Analysis Beispiele

$f (x) = 4 \cos (x) + 2 \sin^{2} (x)$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 \cos (x) + 2 \sin^{2} (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin^{2} (x)]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 \cos (x)]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 \cos (x)$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin^{2} (x)]$

Schritt 1.2.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$4 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [2 \sin^{2} (x)]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$- 4 \sin (x) + \frac{d}{d x} [2 \sin^{2} (x)]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 \sin^{2} (x)]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 \sin^{2} (x)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$- 4 \sin (x) + 2 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \sin (x)$ .

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Schritt 1.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\sin (x)$ .

$- 4 \sin (x) + 2 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 1.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 4 \sin (x) + 2 (2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 1.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\sin (x)$ .

$- 4 \sin (x) + 2 (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 1.3.3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$- 4 \sin (x) + 2 (2 \sin (x) \cos (x))$

Schritt 1.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- 4 \sin (x) + 4 \sin (x) \cos (x)$

Schritt 1.4

Stelle die Terme um.

$4 \cos (x) \sin (x) - 4 \sin (x)$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 \cos (x) \sin (x) - 4 \sin (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 \cos (x) \sin (x)]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 \cos (x) \sin (x)$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = \sin (x)$ .

$f'' (x) = 4 (\cos (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Schritt 2.2.3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 4 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Schritt 2.2.4

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = 4 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Schritt 2.2.5

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$f'' (x) = 4 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Schritt 2.2.6

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$f'' (x) = 4 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Schritt 2.2.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = 4 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Schritt 2.2.8

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = 4 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Schritt 2.2.9

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$f'' (x) = 4 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Schritt 2.2.10

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$f'' (x) = 4 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Schritt 2.2.11

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = 4 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Schritt 2.2.12

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = 4 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 \sin (x)]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 \sin (x)$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = 4 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 4 \frac{d}{d x} \sin (x)$

Schritt 2.3.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 4 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 4 \cos (x)$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = 4 \cos^{2} (x) + 4 (- \sin^{2} (x)) - 4 \cos (x)$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f'' (x) = 4 \cos^{2} (x) - 4 \sin^{2} (x) - 4 \cos (x)$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$4 \cos (x) \sin (x) - 4 \sin (x) = 0$

Schritt 4

Faktorisiere $4 \sin (x)$ aus $4 \cos (x) \sin (x) - 4 \sin (x)$ heraus.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $4 \sin (x)$ aus $4 \cos (x) \sin (x)$ heraus.

$4 \sin (x) \cos (x) - 4 \sin (x) = 0$

Schritt 4.2

Faktorisiere $4 \sin (x)$ aus $- 4 \sin (x)$ heraus.

$4 \sin (x) \cos (x) + 4 \sin (x) \cdot - 1 = 0$

Schritt 4.3

Faktorisiere $4 \sin (x)$ aus $4 \sin (x) \cos (x) + 4 \sin (x) \cdot - 1$ heraus.

$4 \sin (x) (\cos (x) - 1) = 0$

Schritt 5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\sin (x) = 0$

$\cos (x) - 1 = 0$

Schritt 6

Setze $\sin (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $\sin (x)$ gleich $0$ .

$\sin (x) = 0$

Schritt 6.2

Löse $\sin (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (0)$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 6.2.3

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - 0$

Schritt 6.2.4

Subtrahiere $0$ von $π$ .

$x = π$

Schritt 6.2.5

Die Lösung der Gleichung $x = 0$ .

$x = 0, π$

Schritt 7

Setze $\cos (x) - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $\cos (x) - 1$ gleich $0$ .

$\cos (x) - 1 = 0$

Schritt 7.2

Löse $\cos (x) - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\cos (x) = 1$

Schritt 7.2.2

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (1)$

Schritt 7.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.3.1

Der genau Wert von $\arccos (1)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 7.2.4

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - 0$

Schritt 7.2.5

Subtrahiere $0$ von $2 π$ .

$x = 2 π$

Schritt 7.2.6

Die Lösung der Gleichung $x = 0$ .

$x = 0, 2 π$

Schritt 8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $4 \sin (x) (\cos (x) - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 0, π, 2 π$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$4 \cos^{2} (0) - 4 \sin^{2} (0) - 4 \cos (0)$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 10.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.1.1

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$4 \cdot 1^{2} - 4 \sin^{2} (0) - 4 \cos (0)$

Schritt 10.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$4 \cdot 1 - 4 \sin^{2} (0) - 4 \cos (0)$

Schritt 10.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 - 4 \sin^{2} (0) - 4 \cos (0)$

Schritt 10.1.4

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$4 - 4 \cdot 0^{2} - 4 \cos (0)$

Schritt 10.1.5

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$4 - 4 \cdot 0 - 4 \cos (0)$

Schritt 10.1.6

Mutltipliziere $- 4$ mit $0$ .

$4 + 0 - 4 \cos (0)$

Schritt 10.1.7

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$4 + 0 - 4 \cdot 1$

Schritt 10.1.8

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$4 + 0 - 4$

Schritt 10.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 10.2.1

Addiere $4$ und $0$ .

$4 - 4$

Schritt 10.2.2

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$0$

Schritt 11

Da es mindestens einen Punkt mit $0$ oder eine nicht definierte zweite Ableitung gibt, wende den ersten Ableitungstest an.

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Schritt 11.1

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu $0$ oder nicht definiert machen.

$(- \infty, 0) \cup (0, π) \cup (π, 2 π) \cup (2 π, \infty)$

Schritt 11.2

Setze eine beliebige Zahl, wie $- 2$ , aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die erste Ableitung $4 \cos (x) \sin (x) - 4 \sin (x)$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 11.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f' (- 2) = 4 \cos (- 2) \sin (- 2) - 4 \sin (- 2)$

Schritt 11.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.2.1.1

Berechne $\cos (- 2)$ .

$f' (- 2) = 4 \cdot (- 0.41614683 \sin (- 2)) - 4 \sin (- 2)$

Schritt 11.2.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 0.41614683$ .

$f' (- 2) = - 1.66458734 \sin (- 2) - 4 \sin (- 2)$

Schritt 11.2.2.1.3

Berechne $\sin (- 2)$ .

$f' (- 2) = - 1.66458734 \cdot - 0.90929742 - 4 \sin (- 2)$

Schritt 11.2.2.1.4

Mutltipliziere $- 1.66458734$ mit $- 0.90929742$ .

$f' (- 2) = 1.51360499 - 4 \sin (- 2)$

Schritt 11.2.2.1.5

Berechne $\sin (- 2)$ .

$f' (- 2) = 1.51360499 - 4 \cdot - 0.90929742$

Schritt 11.2.2.1.6

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 0.90929742$ .

$f' (- 2) = 1.51360499 + 3.6371897$

Schritt 11.2.2.2

Addiere $1.51360499$ und $3.6371897$ .

$f' (- 2) = 5.15079469$

Schritt 11.2.2.3

Die endgültige Lösung ist $5.15079469$ .

$5.15079469$

Schritt 11.3

Setze eine beliebige Zahl, wie $2$ , aus dem Intervall $(0, π)$ in die erste Ableitung $4 \cos (x) \sin (x) - 4 \sin (x)$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 11.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f' (2) = 4 \cos (2) \sin (2) - 4 \sin (2)$

Schritt 11.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.3.2.1.1

Berechne $\cos (2)$ .

$f' (2) = 4 \cdot (- 0.41614683 \sin (2)) - 4 \sin (2)$

Schritt 11.3.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 0.41614683$ .

$f' (2) = - 1.66458734 \sin (2) - 4 \sin (2)$

Schritt 11.3.2.1.3

Berechne $\sin (2)$ .

$f' (2) = - 1.66458734 \cdot 0.90929742 - 4 \sin (2)$

Schritt 11.3.2.1.4

Mutltipliziere $- 1.66458734$ mit $0.90929742$ .

$f' (2) = - 1.51360499 - 4 \sin (2)$

Schritt 11.3.2.1.5

Berechne $\sin (2)$ .

$f' (2) = - 1.51360499 - 4 \cdot 0.90929742$

Schritt 11.3.2.1.6

Mutltipliziere $- 4$ mit $0.90929742$ .

$f' (2) = - 1.51360499 - 3.6371897$

Schritt 11.3.2.2

Subtrahiere $3.6371897$ von $- 1.51360499$ .

$f' (2) = - 5.15079469$

Schritt 11.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 5.15079469$ .

$- 5.15079469$

Schritt 11.4

Setze eine beliebige Zahl, wie $5$ , aus dem Intervall $(π, 2 π)$ in die erste Ableitung $4 \cos (x) \sin (x) - 4 \sin (x)$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 11.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $5$ .

$f' (5) = 4 \cos (5) \sin (5) - 4 \sin (5)$

Schritt 11.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.4.2.1.1

Berechne $\cos (5)$ .

$f' (5) = 4 \cdot (0.28366218 \sin (5)) - 4 \sin (5)$

Schritt 11.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $0.28366218$ .

$f' (5) = 1.13464874 \sin (5) - 4 \sin (5)$

Schritt 11.4.2.1.3

Berechne $\sin (5)$ .

$f' (5) = 1.13464874 \cdot - 0.95892427 - 4 \sin (5)$

Schritt 11.4.2.1.4

Mutltipliziere $1.13464874$ mit $- 0.95892427$ .

$f' (5) = - 1.08804222 - 4 \sin (5)$

Schritt 11.4.2.1.5

Berechne $\sin (5)$ .

$f' (5) = - 1.08804222 - 4 \cdot - 0.95892427$

Schritt 11.4.2.1.6

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 0.95892427$ .

$f' (5) = - 1.08804222 + 3.83569709$

Schritt 11.4.2.2

Addiere $- 1.08804222$ und $3.83569709$ .

$f' (5) = 2.74765487$

Schritt 11.4.2.3

Die endgültige Lösung ist $2.74765487$ .

$2.74765487$

Schritt 11.5

Setze eine beliebige Zahl, wie $9$ , aus dem Intervall $(2 π, \infty)$ in die erste Ableitung $4 \cos (x) \sin (x) - 4 \sin (x)$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 11.5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $9$ .

$f' (9) = 4 \cos (9) \sin (9) - 4 \sin (9)$

Schritt 11.5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.5.2.1.1

Berechne $\cos (9)$ .

$f' (9) = 4 \cdot (- 0.91113026 \sin (9)) - 4 \sin (9)$

Schritt 11.5.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 0.91113026$ .

$f' (9) = - 3.64452104 \sin (9) - 4 \sin (9)$

Schritt 11.5.2.1.3

Berechne $\sin (9)$ .

$f' (9) = - 3.64452104 \cdot 0.41211848 - 4 \sin (9)$

Schritt 11.5.2.1.4

Mutltipliziere $- 3.64452104$ mit $0.41211848$ .

$f' (9) = - 1.50197449 - 4 \sin (9)$

Schritt 11.5.2.1.5

Berechne $\sin (9)$ .

$f' (9) = - 1.50197449 - 4 \cdot 0.41211848$

Schritt 11.5.2.1.6

Mutltipliziere $- 4$ mit $0.41211848$ .

$f' (9) = - 1.50197449 - 1.64847394$

Schritt 11.5.2.2

Subtrahiere $1.64847394$ von $- 1.50197449$ .

$f' (9) = - 3.15044843$

Schritt 11.5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 3.15044843$ .

$- 3.15044843$

Schritt 11.6

Da die erste Ableitung um $x = 0$ herum das Vorzeichen von positiv zu negativ gewechselt hat, ist $x = 0$ ein lokales Maximum.

$x = 0$ ist ein lokales Maximum

Schritt 11.7

Da die erste Ableitung um $x = π$ herum das Vorzeichen von negativ zu positiv gewechselt hat, ist $x = π$ ein lokales Minimum.

$x = π$ ist ein lokales Minimum

Schritt 11.8

Da die erste Ableitung um $x = 2 π$ herum das Vorzeichen von positiv zu negativ gewechselt hat, ist $x = 2 π$ ein lokales Maximum.

$x = 2 π$ ist ein lokales Maximum

Schritt 11.9

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = 4 \cos (x) + 2 \sin^{2} (x)$ .

$x = 0$ ist ein lokales Maximum

$x = π$ ist ein lokales Minimum

$x = 2 π$ ist ein lokales Maximum

$x = 0$ ist ein lokales Maximum

$x = π$ ist ein lokales Minimum

$x = 2 π$ ist ein lokales Maximum

Schritt 12