Analysis Beispiele

$f (x) = 8 x^{2} + 8 \sin (2 x)$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 x^{2} + 8 \sin (2 x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 \sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 \sin (2 x)]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x^{2}$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 \sin (2 x)]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$8 (2 x) + \frac{d}{d x} [8 \sin (2 x)]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$16 x + \frac{d}{d x} [8 \sin (2 x)]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [8 \sin (2 x)]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 \sin (2 x)$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$16 x + 8 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 1.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$16 x + 8 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 1.3.2.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$16 x + 8 (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 1.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$16 x + 8 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 1.3.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$16 x + 8 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$16 x + 8 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

Schritt 1.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$16 x + 8 (\cos (2 x) \cdot 2)$

Schritt 1.3.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos (2 x)$ .

$16 x + 8 (2 \cdot \cos (2 x))$

Schritt 1.3.7

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$16 x + 16 \cos (2 x)$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $16 x + 16 \cos (2 x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [16 \cos (2 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (16 \cos (2 x))$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [16 x]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $16 x$ nach $x$ gleich $16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 16 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (16 \cos (2 x))$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (16 \cos (2 x))$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $16$ mit $1$ .

$f'' (x) = 16 + \frac{d}{d x} (16 \cos (2 x))$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [16 \cos (2 x)]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $16 \cos (2 x)$ nach $x$ gleich $16 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$f'' (x) = 16 + 16 \frac{d}{d x} (\cos (2 x))$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$f'' (x) = 16 + 16 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

Schritt 2.3.2.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = 16 + 16 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

Schritt 2.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$f'' (x) = 16 + 16 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Schritt 2.3.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 16 + 16 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 16 + 16 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f'' (x) = 16 + 16 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

Schritt 2.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 16 + 16 (- 2 \sin (2 x))$

Schritt 2.3.7

Mutltipliziere $- 2$ mit $16$ .

$f'' (x) = 16 - 32 \sin (2 x)$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$16 x + 16 \cos (2 x) = 0$

Schritt 4

Stelle jede Seite der Gleichung graphisch dar. Die Lösung ist der x-Wert des Schnittpunktes.

$x \approx - 0.51493326$

Schritt 5

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - 0.51493326$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$16 - 32 \sin (2 (- 0.51493326))$

Schritt 6

Mutltipliziere $2$ mit $- 0.51493326$ .

$16 - 32 \sin (- 1.02986652)$

Schritt 7

$x = - 0.51493326$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = - 0.51493326$ ist ein lokales Minimum

Schritt 8

Ermittele den y-Wert, wenn $x = - 0.51493326$ .

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.51493326$ .

$f (- 0.51493326) = 8 {(- 0.51493326)}^{2} + 8 \sin (2 (- 0.51493326))$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1.1

Potenziere $- 0.51493326$ mit $2$ .

$f (- 0.51493326) = 8 \cdot 0.26515626 + 8 \sin (2 (- 0.51493326))$

Schritt 8.2.1.2

Mutltipliziere $8$ mit $0.26515626$ .

$f (- 0.51493326) = 2.12125013 + 8 \sin (2 (- 0.51493326))$

Schritt 8.2.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 0.51493326$ .

$f (- 0.51493326) = 2.12125013 + 8 \sin (- 1.02986652)$

Schritt 8.2.2

Addiere $2.12125013$ und $8 \sin (- 1.02986652)$ .

$f (- 0.51493326) = - 4.73659201$

Schritt 8.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 4.73659201$ .

$y = - 4.73659201$

Schritt 9

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = 8 x^{2} + 8 \sin (2 x)$ .

$(- 0.51493326, - 4.73659201)$ ist ein lokales Minimum

Schritt 10