Analysis Beispiele

$f (x) = 5 - 4 \ln (x)$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 - 4 \ln (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (x)]$

Schritt 1.1.2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (x)]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 \ln (x)]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 \ln (x)$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 1.2.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$0 - 4 \frac{1}{x}$

Schritt 1.2.3

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{x}$ .

$0 + \frac{- 4}{x}$

Schritt 1.2.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$0 - \frac{4}{x}$

Schritt 1.3

Subtrahiere $\frac{4}{x}$ von $0$ .

$- \frac{4}{x}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{4}{x}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} \frac{1}{x}$

Schritt 2.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} x^{- 1}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f'' (x) = - 4 (- x^{- 2})$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$f'' (x) = 4 x^{- 2}$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{1}{x^{2}})$

Schritt 2.5.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{x^{2}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- \frac{4}{x} = 0$

Schritt 4

Da es keinen Wert von $x$ gibt, der die erste Ableitung gleich $0$ macht, gibt es keine lokalen Extrema.

Keine lokalen Extrema

Schritt 5

Keine lokalen Extrema

Schritt 6