Analysis Beispiele

$f (t) = 4 - 3 \sin (\frac{1}{2} t)$

Schritt 1

Differenziere.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 - 3 \sin (\frac{1}{2} t)$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [4] + \frac{d}{d t} [- 3 \sin (\frac{1}{2} t)]$ .

$\frac{d}{d t} [4] + \frac{d}{d t} [- 3 \sin (\frac{1}{2} t)]$

Schritt 1.2

Da $4$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- 3 \sin (\frac{1}{2} t)]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d t} [- 3 \sin (\frac{1}{2} t)]$ .

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Schritt 2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $t$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- 3 \sin (\frac{t}{2})]$

Schritt 2.2

Da $- 3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 3 \sin (\frac{t}{2})$ nach $t$ gleich $- 3 \frac{d}{d t} [\sin (\frac{t}{2})]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d t} [\sin (\frac{t}{2})]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = \sin (t)$ und $g (t) = \frac{t}{2}$ .

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Schritt 2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{t}{2}$ .

$0 - 3 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}])$

Schritt 2.3.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$0 - 3 (\cos (u) \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}])$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{t}{2}$ .

$0 - 3 (\cos (\frac{t}{2}) \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}])$

Schritt 2.4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $\frac{t}{2}$ nach $t$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$ .

$0 - 3 (\cos (\frac{t}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]))$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - 3 (\cos (\frac{t}{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1))$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$0 - 3 (\cos (\frac{t}{2}) \frac{1}{2})$

Schritt 2.7

Kombiniere $\cos (\frac{t}{2})$ und $\frac{1}{2}$ .

$0 - 3 \frac{\cos (\frac{t}{2})}{2}$

Schritt 2.8

Kombiniere $- 3$ und $\frac{\cos (\frac{t}{2})}{2}$ .

$0 + \frac{- 3 \cos (\frac{t}{2})}{2}$

Schritt 2.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$0 - \frac{3 \cos (\frac{t}{2})}{2}$

Schritt 3

Subtrahiere $\frac{3 \cos (\frac{t}{2})}{2}$ von $0$ .

$- \frac{3 \cos (\frac{t}{2})}{2}$