Analysis Beispiele

$f (x) = 8 \sqrt{3} \sin (x) - 8 \cos (x)$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 \sqrt{3} \sin (x) - 8 \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [8 \sqrt{3} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 8 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [8 \sqrt{3} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 8 \cos (x)]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [8 \sqrt{3} \sin (x)]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $8 \sqrt{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 \sqrt{3} \sin (x)$ nach $x$ gleich $8 \sqrt{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$8 \sqrt{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 8 \cos (x)]$

Schritt 1.2.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$8 \sqrt{3} \cos (x) + \frac{d}{d x} [- 8 \cos (x)]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 8 \cos (x)]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8 \cos (x)$ nach $x$ gleich $- 8 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$8 \sqrt{3} \cos (x) - 8 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 1.3.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$8 \sqrt{3} \cos (x) - 8 (- \sin (x))$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 8$ .

$8 \sqrt{3} \cos (x) + 8 \sin (x)$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 \sqrt{3} \cos (x) + 8 \sin (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [8 \sqrt{3} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [8 \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (8 \sqrt{3} \cos (x)) + \frac{d}{d x} (8 \sin (x))$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [8 \sqrt{3} \cos (x)]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $8 \sqrt{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 \sqrt{3} \cos (x)$ nach $x$ gleich $8 \sqrt{3} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = 8 \sqrt{3} \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \frac{d}{d x} (8 \sin (x))$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = 8 \sqrt{3} (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} (8 \sin (x))$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$f'' (x) = - 8 \sqrt{3} \sin (x) + \frac{d}{d x} (8 \sin (x))$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [8 \sin (x)]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 \sin (x)$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = - 8 \sqrt{3} \sin (x) + 8 \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Schritt 2.3.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 8 \sqrt{3} \sin (x) + 8 \cos (x)$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$8 \sqrt{3} \cos (x) + 8 \sin (x) = 0$

Schritt 4

Teile jeden Term in der Gleichung durch $\cos (x)$ .

$\frac{8 \sqrt{3} \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{8 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 \sqrt{3} \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{8 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 5.2

Dividiere $8 \sqrt{3}$ durch $1$ .

$8 \sqrt{3} + \frac{8 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 6

Separiere Brüche.

$8 \sqrt{3} + \frac{8}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 7

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$8 \sqrt{3} + \frac{8}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 8

Dividiere $8$ durch $1$ .

$8 \sqrt{3} + 8 \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 9

Separiere Brüche.

$8 \sqrt{3} + 8 \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 10

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$8 \sqrt{3} + 8 \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Schritt 11

Dividiere $0$ durch $1$ .

$8 \sqrt{3} + 8 \tan (x) = 0 \sec (x)$

Schritt 12

Mutltipliziere $0$ mit $\sec (x)$ .

$8 \sqrt{3} + 8 \tan (x) = 0$

Schritt 13

Subtrahiere $8 \sqrt{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$8 \tan (x) = - 8 \sqrt{3}$

Schritt 14

Teile jeden Ausdruck in $8 \tan (x) = - 8 \sqrt{3}$ durch $8$ und vereinfache.

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Schritt 14.1

Teile jeden Ausdruck in $8 \tan (x) = - 8 \sqrt{3}$ durch $8$ .

$\frac{8 \tan (x)}{8} = \frac{- 8 \sqrt{3}}{8}$

Schritt 14.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 14.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 14.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 \tan (x)}{8} = \frac{- 8 \sqrt{3}}{8}$

Schritt 14.2.1.2

Dividiere $\tan (x)$ durch $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 8 \sqrt{3}}{8}$

Schritt 14.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 14.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 8$ und $8$ .

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Schritt 14.3.1.1

Faktorisiere $8$ aus $- 8 \sqrt{3}$ heraus.

$\tan (x) = \frac{8 (- \sqrt{3})}{8}$

Schritt 14.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 14.3.1.2.1

Faktorisiere $8$ aus $8$ heraus.

$\tan (x) = \frac{8 (- \sqrt{3})}{8 (1)}$

Schritt 14.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\tan (x) = \frac{8 (- \sqrt{3})}{8 \cdot 1}$

Schritt 14.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\tan (x) = \frac{- \sqrt{3}}{1}$

Schritt 14.3.1.2.4

Dividiere $- \sqrt{3}$ durch $1$ .

$\tan (x) = - \sqrt{3}$

Schritt 15

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (- \sqrt{3})$

Schritt 16

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 16.1

Der genau Wert von $\arctan (- \sqrt{3})$ ist $- \frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{3}$

Schritt 17

Die Tangensfunktion ist negativ im zweiten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = - \frac{π}{3} - π$

Schritt 18

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 18.1

Addiere $2 π$ zu $- \frac{π}{3} - π$ .

$x = - \frac{π}{3} - π + 2 π$

Schritt 18.2

Der resultierende Winkel von $\frac{2 π}{3}$ ist positiv und gleich $- \frac{π}{3} - π$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Schritt 19

Die Lösung der Gleichung $x = - \frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}$

Schritt 20

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - \frac{π}{3}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- 8 \sqrt{3} \sin (- \frac{π}{3}) + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Schritt 21

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 21.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 21.1.1

Addiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$- 8 \sqrt{3} \sin (\frac{5 π}{3}) + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Schritt 21.1.2

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sinus im vierten Quadranten negativ ist.

$- 8 \sqrt{3} (- \sin (\frac{π}{3})) + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Schritt 21.1.3

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{3})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 8 \sqrt{3} (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Schritt 21.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 21.1.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ in den Zähler.

$- 8 \sqrt{3} \frac{- \sqrt{3}}{2} + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Schritt 21.1.4.2

Faktorisiere $2$ aus $- 8 \sqrt{3}$ heraus.

$2 (- 4 \sqrt{3}) \frac{- \sqrt{3}}{2} + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Schritt 21.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (- 4 \sqrt{3}) \frac{- \sqrt{3}}{2} + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Schritt 21.1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$- 4 \sqrt{3} (- \sqrt{3}) + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Schritt 21.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$4 \sqrt{3} \sqrt{3} + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Schritt 21.1.6

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$4 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Schritt 21.1.7

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$4 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Schritt 21.1.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 {\sqrt{3}}^{1 + 1} + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Schritt 21.1.9

Addiere $1$ und $1$ .

$4 {\sqrt{3}}^{2} + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Schritt 21.1.10

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 21.1.10.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Schritt 21.1.10.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Schritt 21.1.10.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Schritt 21.1.10.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 21.1.10.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Schritt 21.1.10.4.2

Forme den Ausdruck um.

$4 \cdot 3^{1} + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Schritt 21.1.10.5

Berechne den Exponenten.

$4 \cdot 3 + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Schritt 21.1.11

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$12 + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Schritt 21.1.12

Addiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$12 + 8 \cos (\frac{5 π}{3})$

Schritt 21.1.13

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$12 + 8 \cos (\frac{π}{3})$

Schritt 21.1.14

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{3})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$12 + 8 (\frac{1}{2})$

Schritt 21.1.15

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 21.1.15.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$12 + 2 (4) \frac{1}{2}$

Schritt 21.1.15.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$12 + 2 \cdot 4 \frac{1}{2}$

Schritt 21.1.15.3

Forme den Ausdruck um.

$12 + 4$

Schritt 21.2

Addiere $12$ und $4$ .

$16$

Schritt 22

$x = - \frac{π}{3}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = - \frac{π}{3}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 23

Ermittele den y-Wert, wenn $x = - \frac{π}{3}$ .

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Schritt 23.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{π}{3}$ .

$f (- \frac{π}{3}) = 8 \sqrt{3} \sin (- \frac{π}{3}) - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Schritt 23.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 23.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 23.2.1.1

Addiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$f (- \frac{π}{3}) = 8 \sqrt{3} \sin (\frac{5 π}{3}) - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Schritt 23.2.1.2

$f (- \frac{π}{3}) = 8 \sqrt{3} (- \sin (\frac{π}{3})) - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Schritt 23.2.1.3

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{3})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (- \frac{π}{3}) = 8 \sqrt{3} (- \frac{\sqrt{3}}{2}) - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Schritt 23.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 23.2.1.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ in den Zähler.

$f (- \frac{π}{3}) = 8 \sqrt{3} (\frac{- \sqrt{3}}{2}) - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Schritt 23.2.1.4.2

Faktorisiere $2$ aus $8 \sqrt{3}$ heraus.

$f (- \frac{π}{3}) = 2 (4 \sqrt{3}) (\frac{- \sqrt{3}}{2}) - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Schritt 23.2.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{π}{3}) = 2 (4 \sqrt{3}) (\frac{- \sqrt{3}}{2}) - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Schritt 23.2.1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{π}{3}) = 4 \sqrt{3} (- \sqrt{3}) - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Schritt 23.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f (- \frac{π}{3}) = - 4 \sqrt{3} \sqrt{3} - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Schritt 23.2.1.6

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$f (- \frac{π}{3}) = - 4 (\sqrt{3} \sqrt{3}) - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Schritt 23.2.1.7

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$f (- \frac{π}{3}) = - 4 (\sqrt{3} \sqrt{3}) - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Schritt 23.2.1.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (- \frac{π}{3}) = - 4 {\sqrt{3}}^{1 + 1} - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Schritt 23.2.1.9

Addiere $1$ und $1$ .

$f (- \frac{π}{3}) = - 4 {\sqrt{3}}^{2} - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Schritt 23.2.1.10

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 23.2.1.10.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (- \frac{π}{3}) = - 4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Schritt 23.2.1.10.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{π}{3}) = - 4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Schritt 23.2.1.10.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (- \frac{π}{3}) = - 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Schritt 23.2.1.10.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 23.2.1.10.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{π}{3}) = - 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Schritt 23.2.1.10.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{π}{3}) = - 4 \cdot 3 - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Schritt 23.2.1.10.5

Berechne den Exponenten.

$f (- \frac{π}{3}) = - 4 \cdot 3 - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Schritt 23.2.1.11

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$f (- \frac{π}{3}) = - 12 - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Schritt 23.2.1.12

Addiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$f (- \frac{π}{3}) = - 12 - 8 \cos (\frac{5 π}{3})$

Schritt 23.2.1.13

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$f (- \frac{π}{3}) = - 12 - 8 \cos (\frac{π}{3})$

Schritt 23.2.1.14

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{3})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{π}{3}) = - 12 - 8 (\frac{1}{2})$

Schritt 23.2.1.15

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 23.2.1.15.1

Faktorisiere $2$ aus $- 8$ heraus.

$f (- \frac{π}{3}) = - 12 + 2 (- 4) (\frac{1}{2})$

Schritt 23.2.1.15.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{π}{3}) = - 12 + 2 \cdot (- 4 (\frac{1}{2}))$

Schritt 23.2.1.15.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{π}{3}) = - 12 - 4$

Schritt 23.2.2

Subtrahiere $4$ von $- 12$ .

$f (- \frac{π}{3}) = - 16$

Schritt 23.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 16$ .

$y = - 16$

Schritt 24

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{2 π}{3}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- 8 \sqrt{3} \sin (\frac{2 π}{3}) + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Schritt 25

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 25.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 25.1.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$- 8 \sqrt{3} \sin (\frac{π}{3}) + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Schritt 25.1.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{3})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 8 \sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{2} + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Schritt 25.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 25.1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 8 \sqrt{3}$ heraus.

$2 (- 4 \sqrt{3}) \frac{\sqrt{3}}{2} + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Schritt 25.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (- 4 \sqrt{3}) \frac{\sqrt{3}}{2} + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Schritt 25.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$- 4 \sqrt{3} \sqrt{3} + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Schritt 25.1.4

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$- 4 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Schritt 25.1.5

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$- 4 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Schritt 25.1.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 4 {\sqrt{3}}^{1 + 1} + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Schritt 25.1.7

Addiere $1$ und $1$ .

$- 4 {\sqrt{3}}^{2} + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Schritt 25.1.8

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 25.1.8.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- 4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Schritt 25.1.8.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Schritt 25.1.8.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Schritt 25.1.8.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 25.1.8.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Schritt 25.1.8.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- 4 \cdot 3^{1} + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Schritt 25.1.8.5

Berechne den Exponenten.

$- 4 \cdot 3 + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Schritt 25.1.9

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$- 12 + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Schritt 25.1.10

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$- 12 + 8 (- \cos (\frac{π}{3}))$

Schritt 25.1.11

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{3})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$- 12 + 8 (- \frac{1}{2})$

Schritt 25.1.12

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 25.1.12.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

$- 12 + 8 (\frac{- 1}{2})$

Schritt 25.1.12.2

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$- 12 + 2 (4) \frac{- 1}{2}$

Schritt 25.1.12.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 12 + 2 \cdot 4 \frac{- 1}{2}$

Schritt 25.1.12.4

Forme den Ausdruck um.

$- 12 + 4 \cdot - 1$

Schritt 25.1.13

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- 12 - 4$

Schritt 25.2

Subtrahiere $4$ von $- 12$ .

$- 16$

Schritt 26

$x = \frac{2 π}{3}$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{2 π}{3}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 27

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{2 π}{3}$ .

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Schritt 27.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{2 π}{3}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 8 \sqrt{3} \sin (\frac{2 π}{3}) - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Schritt 27.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 27.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 27.2.1.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$f (\frac{2 π}{3}) = 8 \sqrt{3} \sin (\frac{π}{3}) - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Schritt 27.2.1.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{3})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 8 \sqrt{3} (\frac{\sqrt{3}}{2}) - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Schritt 27.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 27.2.1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $8 \sqrt{3}$ heraus.

$f (\frac{2 π}{3}) = 2 (4 \sqrt{3}) (\frac{\sqrt{3}}{2}) - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Schritt 27.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2 π}{3}) = 2 (4 \sqrt{3}) (\frac{\sqrt{3}}{2}) - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Schritt 27.2.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \sqrt{3} \sqrt{3} - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Schritt 27.2.1.4

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 (\sqrt{3} \sqrt{3}) - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Schritt 27.2.1.5

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 (\sqrt{3} \sqrt{3}) - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Schritt 27.2.1.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 {\sqrt{3}}^{1 + 1} - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Schritt 27.2.1.7

Addiere $1$ und $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 {\sqrt{3}}^{2} - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Schritt 27.2.1.8

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 27.2.1.8.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Schritt 27.2.1.8.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Schritt 27.2.1.8.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Schritt 27.2.1.8.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 27.2.1.8.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Schritt 27.2.1.8.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cdot 3 - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Schritt 27.2.1.8.5

Berechne den Exponenten.

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cdot 3 - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Schritt 27.2.1.9

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 12 - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Schritt 27.2.1.10

$f (\frac{2 π}{3}) = 12 - 8 (- \cos (\frac{π}{3}))$

Schritt 27.2.1.11

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{3})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 12 - 8 (- \frac{1}{2})$

Schritt 27.2.1.12

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 27.2.1.12.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

$f (\frac{2 π}{3}) = 12 - 8 (\frac{- 1}{2})$

Schritt 27.2.1.12.2

Faktorisiere $2$ aus $- 8$ heraus.

$f (\frac{2 π}{3}) = 12 + 2 (- 4) (\frac{- 1}{2})$

Schritt 27.2.1.12.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2 π}{3}) = 12 + 2 \cdot (- 4 (\frac{- 1}{2}))$

Schritt 27.2.1.12.4

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{2 π}{3}) = 12 - 4 \cdot - 1$

Schritt 27.2.1.13

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 12 + 4$

Schritt 27.2.2

Addiere $12$ und $4$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 16$

Schritt 27.2.3

Die endgültige Lösung ist $16$ .

$y = 16$

Schritt 28

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = 8 \sqrt{3} \sin (x) - 8 \cos (x)$ .

$(- \frac{π}{3}, - 16)$ ist ein lokales Minimum

$(\frac{2 π}{3}, 16)$ ist ein lokales Maximum

Schritt 29