Analysis Beispiele

$f (x) = 8.4 x^{0.75} - 2.1 x + 38.75$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8.4 x^{0.75} - 2.1 x + 38.75$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [8.4 x^{0.75}] + \frac{d}{d x} [- 2.1 x] + \frac{d}{d x} [38.75]$ .

$\frac{d}{d x} [8.4 x^{0.75}] + \frac{d}{d x} [- 2.1 x] + \frac{d}{d x} [38.75]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [8.4 x^{0.75}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $8.4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8.4 x^{0.75}$ nach $x$ gleich $8.4 \frac{d}{d x} [x^{0.75}]$ .

$8.4 \frac{d}{d x} [x^{0.75}] + \frac{d}{d x} [- 2.1 x] + \frac{d}{d x} [38.75]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 0.75$ .

$8.4 (0.75 x^{- 0.25}) + \frac{d}{d x} [- 2.1 x] + \frac{d}{d x} [38.75]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $0.75$ mit $8.4$ .

$6.3 x^{- 0.25} + \frac{d}{d x} [- 2.1 x] + \frac{d}{d x} [38.75]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2.1 x]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 2.1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2.1 x$ nach $x$ gleich $- 2.1 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6.3 x^{- 0.25} - 2.1 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [38.75]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6.3 x^{- 0.25} - 2.1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [38.75]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $- 2.1$ mit $1$ .

$6.3 x^{- 0.25} - 2.1 + \frac{d}{d x} [38.75]$

Schritt 1.4

Da $38.75$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $38.75$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$6.3 x^{- 0.25} - 2.1 + 0$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6.3 \frac{1}{x^{0.25}} - 2.1 + 0$

Schritt 1.5.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.5.2.1

Kombiniere $6.3$ und $\frac{1}{x^{0.25}}$ .

$\frac{6.3}{x^{0.25}} - 2.1 + 0$

Schritt 1.5.2.2

Addiere $\frac{6.3}{x^{0.25}} - 2.1$ und $0$ .

$\frac{6.3}{x^{0.25}} - 2.1$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{6.3}{x^{0.25}} - 2.1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{6.3}{x^{0.25}}] + \frac{d}{d x} [- 2.1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{6.3}{x^{0.25}}) + \frac{d}{d x} (- 2.1)$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{6.3}{x^{0.25}}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $6.3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{6.3}{x^{0.25}}$ nach $x$ gleich $6.3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{0.25}}]$ .

$f'' (x) = 6.3 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{0.25}}) + \frac{d}{d x} (- 2.1)$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{1}{x^{0.25}}$ als ${(x^{0.25})}^{- 1}$ um.

$f'' (x) = 6.3 \frac{d}{d x} ({(x^{0.25})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (- 2.1)$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{0.25}$ .

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Schritt 2.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{0.25}$ .

$f'' (x) = 6.3 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{0.25})) + \frac{d}{d x} (- 2.1)$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f'' (x) = 6.3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{0.25}) + \frac{d}{d x} (- 2.1)$

Schritt 2.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{0.25}$ .

$f'' (x) = 6.3 (- {(x^{0.25})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{0.25}) + \frac{d}{d x} (- 2.1)$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 0.25$ .

$f'' (x) = 6.3 (- {(x^{0.25})}^{- 2} (0.25 x^{- 0.75})) + \frac{d}{d x} (- 2.1)$

Schritt 2.2.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{0.25})}^{- 2}$ .

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Schritt 2.2.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 6.3 (- x^{0.25 \cdot - 2} (0.25 x^{- 0.75})) + \frac{d}{d x} (- 2.1)$

Schritt 2.2.5.2

Mutltipliziere $0.25$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = 6.3 (- x^{- 0.5} (0.25 x^{- 0.75})) + \frac{d}{d x} (- 2.1)$

Schritt 2.2.6

Mutltipliziere $0.25$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 6.3 (- 0.25 x^{- 0.5} x^{- 0.75}) + \frac{d}{d x} (- 2.1)$

Schritt 2.2.7

Multipliziere $x^{- 0.5}$ mit $x^{- 0.75}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.7.1

Bewege $x^{- 0.75}$ .

$f'' (x) = 6.3 (- 0.25 (x^{- 0.75} x^{- 0.5})) + \frac{d}{d x} (- 2.1)$

Schritt 2.2.7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = 6.3 (- 0.25 x^{- 0.75 - 0.5}) + \frac{d}{d x} (- 2.1)$

Schritt 2.2.7.3

Subtrahiere $0.5$ von $- 0.75$ .

$f'' (x) = 6.3 (- 0.25 x^{- 1.25}) + \frac{d}{d x} (- 2.1)$

Schritt 2.2.8

Mutltipliziere $- 0.25$ mit $6.3$ .

$f'' (x) = - 1.575 x^{- 1.25} + \frac{d}{d x} (- 2.1)$

Schritt 2.3

Da $- 2.1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2.1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - 1.575 x^{- 1.25} + 0$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 1.575 \frac{1}{x^{1.25}} + 0$

Schritt 2.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.4.2.1

Kombiniere $- 1.575$ und $\frac{1}{x^{1.25}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 1.575}{x^{1.25}} + 0$

Schritt 2.4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{1.575}{x^{1.25}} + 0$

Schritt 2.4.2.3

Addiere $- \frac{1.575}{x^{1.25}}$ und $0$ .

$f'' (x) = - \frac{1.575}{x^{1.25}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{6.3}{x^{0.25}} - 2.1 = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8.4 x^{0.75} - 2.1 x + 38.75$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [8.4 x^{0.75}] + \frac{d}{d x} [- 2.1 x] + \frac{d}{d x} [38.75]$ .

$\frac{d}{d x} [8.4 x^{0.75}] + \frac{d}{d x} [- 2.1 x] + \frac{d}{d x} [38.75]$

Schritt 4.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [8.4 x^{0.75}]$ .

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Schritt 4.1.2.1

Da $8.4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8.4 x^{0.75}$ nach $x$ gleich $8.4 \frac{d}{d x} [x^{0.75}]$ .

$8.4 \frac{d}{d x} [x^{0.75}] + \frac{d}{d x} [- 2.1 x] + \frac{d}{d x} [38.75]$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 0.75$ .

$8.4 (0.75 x^{- 0.25}) + \frac{d}{d x} [- 2.1 x] + \frac{d}{d x} [38.75]$

Schritt 4.1.2.3

Mutltipliziere $0.75$ mit $8.4$ .

$6.3 x^{- 0.25} + \frac{d}{d x} [- 2.1 x] + \frac{d}{d x} [38.75]$

Schritt 4.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2.1 x]$ .

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Schritt 4.1.3.1

Da $- 2.1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2.1 x$ nach $x$ gleich $- 2.1 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6.3 x^{- 0.25} - 2.1 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [38.75]$

Schritt 4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6.3 x^{- 0.25} - 2.1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [38.75]$

Schritt 4.1.3.3

Mutltipliziere $- 2.1$ mit $1$ .

$6.3 x^{- 0.25} - 2.1 + \frac{d}{d x} [38.75]$

Schritt 4.1.4

Da $38.75$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $38.75$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$6.3 x^{- 0.25} - 2.1 + 0$

Schritt 4.1.5

Vereinfache.

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Schritt 4.1.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6.3 \frac{1}{x^{0.25}} - 2.1 + 0$

Schritt 4.1.5.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.1.5.2.1

Kombiniere $6.3$ und $\frac{1}{x^{0.25}}$ .

$\frac{6.3}{x^{0.25}} - 2.1 + 0$

Schritt 4.1.5.2.2

Addiere $\frac{6.3}{x^{0.25}} - 2.1$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{6.3}{x^{0.25}} - 2.1$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{6.3}{x^{0.25}} - 2.1$ .

$\frac{6.3}{x^{0.25}} - 2.1$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{6.3}{x^{0.25}} - 2.1 = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{6.3}{x^{0.25}} - 2.1 = 0$

Schritt 5.2

Addiere $2.1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{6.3}{x^{0.25}} = 2.1$

Schritt 5.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 5.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x^{0.25}, 1$

Schritt 5.3.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x^{0.25}$

Schritt 5.4

Multipliziere jeden Term in $\frac{6.3}{x^{0.25}} = 2.1$ mit $x^{0.25}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 5.4.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{6.3}{x^{0.25}} = 2.1$ mit $x^{0.25}$ .

$\frac{6.3}{x^{0.25}} x^{0.25} = 2.1 x^{0.25}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{0.25}$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6.3}{x^{0.25}} x^{0.25} = 2.1 x^{0.25}$

Schritt 5.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$6.3 = 2.1 x^{0.25}$

Schritt 5.5

Löse die Gleichung.

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Schritt 5.5.1

Schreibe die Gleichung als $2.1 x^{0.25} = 6.3$ um.

$2.1 x^{0.25} = 6.3$

Schritt 5.5.2

Teile jeden Ausdruck in $2.1 x^{0.25} = 6.3$ durch $2.1$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2.1 x^{0.25} = 6.3$ durch $2.1$ .

$\frac{2.1 x^{0.25}}{2.1} = \frac{6.3}{2.1}$

Schritt 5.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2.1$ .

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Schritt 5.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2.1 x^{0.25}}{2.1} = \frac{6.3}{2.1}$

Schritt 5.5.2.2.1.2

Dividiere $x^{0.25}$ durch $1$ .

$x^{0.25} = \frac{6.3}{2.1}$

Schritt 5.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.2.3.1

Dividiere $6.3$ durch $2.1$ .

$x^{0.25} = 3$

Schritt 5.5.3

Wandle den dezimalen Exponenten in einen gebrochenen Exponenten um.

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Schritt 5.5.3.1

Wandle die Dezimalzahl in einen Bruch um, indem du die Dezimalen über einer Potenz von Zehn notierst. Da es $2$ Ziffern rechts vom Dezimaltrennzeichen gibt, notiere die Dezimalen über $10^{2}$ $(100)$ . Als Nächstes addiere die ganze Zahl links von den Dezimalen.

$x^{0 \frac{25}{100}} = 3$

Schritt 5.5.3.2

Vereinfache den Bruch.

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Schritt 5.5.3.2.1

Wandle $0 \frac{25}{100}$ in einen unechten Bruch um.

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Schritt 5.5.3.2.1.1

Eine gemischter Zahl ist die Summe seines ganzzahligen und seines gebrochenen Teils.

$x^{0 + \frac{25}{100}} = 3$

Schritt 5.5.3.2.1.2

Addiere $0$ und $\frac{25}{100}$ .

$x^{\frac{25}{100}} = 3$

Schritt 5.5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $25$ und $100$ .

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Schritt 5.5.3.2.2.1

Faktorisiere $25$ aus $25$ heraus.

$x^{\frac{25 (1)}{100}} = 3$

Schritt 5.5.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.5.3.2.2.2.1

Faktorisiere $25$ aus $100$ heraus.

$x^{\frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 4}} = 3$

Schritt 5.5.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 4}} = 3$

Schritt 5.5.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{\frac{1}{4}} = 3$

Schritt 5.5.4

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $\frac{1}{0.25}$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{1}{4}})}^{\frac{1}{0.25}} = 3^{\frac{1}{0.25}}$

Schritt 5.5.5

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 5.5.5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.5.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{4}})}^{\frac{1}{0.25}}$ .

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Schritt 5.5.5.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{4}})}^{\frac{1}{0.25}}$ .

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Schritt 5.5.5.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{0.25}} = 3^{\frac{1}{0.25}}$

Schritt 5.5.5.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $0.25$ .

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Schritt 5.5.5.1.1.1.2.1

Faktorisiere $0.25$ aus $1$ heraus.

$x^{\frac{0.25 (4)}{4} \cdot \frac{1}{0.25}} = 3^{\frac{1}{0.25}}$

Schritt 5.5.5.1.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{0.25 \cdot 4}{4} \cdot \frac{1}{0.25}} = 3^{\frac{1}{0.25}}$

Schritt 5.5.5.1.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{\frac{4}{4}} = 3^{\frac{1}{0.25}}$

Schritt 5.5.5.1.1.1.3

Dividiere $4$ durch $4$ .

$x^{1} = 3^{\frac{1}{0.25}}$

Schritt 5.5.5.1.1.2

Vereinfache.

$x = 3^{\frac{1}{0.25}}$

Schritt 5.5.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.5.2.1

Vereinfache $3^{\frac{1}{0.25}}$ .

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Schritt 5.5.5.2.1.1

Dividiere $1$ durch $0.25$ .

$x = 3^{4}$

Schritt 5.5.5.2.1.2

Potenziere $3$ mit $4$ .

$x = 81$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 6.1.1

Wandle $0.25$ in einen Bruch um.

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Schritt 6.1.1.1

Multipliziere mit $\frac{100}{100}$ , um die Dezimalstellen zu beseitigen.

$\frac{6.3}{x^{\frac{100 \cdot 0.25}{100}}} - 2.1$

Schritt 6.1.1.2

Mutltipliziere $100$ mit $0.25$ .

$\frac{6.3}{x^{\frac{25}{100}}} - 2.1$

Schritt 6.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $25$ und $100$ .

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Schritt 6.1.1.3.1

Faktorisiere $25$ aus $25$ heraus.

$\frac{6.3}{x^{\frac{25 (1)}{100}}} - 2.1$

Schritt 6.1.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1.1.3.2.1

Faktorisiere $25$ aus $100$ heraus.

$\frac{6.3}{x^{\frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 4}}} - 2.1$

Schritt 6.1.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6.3}{x^{\frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 4}}} - 2.1$

Schritt 6.1.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{6.3}{x^{\frac{1}{4}}} - 2.1$

Schritt 6.1.2

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{6.3}{\sqrt[4]{x^{1}}} - 2.1$

Schritt 6.1.3

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$\frac{6.3}{\sqrt[4]{x}} - 2.1$

Schritt 6.2

Setze den Nenner in $\frac{6.3}{\sqrt[4]{x}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\sqrt[4]{x} = 0$

Schritt 6.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur $4$ . Potenz.

${\sqrt[4]{x}}^{4} = 0^{4}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 6.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{x}$ als $x^{\frac{1}{4}}$ neu zu schreiben.

${(x^{\frac{1}{4}})}^{4} = 0^{4}$

Schritt 6.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.2.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 0^{4}$

Schritt 6.3.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 0^{4}$

Schritt 6.3.2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = 0^{4}$

Schritt 6.3.2.2.1.2

Vereinfache.

$x = 0^{4}$

Schritt 6.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x = 0$

Schritt 6.4

Setze den Radikanden in $\sqrt[4]{x}$ kleiner als $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x < 0$

Schritt 6.5

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 81, 0$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 81$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \frac{1.575}{{(81)}^{1.25}}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Potenziere $81$ mit $1.25$ .

$- \frac{1.575}{243}$

Schritt 9.2

Dividiere $1.575$ durch $243$ .

$- 1 \cdot 0.006\overline{481}$

Schritt 9.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.006\overline{481}$ .

$- 0.006\overline{481}$

Schritt 10

$x = 81$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 81$ ist ein lokales Maximum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 81$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $81$ .

$f (81) = 8.4 {(81)}^{0.75} - 2.1 \cdot 81 + 38.75$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.1.1

Potenziere $81$ mit $0.75$ .

$f (81) = 8.4 \cdot 27 - 2.1 \cdot 81 + 38.75$

Schritt 11.2.1.2

Mutltipliziere $8.4$ mit $27$ .

$f (81) = 226.8 - 2.1 \cdot 81 + 38.75$

Schritt 11.2.1.3

Mutltipliziere $- 2.1$ mit $81$ .

$f (81) = 226.8 - 170.1 + 38.75$

Schritt 11.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 11.2.2.1

Subtrahiere $170.1$ von $226.8$ .

$f (81) = 56.7 + 38.75$

Schritt 11.2.2.2

Addiere $56.7$ und $38.75$ .

$f (81) = 95.45$

Schritt 11.2.3

Die endgültige Lösung ist $95.45$ .

$y = 95.45$

Schritt 12

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \frac{1.575}{{(0)}^{1.25}}$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 13.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{1.575}{0}$

Schritt 13.2

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 14

Da der erste Ableitungstest nicht erfolgreich war, gibt es kein lokales Extremum.

Keine lokalen Extrema

Schritt 15