Analysis Beispiele

$f (x) = 4 \ln (x) - 17 \arctan (x)$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 \ln (x) - 17 \arctan (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 17 \arctan (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 17 \arctan (x)]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 \ln (x)]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 \ln (x)$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 17 \arctan (x)]$

Schritt 1.2.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$4 \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [- 17 \arctan (x)]$

Schritt 1.2.3

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{4}{x} + \frac{d}{d x} [- 17 \arctan (x)]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 17 \arctan (x)]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 17$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 17 \arctan (x)$ nach $x$ gleich $- 17 \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$ .

$\frac{4}{x} - 17 \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Schritt 1.3.2

Die Ableitung von $\arctan (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{4}{x} - 17 \frac{1}{1 + x^{2}}$

Schritt 1.3.3

Kombiniere $- 17$ und $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{4}{x} + \frac{- 17}{1 + x^{2}}$

Schritt 1.3.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{4}{x} - \frac{17}{1 + x^{2}}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Vereine die Terme

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Schritt 1.4.1.1

Um $\frac{4}{x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{4}{x} \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} - \frac{17}{1 + x^{2}}$

Schritt 1.4.1.2

Um $- \frac{17}{1 + x^{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{4}{x} \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} - \frac{17}{1 + x^{2}} \cdot \frac{x}{x}$

Schritt 1.4.1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $x (1 + x^{2})$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.4.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{4}{x}$ mit $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})} - \frac{17}{1 + x^{2}} \cdot \frac{x}{x}$

Schritt 1.4.1.3.2

Mutltipliziere $\frac{17}{1 + x^{2}}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})} - \frac{17 x}{(1 + x^{2}) x}$

Schritt 1.4.1.3.3

Stelle die Faktoren von $(1 + x^{2}) x$ um.

$\frac{4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})} - \frac{17 x}{x (1 + x^{2})}$

Schritt 1.4.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4 (1 + x^{2}) - 17 x}{x (1 + x^{2})}$

Schritt 1.4.2

Stelle die Terme um.

$\frac{- 17 x + 4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = - 17 x + 4 (1 + x^{2})$ und $g (x) = x (1 + x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} (x (1 + x^{2}))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 17 x + 4 (1 + x^{2})$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 17 x] + \frac{d}{d x} [4 (1 + x^{2})]$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (\frac{d}{d x} (- 17 x) + \frac{d}{d x} (4 (1 + x^{2}))) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} (x (1 + x^{2}))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Schritt 2.2.2

Da $- 17$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 17 x$ nach $x$ gleich $- 17 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (4 (1 + x^{2}))) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} (x (1 + x^{2}))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (4 (1 + x^{2}))) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} (x (1 + x^{2}))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $- 17$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + \frac{d}{d x} (4 (1 + x^{2}))) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} (x (1 + x^{2}))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Schritt 2.2.5

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 (1 + x^{2})$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 4 \frac{d}{d x} (1 + x^{2})) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} (x (1 + x^{2}))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Schritt 2.2.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 4 (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (x^{2}))) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} (x (1 + x^{2}))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Schritt 2.2.7

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 4 (0 + \frac{d}{d x} (x^{2}))) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} (x (1 + x^{2}))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Schritt 2.2.8

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 4 \frac{d}{d x} (x^{2})) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} (x (1 + x^{2}))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Schritt 2.2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 4 (2 x)) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} (x (1 + x^{2}))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Schritt 2.2.10

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} (x (1 + x^{2}))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = 1 + x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (x \frac{d}{d x} (1 + x^{2}) + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (x))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Schritt 2.4

Differenziere.

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Schritt 2.4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (x (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (x^{2})) + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (x))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Schritt 2.4.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (x (0 + \frac{d}{d x} (x^{2})) + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (x))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Schritt 2.4.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (x \frac{d}{d x} (x^{2}) + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (x))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Schritt 2.4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (x (2 x) + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (x))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Schritt 2.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (2 (x \cdot x) + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (x))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Schritt 2.6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (2 (x \cdot x) + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (x))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Schritt 2.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (2 x^{1 + 1} + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (x))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Schritt 2.8

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (2 x^{2} + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (x))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Schritt 2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (2 x^{2} + (1 + x^{2}) \cdot 1)}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Schritt 2.10

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.10.1

Mutltipliziere $1 + x^{2}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (2 x^{2} + 1 + x^{2})}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Schritt 2.10.2

Addiere $2 x^{2}$ und $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Schritt 2.11

Vereinfache.

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Schritt 2.11.1

Wende die Produktregel auf $x (1 + x^{2})$ an.

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.11.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{(x \cdot 1 + x \cdot x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.11.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{(x \cdot 1 + x \cdot x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 \cdot 1 + 4 x^{2}) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.11.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{(x \cdot 1 + x \cdot x^{2}) (- 17 + 8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.11.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.11.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.11.5.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.11.5.1.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{(x + x \cdot x^{2}) (- 17 + 8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.11.5.1.1.2

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.11.5.1.1.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 2.11.5.1.1.2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{(x + x \cdot x^{2}) (- 17 + 8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.11.5.1.1.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{(x + x^{1 + 2}) (- 17 + 8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.11.5.1.1.2.2

Addiere $1$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{(x + x^{3}) (- 17 + 8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.11.5.1.2

Multipliziere $(x + x^{3}) (- 17 + 8 x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.11.5.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{x (- 17 + 8 x) + x^{3} (- 17 + 8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.11.5.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{x \cdot - 17 + x (8 x) + x^{3} (- 17 + 8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.11.5.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{x \cdot - 17 + x (8 x) + x^{3} \cdot - 17 + x^{3} (8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.11.5.1.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.11.5.1.3.1

Bringe $- 17$ auf die linke Seite von $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 \cdot x + x (8 x) + x^{3} \cdot - 17 + x^{3} (8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.11.5.1.3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x \cdot x + x^{3} \cdot - 17 + x^{3} (8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.11.5.1.3.3

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.11.5.1.3.3.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 (x \cdot x) + x^{3} \cdot - 17 + x^{3} (8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.11.5.1.3.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} + x^{3} \cdot - 17 + x^{3} (8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.11.5.1.3.4

Bringe $- 17$ auf die linke Seite von $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 \cdot x^{3} + x^{3} (8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.11.5.1.3.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{3} x + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.11.5.1.3.6

Multipliziere $x^{3}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.11.5.1.3.6.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 (x \cdot x^{3}) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.11.5.1.3.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{3}$ .

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Schritt 2.11.5.1.3.6.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 (x \cdot x^{3}) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.11.5.1.3.6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{1 + 3} + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.11.5.1.3.6.3

Addiere $1$ und $3$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.11.5.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.11.5.1.4.1

Mutltipliziere $- 17$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + (17 x - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.11.5.1.4.2

Multipliziere $- (4 \cdot 1)$ .

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Schritt 2.11.5.1.4.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + (17 x - 1 \cdot 4 - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.11.5.1.4.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + (17 x - 4 - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.11.5.1.4.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + (17 x - 4 - 4 x^{2}) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.11.5.1.5

Multipliziere $(17 x - 4 - 4 x^{2}) (3 x^{2} + 1)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 17 x (3 x^{2}) + 17 x \cdot 1 - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot 1 - 4 x^{2} (3 x^{2}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.11.5.1.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.11.5.1.6.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 17 \cdot (3 x \cdot x^{2}) + 17 x \cdot 1 - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot 1 - 4 x^{2} (3 x^{2}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.11.5.1.6.2

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.11.5.1.6.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 17 \cdot (3 (x^{2} x)) + 17 x \cdot 1 - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot 1 - 4 x^{2} (3 x^{2}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.11.5.1.6.2.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.11.5.1.6.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 17 \cdot (3 (x^{2} x)) + 17 x \cdot 1 - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot 1 - 4 x^{2} (3 x^{2}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.11.5.1.6.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 17 \cdot (3 x^{2 + 1}) + 17 x \cdot 1 - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot 1 - 4 x^{2} (3 x^{2}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.11.5.1.6.2.3

Addiere $2$ und $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 17 \cdot (3 x^{3}) + 17 x \cdot 1 - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot 1 - 4 x^{2} (3 x^{2}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.11.5.1.6.3

Mutltipliziere $17$ mit $3$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 17 x \cdot 1 - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot 1 - 4 x^{2} (3 x^{2}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.11.5.1.6.4

Mutltipliziere $17$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 17 x - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot 1 - 4 x^{2} (3 x^{2}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.11.5.1.6.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 17 x - 12 x^{2} - 4 \cdot 1 - 4 x^{2} (3 x^{2}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.11.5.1.6.6

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 17 x - 12 x^{2} - 4 - 4 x^{2} (3 x^{2}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.11.5.1.6.7

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 17 x - 12 x^{2} - 4 - 4 \cdot (3 x^{2} x^{2}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.11.5.1.6.8

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.11.5.1.6.8.1

Bewege $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 17 x - 12 x^{2} - 4 - 4 \cdot (3 (x^{2} x^{2})) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.11.5.1.6.8.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 17 x - 12 x^{2} - 4 - 4 \cdot (3 x^{2 + 2}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.11.5.1.6.8.3

Addiere $2$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 17 x - 12 x^{2} - 4 - 4 \cdot (3 x^{4}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.11.5.1.6.9

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 17 x - 12 x^{2} - 4 - 12 x^{4} - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.11.5.1.6.10

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 17 x - 12 x^{2} - 4 - 12 x^{4} - 4 x^{2}}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.11.5.1.7

Subtrahiere $4 x^{2}$ von $- 12 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 17 x - 16 x^{2} - 4 - 12 x^{4}}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.11.5.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 17 x - 16 x^{2} - 4 - 12 x^{4}$ .

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Schritt 2.11.5.2.1

Addiere $- 17 x$ und $17 x$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 0 - 16 x^{2} - 4 - 12 x^{4}}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.11.5.2.2

Addiere $8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3}$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} - 16 x^{2} - 4 - 12 x^{4}}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.11.5.3

Subtrahiere $16 x^{2}$ von $8 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} - 8 x^{2} - 4 - 12 x^{4}}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.11.5.4

Addiere $- 17 x^{3}$ und $51 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{4} + 34 x^{3} - 8 x^{2} - 4 - 12 x^{4}}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.11.5.5

Subtrahiere $12 x^{4}$ von $8 x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{4} + 34 x^{3} - 8 x^{2} - 4}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.11.6

Faktorisiere $2$ aus $- 4 x^{4} + 34 x^{3} - 8 x^{2} - 4$ heraus.

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Schritt 2.11.6.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4 x^{4}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{2 (- 2 x^{4}) + 34 x^{3} - 8 x^{2} - 4}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.11.6.2

Faktorisiere $2$ aus $34 x^{3}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{2 (- 2 x^{4}) + 2 (17 x^{3}) - 8 x^{2} - 4}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.11.6.3

Faktorisiere $2$ aus $- 8 x^{2}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{2 (- 2 x^{4}) + 2 (17 x^{3}) + 2 (- 4 x^{2}) - 4}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.11.6.4

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$f'' (x) = \frac{2 (- 2 x^{4}) + 2 (17 x^{3}) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 2)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.11.6.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (- 2 x^{4}) + 2 (17 x^{3})$ heraus.

$f'' (x) = \frac{2 (- 2 x^{4} + 17 x^{3}) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 2)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.11.6.6

Faktorisiere $2$ aus $2 (- 2 x^{4} + 17 x^{3}) + 2 (- 4 x^{2})$ heraus.

$f'' (x) = \frac{2 (- 2 x^{4} + 17 x^{3} - 4 x^{2}) + 2 (- 2)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.11.6.7

Faktorisiere $2$ aus $2 (- 2 x^{4} + 17 x^{3} - 4 x^{2}) + 2 (- 2)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{2 (- 2 x^{4} + 17 x^{3} - 4 x^{2} - 2)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.11.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x^{4}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{2 (- (2 x^{4}) + 17 x^{3} - 4 x^{2} - 2)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.11.8

Faktorisiere $- 1$ aus $17 x^{3}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{2 (- (2 x^{4}) - (- 17 x^{3}) - 4 x^{2} - 2)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.11.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x^{4}) - (- 17 x^{3})$ heraus.

$f'' (x) = \frac{2 (- (2 x^{4} - 17 x^{3}) - 4 x^{2} - 2)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.11.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4 x^{2}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{2 (- (2 x^{4} - 17 x^{3}) - (4 x^{2}) - 2)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.11.11

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x^{4} - 17 x^{3}) - (4 x^{2})$ heraus.

$f'' (x) = \frac{2 (- (2 x^{4} - 17 x^{3} + 4 x^{2}) - 2)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.11.12

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$f'' (x) = \frac{2 (- (2 x^{4} - 17 x^{3} + 4 x^{2}) - 1 \cdot 2)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.11.13

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x^{4} - 17 x^{3} + 4 x^{2}) - 1 (2)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{2 (- (2 x^{4} - 17 x^{3} + 4 x^{2} + 2))}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.11.14

Schreibe $- (2 x^{4} - 17 x^{3} + 4 x^{2} + 2)$ als $- 1 (2 x^{4} - 17 x^{3} + 4 x^{2} + 2)$ um.

$f'' (x) = \frac{2 (- 1 (2 x^{4} - 17 x^{3} + 4 x^{2} + 2))}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.11.15

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{2 (2 x^{4} - 17 x^{3} + 4 x^{2} + 2)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{- 17 x + 4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 \ln (x) - 17 \arctan (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 17 \arctan (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 17 \arctan (x)]$

Schritt 4.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 \ln (x)]$ .

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Schritt 4.1.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 \ln (x)$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 17 \arctan (x)]$

Schritt 4.1.2.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$4 \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [- 17 \arctan (x)]$

Schritt 4.1.2.3

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{4}{x} + \frac{d}{d x} [- 17 \arctan (x)]$

Schritt 4.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 17 \arctan (x)]$ .

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Schritt 4.1.3.1

Da $- 17$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 17 \arctan (x)$ nach $x$ gleich $- 17 \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$ .

$\frac{4}{x} - 17 \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Schritt 4.1.3.2

Die Ableitung von $\arctan (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{4}{x} - 17 \frac{1}{1 + x^{2}}$

Schritt 4.1.3.3

Kombiniere $- 17$ und $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{4}{x} + \frac{- 17}{1 + x^{2}}$

Schritt 4.1.3.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{4}{x} - \frac{17}{1 + x^{2}}$

Schritt 4.1.4

Vereinfache.

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Schritt 4.1.4.1

Vereine die Terme

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Schritt 4.1.4.1.1

Um $\frac{4}{x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{4}{x} \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} - \frac{17}{1 + x^{2}}$

Schritt 4.1.4.1.2

Um $- \frac{17}{1 + x^{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{4}{x} \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} - \frac{17}{1 + x^{2}} \cdot \frac{x}{x}$

Schritt 4.1.4.1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $x (1 + x^{2})$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1.4.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{4}{x}$ mit $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})} - \frac{17}{1 + x^{2}} \cdot \frac{x}{x}$

Schritt 4.1.4.1.3.2

Mutltipliziere $\frac{17}{1 + x^{2}}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})} - \frac{17 x}{(1 + x^{2}) x}$

Schritt 4.1.4.1.3.3

Stelle die Faktoren von $(1 + x^{2}) x$ um.

$\frac{4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})} - \frac{17 x}{x (1 + x^{2})}$

Schritt 4.1.4.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4 (1 + x^{2}) - 17 x}{x (1 + x^{2})}$

Schritt 4.1.4.2

Stelle die Terme um.

$f' (x) = \frac{- 17 x + 4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{- 17 x + 4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})}$ .

$\frac{- 17 x + 4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{- 17 x + 4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})} = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{- 17 x + 4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})} = 0$

Schritt 5.2

Setze den Zähler gleich Null.

$- 17 x + 4 (1 + x^{2}) = 0$

Schritt 5.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 17 x + 4 \cdot 1 + 4 x^{2} = 0$

Schritt 5.3.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$- 17 x + 4 + 4 x^{2} = 0$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 5.3.2.1

Stelle die Terme um.

$4 x^{2} - 17 x + 4 = 0$

Schritt 5.3.2.2

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 4 \cdot 4 = 16$ und deren Summe gleich $b = - 17$ ist.

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Schritt 5.3.2.2.1

Faktorisiere $- 17$ aus $- 17 x$ heraus.

$4 x^{2} - 17 x + 4 = 0$

Schritt 5.3.2.2.2

Schreibe $- 17$ um als $- 1$ plus $- 16$

$4 x^{2} + (- 1 - 16) x + 4 = 0$

Schritt 5.3.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x^{2} - 1 x - 16 x + 4 = 0$

Schritt 5.3.2.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 5.3.2.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(4 x^{2} - 1 x) - 16 x + 4 = 0$

Schritt 5.3.2.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x (4 x - 1) - 4 (4 x - 1) = 0$

Schritt 5.3.2.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $4 x - 1$ .

$(4 x - 1) (x - 4) = 0$

Schritt 5.3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$4 x - 1 = 0$

$x - 4 = 0$

Schritt 5.3.4

Setze $4 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.4.1

Setze $4 x - 1$ gleich $0$ .

$4 x - 1 = 0$

Schritt 5.3.4.2

Löse $4 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.4.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = 1$

Schritt 5.3.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 1$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 1$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Schritt 5.3.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.3.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Schritt 5.3.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{4}$

Schritt 5.3.5

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.5.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 5.3.5.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 5.3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(4 x - 1) (x - 4) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{1}{4}, 4$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Setze den Nenner in $\frac{- 17 x + 4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x (1 + x^{2}) = 0$

Schritt 6.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$1 + x^{2} = 0$

Schritt 6.2.2

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 6.2.3

Setze $1 + x^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.3.1

Setze $1 + x^{2}$ gleich $0$ .

$1 + x^{2} = 0$

Schritt 6.2.3.2

Löse $1 + x^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.3.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 1$

Schritt 6.2.3.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Schritt 6.2.3.2.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i$

Schritt 6.2.3.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.2.3.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i$

Schritt 6.2.3.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i$

Schritt 6.2.3.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i, - i$

Schritt 6.2.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (1 + x^{2}) = 0$ wahr machen.

$x = 0, i, - i$

Schritt 6.3

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x = 0$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = \frac{1}{4}, 4$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{1}{4}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \frac{2 (2 {(\frac{1}{4})}^{4} - 17 {(\frac{1}{4})}^{3} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{4}$ an.

$- \frac{2 (2 \frac{1^{4}}{4^{4}} - 17 {(\frac{1}{4})}^{3} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Schritt 9.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{2 (2 \frac{1}{4^{4}} - 17 {(\frac{1}{4})}^{3} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Schritt 9.1.3

Potenziere $4$ mit $4$ .

$- \frac{2 (2 (\frac{1}{256}) - 17 {(\frac{1}{4})}^{3} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Schritt 9.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $256$ heraus.

$- \frac{2 (2 \frac{1}{2 (128)} - 17 {(\frac{1}{4})}^{3} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Schritt 9.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{2 (2 \frac{1}{2 \cdot 128} - 17 {(\frac{1}{4})}^{3} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Schritt 9.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - 17 {(\frac{1}{4})}^{3} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Schritt 9.1.5

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{4}$ an.

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - 17 \frac{1^{3}}{4^{3}} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Schritt 9.1.6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - 17 \frac{1}{4^{3}} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Schritt 9.1.7

Potenziere $4$ mit $3$ .

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - 17 (\frac{1}{64}) + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Schritt 9.1.8

Kombiniere $- 17$ und $\frac{1}{64}$ .

$- \frac{2 (\frac{1}{128} + \frac{- 17}{64} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Schritt 9.1.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - \frac{17}{64} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Schritt 9.1.10

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{4}$ an.

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - \frac{17}{64} + 4 \frac{1^{2}}{4^{2}} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Schritt 9.1.11

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - \frac{17}{64} + 4 \frac{1}{4^{2}} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Schritt 9.1.12

Potenziere $4$ mit $2$ .

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - \frac{17}{64} + 4 (\frac{1}{16}) + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Schritt 9.1.13

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 9.1.13.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - \frac{17}{64} + 4 \frac{1}{4 (4)} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Schritt 9.1.13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - \frac{17}{64} + 4 \frac{1}{4 \cdot 4} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Schritt 9.1.13.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - \frac{17}{64} + \frac{1}{4} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Schritt 9.1.14

Um $- \frac{17}{64}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - \frac{17}{64} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{4} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Schritt 9.1.15

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $128$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 9.1.15.1

Mutltipliziere $\frac{17}{64}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - \frac{17 \cdot 2}{64 \cdot 2} + \frac{1}{4} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Schritt 9.1.15.2

Mutltipliziere $64$ mit $2$ .

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - \frac{17 \cdot 2}{128} + \frac{1}{4} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Schritt 9.1.16

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{2 (\frac{1 - 17 \cdot 2}{128} + \frac{1}{4} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Schritt 9.1.17

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.17.1

Mutltipliziere $- 17$ mit $2$ .

$- \frac{2 (\frac{1 - 34}{128} + \frac{1}{4} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Schritt 9.1.17.2

Subtrahiere $34$ von $1$ .

$- \frac{2 (\frac{- 33}{128} + \frac{1}{4} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Schritt 9.1.18

Um $\frac{1}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{32}{32}$ .

$- \frac{2 (\frac{- 33}{128} + \frac{1}{4} \cdot \frac{32}{32} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Schritt 9.1.19

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $128$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 9.1.19.1

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{32}{32}$ .

$- \frac{2 (\frac{- 33}{128} + \frac{32}{4 \cdot 32} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Schritt 9.1.19.2

Mutltipliziere $4$ mit $32$ .

$- \frac{2 (\frac{- 33}{128} + \frac{32}{128} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Schritt 9.1.20

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{2 (\frac{- 33 + 32}{128} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Schritt 9.1.21

Addiere $- 33$ und $32$ .

$- \frac{2 (\frac{- 1}{128} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Schritt 9.1.22

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{128}{128}$ .

$- \frac{2 (\frac{- 1}{128} + 2 \cdot \frac{128}{128})}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Schritt 9.1.23

Kombiniere $2$ und $\frac{128}{128}$ .

$- \frac{2 (\frac{- 1}{128} + \frac{2 \cdot 128}{128})}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Schritt 9.1.24

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{2 \frac{- 1 + 2 \cdot 128}{128}}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Schritt 9.1.25

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.25.1

Mutltipliziere $2$ mit $128$ .

$- \frac{2 \frac{- 1 + 256}{128}}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Schritt 9.1.25.2

Addiere $- 1$ und $256$ .

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Schritt 9.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{4}$ an.

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{\frac{1^{2}}{4^{2}} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Schritt 9.2.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{4}$ an.

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{\frac{1^{2}}{4^{2}} {(1 + \frac{1^{2}}{4^{2}})}^{2}}$

Schritt 9.2.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{\frac{1^{2}}{4^{2}} {(1 + \frac{1}{4^{2}})}^{2}}$

Schritt 9.2.4

Potenziere $4$ mit $2$ .

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{\frac{1^{2}}{4^{2}} {(1 + \frac{1}{16})}^{2}}$

Schritt 9.2.5

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{\frac{1^{2}}{4^{2}} {(\frac{16}{16} + \frac{1}{16})}^{2}}$

Schritt 9.2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{\frac{1^{2}}{4^{2}} {(\frac{16 + 1}{16})}^{2}}$

Schritt 9.2.7

Addiere $16$ und $1$ .

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{\frac{1^{2}}{4^{2}} {(\frac{17}{16})}^{2}}$

Schritt 9.2.8

Wende die Produktregel auf $\frac{17}{16}$ an.

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{\frac{1^{2}}{4^{2}} \cdot \frac{17^{2}}{16^{2}}}$

Schritt 9.2.9

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{\frac{1}{4^{2}} \cdot \frac{17^{2}}{16^{2}}}$

Schritt 9.2.10

Potenziere $4$ mit $2$ .

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{\frac{1}{16} \cdot \frac{17^{2}}{16^{2}}}$

Schritt 9.2.11

Potenziere $17$ mit $2$ .

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{\frac{1}{16} \cdot \frac{289}{16^{2}}}$

Schritt 9.2.12

Potenziere $16$ mit $2$ .

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{\frac{1}{16} \cdot \frac{289}{256}}$

Schritt 9.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 9.3.1

Kombiniere $2$ und $\frac{255}{128}$ .

$- \frac{\frac{2 \cdot 255}{128}}{\frac{1}{16} \cdot \frac{289}{256}}$

Schritt 9.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{16}$ mit $\frac{289}{256}$ .

$- \frac{\frac{2 \cdot 255}{128}}{\frac{289}{16 \cdot 256}}$

Schritt 9.3.3

Multipliziere.

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Schritt 9.3.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $255$ .

$- \frac{\frac{510}{128}}{\frac{289}{16 \cdot 256}}$

Schritt 9.3.3.2

Mutltipliziere $16$ mit $256$ .

$- \frac{\frac{510}{128}}{\frac{289}{4096}}$

Schritt 9.3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $510$ und $128$ .

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Schritt 9.3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $510$ heraus.

$- \frac{\frac{2 (255)}{128}}{\frac{289}{4096}}$

Schritt 9.3.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.3.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $128$ heraus.

$- \frac{\frac{2 \cdot 255}{2 \cdot 64}}{\frac{289}{4096}}$

Schritt 9.3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{\frac{2 \cdot 255}{2 \cdot 64}}{\frac{289}{4096}}$

Schritt 9.3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{\frac{255}{64}}{\frac{289}{4096}}$

Schritt 9.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- (\frac{255}{64} \cdot \frac{4096}{289})$

Schritt 9.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $17$ .

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Schritt 9.5.1

Faktorisiere $17$ aus $255$ heraus.

$- (\frac{17 (15)}{64} \cdot \frac{4096}{289})$

Schritt 9.5.2

Faktorisiere $17$ aus $289$ heraus.

$- (\frac{17 \cdot 15}{64} \cdot \frac{4096}{17 \cdot 17})$

Schritt 9.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- (\frac{17 \cdot 15}{64} \cdot \frac{4096}{17 \cdot 17})$

Schritt 9.5.4

Forme den Ausdruck um.

$- (\frac{15}{64} \cdot \frac{4096}{17})$

Schritt 9.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $64$ .

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Schritt 9.6.1

Faktorisiere $64$ aus $4096$ heraus.

$- (\frac{15}{64} \cdot \frac{64 (64)}{17})$

Schritt 9.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- (\frac{15}{64} \cdot \frac{64 \cdot 64}{17})$

Schritt 9.6.3

Forme den Ausdruck um.

$- (15 (\frac{64}{17}))$

Schritt 9.7

Kombiniere $15$ und $\frac{64}{17}$ .

$- \frac{15 \cdot 64}{17}$

Schritt 9.8

Mutltipliziere $15$ mit $64$ .

$- \frac{960}{17}$

Schritt 10

$x = \frac{1}{4}$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{1}{4}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{1}{4}$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{1}{4}$ .

$f (\frac{1}{4}) = 4 \ln (\frac{1}{4}) - 17 \arctan (\frac{1}{4})$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.1.1

Vereinfache $4 \ln (\frac{1}{4})$ , indem du $4$ in den Logarithmus ziehst.

$f (\frac{1}{4}) = \ln ({(\frac{1}{4})}^{4}) - 17 \arctan (\frac{1}{4})$

Schritt 11.2.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{4}$ an.

$f (\frac{1}{4}) = \ln (\frac{1^{4}}{4^{4}}) - 17 \arctan (\frac{1}{4})$

Schritt 11.2.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (\frac{1}{4}) = \ln (\frac{1}{4^{4}}) - 17 \arctan (\frac{1}{4})$

Schritt 11.2.1.4

Potenziere $4$ mit $4$ .

$f (\frac{1}{4}) = \ln (\frac{1}{256}) - 17 \arctan (\frac{1}{4})$

Schritt 11.2.1.5

Berechne $\arctan (\frac{1}{4})$ .

$f (\frac{1}{4}) = \ln (\frac{1}{256}) - 17 \cdot 0.24497866$

Schritt 11.2.1.6

Mutltipliziere $- 17$ mit $0.24497866$ .

$f (\frac{1}{4}) = \ln (\frac{1}{256}) - 4.16463727$

Schritt 11.2.2

Subtrahiere $4.16463727$ von $\ln (\frac{1}{256})$ .

$f (\frac{1}{4}) = - 9.70981471$

Schritt 11.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 9.70981471$ .

$y = - 9.70981471$

Schritt 12

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 4$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \frac{2 (2 {(4)}^{4} - 17 {(4)}^{3} + 4 {(4)}^{2} + 2)}{{(4)}^{2} {(1 + {(4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 13.1

Multipliziere $4$ mit ${(4)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 13.1.1

Mutltipliziere $4$ mit ${(4)}^{2}$ .

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Schritt 13.1.1.1

Potenziere $4$ mit $1$ .

$- \frac{2 (2 {(4)}^{4} - 17 {(4)}^{3} + 4^{1} {(4)}^{2} + 2)}{{(4)}^{2} {(1 + {(4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 13.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{2 (2 {(4)}^{4} - 17 {(4)}^{3} + 4^{1 + 2} + 2)}{{(4)}^{2} {(1 + {(4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 13.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

$- \frac{2 (2 {(4)}^{4} - 17 {(4)}^{3} + 4^{3} + 2)}{{(4)}^{2} {(1 + {(4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 13.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.2.1

Potenziere $4$ mit $4$ .

$- \frac{2 (2 \cdot 256 - 17 \cdot 4^{3} + 4^{3} + 2)}{4^{2} {(1 + 4^{2})}^{2}}$

Schritt 13.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $256$ .

$- \frac{2 (512 - 17 \cdot 4^{3} + 4^{3} + 2)}{4^{2} {(1 + 4^{2})}^{2}}$

Schritt 13.2.3

Potenziere $4$ mit $3$ .

$- \frac{2 (512 - 17 \cdot 64 + 4^{3} + 2)}{4^{2} {(1 + 4^{2})}^{2}}$

Schritt 13.2.4

Mutltipliziere $- 17$ mit $64$ .

$- \frac{2 (512 - 1088 + 4^{3} + 2)}{4^{2} {(1 + 4^{2})}^{2}}$

Schritt 13.2.5

Potenziere $4$ mit $3$ .

$- \frac{2 (512 - 1088 + 64 + 2)}{4^{2} {(1 + 4^{2})}^{2}}$

Schritt 13.2.6

Subtrahiere $1088$ von $512$ .

$- \frac{2 (- 576 + 64 + 2)}{4^{2} {(1 + 4^{2})}^{2}}$

Schritt 13.2.7

Addiere $- 576$ und $64$ .

$- \frac{2 (- 512 + 2)}{4^{2} {(1 + 4^{2})}^{2}}$

Schritt 13.2.8

Addiere $- 512$ und $2$ .

$- \frac{2 \cdot - 510}{4^{2} {(1 + 4^{2})}^{2}}$

Schritt 13.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 13.3.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$- \frac{2 \cdot - 510}{4^{2} {(1 + 16)}^{2}}$

Schritt 13.3.2

Addiere $1$ und $16$ .

$- \frac{2 \cdot - 510}{4^{2} \cdot 17^{2}}$

Schritt 13.3.3

Potenziere $4$ mit $2$ .

$- \frac{2 \cdot - 510}{16 \cdot 17^{2}}$

Schritt 13.3.4

Potenziere $17$ mit $2$ .

$- \frac{2 \cdot - 510}{16 \cdot 289}$

Schritt 13.4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 510$ .

$- \frac{- 1020}{16 \cdot 289}$

Schritt 13.4.2

Mutltipliziere $16$ mit $289$ .

$- \frac{- 1020}{4624}$

Schritt 13.4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 1020$ und $4624$ .

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Schritt 13.4.3.1

Faktorisiere $68$ aus $- 1020$ heraus.

$- \frac{68 (- 15)}{4624}$

Schritt 13.4.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.4.3.2.1

Faktorisiere $68$ aus $4624$ heraus.

$- \frac{68 \cdot - 15}{68 \cdot 68}$

Schritt 13.4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{68 \cdot - 15}{68 \cdot 68}$

Schritt 13.4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{- 15}{68}$

Schritt 13.4.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- - \frac{15}{68}$

Schritt 13.5

Multipliziere $- - \frac{15}{68}$ .

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Schritt 13.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (\frac{15}{68})$

Schritt 13.5.2

Mutltipliziere $\frac{15}{68}$ mit $1$ .

$\frac{15}{68}$

Schritt 14

$x = 4$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 4$ ist ein lokales Minimum

Schritt 15

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 4$ .

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Schritt 15.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f (4) = 4 \ln (4) - 17 \arctan (4)$

Schritt 15.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 15.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.2.1.1

Vereinfache $4 \ln (4)$ , indem du $4$ in den Logarithmus ziehst.

$f (4) = \ln (4^{4}) - 17 \arctan (4)$

Schritt 15.2.1.2

Potenziere $4$ mit $4$ .

$f (4) = \ln (256) - 17 \arctan (4)$

Schritt 15.2.1.3

Berechne $\arctan (4)$ .

$f (4) = \ln (256) - 17 \cdot 1.32581766$

Schritt 15.2.1.4

Mutltipliziere $- 17$ mit $1.32581766$ .

$f (4) = \ln (256) - 22.53890028$

Schritt 15.2.2

Subtrahiere $22.53890028$ von $\ln (256)$ .

$f (4) = - 16.99372283$

Schritt 15.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 16.99372283$ .

$y = - 16.99372283$

Schritt 16

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = 4 \ln (x) - 17 \arctan (x)$ .

$(\frac{1}{4}, - 9.70981471)$ ist ein lokales Maximum

$(4, - 16.99372283)$ ist ein lokales Minimum

Schritt 17