Analysis Beispiele

$f (x) = 600 (1 - \frac{7}{x + 1} + \frac{14}{{(x + 1)}^{2}})$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d}{d x} [600 (\frac{x + 1}{x + 1} - \frac{7}{x + 1} + \frac{14}{{(x + 1)}^{2}})]$

Schritt 1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d}{d x} [600 (\frac{x + 1 - 7}{x + 1} + \frac{14}{{(x + 1)}^{2}})]$

Schritt 1.3

Subtrahiere $7$ von $1$ .

$\frac{d}{d x} [600 (\frac{x - 6}{x + 1} + \frac{14}{{(x + 1)}^{2}})]$

Schritt 1.4

Um $\frac{x - 6}{x + 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{d}{d x} [600 (\frac{x - 6}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{14}{{(x + 1)}^{2}})]$

Schritt 1.5

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von ${(x + 1)}^{2}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.5.1

Mutltipliziere $\frac{x - 6}{x + 1}$ mit $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{d}{d x} [600 (\frac{(x - 6) (x + 1)}{(x + 1) (x + 1)} + \frac{14}{{(x + 1)}^{2}})]$

Schritt 1.5.2

Potenziere $x + 1$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [600 (\frac{(x - 6) (x + 1)}{{(x + 1)}^{1} (x + 1)} + \frac{14}{{(x + 1)}^{2}})]$

Schritt 1.5.3

Potenziere $x + 1$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [600 (\frac{(x - 6) (x + 1)}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1}} + \frac{14}{{(x + 1)}^{2}})]$

Schritt 1.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d}{d x} [600 (\frac{(x - 6) (x + 1)}{{(x + 1)}^{1 + 1}} + \frac{14}{{(x + 1)}^{2}})]$

Schritt 1.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{d}{d x} [600 (\frac{(x - 6) (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{14}{{(x + 1)}^{2}})]$

Schritt 1.6

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.6.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d}{d x} [600 \frac{(x - 6) (x + 1) + 14}{{(x + 1)}^{2}}]$

Schritt 1.6.2

Kombiniere $600$ und $\frac{(x - 6) (x + 1) + 14}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{600 ((x - 6) (x + 1) + 14)}{{(x + 1)}^{2}}]$

Schritt 1.6.3

Da $600$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{600 ((x - 6) (x + 1) + 14)}{{(x + 1)}^{2}}$ nach $x$ gleich $600 \frac{d}{d x} [\frac{(x - 6) (x + 1) + 14}{{(x + 1)}^{2}}]$ .

$600 \frac{d}{d x} [\frac{(x - 6) (x + 1) + 14}{{(x + 1)}^{2}}]$

Schritt 1.7

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = (x - 6) (x + 1) + 14$ und $g (x) = {(x + 1)}^{2}$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [(x - 6) (x + 1) + 14] - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{({(x + 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.8

Differenziere unter Anwendung der Summenregel.

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Schritt 1.8.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 1)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 1.8.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [(x - 6) (x + 1) + 14] - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 1.8.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [(x - 6) (x + 1) + 14] - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 1.8.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $(x - 6) (x + 1) + 14$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [(x - 6) (x + 1)] + \frac{d}{d x} [14]$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [(x - 6) (x + 1)] + \frac{d}{d x} [14]) - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 1.9

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x - 6$ und $g (x) = x + 1$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} ((x - 6) \frac{d}{d x} [x + 1] + (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 6] + \frac{d}{d x} [14]) - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 1.10

Differenziere.

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Schritt 1.10.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} ((x - 6) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 6] + \frac{d}{d x} [14]) - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 1.10.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} ((x - 6) (1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 6] + \frac{d}{d x} [14]) - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 1.10.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} ((x - 6) (1 + 0) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 6] + \frac{d}{d x} [14]) - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 1.10.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.10.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} ((x - 6) \cdot 1 + (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 6] + \frac{d}{d x} [14]) - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 1.10.4.2

Mutltipliziere $x - 6$ mit $1$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} (x - 6 + (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 6] + \frac{d}{d x} [14]) - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 1.10.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} (x - 6 + (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]) + \frac{d}{d x} [14]) - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 1.10.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} (x - 6 + (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 6]) + \frac{d}{d x} [14]) - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 1.10.7

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} (x - 6 + (x + 1) (1 + 0) + \frac{d}{d x} [14]) - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 1.10.8

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 1.10.8.1

Addiere $1$ und $0$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} (x - 6 + (x + 1) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]) - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 1.10.8.2

Mutltipliziere $x + 1$ mit $1$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} (x - 6 + x + 1 + \frac{d}{d x} [14]) - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 1.10.8.3

Addiere $x$ und $x$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} (2 x - 6 + 1 + \frac{d}{d x} [14]) - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 1.10.8.4

Addiere $- 6$ und $1$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} (2 x - 5 + \frac{d}{d x} [14]) - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 1.10.9

Da $14$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $14$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} (2 x - 5 + 0) - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 1.10.10

Addiere $2 x - 5$ und $0$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} (2 x - 5) - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 1.11

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x + 1$ .

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Schritt 1.11.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 1$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} (2 x - 5) - ((x - 6) (x + 1) + 14) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 1.11.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} (2 x - 5) - ((x - 6) (x + 1) + 14) (2 u \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 1.11.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 1$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} (2 x - 5) - ((x - 6) (x + 1) + 14) (2 (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 1.12

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 1.12.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} (2 x - 5) - 2 ((x - 6) (x + 1) + 14) ((x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 1.12.2

Faktorisiere $x + 1$ aus ${(x + 1)}^{2} (2 x - 5) - 2 ((x - 6) (x + 1) + 14) ((x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$ heraus.

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Schritt 1.12.2.1

Faktorisiere $x + 1$ aus ${(x + 1)}^{2} (2 x - 5)$ heraus.

$600 \frac{(x + 1) ((x + 1) (2 x - 5)) - 2 ((x - 6) (x + 1) + 14) ((x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 1.12.2.2

Faktorisiere $x + 1$ aus $- 2 ((x - 6) (x + 1) + 14) ((x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$ heraus.

$600 \frac{(x + 1) ((x + 1) (2 x - 5)) + (x + 1) (- 2 ((x - 6) (x + 1) + 14) (\frac{d}{d x} [x + 1]))}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 1.12.2.3

Faktorisiere $x + 1$ aus $(x + 1) ((x + 1) (2 x - 5)) + (x + 1) (- 2 ((x - 6) (x + 1) + 14) (\frac{d}{d x} [x + 1]))$ heraus.

$600 \frac{(x + 1) ((x + 1) (2 x - 5) - 2 ((x - 6) (x + 1) + 14) (\frac{d}{d x} [x + 1]))}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 1.13

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.13.1

Faktorisiere $x + 1$ aus ${(x + 1)}^{4}$ heraus.

$600 \frac{(x + 1) ((x + 1) (2 x - 5) - 2 ((x - 6) (x + 1) + 14) (\frac{d}{d x} [x + 1]))}{(x + 1) {(x + 1)}^{3}}$

Schritt 1.13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$600 \frac{(x + 1) ((x + 1) (2 x - 5) - 2 ((x - 6) (x + 1) + 14) (\frac{d}{d x} [x + 1]))}{(x + 1) {(x + 1)}^{3}}$

Schritt 1.13.3

Forme den Ausdruck um.

$600 \frac{(x + 1) (2 x - 5) - 2 ((x - 6) (x + 1) + 14) (\frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 1.14

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$600 \frac{(x + 1) (2 x - 5) - 2 ((x - 6) (x + 1) + 14) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 1.15

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$600 \frac{(x + 1) (2 x - 5) - 2 ((x - 6) (x + 1) + 14) (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 1.16

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$600 \frac{(x + 1) (2 x - 5) - 2 ((x - 6) (x + 1) + 14) (1 + 0)}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 1.17

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.17.1

Addiere $1$ und $0$ .

$600 \frac{(x + 1) (2 x - 5) - 2 ((x - 6) (x + 1) + 14) \cdot 1}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 1.17.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$600 \frac{(x + 1) (2 x - 5) - 2 ((x - 6) (x + 1) + 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 1.17.3

Kombiniere $600$ und $\frac{(x + 1) (2 x - 5) - 2 ((x - 6) (x + 1) + 14)}{{(x + 1)}^{3}}$ .

$\frac{600 ((x + 1) (2 x - 5) - 2 ((x - 6) (x + 1) + 14))}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 1.18

Vereinfache.

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Schritt 1.18.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{600 ((x + 1) (2 x - 5) - 2 ((x - 6) (x + 1)) - 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 1.18.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{600 ((x + 1) (2 x - 5)) + 600 (- 2 ((x - 6) (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 1.18.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.18.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.18.3.1.1

Multipliziere $(x + 1) (2 x - 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.18.3.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{600 (x (2 x - 5) + 1 (2 x - 5)) + 600 (- 2 ((x - 6) (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 1.18.3.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{600 (x (2 x) + x \cdot - 5 + 1 (2 x - 5)) + 600 (- 2 ((x - 6) (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 1.18.3.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{600 (x (2 x) + x \cdot - 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 5) + 600 (- 2 ((x - 6) (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 1.18.3.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.18.3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.18.3.1.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{600 (2 x \cdot x + x \cdot - 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 5) + 600 (- 2 ((x - 6) (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 1.18.3.1.2.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.18.3.1.2.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{600 (2 (x \cdot x) + x \cdot - 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 5) + 600 (- 2 ((x - 6) (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 1.18.3.1.2.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{600 (2 x^{2} + x \cdot - 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 5) + 600 (- 2 ((x - 6) (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 1.18.3.1.2.1.3

Bringe $- 5$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{600 (2 x^{2} - 5 \cdot x + 1 (2 x) + 1 \cdot - 5) + 600 (- 2 ((x - 6) (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 1.18.3.1.2.1.4

Mutltipliziere $2 x$ mit $1$ .

$\frac{600 (2 x^{2} - 5 x + 2 x + 1 \cdot - 5) + 600 (- 2 ((x - 6) (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 1.18.3.1.2.1.5

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$\frac{600 (2 x^{2} - 5 x + 2 x - 5) + 600 (- 2 ((x - 6) (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 1.18.3.1.2.2

Addiere $- 5 x$ und $2 x$ .

$\frac{600 (2 x^{2} - 3 x - 5) + 600 (- 2 ((x - 6) (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 1.18.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{600 (2 x^{2}) + 600 (- 3 x) + 600 \cdot - 5 + 600 (- 2 ((x - 6) (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 1.18.3.1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.18.3.1.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $600$ .

$\frac{1200 x^{2} + 600 (- 3 x) + 600 \cdot - 5 + 600 (- 2 ((x - 6) (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 1.18.3.1.4.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $600$ .

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x + 600 \cdot - 5 + 600 (- 2 ((x - 6) (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 1.18.3.1.4.3

Mutltipliziere $600$ mit $- 5$ .

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 + 600 (- 2 ((x - 6) (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 1.18.3.1.5

Multipliziere $(x - 6) (x + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.18.3.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 + 600 (- 2 (x (x + 1) - 6 (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 1.18.3.1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 + 600 (- 2 (x \cdot x + x \cdot 1 - 6 (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 1.18.3.1.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 + 600 (- 2 (x \cdot x + x \cdot 1 - 6 x - 6 \cdot 1)) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 1.18.3.1.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.18.3.1.6.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.18.3.1.6.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 + 600 (- 2 (x^{2} + x \cdot 1 - 6 x - 6 \cdot 1)) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 1.18.3.1.6.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 + 600 (- 2 (x^{2} + x - 6 x - 6 \cdot 1)) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 1.18.3.1.6.1.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 + 600 (- 2 (x^{2} + x - 6 x - 6)) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 1.18.3.1.6.2

Subtrahiere $6 x$ von $x$ .

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 + 600 (- 2 (x^{2} - 5 x - 6)) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 1.18.3.1.7

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 + 600 (- 2 x^{2} - 2 (- 5 x) - 2 \cdot - 6) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 1.18.3.1.8

Vereinfache.

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Schritt 1.18.3.1.8.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 2$ .

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 + 600 (- 2 x^{2} + 10 x - 2 \cdot - 6) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 1.18.3.1.8.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 6$ .

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 + 600 (- 2 x^{2} + 10 x + 12) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 1.18.3.1.9

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 + 600 (- 2 x^{2}) + 600 (10 x) + 600 \cdot 12 + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 1.18.3.1.10

Vereinfache.

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Schritt 1.18.3.1.10.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $600$ .

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 - 1200 x^{2} + 600 (10 x) + 600 \cdot 12 + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 1.18.3.1.10.2

Mutltipliziere $10$ mit $600$ .

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 - 1200 x^{2} + 6000 x + 600 \cdot 12 + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 1.18.3.1.10.3

Mutltipliziere $600$ mit $12$ .

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 - 1200 x^{2} + 6000 x + 7200 + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 1.18.3.1.11

Multipliziere $600 (- 2 \cdot 14)$ .

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Schritt 1.18.3.1.11.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $14$ .

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 - 1200 x^{2} + 6000 x + 7200 + 600 \cdot - 28}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 1.18.3.1.11.2

Mutltipliziere $600$ mit $- 28$ .

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 - 1200 x^{2} + 6000 x + 7200 - 16800}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 1.18.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $1200 x^{2} - 1800 x - 3000 - 1200 x^{2} + 6000 x + 7200 - 16800$ .

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Schritt 1.18.3.2.1

Subtrahiere $1200 x^{2}$ von $1200 x^{2}$ .

$\frac{- 1800 x - 3000 + 0 + 6000 x + 7200 - 16800}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 1.18.3.2.2

Addiere $- 1800 x - 3000$ und $0$ .

$\frac{- 1800 x - 3000 + 6000 x + 7200 - 16800}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 1.18.3.3

Addiere $- 1800 x$ und $6000 x$ .

$\frac{4200 x - 3000 + 7200 - 16800}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 1.18.3.4

Addiere $- 3000$ und $7200$ .

$\frac{4200 x + 4200 - 16800}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 1.18.3.5

Subtrahiere $16800$ von $4200$ .

$\frac{4200 x - 12600}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 1.18.4

Faktorisiere $4200$ aus $4200 x - 12600$ heraus.

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Schritt 1.18.4.1

Faktorisiere $4200$ aus $4200 x$ heraus.

$\frac{4200 (x) - 12600}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 1.18.4.2

Faktorisiere $4200$ aus $- 12600$ heraus.

$\frac{4200 x + 4200 \cdot - 3}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 1.18.4.3

Faktorisiere $4200$ aus $4200 x + 4200 \cdot - 3$ heraus.

$\frac{4200 (x - 3)}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Da $4200$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4200 (x - 3)}{{(x + 1)}^{3}}$ nach $x$ gleich $4200 \frac{d}{d x} [\frac{x - 3}{{(x + 1)}^{3}}]$ .

$f'' (x) = 4200 \frac{d}{d x} (\frac{x - 3}{{(x + 1)}^{3}})$

Schritt 2.2

$f'' (x) = 4200 (\frac{{(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x - 3) - (x - 3) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{3}}{{({(x + 1)}^{3})}^{2}})$

Schritt 2.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 1)}^{3})}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 4200 (\frac{{(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x - 3) - (x - 3) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{3 \cdot 2}})$

Schritt 2.3.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f'' (x) = 4200 (\frac{{(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x - 3) - (x - 3) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{6}})$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = 4200 (\frac{{(x + 1)}^{3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3)) - (x - 3) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{6}})$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 4200 (\frac{{(x + 1)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} (- 3)) - (x - 3) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{6}})$

Schritt 2.3.4

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 4200 (\frac{{(x + 1)}^{3} (1 + 0) - (x - 3) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{6}})$

Schritt 2.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f'' (x) = 4200 (\frac{{(x + 1)}^{3} \cdot 1 - (x - 3) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{6}})$

Schritt 2.3.5.2

Mutltipliziere ${(x + 1)}^{3}$ mit $1$ .

$f'' (x) = 4200 (\frac{{(x + 1)}^{3} - (x - 3) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{6}})$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = x + 1$ .

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Schritt 2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 1$ .

$f'' (x) = 4200 (\frac{{(x + 1)}^{3} - (x - 3) (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{6}})$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f'' (x) = 4200 (\frac{{(x + 1)}^{3} - (x - 3) (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{6}})$

Schritt 2.4.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 1$ .

$f'' (x) = 4200 (\frac{{(x + 1)}^{3} - (x - 3) (3 {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{6}})$

Schritt 2.5

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 4200 (\frac{{(x + 1)}^{3} - 3 (x - 3) ({(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{6}})$

Schritt 2.5.2

Faktorisiere ${(x + 1)}^{2}$ aus ${(x + 1)}^{3} - 3 (x - 3) ({(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 1])$ heraus.

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Schritt 2.5.2.1

Faktorisiere ${(x + 1)}^{2}$ aus ${(x + 1)}^{3}$ heraus.

$f'' (x) = 4200 (\frac{{(x + 1)}^{2} (x + 1) - 3 (x - 3) ({(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{6}})$

Schritt 2.5.2.2

Faktorisiere ${(x + 1)}^{2}$ aus $- 3 (x - 3) ({(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 1])$ heraus.

$f'' (x) = 4200 (\frac{{(x + 1)}^{2} (x + 1) + {(x + 1)}^{2} (- 3 (x - 3) (\frac{d}{d x} (x + 1)))}{{(x + 1)}^{6}})$

Schritt 2.5.2.3

Faktorisiere ${(x + 1)}^{2}$ aus ${(x + 1)}^{2} (x + 1) + {(x + 1)}^{2} (- 3 (x - 3) (\frac{d}{d x} [x + 1]))$ heraus.

$f'' (x) = 4200 (\frac{{(x + 1)}^{2} (x + 1 - 3 (x - 3) (\frac{d}{d x} (x + 1)))}{{(x + 1)}^{6}})$

Schritt 2.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.6.1

Faktorisiere ${(x + 1)}^{2}$ aus ${(x + 1)}^{6}$ heraus.

$f'' (x) = 4200 (\frac{{(x + 1)}^{2} (x + 1 - 3 (x - 3) (\frac{d}{d x} (x + 1)))}{{(x + 1)}^{2} {(x + 1)}^{4}})$

Schritt 2.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = 4200 (\frac{{(x + 1)}^{2} (x + 1 - 3 (x - 3) (\frac{d}{d x} (x + 1)))}{{(x + 1)}^{2} {(x + 1)}^{4}})$

Schritt 2.6.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = 4200 (\frac{x + 1 - 3 (x - 3) (\frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{4}})$

Schritt 2.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 4200 (\frac{x + 1 - 3 (x - 3) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x + 1)}^{4}})$

Schritt 2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 4200 (\frac{x + 1 - 3 (x - 3) (1 + \frac{d}{d x} (1))}{{(x + 1)}^{4}})$

Schritt 2.9

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 4200 (\frac{x + 1 - 3 (x - 3) (1 + 0)}{{(x + 1)}^{4}})$

Schritt 2.10

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.10.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f'' (x) = 4200 (\frac{x + 1 - 3 (x - 3) \cdot 1}{{(x + 1)}^{4}})$

Schritt 2.10.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$f'' (x) = 4200 (\frac{x + 1 - 3 (x - 3)}{{(x + 1)}^{4}})$

Schritt 2.10.3

Kombiniere $4200$ und $\frac{x + 1 - 3 (x - 3)}{{(x + 1)}^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{4200 (x + 1 - 3 (x - 3))}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 2.11

Vereinfache.

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Schritt 2.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{4200 (x + 1 - 3 x - 3 \cdot - 3)}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 2.11.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{4200 x + 4200 \cdot 1 + 4200 (- 3 x) + 4200 (- 3 \cdot - 3)}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 2.11.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.11.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.11.3.1.1

Mutltipliziere $4200$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{4200 x + 4200 + 4200 (- 3 x) + 4200 (- 3 \cdot - 3)}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 2.11.3.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $4200$ .

$f'' (x) = \frac{4200 x + 4200 - 12600 x + 4200 (- 3 \cdot - 3)}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 2.11.3.1.3

Multipliziere $4200 (- 3 \cdot - 3)$ .

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Schritt 2.11.3.1.3.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{4200 x + 4200 - 12600 x + 4200 \cdot 9}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 2.11.3.1.3.2

Mutltipliziere $4200$ mit $9$ .

$f'' (x) = \frac{4200 x + 4200 - 12600 x + 37800}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 2.11.3.2

Subtrahiere $12600 x$ von $4200 x$ .

$f'' (x) = \frac{- 8400 x + 4200 + 37800}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 2.11.3.3

Addiere $4200$ und $37800$ .

$f'' (x) = \frac{- 8400 x + 42000}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 2.11.4

Faktorisiere $8400$ aus $- 8400 x + 42000$ heraus.

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Schritt 2.11.4.1

Faktorisiere $8400$ aus $- 8400 x$ heraus.

$f'' (x) = \frac{8400 (- x) + 42000}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 2.11.4.2

Faktorisiere $8400$ aus $42000$ heraus.

$f'' (x) = \frac{8400 (- x) + 8400 (5)}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 2.11.4.3

Faktorisiere $8400$ aus $8400 (- x) + 8400 (5)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{8400 (- x + 5)}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 2.11.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$f'' (x) = \frac{8400 (- (x) + 5)}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 2.11.6

Schreibe $5$ als $- 1 (- 5)$ um.

$f'' (x) = \frac{8400 (- (x) - 1 \cdot - 5)}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 2.11.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 5)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{8400 (- (x - 5))}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 2.11.8

Schreibe $- (x - 5)$ als $- 1 (x - 5)$ um.

$f'' (x) = \frac{8400 (- 1 (x - 5))}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 2.11.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{8400 (x - 5)}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{4200 (x - 3)}{{(x + 1)}^{3}} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d}{d x} [600 (\frac{x + 1}{x + 1} - \frac{7}{x + 1} + \frac{14}{{(x + 1)}^{2}})]$

Schritt 4.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d}{d x} [600 (\frac{x + 1 - 7}{x + 1} + \frac{14}{{(x + 1)}^{2}})]$

Schritt 4.1.3

Subtrahiere $7$ von $1$ .

$\frac{d}{d x} [600 (\frac{x - 6}{x + 1} + \frac{14}{{(x + 1)}^{2}})]$

Schritt 4.1.4

Um $\frac{x - 6}{x + 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{d}{d x} [600 (\frac{x - 6}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{14}{{(x + 1)}^{2}})]$

Schritt 4.1.5

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von ${(x + 1)}^{2}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1.5.1

Mutltipliziere $\frac{x - 6}{x + 1}$ mit $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{d}{d x} [600 (\frac{(x - 6) (x + 1)}{(x + 1) (x + 1)} + \frac{14}{{(x + 1)}^{2}})]$

Schritt 4.1.5.2

Potenziere $x + 1$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [600 (\frac{(x - 6) (x + 1)}{{(x + 1)}^{1} (x + 1)} + \frac{14}{{(x + 1)}^{2}})]$

Schritt 4.1.5.3

Potenziere $x + 1$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [600 (\frac{(x - 6) (x + 1)}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1}} + \frac{14}{{(x + 1)}^{2}})]$

Schritt 4.1.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d}{d x} [600 (\frac{(x - 6) (x + 1)}{{(x + 1)}^{1 + 1}} + \frac{14}{{(x + 1)}^{2}})]$

Schritt 4.1.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{d}{d x} [600 (\frac{(x - 6) (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{14}{{(x + 1)}^{2}})]$

Schritt 4.1.6

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 4.1.6.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d}{d x} [600 \frac{(x - 6) (x + 1) + 14}{{(x + 1)}^{2}}]$

Schritt 4.1.6.2

Kombiniere $600$ und $\frac{(x - 6) (x + 1) + 14}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{600 ((x - 6) (x + 1) + 14)}{{(x + 1)}^{2}}]$

Schritt 4.1.6.3

Da $600$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{600 ((x - 6) (x + 1) + 14)}{{(x + 1)}^{2}}$ nach $x$ gleich $600 \frac{d}{d x} [\frac{(x - 6) (x + 1) + 14}{{(x + 1)}^{2}}]$ .

$600 \frac{d}{d x} [\frac{(x - 6) (x + 1) + 14}{{(x + 1)}^{2}}]$

Schritt 4.1.7

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [(x - 6) (x + 1) + 14] - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{({(x + 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 4.1.8

Differenziere unter Anwendung der Summenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.8.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 1)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 4.1.8.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [(x - 6) (x + 1) + 14] - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 4.1.8.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [(x - 6) (x + 1) + 14] - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 4.1.8.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $(x - 6) (x + 1) + 14$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [(x - 6) (x + 1)] + \frac{d}{d x} [14]$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [(x - 6) (x + 1)] + \frac{d}{d x} [14]) - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 4.1.9

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} ((x - 6) \frac{d}{d x} [x + 1] + (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 6] + \frac{d}{d x} [14]) - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 4.1.10

Differenziere.

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Schritt 4.1.10.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} ((x - 6) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 6] + \frac{d}{d x} [14]) - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 4.1.10.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} ((x - 6) (1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 6] + \frac{d}{d x} [14]) - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 4.1.10.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} ((x - 6) (1 + 0) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 6] + \frac{d}{d x} [14]) - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 4.1.10.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1.10.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} ((x - 6) \cdot 1 + (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 6] + \frac{d}{d x} [14]) - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 4.1.10.4.2

Mutltipliziere $x - 6$ mit $1$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} (x - 6 + (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 6] + \frac{d}{d x} [14]) - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 4.1.10.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} (x - 6 + (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]) + \frac{d}{d x} [14]) - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 4.1.10.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} (x - 6 + (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 6]) + \frac{d}{d x} [14]) - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 4.1.10.7

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} (x - 6 + (x + 1) (1 + 0) + \frac{d}{d x} [14]) - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 4.1.10.8

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 4.1.10.8.1

Addiere $1$ und $0$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} (x - 6 + (x + 1) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]) - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 4.1.10.8.2

Mutltipliziere $x + 1$ mit $1$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} (x - 6 + x + 1 + \frac{d}{d x} [14]) - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 4.1.10.8.3

Addiere $x$ und $x$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} (2 x - 6 + 1 + \frac{d}{d x} [14]) - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 4.1.10.8.4

Addiere $- 6$ und $1$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} (2 x - 5 + \frac{d}{d x} [14]) - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 4.1.10.9

Da $14$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $14$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} (2 x - 5 + 0) - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 4.1.10.10

Addiere $2 x - 5$ und $0$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} (2 x - 5) - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 4.1.11

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x + 1$ .

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Schritt 4.1.11.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 1$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} (2 x - 5) - ((x - 6) (x + 1) + 14) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 4.1.11.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} (2 x - 5) - ((x - 6) (x + 1) + 14) (2 u \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 4.1.11.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 1$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} (2 x - 5) - ((x - 6) (x + 1) + 14) (2 (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 4.1.12

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 4.1.12.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} (2 x - 5) - 2 ((x - 6) (x + 1) + 14) ((x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 4.1.12.2

Faktorisiere $x + 1$ aus ${(x + 1)}^{2} (2 x - 5) - 2 ((x - 6) (x + 1) + 14) ((x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$ heraus.

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Schritt 4.1.12.2.1

Faktorisiere $x + 1$ aus ${(x + 1)}^{2} (2 x - 5)$ heraus.

$600 \frac{(x + 1) ((x + 1) (2 x - 5)) - 2 ((x - 6) (x + 1) + 14) ((x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 4.1.12.2.2

Faktorisiere $x + 1$ aus $- 2 ((x - 6) (x + 1) + 14) ((x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$ heraus.

$600 \frac{(x + 1) ((x + 1) (2 x - 5)) + (x + 1) (- 2 ((x - 6) (x + 1) + 14) (\frac{d}{d x} [x + 1]))}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 4.1.12.2.3

Faktorisiere $x + 1$ aus $(x + 1) ((x + 1) (2 x - 5)) + (x + 1) (- 2 ((x - 6) (x + 1) + 14) (\frac{d}{d x} [x + 1]))$ heraus.

$600 \frac{(x + 1) ((x + 1) (2 x - 5) - 2 ((x - 6) (x + 1) + 14) (\frac{d}{d x} [x + 1]))}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 4.1.13

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.13.1

Faktorisiere $x + 1$ aus ${(x + 1)}^{4}$ heraus.

$600 \frac{(x + 1) ((x + 1) (2 x - 5) - 2 ((x - 6) (x + 1) + 14) (\frac{d}{d x} [x + 1]))}{(x + 1) {(x + 1)}^{3}}$

Schritt 4.1.13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$600 \frac{(x + 1) ((x + 1) (2 x - 5) - 2 ((x - 6) (x + 1) + 14) (\frac{d}{d x} [x + 1]))}{(x + 1) {(x + 1)}^{3}}$

Schritt 4.1.13.3

Forme den Ausdruck um.

$600 \frac{(x + 1) (2 x - 5) - 2 ((x - 6) (x + 1) + 14) (\frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 4.1.14

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$600 \frac{(x + 1) (2 x - 5) - 2 ((x - 6) (x + 1) + 14) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 4.1.15

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$600 \frac{(x + 1) (2 x - 5) - 2 ((x - 6) (x + 1) + 14) (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 4.1.16

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$600 \frac{(x + 1) (2 x - 5) - 2 ((x - 6) (x + 1) + 14) (1 + 0)}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 4.1.17

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.1.17.1

Addiere $1$ und $0$ .

$600 \frac{(x + 1) (2 x - 5) - 2 ((x - 6) (x + 1) + 14) \cdot 1}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 4.1.17.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$600 \frac{(x + 1) (2 x - 5) - 2 ((x - 6) (x + 1) + 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 4.1.17.3

Kombiniere $600$ und $\frac{(x + 1) (2 x - 5) - 2 ((x - 6) (x + 1) + 14)}{{(x + 1)}^{3}}$ .

$\frac{600 ((x + 1) (2 x - 5) - 2 ((x - 6) (x + 1) + 14))}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 4.1.18

Vereinfache.

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Schritt 4.1.18.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{600 ((x + 1) (2 x - 5) - 2 ((x - 6) (x + 1)) - 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 4.1.18.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{600 ((x + 1) (2 x - 5)) + 600 (- 2 ((x - 6) (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 4.1.18.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.18.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.18.3.1.1

Multipliziere $(x + 1) (2 x - 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1.18.3.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{600 (x (2 x - 5) + 1 (2 x - 5)) + 600 (- 2 ((x - 6) (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 4.1.18.3.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{600 (x (2 x) + x \cdot - 5 + 1 (2 x - 5)) + 600 (- 2 ((x - 6) (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 4.1.18.3.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{600 (x (2 x) + x \cdot - 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 5) + 600 (- 2 ((x - 6) (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 4.1.18.3.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.1.18.3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.18.3.1.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{600 (2 x \cdot x + x \cdot - 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 5) + 600 (- 2 ((x - 6) (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 4.1.18.3.1.2.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.18.3.1.2.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{600 (2 (x \cdot x) + x \cdot - 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 5) + 600 (- 2 ((x - 6) (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 4.1.18.3.1.2.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{600 (2 x^{2} + x \cdot - 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 5) + 600 (- 2 ((x - 6) (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 4.1.18.3.1.2.1.3

Bringe $- 5$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{600 (2 x^{2} - 5 \cdot x + 1 (2 x) + 1 \cdot - 5) + 600 (- 2 ((x - 6) (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 4.1.18.3.1.2.1.4

Mutltipliziere $2 x$ mit $1$ .

$\frac{600 (2 x^{2} - 5 x + 2 x + 1 \cdot - 5) + 600 (- 2 ((x - 6) (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 4.1.18.3.1.2.1.5

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$\frac{600 (2 x^{2} - 5 x + 2 x - 5) + 600 (- 2 ((x - 6) (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 4.1.18.3.1.2.2

Addiere $- 5 x$ und $2 x$ .

$\frac{600 (2 x^{2} - 3 x - 5) + 600 (- 2 ((x - 6) (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 4.1.18.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{600 (2 x^{2}) + 600 (- 3 x) + 600 \cdot - 5 + 600 (- 2 ((x - 6) (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 4.1.18.3.1.4

Vereinfache.

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Schritt 4.1.18.3.1.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $600$ .

$\frac{1200 x^{2} + 600 (- 3 x) + 600 \cdot - 5 + 600 (- 2 ((x - 6) (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 4.1.18.3.1.4.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $600$ .

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x + 600 \cdot - 5 + 600 (- 2 ((x - 6) (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 4.1.18.3.1.4.3

Mutltipliziere $600$ mit $- 5$ .

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 + 600 (- 2 ((x - 6) (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 4.1.18.3.1.5

Multipliziere $(x - 6) (x + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1.18.3.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 + 600 (- 2 (x (x + 1) - 6 (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 4.1.18.3.1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 + 600 (- 2 (x \cdot x + x \cdot 1 - 6 (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 4.1.18.3.1.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 + 600 (- 2 (x \cdot x + x \cdot 1 - 6 x - 6 \cdot 1)) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 4.1.18.3.1.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.1.18.3.1.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.18.3.1.6.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 + 600 (- 2 (x^{2} + x \cdot 1 - 6 x - 6 \cdot 1)) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 4.1.18.3.1.6.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 + 600 (- 2 (x^{2} + x - 6 x - 6 \cdot 1)) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 4.1.18.3.1.6.1.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 + 600 (- 2 (x^{2} + x - 6 x - 6)) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 4.1.18.3.1.6.2

Subtrahiere $6 x$ von $x$ .

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 + 600 (- 2 (x^{2} - 5 x - 6)) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 4.1.18.3.1.7

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 + 600 (- 2 x^{2} - 2 (- 5 x) - 2 \cdot - 6) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 4.1.18.3.1.8

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.18.3.1.8.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 2$ .

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 + 600 (- 2 x^{2} + 10 x - 2 \cdot - 6) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 4.1.18.3.1.8.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 6$ .

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 + 600 (- 2 x^{2} + 10 x + 12) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 4.1.18.3.1.9

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 + 600 (- 2 x^{2}) + 600 (10 x) + 600 \cdot 12 + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 4.1.18.3.1.10

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.18.3.1.10.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $600$ .

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 - 1200 x^{2} + 600 (10 x) + 600 \cdot 12 + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 4.1.18.3.1.10.2

Mutltipliziere $10$ mit $600$ .

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 - 1200 x^{2} + 6000 x + 600 \cdot 12 + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 4.1.18.3.1.10.3

Mutltipliziere $600$ mit $12$ .

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 - 1200 x^{2} + 6000 x + 7200 + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 4.1.18.3.1.11

Multipliziere $600 (- 2 \cdot 14)$ .

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Schritt 4.1.18.3.1.11.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $14$ .

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 - 1200 x^{2} + 6000 x + 7200 + 600 \cdot - 28}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 4.1.18.3.1.11.2

Mutltipliziere $600$ mit $- 28$ .

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 - 1200 x^{2} + 6000 x + 7200 - 16800}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 4.1.18.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $1200 x^{2} - 1800 x - 3000 - 1200 x^{2} + 6000 x + 7200 - 16800$ .

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Schritt 4.1.18.3.2.1

Subtrahiere $1200 x^{2}$ von $1200 x^{2}$ .

$\frac{- 1800 x - 3000 + 0 + 6000 x + 7200 - 16800}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 4.1.18.3.2.2

Addiere $- 1800 x - 3000$ und $0$ .

$\frac{- 1800 x - 3000 + 6000 x + 7200 - 16800}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 4.1.18.3.3

Addiere $- 1800 x$ und $6000 x$ .

$\frac{4200 x - 3000 + 7200 - 16800}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 4.1.18.3.4

Addiere $- 3000$ und $7200$ .

$\frac{4200 x + 4200 - 16800}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 4.1.18.3.5

Subtrahiere $16800$ von $4200$ .

$\frac{4200 x - 12600}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 4.1.18.4

Faktorisiere $4200$ aus $4200 x - 12600$ heraus.

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Schritt 4.1.18.4.1

Faktorisiere $4200$ aus $4200 x$ heraus.

$\frac{4200 (x) - 12600}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 4.1.18.4.2

Faktorisiere $4200$ aus $- 12600$ heraus.

$\frac{4200 x + 4200 \cdot - 3}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 4.1.18.4.3

Faktorisiere $4200$ aus $4200 x + 4200 \cdot - 3$ heraus.

$f' (x) = \frac{4200 (x - 3)}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{4200 (x - 3)}{{(x + 1)}^{3}}$ .

$\frac{4200 (x - 3)}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{4200 (x - 3)}{{(x + 1)}^{3}} = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{4200 (x - 3)}{{(x + 1)}^{3}} = 0$

Schritt 5.2

Setze den Zähler gleich Null.

$4200 (x - 3) = 0$

Schritt 5.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $4200 (x - 3) = 0$ durch $4200$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $4200 (x - 3) = 0$ durch $4200$ .

$\frac{4200 (x - 3)}{4200} = \frac{0}{4200}$

Schritt 5.3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4200$ .

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Schritt 5.3.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4200 (x - 3)}{4200} = \frac{0}{4200}$

Schritt 5.3.1.2.1.2

Dividiere $x - 3$ durch $1$ .

$x - 3 = \frac{0}{4200}$

Schritt 5.3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1.3.1

Dividiere $0$ durch $4200$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 5.3.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Setze den Nenner in $\frac{4200 (x - 3)}{{(x + 1)}^{3}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(x + 1)}^{3} = 0$

Schritt 6.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 3$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 3$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \frac{8400 ((3) - 5)}{{((3) + 1)}^{4}}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Subtrahiere $5$ von $3$ .

$- \frac{8400 \cdot - 2}{{(3 + 1)}^{4}}$

Schritt 9.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.2.1

Addiere $3$ und $1$ .

$- \frac{8400 \cdot - 2}{4^{4}}$

Schritt 9.2.2

Potenziere $4$ mit $4$ .

$- \frac{8400 \cdot - 2}{256}$

Schritt 9.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.3.1

Mutltipliziere $8400$ mit $- 2$ .

$- \frac{- 16800}{256}$

Schritt 9.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 16800$ und $256$ .

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Schritt 9.3.2.1

Faktorisiere $32$ aus $- 16800$ heraus.

$- \frac{32 (- 525)}{256}$

Schritt 9.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.3.2.2.1

Faktorisiere $32$ aus $256$ heraus.

$- \frac{32 \cdot - 525}{32 \cdot 8}$

Schritt 9.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{32 \cdot - 525}{32 \cdot 8}$

Schritt 9.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{- 525}{8}$

Schritt 9.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- - \frac{525}{8}$

Schritt 9.4

Multipliziere $- - \frac{525}{8}$ .

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Schritt 9.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (\frac{525}{8})$

Schritt 9.4.2

Mutltipliziere $\frac{525}{8}$ mit $1$ .

$\frac{525}{8}$

Schritt 10

$x = 3$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 3$ ist ein lokales Minimum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 3$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f (3) = 600 (1 - \frac{7}{(3) + 1} + \frac{14}{{((3) + 1)}^{2}})$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.1.1

Addiere $3$ und $1$ .

$f (3) = 600 (1 - \frac{7}{4} + \frac{14}{{((3) + 1)}^{2}})$

Schritt 11.2.1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 11.2.1.2.1

Addiere $3$ und $1$ .

$f (3) = 600 (1 - \frac{7}{4} + \frac{14}{4^{2}})$

Schritt 11.2.1.2.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$f (3) = 600 (1 - \frac{7}{4} + \frac{14}{16})$

Schritt 11.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $14$ und $16$ .

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Schritt 11.2.1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $14$ heraus.

$f (3) = 600 (1 - \frac{7}{4} + \frac{2 (7)}{16})$

Schritt 11.2.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.2.1.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$f (3) = 600 (1 - \frac{7}{4} + \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 8})$

Schritt 11.2.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (3) = 600 (1 - \frac{7}{4} + \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 8})$

Schritt 11.2.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (3) = 600 (1 - \frac{7}{4} + \frac{7}{8})$

Schritt 11.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 11.2.2.1

Schreibe $1$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (3) = 600 (\frac{1}{1} - \frac{7}{4} + \frac{7}{8})$

Schritt 11.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{1}$ mit $\frac{8}{8}$ .

$f (3) = 600 (\frac{1}{1} \cdot \frac{8}{8} - \frac{7}{4} + \frac{7}{8})$

Schritt 11.2.2.3

Mutltipliziere $\frac{1}{1}$ mit $\frac{8}{8}$ .

$f (3) = 600 (\frac{8}{8} - \frac{7}{4} + \frac{7}{8})$

Schritt 11.2.2.4

Mutltipliziere $\frac{7}{4}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (3) = 600 (\frac{8}{8} - (\frac{7}{4} \cdot \frac{2}{2}) + \frac{7}{8})$

Schritt 11.2.2.5

Mutltipliziere $\frac{7}{4}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (3) = 600 (\frac{8}{8} - \frac{7 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{7}{8})$

Schritt 11.2.2.6

Stelle die Faktoren von $4 \cdot 2$ um.

$f (3) = 600 (\frac{8}{8} - \frac{7 \cdot 2}{2 \cdot 4} + \frac{7}{8})$

Schritt 11.2.2.7

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$f (3) = 600 (\frac{8}{8} - \frac{7 \cdot 2}{8} + \frac{7}{8})$

Schritt 11.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (3) = 600 (\frac{8 - 7 \cdot 2 + 7}{8})$

Schritt 11.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 11.2.4.1

Mutltipliziere $- 7$ mit $2$ .

$f (3) = 600 (\frac{8 - 14 + 7}{8})$

Schritt 11.2.4.2

Subtrahiere $14$ von $8$ .

$f (3) = 600 (\frac{- 6 + 7}{8})$

Schritt 11.2.4.3

Addiere $- 6$ und $7$ .

$f (3) = 600 (\frac{1}{8})$

Schritt 11.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 11.2.5.1

Faktorisiere $8$ aus $600$ heraus.

$f (3) = 8 (75) (\frac{1}{8})$

Schritt 11.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (3) = 8 \cdot (75 (\frac{1}{8}))$

Schritt 11.2.5.3

Forme den Ausdruck um.

$f (3) = 75$

Schritt 11.2.6

Die endgültige Lösung ist $75$ .

$y = 75$

Schritt 12

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = 600 (1 - \frac{7}{x + 1} + \frac{14}{{(x + 1)}^{2}})$ .

$(3, 75)$ ist ein lokales Minimum

Schritt 13