Analysis Beispiele

$f (x) = 8 \sqrt{x} e^{- x}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}]$

Schritt 1.1.2

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} e^{- x}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} e^{- x}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = e^{- x}$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

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Schritt 1.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- x$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 1.3.3

Ersetze alle $u$ durch $- x$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 1.4

Differenziere.

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Schritt 1.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 1.4.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.4.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 1.4.3.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- x}$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 1.4.3.3

Schreibe $- 1 e^{- x}$ als $- e^{- x}$ um.

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 1.4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Schritt 1.5

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Schritt 1.6

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Schritt 1.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Schritt 1.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Schritt 1.8.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Schritt 1.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Schritt 1.10

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 1.11

Kombiniere $e^{- x}$ und $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + \frac{e^{- x} x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 1.12

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 1.13

Vereinfache.

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Schritt 1.13.1

Wende das Distributivgesetz an.

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 8 \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.13.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.13.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$- 8 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x})) + 8 \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.13.2.2

Kombiniere $8$ und $\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{8 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.13.2.3

Faktorisiere $2$ aus $8 e^{- x}$ heraus.

$- 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{2 (4 e^{- x})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.13.2.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.13.2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$- 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{2 (4 e^{- x})}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 1.13.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{2 (4 e^{- x})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.13.2.4.3

Forme den Ausdruck um.

$- 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.13.3

Stelle die Terme um.

$- 8 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 8 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 8 e^{- x} x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 8 e^{- x} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 8 e^{- x} x^{\frac{1}{2}}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8 e^{- x} x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $- 8 \frac{d}{d x} [e^{- x} x^{\frac{1}{2}}]$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{d}{d x} (e^{- x} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = e^{- x}$ und $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - 8 (e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (e^{- x})) + \frac{d}{d x} (\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = - 8 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (e^{- x})) + \frac{d}{d x} (\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

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Schritt 2.2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $- x$ .

$f'' (x) = - 8 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- x))) + \frac{d}{d x} (\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 2.2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 8 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- x))) + \frac{d}{d x} (\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 2.2.4.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $- x$ .

$f'' (x) = - 8 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x))) + \frac{d}{d x} (\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 2.2.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 8 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x))) + \frac{d}{d x} (\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 2.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - 8 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 2.2.7

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - 8 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 2.2.8

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - 8 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 2.2.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = - 8 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 2.2.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = - 8 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 2.2.10.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f'' (x) = - 8 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 2.2.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - 8 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 2.2.12

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - 8 (e^{- x} (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 2.2.13

Kombiniere $e^{- x}$ und $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 2.2.14

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 2.2.15

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \cdot - 1)) + \frac{d}{d x} (\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 2.2.16

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- x}$ .

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot e^{- x})) + \frac{d}{d x} (\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 2.2.17

Schreibe $- 1 e^{- x}$ als $- e^{- x}$ um.

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{d}{d x} (\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\frac{e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 \frac{d}{d x} (\frac{e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = e^{- x}$ und $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (e^{- x}) - e^{- x} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

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Schritt 2.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $- x$ .

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x)) - e^{- x} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Schritt 2.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (\frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x)) - e^{- x} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Schritt 2.3.3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $- x$ .

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (\frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) - e^{- x} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Schritt 2.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (\frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) - e^{- x} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Schritt 2.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (\frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) - e^{- x} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Schritt 2.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (\frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Schritt 2.3.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (\frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \cdot - 1) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Schritt 2.3.8

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- x}$ .

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (\frac{x^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Schritt 2.3.9

Schreibe $- 1 e^{- x}$ als $- e^{- x}$ um.

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (\frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Schritt 2.3.10

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (\frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Schritt 2.3.11

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (\frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Schritt 2.3.12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (\frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Schritt 2.3.13

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.13.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (\frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Schritt 2.3.13.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (\frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Schritt 2.3.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (\frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Schritt 2.3.15

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (\frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Schritt 2.3.16

Kombiniere $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ und $e^{- x}$ .

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (\frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{x^{- \frac{1}{2}} e^{- x}}{2}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Schritt 2.3.17

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (\frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Schritt 2.3.18

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.18.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (\frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Schritt 2.3.18.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.18.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (\frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Schritt 2.3.18.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (\frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x})$

Schritt 2.3.19

Vereinfache.

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (\frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x})$

Schritt 2.3.20

Kombiniere $4$ und $\frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$ .

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{4 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - 8 \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{4 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Schritt 2.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - 8 \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{4 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (- \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Schritt 2.4.3

Vereine die Terme

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Schritt 2.4.3.1

Kombiniere $- 8$ und $\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{4 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (- \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Schritt 2.4.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 8 e^{- x}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{2 (- 4 e^{- x})}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{4 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (- \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Schritt 2.4.3.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.4.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{2 (- 4 e^{- x})}{2 (x^{\frac{1}{2}})} - 8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{4 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (- \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Schritt 2.4.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{2 (- 4 e^{- x})}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{4 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (- \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Schritt 2.4.3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{- 4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}} - 8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{4 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (- \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Schritt 2.4.3.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}} - 8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{4 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (- \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Schritt 2.4.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 8$ .

$f'' (x) = - \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}} + 8 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x})) + \frac{4 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (- \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Schritt 2.4.3.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f'' (x) = - \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}} + 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 4 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x})) + 4 (- \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Schritt 2.4.3.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f'' (x) = - \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}} + 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - 4 \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 2.4.3.8

Kombiniere $- 4$ und $\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}} + 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 4 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 2.4.3.9

Faktorisiere $2$ aus $- 4 e^{- x}$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}} + 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{2 (- 2 e^{- x})}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 2.4.3.10

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.4.3.10.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}} + 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{2 (- 2 e^{- x})}{2 (x^{\frac{1}{2}})}}{x}$

Schritt 2.4.3.10.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = - \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}} + 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{2 (- 2 e^{- x})}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 2.4.3.10.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = - \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}} + 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 2.4.3.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}} + 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 2.4.3.12

Um $- \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{x} + \frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 2.4.3.13

Um $\frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{x} + \frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.4.3.14

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $x \cdot x^{\frac{1}{2}}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.4.3.14.1

Mutltipliziere $\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{4 e^{- x} x}{x^{\frac{1}{2}} x} + \frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.4.3.14.2

Multipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.4.3.14.2.1

Mutltipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $x$ .

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Schritt 2.4.3.14.2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{4 e^{- x} x}{x^{\frac{1}{2}} x} + \frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.4.3.14.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{4 e^{- x} x}{x^{\frac{1}{2} + 1}} + \frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.4.3.14.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{4 e^{- x} x}{x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} + \frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.4.3.14.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{4 e^{- x} x}{x^{\frac{1 + 2}{2}}} + \frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.4.3.14.2.4

Addiere $1$ und $2$ .

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{4 e^{- x} x}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.4.3.14.3

Mutltipliziere $\frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x}$ mit $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{4 e^{- x} x}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{(- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.4.3.14.4

Multipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.4.3.14.4.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.4.3.14.4.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{4 e^{- x} x}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{(- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.4.3.14.4.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{4 e^{- x} x}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{(- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{x^{1 + \frac{1}{2}}}$

Schritt 2.4.3.14.4.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{4 e^{- x} x}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{(- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Schritt 2.4.3.14.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{4 e^{- x} x}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{(- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Schritt 2.4.3.14.4.4

Addiere $2$ und $1$ .

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{4 e^{- x} x}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{(- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.4.3.15

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 4 e^{- x} x + (- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.4.3.16

Faktorisiere $x^{\frac{1}{2}}$ aus $- 4 e^{- x} x + (- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

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Schritt 2.4.3.16.1

Stelle den Ausdruck um.

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Schritt 2.4.3.16.1.1

Bewege $e^{- x}$ .

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 4 x e^{- x} + (- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.4.3.16.1.2

Stelle $- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$ und $x^{\frac{1}{2}}$ um.

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 4 x e^{- x} + x^{\frac{1}{2}} (- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.4.3.16.2

Faktorisiere $x^{\frac{1}{2}}$ aus $- 4 x e^{- x}$ heraus.

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}) + x^{\frac{1}{2}} (- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.4.3.16.3

Faktorisiere $x^{\frac{1}{2}}$ aus $x^{\frac{1}{2}} (- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}) + x^{\frac{1}{2}} (- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})$ heraus.

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.4.3.17

Subtrahiere $4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}$ von $- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}$ .

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (- 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.4.3.18

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}$

Schritt 2.4.3.19

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.4.3.19.1

Multipliziere $x^{\frac{3}{2}}$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.4.3.19.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{3}{2} - \frac{1}{2}}}$

Schritt 2.4.3.19.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{3 - 1}{2}}}$

Schritt 2.4.3.19.1.3

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.4.3.19.1.4

Dividiere $2$ durch $2$ .

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 2.4.3.19.2

Vereinfache $x^{1}$ .

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 2.4.3.20

Um $8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} x}{x} + \frac{- 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 2.4.3.21

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} x - 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 2.4.3.22

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{8 (x \cdot x^{\frac{1}{2}}) e^{- x} - 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 2.4.3.23

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{8 x^{1 + \frac{1}{2}} e^{- x} - 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 2.4.3.24

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{8 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} e^{- x} - 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 2.4.3.25

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{8 x^{\frac{2 + 1}{2}} e^{- x} - 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 2.4.3.26

Addiere $2$ und $1$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{\frac{3}{2}} e^{- x} - 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 2.4.4

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = \frac{8 e^{- x} x^{\frac{3}{2}} - 8 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 2.4.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.5.1

Faktorisiere $2 e^{- x}$ aus $8 e^{- x} x^{\frac{3}{2}} - 8 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$ heraus.

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Schritt 2.4.5.1.1

Faktorisiere $2 e^{- x}$ aus $8 e^{- x} x^{\frac{3}{2}}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (4 x^{\frac{3}{2}}) - 8 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 2.4.5.1.2

Faktorisiere $2 e^{- x}$ aus $- 8 e^{- x} x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (4 x^{\frac{3}{2}}) + 2 e^{- x} (- 4 x^{\frac{1}{2}}) - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 2.4.5.1.3

Faktorisiere $2 e^{- x}$ aus $- \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (4 x^{\frac{3}{2}}) + 2 e^{- x} (- 4 x^{\frac{1}{2}}) + 2 e^{- x} (- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Schritt 2.4.5.1.4

Faktorisiere $2 e^{- x}$ aus $2 e^{- x} (4 x^{\frac{3}{2}}) + 2 e^{- x} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$ heraus.

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (4 x^{\frac{3}{2}} - 4 x^{\frac{1}{2}}) + 2 e^{- x} (- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Schritt 2.4.5.1.5

Faktorisiere $2 e^{- x}$ aus $2 e^{- x} (4 x^{\frac{3}{2}} - 4 x^{\frac{1}{2}}) + 2 e^{- x} (- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$ heraus.

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (4 x^{\frac{3}{2}} - 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Schritt 2.4.5.2

Um $4 x^{\frac{3}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (- 4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4 x^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Schritt 2.4.5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (- 4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4 x^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}} - 1}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Schritt 2.4.5.4

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.5.4.1

Multipliziere $x^{\frac{3}{2}}$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.4.5.4.1.1

Bewege $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (- 4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}) - 1}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Schritt 2.4.5.4.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (- 4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4 x^{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}} - 1}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Schritt 2.4.5.4.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (- 4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4 x^{\frac{1 + 3}{2}} - 1}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Schritt 2.4.5.4.1.4

Addiere $1$ und $3$ .

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (- 4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4 x^{\frac{4}{2}} - 1}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Schritt 2.4.5.4.1.5

Dividiere $4$ durch $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (- 4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4 x^{2} - 1}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Schritt 2.4.5.4.2

Schreibe $4 x^{2}$ als ${(2 x)}^{2}$ um.

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (- 4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{{(2 x)}^{2} - 1}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Schritt 2.4.5.4.3

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (- 4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{{(2 x)}^{2} - 1^{2}}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Schritt 2.4.5.4.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2 x$ und $b = 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (- 4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Schritt 2.4.5.5

Um $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (- 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Schritt 2.4.5.6

Kombiniere $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (\frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Schritt 2.4.5.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (\frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + (2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Schritt 2.4.5.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.5.8.1

Multipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.4.5.8.1.1

Bewege $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (\frac{- 4 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + (2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Schritt 2.4.5.8.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (\frac{- 4 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + (2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Schritt 2.4.5.8.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (\frac{- 4 x^{\frac{1 + 1}{2}} + (2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Schritt 2.4.5.8.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (\frac{- 4 x^{\frac{2}{2}} + (2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Schritt 2.4.5.8.1.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (\frac{- 4 x + (2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Schritt 2.4.5.8.2

Vereinfache $- 4 x^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (\frac{- 4 x + (2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Schritt 2.4.5.8.3

Multipliziere $(2 x + 1) (2 x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.4.5.8.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (\frac{- 4 x + 2 x (2 x - 1) + 1 (2 x - 1)}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Schritt 2.4.5.8.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (\frac{- 4 x + 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x - 1)}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Schritt 2.4.5.8.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (\frac{- 4 x + 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Schritt 2.4.5.8.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1$ .

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Schritt 2.4.5.8.4.1

Ordne die Faktoren in den Termen $2 x \cdot - 1$ und $1 (2 x)$ neu an.

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (\frac{- 4 x + 2 x (2 x) - 1 \cdot (2 x) + 1 \cdot (2 x) + 1 \cdot - 1}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Schritt 2.4.5.8.4.2

Addiere $- 1 \cdot 2 x$ und $1 \cdot 2 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (\frac{- 4 x + 2 x (2 x) + 0 + 1 \cdot - 1}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Schritt 2.4.5.8.4.3

Addiere $2 x (2 x)$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (\frac{- 4 x + 2 x (2 x) + 1 \cdot - 1}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Schritt 2.4.5.8.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.5.8.5.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (\frac{- 4 x + 2 \cdot (2 x \cdot x) + 1 \cdot - 1}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Schritt 2.4.5.8.5.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.4.5.8.5.2.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (\frac{- 4 x + 2 \cdot (2 (x \cdot x)) + 1 \cdot - 1}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Schritt 2.4.5.8.5.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (\frac{- 4 x + 2 \cdot (2 x^{2}) + 1 \cdot - 1}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Schritt 2.4.5.8.5.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (\frac{- 4 x + 4 x^{2} + 1 \cdot - 1}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Schritt 2.4.5.8.5.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (\frac{- 4 x + 4 x^{2} - 1}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Schritt 2.4.5.8.6

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (\frac{4 x^{2} - 4 x - 1}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Schritt 2.4.5.9

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 2.4.5.9.1

Kombiniere $\frac{4 x^{2} - 4 x - 1}{x^{\frac{1}{2}}}$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{(4 x^{2} - 4 x - 1) \cdot 2}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot e^{- x}}{x}$

Schritt 2.4.5.9.2

Kombiniere $\frac{(4 x^{2} - 4 x - 1) \cdot 2}{x^{\frac{1}{2}}}$ und $e^{- x}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{(4 x^{2} - 4 x - 1) \cdot (2 e^{- x})}{x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 2.4.5.10

Bringe $2$ auf die linke Seite von $4 x^{2} - 4 x - 1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (4 x^{2} - 4 x - 1) e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 2.4.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{2} - 4 x - 1) e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x}$

Schritt 2.4.7

Kombinieren.

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{2} - 4 x - 1) e^{- x} \cdot 1}{x^{\frac{1}{2}} x}$

Schritt 2.4.8

Multipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.4.8.1

Mutltipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $x$ .

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Schritt 2.4.8.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{2} - 4 x - 1) e^{- x} \cdot 1}{x^{\frac{1}{2}} x}$

Schritt 2.4.8.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{2} - 4 x - 1) e^{- x} \cdot 1}{x^{\frac{1}{2} + 1}}$

Schritt 2.4.8.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{2} - 4 x - 1) e^{- x} \cdot 1}{x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Schritt 2.4.8.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{2} - 4 x - 1) e^{- x} \cdot 1}{x^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Schritt 2.4.8.4

Addiere $1$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{2} - 4 x - 1) e^{- x} \cdot 1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.4.9

Mutltipliziere $2 (4 x^{2} - 4 x - 1) e^{- x}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{2} - 4 x - 1) e^{- x}}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.4.10

Stelle die Faktoren in $\frac{2 (4 x^{2} - 4 x - 1) e^{- x}}{x^{\frac{3}{2}}}$ um.

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (4 x^{2} - 4 x - 1)}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- 8 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 4.1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}]$

Schritt 4.1.1.2

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} e^{- x}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} e^{- x}]$

Schritt 4.1.2

$8 (x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

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Schritt 4.1.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- x$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 4.1.3.3

Ersetze alle $u$ durch $- x$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 4.1.4

Differenziere.

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Schritt 4.1.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 4.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 4.1.4.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1.4.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 4.1.4.3.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- x}$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 4.1.4.3.3

Schreibe $- 1 e^{- x}$ als $- e^{- x}$ um.

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 4.1.4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Schritt 4.1.5

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Schritt 4.1.6

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Schritt 4.1.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Schritt 4.1.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Schritt 4.1.8.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Schritt 4.1.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Schritt 4.1.10

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 4.1.11

Kombiniere $e^{- x}$ und $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + \frac{e^{- x} x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 4.1.12

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 4.1.13

Vereinfache.

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Schritt 4.1.13.1

Wende das Distributivgesetz an.

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 8 \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.13.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.1.13.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$- 8 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x})) + 8 \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.13.2.2

Kombiniere $8$ und $\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{8 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.13.2.3

Faktorisiere $2$ aus $8 e^{- x}$ heraus.

$- 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{2 (4 e^{- x})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.13.2.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.13.2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$- 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{2 (4 e^{- x})}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 4.1.13.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{2 (4 e^{- x})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.13.2.4.3

Forme den Ausdruck um.

$- 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.13.3

Stelle die Terme um.

$f' (x) = - 8 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 8 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- 8 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 8 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- 8 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 5.2

Ermittle einen gemeinsamen Teiler $e^{- 1 x}$ , der in jedem Term vorkommt.

$- 8 {(e x^{- 1 x})}^{\frac{2 x - 1}{2 x}} + \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.3

Ersetze $e^{- 1 x}$ durch $u$ .

$- 8 {(e x^{- 1 x})}^{\frac{2 x - 1}{2 x}} + \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 5.4

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 5.4.1

Bringe $\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$ auf die rechte Seite der Gleichung, indem du es von beiden Seiten subtrahierst.

$- 8 {(e x^{- 1 x})}^{\frac{2 x - 1}{2 x}} = - \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache $- 8 {(e x^{- 1 x})}^{\frac{2 x - 1}{2 x}}$ .

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Schritt 5.4.2.1

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$- 8 {(e x^{- x})}^{\frac{2 x - 1}{2 x}} = - \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.4.2.2

Wende die Produktregel auf $e x^{- x}$ an.

$- 8 (e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} {(x^{- x})}^{\frac{2 x - 1}{2 x}}) = - \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.4.2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{- x})}^{\frac{2 x - 1}{2 x}}$ .

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Schritt 5.4.2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 8 (e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- x \frac{2 x - 1}{2 x}}) = - \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.4.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.4.2.3.2.1

Faktorisiere $x$ aus $- x$ heraus.

$- 8 (e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{x \cdot - 1 \frac{2 x - 1}{2 x}}) = - \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.4.2.3.2.2

Faktorisiere $x$ aus $2 x$ heraus.

$- 8 (e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{x \cdot - 1 \frac{2 x - 1}{x \cdot 2}}) = - \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.4.2.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 8 (e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{x \cdot - 1 \frac{2 x - 1}{x \cdot 2}}) = - \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.4.2.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$- 8 (e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- \frac{2 x - 1}{2}}) = - \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

$- 8 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- \frac{2 x - 1}{2}} = - \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.4.3

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.4.3.1

Addiere $\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 8 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- \frac{2 x - 1}{2}} + \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 5.4.3.2

Um $- 8 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- \frac{2 x - 1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- 8 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- \frac{2 x - 1}{2}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 5.4.3.3

Kombiniere $- 8 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- \frac{2 x - 1}{2}}$ und $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 8 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- \frac{2 x - 1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 5.4.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 8 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- \frac{2 x - 1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 5.4.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.4.3.5.1

Faktorisiere $4$ aus $- 8 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- \frac{2 x - 1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 4 e^{- x}$ heraus.

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Schritt 5.4.3.5.1.1

Faktorisiere $4$ aus $- 8 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- \frac{2 x - 1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{4 (- 2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- \frac{2 x - 1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + 4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 5.4.3.5.1.2

Faktorisiere $4$ aus $4 e^{- x}$ heraus.

$\frac{4 (- 2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- \frac{2 x - 1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + 4 (e^{- x})}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 5.4.3.5.1.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (- 2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- \frac{2 x - 1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + 4 (e^{- x})$ heraus.

$\frac{4 (- 2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- \frac{2 x - 1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + e^{- x})}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 5.4.3.5.2

Multipliziere $x^{- \frac{2 x - 1}{2}}$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.4.3.5.2.1

Bewege $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 (- 2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} (x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{2 x - 1}{2}}) + e^{- x})}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 5.4.3.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4 (- 2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{\frac{1}{2} - \frac{2 x - 1}{2}} + e^{- x})}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 5.4.3.5.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4 (- 2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{\frac{1 - (2 x - 1)}{2}} + e^{- x})}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 5.4.3.5.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.3.5.2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 (- 2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{\frac{1 - (2 x) - - 1}{2}} + e^{- x})}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 5.4.3.5.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{4 (- 2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{\frac{1 - 2 x - - 1}{2}} + e^{- x})}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 5.4.3.5.2.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{4 (- 2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{\frac{1 - 2 x + 1}{2}} + e^{- x})}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 5.4.3.5.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{4 (- 2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{\frac{- 2 x + 2}{2}} + e^{- x})}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 5.4.3.5.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2 x + 2$ und $2$ .

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Schritt 5.4.3.5.2.6.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{4 (- 2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{\frac{2 (- x) + 2}{2}} + e^{- x})}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 5.4.3.5.2.6.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{4 (- 2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{\frac{2 (- x) + 2 \cdot 1}{2}} + e^{- x})}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 5.4.3.5.2.6.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- x) + 2 (1)$ heraus.

$\frac{4 (- 2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{\frac{2 (- x + 1)}{2}} + e^{- x})}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 5.4.3.5.2.6.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.3.5.2.6.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{4 (- 2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{\frac{2 (- x + 1)}{2 (1)}} + e^{- x})}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 5.4.3.5.2.6.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 (- 2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{\frac{2 (- x + 1)}{2 \cdot 1}} + e^{- x})}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 5.4.3.5.2.6.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 (- 2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{\frac{- x + 1}{1}} + e^{- x})}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 5.4.3.5.2.6.4.4

Dividiere $- x + 1$ durch $1$ .

$\frac{4 (- 2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- x + 1} + e^{- x})}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 5.4.3.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- x + 1}$ heraus.

$\frac{4 (- (2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- x + 1}) + e^{- x})}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 5.4.3.7

Faktorisiere $- 1$ aus $e^{- x}$ heraus.

$\frac{4 (- (2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- x + 1}) - 1 (- e^{- x}))}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 5.4.3.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- x + 1}) - 1 (- e^{- x})$ heraus.

$\frac{4 (- (2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- x + 1} - e^{- x}))}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 5.4.3.9

Schreibe $- (2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- x + 1} - e^{- x})$ als $- 1 (2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- x + 1} - e^{- x})$ um.

$\frac{4 (- 1 (2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- x + 1} - e^{- x}))}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 5.4.3.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{4 (2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- x + 1} - e^{- x})}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 5.5

Ersetze $u$ durch $x$ .

$- \frac{4 (2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- x + 1} - e^{- x})}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 5.6

Faktorisiere $4 e^{- x}$ aus $- 8 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$ heraus.

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Schritt 5.6.1

Faktorisiere $4 e^{- x}$ aus $- 8 e^{- x} x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$4 e^{- x} (- 2 x^{\frac{1}{2}}) + \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 5.6.2

Faktorisiere $4 e^{- x}$ aus $\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$ heraus.

$4 e^{- x} (- 2 x^{\frac{1}{2}}) + 4 e^{- x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) = 0$

Schritt 5.6.3

Faktorisiere $4 e^{- x}$ aus $4 e^{- x} (- 2 x^{\frac{1}{2}}) + 4 e^{- x} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ heraus.

$4 e^{- x} (- 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) = 0$

Schritt 5.7

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$e^{- x} = 0$

$- 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 5.8

Setze $e^{- x}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.8.1

Setze $e^{- x}$ gleich $0$ .

$e^{- x} = 0$

Schritt 5.8.2

Löse $e^{- x} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.8.2.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Schritt 5.8.2.2

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (0)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 5.8.2.3

Es gibt keine Lösung für $e^{- x} = 0$

Keine Lösung

Schritt 5.9

Setze $- 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.9.1

Setze $- 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ gleich $0$ .

$- 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 5.9.2

Löse $- 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.9.2.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 5.9.2.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, x^{\frac{1}{2}}, 1$

Schritt 5.9.2.1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 5.9.2.2

Multipliziere jeden Term in $- 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 5.9.2.2.1

Multipliziere jeden Term in $- 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 5.9.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.9.2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.9.2.2.2.1.1

Multipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.9.2.2.2.1.1.1

Bewege $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 5.9.2.2.2.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 5.9.2.2.2.1.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 2 x^{\frac{1 + 1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 5.9.2.2.2.1.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$- 2 x^{\frac{2}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 5.9.2.2.2.1.1.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$- 2 x^{1} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 5.9.2.2.2.1.2

Vereinfache $- 2 x^{1}$ .

$- 2 x + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 5.9.2.2.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 5.9.2.2.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 2 x + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 5.9.2.2.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$- 2 x + 1 = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 5.9.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.9.2.2.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 x + 1 = 0$

Schritt 5.9.2.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 5.9.2.3.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x = - 1$

Schritt 5.9.2.3.2

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x = - 1$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 5.9.2.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x = - 1$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 5.9.2.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.9.2.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 5.9.2.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 5.9.2.3.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 5.9.2.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.9.2.3.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 5.10

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $4 e^{- x} (- 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 6.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$- 8 e^{- x} \sqrt{x^{1}} + \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6.1.2

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$- 8 e^{- x} \sqrt{x^{1}} + \frac{4 e^{- x}}{\sqrt{x^{1}}}$

Schritt 6.1.3

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$- 8 e^{- x} \sqrt{x} + \frac{4 e^{- x}}{\sqrt{x^{1}}}$

Schritt 6.1.4

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$- 8 e^{- x} \sqrt{x} + \frac{4 e^{- x}}{\sqrt{x}}$

Schritt 6.2

Setze den Nenner in $\frac{4 e^{- x}}{\sqrt{x}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\sqrt{x} = 0$

Schritt 6.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{x}}^{2} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 6.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.2.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2.1.2

Vereinfache.

$x = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x = 0$

Schritt 6.4

Setze den Radikanden in $\sqrt{x}$ kleiner als $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x < 0$

Schritt 6.5

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = \frac{1}{2}, 0$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{1}{2}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{2 e^{- (\frac{1}{2})} (4 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{1}{2}) - 1)}{{(\frac{1}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Bringe $e^{- (\frac{1}{2})}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 (4 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{1}{2}) - 1)}{{(\frac{1}{2})}^{\frac{3}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 9.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$\frac{2 (4 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 4 (\frac{1}{2}) - 1)}{{(\frac{1}{2})}^{\frac{3}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 9.2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{2 (4 \frac{1}{2^{2}} - 4 (\frac{1}{2}) - 1)}{{(\frac{1}{2})}^{\frac{3}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 9.2.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{2 (4 (\frac{1}{4}) - 4 (\frac{1}{2}) - 1)}{{(\frac{1}{2})}^{\frac{3}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 9.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 9.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (4 (\frac{1}{4}) - 4 (\frac{1}{2}) - 1)}{{(\frac{1}{2})}^{\frac{3}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 9.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 (1 - 4 (\frac{1}{2}) - 1)}{{(\frac{1}{2})}^{\frac{3}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 9.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.2.5.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$\frac{2 (1 + 2 (- 2) \frac{1}{2} - 1)}{{(\frac{1}{2})}^{\frac{3}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 9.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (1 + 2 \cdot - 2 \frac{1}{2} - 1)}{{(\frac{1}{2})}^{\frac{3}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 9.2.5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 (1 - 2 - 1)}{{(\frac{1}{2})}^{\frac{3}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 9.2.6

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{2 (- 1 - 1)}{{(\frac{1}{2})}^{\frac{3}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 9.2.7

Subtrahiere $1$ von $- 1$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{{(\frac{1}{2})}^{\frac{3}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 9.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.3.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$\frac{2 \cdot - 2}{\frac{1^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{3}{2}}} e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 9.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{2 \cdot - 2}{\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}} e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 9.4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 9.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\frac{- 4}{\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}} e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 9.4.2

Kombiniere $\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}$ und $e^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 4}{\frac{e^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Schritt 9.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- 4 \frac{2^{\frac{3}{2}}}{e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 9.6

Multipliziere $- 4 \frac{2^{\frac{3}{2}}}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

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Schritt 9.6.1

Kombiniere $- 4$ und $\frac{2^{\frac{3}{2}}}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 4 \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 9.6.2

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\frac{- (4 \cdot 2^{\frac{3}{2}})}{e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 9.6.3

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{- (2^{2} \cdot 2^{\frac{3}{2}})}{e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 9.6.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 2^{2 + \frac{3}{2}}}{e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 9.6.5

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 2^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}{e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 9.6.6

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 2^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}}}{e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 9.6.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 2^{\frac{2 \cdot 2 + 3}{2}}}{e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 9.6.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.6.8.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{- 2^{\frac{4 + 3}{2}}}{e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 9.6.8.2

Addiere $4$ und $3$ .

$\frac{- 2^{\frac{7}{2}}}{e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 9.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2^{\frac{7}{2}}}{e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10

$x = \frac{1}{2}$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{1}{2}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{1}{2}$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = 8 \sqrt{\frac{1}{2}} e^{- (\frac{1}{2})}$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

Entferne die Klammern.

$f (\frac{1}{2}) = 8 \sqrt{\frac{1}{2}} e^{- (\frac{1}{2})}$

Schritt 11.2.2

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{2}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ um.

$f (\frac{1}{2}) = 8 (\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}) \cdot e^{- (\frac{1}{2})}$

Schritt 11.2.3

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = 8 (\frac{1}{\sqrt{2}}) \cdot e^{- (\frac{1}{2})}$

Schritt 11.2.4

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$f (\frac{1}{2}) = 8 (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}) \cdot e^{- (\frac{1}{2})}$

Schritt 11.2.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 11.2.5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$f (\frac{1}{2}) = 8 (\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}) \cdot e^{- (\frac{1}{2})}$

Schritt 11.2.5.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = 8 (\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}) \cdot e^{- (\frac{1}{2})}$

Schritt 11.2.5.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = 8 (\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}) \cdot e^{- (\frac{1}{2})}$

Schritt 11.2.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (\frac{1}{2}) = 8 (\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}) \cdot e^{- (\frac{1}{2})}$

Schritt 11.2.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = 8 (\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}) \cdot e^{- (\frac{1}{2})}$

Schritt 11.2.5.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 11.2.5.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{1}{2}) = 8 (\frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}) \cdot e^{- (\frac{1}{2})}$

Schritt 11.2.5.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1}{2}) = 8 (\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}) \cdot e^{- (\frac{1}{2})}$

Schritt 11.2.5.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = 8 (\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}) \cdot e^{- (\frac{1}{2})}$

Schritt 11.2.5.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.2.5.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{1}{2}) = 8 (\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}) \cdot e^{- (\frac{1}{2})}$

Schritt 11.2.5.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{1}{2}) = 8 (\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot e^{- (\frac{1}{2})}$

Schritt 11.2.5.6.5

Berechne den Exponenten.

$f (\frac{1}{2}) = 8 (\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot e^{- (\frac{1}{2})}$

Schritt 11.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.2.6.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$f (\frac{1}{2}) = 2 (4) (\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot e^{- (\frac{1}{2})}$

Schritt 11.2.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{1}{2}) = 2 \cdot (4 (\frac{\sqrt{2}}{2})) \cdot e^{- (\frac{1}{2})}$

Schritt 11.2.6.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{1}{2}) = 4 \sqrt{2} e^{- (\frac{1}{2})}$

Schritt 11.2.7

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (\frac{1}{2}) = 4 \sqrt{2} (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 11.2.8

Multipliziere $4 \sqrt{2} \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

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Schritt 11.2.8.1

Kombiniere $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ und $4$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{4}{e^{\frac{1}{2}}} \cdot \sqrt{2}$

Schritt 11.2.8.2

Kombiniere $\frac{4}{e^{\frac{1}{2}}}$ und $\sqrt{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{4 \sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11.2.9

Die endgültige Lösung ist $\frac{4 \sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$y = \frac{4 \sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{2 e^{- (0)} (4 {(0)}^{2} - 4 \cdot 0 - 1)}{{(0)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 13.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 13.1.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$\frac{2 e^{- (0)} (4 {(0)}^{2} - 4 \cdot 0 - 1)}{{(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 13.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 e^{- (0)} (4 {(0)}^{2} - 4 \cdot 0 - 1)}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Schritt 13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 13.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 e^{- (0)} (4 {(0)}^{2} - 4 \cdot 0 - 1)}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Schritt 13.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 e^{- (0)} (4 {(0)}^{2} - 4 \cdot 0 - 1)}{0^{3}}$

Schritt 13.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{2 e^{- (0)} (4 {(0)}^{2} - 4 \cdot 0 - 1)}{0}$

Schritt 13.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 14

Da der erste Ableitungstest nicht erfolgreich war, gibt es kein lokales Extremum.

Keine lokalen Extrema

Schritt 15