.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Schritt 2.2.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 10000 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{9})$

Schritt 2.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = - 10000 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{9})$

Schritt 2.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - 10000 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{9})$

Schritt 2.2.7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 10000 (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{9})$

Schritt 2.2.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - 10000 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{9})$

Schritt 2.2.9

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$f'' (x) = - 10000 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{9})$

Schritt 2.2.10

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 10000$ .

$f'' (x) = 20000 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{9})$

Schritt 2.3

Da $\frac{1}{9}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{9}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 20000 x^{- 3} + 0$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 20000 (\frac{1}{x^{3}}) + 0$

Schritt 2.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.4.2.1

Kombiniere $20000$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{20000}{x^{3}} + 0$

Schritt 2.4.2.2

Addiere $\frac{20000}{x^{3}}$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{20000}{x^{3}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- \frac{10000}{x^{2}} + \frac{1}{9} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Differenziere.

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Schritt 4.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 + \frac{1}{9} x + \frac{10000}{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{9} x] + \frac{d}{d x} [\frac{10000}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{9} x] + \frac{d}{d x} [\frac{10000}{x}]$

Schritt 4.1.1.2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{9} x] + \frac{d}{d x} [\frac{10000}{x}]$

Schritt 4.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{9} x]$ .

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Schritt 4.1.2.1

Da $\frac{1}{9}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{9} x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + \frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{10000}{x}]$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + \frac{1}{9} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{10000}{x}]$

Schritt 4.1.2.3

Mutltipliziere $\frac{1}{9}$ mit $1$ .

$0 + \frac{1}{9} + \frac{d}{d x} [\frac{10000}{x}]$

Schritt 4.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{10000}{x}]$ .

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Schritt 4.1.3.1

Da $10000$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{10000}{x}$ nach $x$ gleich $10000 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$0 + \frac{1}{9} + 10000 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 4.1.3.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$0 + \frac{1}{9} + 10000 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 4.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$0 + \frac{1}{9} + 10000 (- x^{- 2})$

Schritt 4.1.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $10000$ .

$0 + \frac{1}{9} - 10000 x^{- 2}$

Schritt 4.1.4

Vereinfache.

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Schritt 4.1.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{1}{9} - 10000 \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 4.1.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.1.4.2.1

Addiere $0$ und $\frac{1}{9}$ .

$\frac{1}{9} - 10000 \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 4.1.4.2.2

Kombiniere $- 10000$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{9} + \frac{- 10000}{x^{2}}$

Schritt 4.1.4.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{9} - \frac{10000}{x^{2}}$

Schritt 4.1.4.3

Stelle die Terme um.

$f' (x) = - \frac{10000}{x^{2}} + \frac{1}{9}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{10000}{x^{2}} + \frac{1}{9}$ .

$- \frac{10000}{x^{2}} + \frac{1}{9}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{10000}{x^{2}} + \frac{1}{9} = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{10000}{x^{2}} + \frac{1}{9} = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $\frac{1}{9}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{10000}{x^{2}} = - \frac{1}{9}$

Schritt 5.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 5.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x^{2}, 9$

Schritt 5.3.2

Da $x^{2}, 9$ sowohl Zahlen als auch Variablen enthält, sind zwei Schritte notwendig, um das kgV zu finden. Finde das kgV für den numerischen Teil $1, 9$ und anschließend für den variablen Teil $x^{2}$ .

Schritt 5.3.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 5.3.4

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 5.3.5

$9$ hat Faktoren von $3$ und $3$ .

$3 \cdot 3$

Schritt 5.3.6

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$9$

Schritt 5.3.7

Die Teiler von $x^{2}$ sind $x \cdot x$ , was $x$ $2$ -mal mit sich selbst multipliziert ist.

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ tritt $2$ -mal auf.

Schritt 5.3.8

Das kgV von $x^{2}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$x \cdot x$

Schritt 5.3.9

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2}$

Schritt 5.3.10

Das kgV von $x^{2}, 9$ ist der numerische Teil $9$ multipliziert mit dem variablen Teil.

$9 x^{2}$

Schritt 5.4

Multipliziere jeden Term in $- \frac{10000}{x^{2}} = - \frac{1}{9}$ mit $9 x^{2}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 5.4.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{10000}{x^{2}} = - \frac{1}{9}$ mit $9 x^{2}$ .

$- \frac{10000}{x^{2}} (9 x^{2}) = - \frac{1}{9} (9 x^{2})$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{10000}{x^{2}}$ in den Zähler.

$\frac{- 10000}{x^{2}} (9 x^{2}) = - \frac{1}{9} (9 x^{2})$

Schritt 5.4.2.1.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $9 x^{2}$ heraus.

$\frac{- 10000}{x^{2}} (x^{2} \cdot 9) = - \frac{1}{9} (9 x^{2})$

Schritt 5.4.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 10000}{x^{2}} (x^{2} \cdot 9) = - \frac{1}{9} (9 x^{2})$

Schritt 5.4.2.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- 10000 \cdot 9 = - \frac{1}{9} (9 x^{2})$

Schritt 5.4.2.2

Mutltipliziere $- 10000$ mit $9$ .

$- 90000 = - \frac{1}{9} (9 x^{2})$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 5.4.3.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{9}$ in den Zähler.

$- 90000 = \frac{- 1}{9} (9 x^{2})$

Schritt 5.4.3.1.2

Faktorisiere $9$ aus $9 x^{2}$ heraus.

$- 90000 = \frac{- 1}{9} (9 (x^{2}))$

Schritt 5.4.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 90000 = \frac{- 1}{9} (9 x^{2})$

Schritt 5.4.3.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- 90000 = - x^{2}$

Schritt 5.5

Löse die Gleichung.

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Schritt 5.5.1

Schreibe die Gleichung als $- x^{2} = - 90000$ um.

$- x^{2} = - 90000$

Schritt 5.5.2

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = - 90000$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = - 90000$ durch $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 90000}{- 1}$

Schritt 5.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 90000}{- 1}$

Schritt 5.5.2.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 90000}{- 1}$

Schritt 5.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.2.3.1

Dividiere $- 90000$ durch $- 1$ .

$x^{2} = 90000$

Schritt 5.5.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{90000}$

Schritt 5.5.4

Vereinfache $\pm \sqrt{90000}$ .

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Schritt 5.5.4.1

Schreibe $90000$ als $300^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{300^{2}}$

Schritt 5.5.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 300$

Schritt 5.5.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.5.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 300$

Schritt 5.5.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 300$

Schritt 5.5.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 300, - 300$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Setze den Nenner in $\frac{10000}{x^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} = 0$

Schritt 6.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 6.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 6.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 6.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 300, - 300$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 300$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{20000}{{(300)}^{3}}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Potenziere $300$ mit $3$ .

$\frac{20000}{27000000}$

Schritt 9.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $20000$ und $27000000$ .

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Schritt 9.2.1

Faktorisiere $20000$ aus $20000$ heraus.

$\frac{20000 (1)}{27000000}$

Schritt 9.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.2.1

Faktorisiere $20000$ aus $27000000$ heraus.

$\frac{20000 \cdot 1}{20000 \cdot 1350}$

Schritt 9.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{20000 \cdot 1}{20000 \cdot 1350}$

Schritt 9.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{1350}$

Schritt 10

$x = 300$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 300$ ist ein lokales Minimum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 300$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $300$ .

$f (300) = 5 + \frac{1}{9} \cdot (300) + \frac{10000}{300}$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 11.2.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$f (300) = 5 + \frac{1}{3 (3)} \cdot 300 + \frac{10000}{300}$

Schritt 11.2.1.1.2

Faktorisiere $3$ aus $300$ heraus.

$f (300) = 5 + \frac{1}{3 \cdot 3} \cdot (3 \cdot 100) + \frac{10000}{300}$

Schritt 11.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (300) = 5 + \frac{1}{3 \cdot 3} \cdot (3 \cdot 100) + \frac{10000}{300}$

Schritt 11.2.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$f (300) = 5 + \frac{1}{3} \cdot 100 + \frac{10000}{300}$

Schritt 11.2.1.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $100$ .

$f (300) = 5 + \frac{100}{3} + \frac{10000}{300}$

Schritt 11.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10000$ und $300$ .

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Schritt 11.2.1.3.1

Faktorisiere $100$ aus $10000$ heraus.

$f (300) = 5 + \frac{100}{3} + \frac{100 (100)}{300}$

Schritt 11.2.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1.3.2.1

Faktorisiere $100$ aus $300$ heraus.

$f (300) = 5 + \frac{100}{3} + \frac{100 \cdot 100}{100 \cdot 3}$

Schritt 11.2.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (300) = 5 + \frac{100}{3} + \frac{100 \cdot 100}{100 \cdot 3}$

Schritt 11.2.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (300) = 5 + \frac{100}{3} + \frac{100}{3}$

Schritt 11.2.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 11.2.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (300) = 5 + \frac{100 + 100}{3}$

Schritt 11.2.2.2

Addiere $100$ und $100$ .

$f (300) = 5 + \frac{200}{3}$

Schritt 11.2.3

Um $5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f (300) = 5 \cdot \frac{3}{3} + \frac{200}{3}$

Schritt 11.2.4

Kombiniere $5$ und $\frac{3}{3}$ .

$f (300) = \frac{5 \cdot 3}{3} + \frac{200}{3}$

Schritt 11.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (300) = \frac{5 \cdot 3 + 200}{3}$

Schritt 11.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.2.6.1

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$f (300) = \frac{15 + 200}{3}$

Schritt 11.2.6.2

Addiere $15$ und $200$ .

$f (300) = \frac{215}{3}$

Schritt 11.2.7

Die endgültige Lösung ist $\frac{215}{3}$ .

$y = \frac{215}{3}$

Schritt 12

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - 300$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{20000}{{(- 300)}^{3}}$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 13.1

Potenziere $- 300$ mit $3$ .

$\frac{20000}{- 27000000}$

Schritt 13.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $20000$ und $- 27000000$ .

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Schritt 13.2.1

Faktorisiere $20000$ aus $20000$ heraus.

$\frac{20000 (1)}{- 27000000}$

Schritt 13.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.2.2.1

Faktorisiere $20000$ aus $- 27000000$ heraus.

$\frac{20000 \cdot 1}{20000 \cdot - 1350}$

Schritt 13.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{20000 \cdot 1}{20000 \cdot - 1350}$

Schritt 13.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{- 1350}$

Schritt 13.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{1350}$

Schritt 14

$x = - 300$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = - 300$ ist ein lokales Maximum

Schritt 15

Ermittele den y-Wert, wenn $x = - 300$ .

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Schritt 15.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 300$ .

$f (- 300) = 5 + \frac{1}{9} \cdot (- 300) + \frac{10000}{- 300}$

Schritt 15.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 15.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 15.2.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$f (- 300) = 5 + \frac{1}{3 (3)} \cdot - 300 + \frac{10000}{- 300}$

Schritt 15.2.1.1.2

Faktorisiere $3$ aus $- 300$ heraus.

$f (- 300) = 5 + \frac{1}{3 \cdot 3} \cdot (3 \cdot - 100) + \frac{10000}{- 300}$

Schritt 15.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 300) = 5 + \frac{1}{3 \cdot 3} \cdot (3 \cdot - 100) + \frac{10000}{- 300}$

Schritt 15.2.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$f (- 300) = 5 + \frac{1}{3} \cdot - 100 + \frac{10000}{- 300}$

Schritt 15.2.1.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 100$ .

$f (- 300) = 5 + \frac{- 100}{3} + \frac{10000}{- 300}$

Schritt 15.2.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- 300) = 5 - \frac{100}{3} + \frac{10000}{- 300}$

Schritt 15.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10000$ und $- 300$ .

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Schritt 15.2.1.4.1

Faktorisiere $100$ aus $10000$ heraus.

$f (- 300) = 5 - \frac{100}{3} + \frac{100 (100)}{- 300}$

Schritt 15.2.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 15.2.1.4.2.1

Faktorisiere $100$ aus $- 300$ heraus.

$f (- 300) = 5 - \frac{100}{3} + \frac{100 \cdot 100}{100 \cdot - 3}$

Schritt 15.2.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 300) = 5 - \frac{100}{3} + \frac{100 \cdot 100}{100 \cdot - 3}$

Schritt 15.2.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- 300) = 5 - \frac{100}{3} + \frac{100}{- 3}$

Schritt 15.2.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- 300) = 5 - \frac{100}{3} - \frac{100}{3}$

Schritt 15.2.2

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- 300) = 5 + \frac{- 100 - 100}{3}$

Schritt 15.2.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 15.2.2.2.1

Subtrahiere $100$ von $- 100$ .

$f (- 300) = 5 + \frac{- 200}{3}$

Schritt 15.2.2.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- 300) = 5 - \frac{200}{3}$

Schritt 15.2.3

Um $5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f (- 300) = 5 \cdot \frac{3}{3} - \frac{200}{3}$

Schritt 15.2.4

Kombiniere $5$ und $\frac{3}{3}$ .

$f (- 300) = \frac{5 \cdot 3}{3} - \frac{200}{3}$

Schritt 15.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- 300) = \frac{5 \cdot 3 - 200}{3}$

Schritt 15.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 15.2.6.1

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$f (- 300) = \frac{15 - 200}{3}$

Schritt 15.2.6.2

Subtrahiere $200$ von $15$ .

$f (- 300) = \frac{- 185}{3}$

Schritt 15.2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- 300) = - \frac{185}{3}$

Schritt 15.2.8

Die endgültige Lösung ist $- \frac{185}{3}$ .

$y = - \frac{185}{3}$

Schritt 16

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = 5 + \frac{1}{9} x + \frac{10000}{x}$ .

$(300, \frac{215}{3})$ ist ein lokales Minimum

$(- 300, - \frac{185}{3})$ ist ein lokales Maximum

Schritt 17