Analysis Beispiele

$f (x) = 8 \cos^{4} (x)$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 \cos^{4} (x)$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [\cos^{4} (x)]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\cos^{4} (x)]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = \cos (x)$ .

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Schritt 1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\cos (x)$ .

$8 (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$8 (4 u^{3} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Schritt 1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\cos (x)$ .

$8 (4 \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Schritt 1.3

Mutltipliziere $4$ mit $8$ .

$32 (\cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Schritt 1.4

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$32 \cos^{3} (x) (- \sin (x))$

Schritt 1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $32$ .

$- 32 \cos^{3} (x) \sin (x)$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Da $- 32$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 32 \cos^{3} (x) \sin (x)$ nach $x$ gleich $- 32 \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x) \sin (x)]$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{d}{d x} (\cos^{3} (x) \sin (x))$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \cos^{3} (x)$ und $g (x) = \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{3} (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos^{3} (x)))$

Schritt 2.3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{3} (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos^{3} (x)))$

Schritt 2.4

Multipliziere $\cos^{3} (x)$ mit $\cos (x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.4.1

Mutltipliziere $\cos^{3} (x)$ mit $\cos (x)$ .

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Schritt 2.4.1.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{3} (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos^{3} (x)))$

Schritt 2.4.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - 32 ({\cos (x)}^{3 + 1} + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos^{3} (x)))$

Schritt 2.4.2

Addiere $3$ und $1$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos^{3} (x)))$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = \cos (x)$ .

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Schritt 2.5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) + \sin (x) (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (\cos (x))))$

Schritt 2.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) + \sin (x) (3 u^{2} \frac{d}{d x} (\cos (x))))$

Schritt 2.5.3

Ersetze alle $u$ durch $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) + \sin (x) (3 \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))))$

Schritt 2.6

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\sin (x)$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) + 3 \cdot (\sin (x) \cos^{2} (x)) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Schritt 2.7

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) + 3 \sin (x) \cos^{2} (x) (- \sin (x)))$

Schritt 2.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) - 3 \sin (x) \cos^{2} (x) \sin (x))$

Schritt 2.9

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) - 3 (\sin (x) \sin (x)) \cos^{2} (x))$

Schritt 2.10

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) - 3 (\sin (x) \sin (x)) \cos^{2} (x))$

Schritt 2.11

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) - 3 {\sin (x)}^{1 + 1} \cos^{2} (x))$

Schritt 2.12

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) - 3 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x))$

Schritt 2.13

Vereinfache.

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Schritt 2.13.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - 32 \cos^{4} (x) - 32 (- 3 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x))$

Schritt 2.13.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 32$ .

$f'' (x) = - 32 \cos^{4} (x) + 96 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$

Schritt 2.13.3

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = 96 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) - 32 \cos^{4} (x)$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- 32 \cos^{3} (x) \sin (x) = 0$

Schritt 4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\cos^{3} (x) = 0$

$\sin (x) = 0$

Schritt 5

Setze $\cos^{3} (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $\cos^{3} (x)$ gleich $0$ .

$\cos^{3} (x) = 0$

Schritt 5.2

Löse $\cos^{3} (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\cos (x) = \sqrt[3]{0}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

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Schritt 5.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$\cos (x) = \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 5.2.2.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$\cos (x) = 0$

Schritt 5.2.3

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (0)$

Schritt 5.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.4.1

Der genau Wert von $\arccos (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 5.2.5

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Schritt 5.2.6

Vereinfache $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 5.2.6.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 5.2.6.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.2.6.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 5.2.6.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 5.2.6.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.6.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Schritt 5.2.6.3.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 5.2.7

Die Lösung der Gleichung $x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Schritt 6

Setze $\sin (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $\sin (x)$ gleich $0$ .

$\sin (x) = 0$

Schritt 6.2

Löse $\sin (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (0)$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 6.2.3

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - 0$

Schritt 6.2.4

Subtrahiere $0$ von $π$ .

$x = π$

Schritt 6.2.5

Die Lösung der Gleichung $x = 0$ .

$x = 0, π$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- 32 \cos^{3} (x) \sin (x) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}, 0, π$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{π}{2}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$96 \cos^{2} (\frac{π}{2}) \sin^{2} (\frac{π}{2}) - 32 \cos^{4} (\frac{π}{2})$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.1.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$96 \cdot 0^{2} \sin^{2} (\frac{π}{2}) - 32 \cos^{4} (\frac{π}{2})$

Schritt 9.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$96 \cdot 0 \sin^{2} (\frac{π}{2}) - 32 \cos^{4} (\frac{π}{2})$

Schritt 9.1.3

Mutltipliziere $96$ mit $0$ .

$0 \sin^{2} (\frac{π}{2}) - 32 \cos^{4} (\frac{π}{2})$

Schritt 9.1.4

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$0 \cdot 1^{2} - 32 \cos^{4} (\frac{π}{2})$

Schritt 9.1.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$0 \cdot 1 - 32 \cos^{4} (\frac{π}{2})$

Schritt 9.1.6

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$0 - 32 \cos^{4} (\frac{π}{2})$

Schritt 9.1.7

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$0 - 32 \cdot 0^{4}$

Schritt 9.1.8

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 - 32 \cdot 0$

Schritt 9.1.9

Mutltipliziere $- 32$ mit $0$ .

$0 + 0$

Schritt 9.2

Addiere $0$ und $0$ .

$0$

Schritt 10

Da es mindestens einen Punkt mit $0$ oder eine nicht definierte zweite Ableitung gibt, wende den ersten Ableitungstest an.

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Schritt 10.1

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu $0$ oder nicht definiert machen.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{π}{2}) \cup (\frac{π}{2}, π) \cup (π, \frac{3 π}{2}) \cup (\frac{3 π}{2}, \infty)$

Schritt 10.2

Setze eine beliebige Zahl, wie $- 2$ , aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die erste Ableitung $- 32 \cos^{3} (x) \sin (x)$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 10.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f' (- 2) = - 32 \cos^{3} (- 2) \sin (- 2)$

Schritt 10.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 10.2.2.1

Berechne $\cos (- 2)$ .

$f' (- 2) = - 32 {(- 0.41614683)}^{3} \sin (- 2)$

Schritt 10.2.2.2

Potenziere $- 0.41614683$ mit $3$ .

$f' (- 2) = - 32 \cdot (- 0.07206755 \sin (- 2))$

Schritt 10.2.2.3

Mutltipliziere $- 32$ mit $- 0.07206755$ .

$f' (- 2) = 2.30616178 \sin (- 2)$

Schritt 10.2.2.4

Berechne $\sin (- 2)$ .

$f' (- 2) = 2.30616178 \cdot - 0.90929742$

Schritt 10.2.2.5

Mutltipliziere $2.30616178$ mit $- 0.90929742$ .

$f' (- 2) = - 2.09698697$

Schritt 10.2.2.6

Die endgültige Lösung ist $- 2.09698697$ .

$- 2.09698697$

Schritt 10.3

Setze eine beliebige Zahl, wie $1$ , aus dem Intervall $(0, \frac{π}{2})$ in die erste Ableitung $- 32 \cos^{3} (x) \sin (x)$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 10.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f' (1) = - 32 \cos^{3} (1) \sin (1)$

Schritt 10.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 10.3.2.1

Berechne $\cos (1)$ .

$f' (1) = - 32 \cdot ({0.5403023}^{3} \sin (1))$

Schritt 10.3.2.2

Potenziere $0.5403023$ mit $3$ .

$f' (1) = - 32 \cdot (0.1577286 \sin (1))$

Schritt 10.3.2.3

Mutltipliziere $- 32$ mit $0.1577286$ .

$f' (1) = - 5.04731536 \sin (1)$

Schritt 10.3.2.4

Berechne $\sin (1)$ .

$f' (1) = - 5.04731536 \cdot 0.84147098$

Schritt 10.3.2.5

Mutltipliziere $- 5.04731536$ mit $0.84147098$ .

$f' (1) = - 4.24716943$

Schritt 10.3.2.6

Die endgültige Lösung ist $- 4.24716943$ .

$- 4.24716943$

Schritt 10.4

Setze eine beliebige Zahl, wie $2$ , aus dem Intervall $(\frac{π}{2}, π)$ in die erste Ableitung $- 32 \cos^{3} (x) \sin (x)$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 10.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f' (2) = - 32 \cos^{3} (2) \sin (2)$

Schritt 10.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 10.4.2.1

Berechne $\cos (2)$ .

$f' (2) = - 32 {(- 0.41614683)}^{3} \sin (2)$

Schritt 10.4.2.2

Potenziere $- 0.41614683$ mit $3$ .

$f' (2) = - 32 \cdot (- 0.07206755 \sin (2))$

Schritt 10.4.2.3

Mutltipliziere $- 32$ mit $- 0.07206755$ .

$f' (2) = 2.30616178 \sin (2)$

Schritt 10.4.2.4

Berechne $\sin (2)$ .

$f' (2) = 2.30616178 \cdot 0.90929742$

Schritt 10.4.2.5

Mutltipliziere $2.30616178$ mit $0.90929742$ .

$f' (2) = 2.09698697$

Schritt 10.4.2.6

Die endgültige Lösung ist $2.09698697$ .

$2.09698697$

Schritt 10.5

Setze eine beliebige Zahl, wie $4$ , aus dem Intervall $(π, \frac{3 π}{2})$ in die erste Ableitung $- 32 \cos^{3} (x) \sin (x)$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 10.5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f' (4) = - 32 \cos^{3} (4) \sin (4)$

Schritt 10.5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 10.5.2.1

Berechne $\cos (4)$ .

$f' (4) = - 32 {(- 0.65364362)}^{3} \sin (4)$

Schritt 10.5.2.2

Potenziere $- 0.65364362$ mit $3$ .

$f' (4) = - 32 \cdot (- 0.27926922 \sin (4))$

Schritt 10.5.2.3

Mutltipliziere $- 32$ mit $- 0.27926922$ .

$f' (4) = 8.93661523 \sin (4)$

Schritt 10.5.2.4

Berechne $\sin (4)$ .

$f' (4) = 8.93661523 \cdot - 0.75680249$

Schritt 10.5.2.5

Mutltipliziere $8.93661523$ mit $- 0.75680249$ .

$f' (4) = - 6.7632527$

Schritt 10.5.2.6

Die endgültige Lösung ist $- 6.7632527$ .

$- 6.7632527$

Schritt 10.6

Setze eine beliebige Zahl, wie $7$ , aus dem Intervall $(\frac{3 π}{2}, \infty)$ in die erste Ableitung $- 32 \cos^{3} (x) \sin (x)$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 10.6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $7$ .

$f' (7) = - 32 \cos^{3} (7) \sin (7)$

Schritt 10.6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 10.6.2.1

Berechne $\cos (7)$ .

$f' (7) = - 32 \cdot ({0.75390225}^{3} \sin (7))$

Schritt 10.6.2.2

Potenziere $0.75390225$ mit $3$ .

$f' (7) = - 32 \cdot (0.42849437 \sin (7))$

Schritt 10.6.2.3

Mutltipliziere $- 32$ mit $0.42849437$ .

$f' (7) = - 13.71182002 \sin (7)$

Schritt 10.6.2.4

Berechne $\sin (7)$ .

$f' (7) = - 13.71182002 \cdot 0.65698659$

Schritt 10.6.2.5

Mutltipliziere $- 13.71182002$ mit $0.65698659$ .

$f' (7) = - 9.00848199$

Schritt 10.6.2.6

Die endgültige Lösung ist $- 9.00848199$ .

$- 9.00848199$

Schritt 10.7

Da die erste Ableitung das Vorzeichen um $x = 0$ nicht gewechselt hat, ist dies kein lokales Maximum oder Minimum.

Kein lokales Maximum oder Minimum

Schritt 10.8

Da die erste Ableitung um $x = \frac{π}{2}$ herum das Vorzeichen von negativ zu positiv gewechselt hat, ist $x = \frac{π}{2}$ ein lokales Minimum.

$x = \frac{π}{2}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 10.9

Da die erste Ableitung um $x = π$ herum das Vorzeichen von positiv zu negativ gewechselt hat, ist $x = π$ ein lokales Maximum.

$x = π$ ist ein lokales Maximum

Schritt 10.10

Da die erste Ableitung das Vorzeichen um $x = \frac{3 π}{2}$ nicht gewechselt hat, ist dies kein lokales Maximum oder Minimum.

Kein lokales Maximum oder Minimum

Schritt 10.11

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = 8 \cos^{4} (x)$ .

$x = \frac{π}{2}$ ist ein lokales Minimum

$x = π$ ist ein lokales Maximum

$x = \frac{π}{2}$ ist ein lokales Minimum

$x = π$ ist ein lokales Maximum

Schritt 11