Analysis Beispiele

$f (x) = 8 - \frac{6}{x} \cdot \frac{8}{x^{2}}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 - \frac{6}{x} \cdot \frac{8}{x^{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x} \cdot \frac{8}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x} \cdot \frac{8}{x^{2}}]$

Schritt 1.1.2

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x} \cdot \frac{8}{x^{2}}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{6}{x} \cdot \frac{8}{x^{2}}]$ .

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Schritt 1.2.1

Mutltipliziere $\frac{8}{x^{2}}$ mit $\frac{6}{x}$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{8 \cdot 6}{x^{2} x}]$

Schritt 1.2.2

Mutltipliziere $8$ mit $6$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{48}{x^{2} x}]$

Schritt 1.2.3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.3.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 1.2.3.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{48}{x^{2} x^{1}}]$

Schritt 1.2.3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{48}{x^{2 + 1}}]$

Schritt 1.2.3.2

Addiere $2$ und $1$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{48}{x^{3}}]$

Schritt 1.2.4

Da $- 48$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{48}{x^{3}}$ nach $x$ gleich $- 48 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$0 - 48 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Schritt 1.2.5

Schreibe $\frac{1}{x^{3}}$ als ${(x^{3})}^{- 1}$ um.

$0 - 48 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Schritt 1.2.6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{3}$ .

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Schritt 1.2.6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{3}$ .

$0 - 48 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 1.2.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$0 - 48 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 1.2.6.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{3}$ .

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Schritt 1.2.6.3.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 1.2.6.3.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$0 - 48 (- {(x^{2} x^{1})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 1.2.6.3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$0 - 48 (- {(x^{2 + 1})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 1.2.6.3.2

Addiere $2$ und $1$ .

$0 - 48 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 1.2.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$0 - 48 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

Schritt 1.2.8

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Schritt 1.2.8.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - 48 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

Schritt 1.2.8.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$0 - 48 (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

Schritt 1.2.9

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$0 - 48 (- 3 x^{- 6} x^{2})$

Schritt 1.2.10

Multipliziere $x^{- 6}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.10.1

Bewege $x^{2}$ .

$0 - 48 (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

Schritt 1.2.10.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$0 - 48 (- 3 x^{2 - 6})$

Schritt 1.2.10.3

Subtrahiere $6$ von $2$ .

$0 - 48 (- 3 x^{- 4})$

Schritt 1.2.11

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 48$ .

$0 + 144 x^{- 4}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + 144 \frac{1}{x^{4}}$

Schritt 1.3.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.3.2.1

Kombiniere $144$ und $\frac{1}{x^{4}}$ .

$0 + \frac{144}{x^{4}}$

Schritt 1.3.2.2

Addiere $0$ und $\frac{144}{x^{4}}$ .

$\frac{144}{x^{4}}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Da $144$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{144}{x^{4}}$ nach $x$ gleich $144 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$f'' (x) = 144 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{4}})$

Schritt 2.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.2.1

Schreibe $\frac{1}{x^{4}}$ als ${(x^{4})}^{- 1}$ um.

$f'' (x) = 144 \frac{d}{d x} ({(x^{4})}^{- 1})$

Schritt 2.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{4})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 144 \frac{d}{d x} (x^{4 \cdot - 1})$

Schritt 2.2.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 144 \frac{d}{d x} (x^{- 4})$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 4$ .

$f'' (x) = 144 (- 4 x^{- 5})$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $144$ .

$f'' (x) = - 576 x^{- 5}$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 576 \frac{1}{x^{5}}$

Schritt 2.5.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.5.2.1

Kombiniere $- 576$ und $\frac{1}{x^{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 576}{x^{5}}$

Schritt 2.5.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{576}{x^{5}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{144}{x^{4}} = 0$

Schritt 4

Da es keinen Wert von $x$ gibt, der die erste Ableitung gleich $0$ macht, gibt es keine lokalen Extrema.

Keine lokalen Extrema

Schritt 5

Keine lokalen Extrema

Schritt 6