Analysis Beispiele

$f (x) = 48 x^{\frac{2}{3}} - 9 x^{2}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $48 x^{\frac{2}{3}} - 9 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [48 x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [48 x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [48 x^{\frac{2}{3}}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $48$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $48 x^{\frac{2}{3}}$ nach $x$ gleich $48 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$48 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{2}{3}$ .

$48 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Schritt 1.2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$48 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Schritt 1.2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$48 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Schritt 1.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$48 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Schritt 1.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$48 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Schritt 1.2.6.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$48 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Schritt 1.2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$48 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Schritt 1.2.8

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$48 \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Schritt 1.2.9

Kombiniere $48$ und $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{48 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Schritt 1.2.10

Mutltipliziere $2$ mit $48$ .

$\frac{96 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Schritt 1.2.11

Bringe $x^{- \frac{1}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{96}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Schritt 1.2.12

Faktorisiere $3$ aus $96$ heraus.

$\frac{3 \cdot 32}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Schritt 1.2.13

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.13.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{\frac{1}{3}}$ heraus.

$\frac{3 \cdot 32}{3 (x^{\frac{1}{3}})} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Schritt 1.2.13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 32}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Schritt 1.2.13.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} - 9 (2 x)$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 9$ .

$\frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} - 18 x$

Schritt 1.4

Stelle die Terme um.

$- 18 x + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 18 x + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (\frac{32}{x^{\frac{1}{3}}})$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 18 x]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 18$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 18 x$ nach $x$ gleich $- 18 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (\frac{32}{x^{\frac{1}{3}}})$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - 18 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (\frac{32}{x^{\frac{1}{3}}})$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $- 18$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 18 + \frac{d}{d x} (\frac{32}{x^{\frac{1}{3}}})$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $32$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{32}{x^{\frac{1}{3}}}$ nach $x$ gleich $32 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = - 18 + 32 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}})$

Schritt 2.3.2

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ als ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ um.

$f'' (x) = - 18 + 32 \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1})$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .

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Schritt 2.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = - 18 + 32 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}}))$

Schritt 2.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f'' (x) = - 18 + 32 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 2.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = - 18 + 32 (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = - 18 + 32 (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Schritt 2.3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ .

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Schritt 2.3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 18 + 32 (- x^{\frac{1}{3} \cdot - 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Schritt 2.3.5.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 2$ .

$f'' (x) = - 18 + 32 (- x^{\frac{- 2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Schritt 2.3.5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - 18 + 32 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Schritt 2.3.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - 18 + 32 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

Schritt 2.3.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - 18 + 32 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

Schritt 2.3.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = - 18 + 32 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}))$

Schritt 2.3.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f'' (x) = - 18 + 32 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}))$

Schritt 2.3.9.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$f'' (x) = - 18 + 32 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}))$

Schritt 2.3.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - 18 + 32 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}))$

Schritt 2.3.11

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = - 18 + 32 (- x^{- \frac{2}{3}} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Schritt 2.3.12

Kombiniere $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ und $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = - 18 + 32 (- \frac{x^{- \frac{2}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Schritt 2.3.13

Multipliziere $x^{- \frac{2}{3}}$ mit $x^{- \frac{2}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.13.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - 18 + 32 (- \frac{x^{- \frac{2}{3} - \frac{2}{3}}}{3})$

Schritt 2.3.13.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = - 18 + 32 (- \frac{x^{\frac{- 2 - 2}{3}}}{3})$

Schritt 2.3.13.3

Subtrahiere $2$ von $- 2$ .

$f'' (x) = - 18 + 32 (- \frac{x^{\frac{- 4}{3}}}{3})$

Schritt 2.3.13.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - 18 + 32 (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Schritt 2.3.14

Bringe $x^{- \frac{4}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 18 + 32 (- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}})$

Schritt 2.3.15

Mutltipliziere $- 1$ mit $32$ .

$f'' (x) = - 18 - 32 \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.3.16

Kombiniere $- 32$ und $\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = - 18 + \frac{- 32}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.3.17

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - 18 - \frac{32}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- 18 x + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $48 x^{\frac{2}{3}} - 9 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [48 x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [48 x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Schritt 4.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [48 x^{\frac{2}{3}}]$ .

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Schritt 4.1.2.1

Da $48$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $48 x^{\frac{2}{3}}$ nach $x$ gleich $48 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$48 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{2}{3}$ .

$48 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Schritt 4.1.2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$48 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Schritt 4.1.2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$48 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Schritt 4.1.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$48 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Schritt 4.1.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$48 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Schritt 4.1.2.6.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$48 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Schritt 4.1.2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$48 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Schritt 4.1.2.8

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$48 \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Schritt 4.1.2.9

Kombiniere $48$ und $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{48 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Schritt 4.1.2.10

Mutltipliziere $2$ mit $48$ .

$\frac{96 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Schritt 4.1.2.11

Bringe $x^{- \frac{1}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{96}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Schritt 4.1.2.12

Faktorisiere $3$ aus $96$ heraus.

$\frac{3 \cdot 32}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Schritt 4.1.2.13

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.2.13.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{\frac{1}{3}}$ heraus.

$\frac{3 \cdot 32}{3 (x^{\frac{1}{3}})} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Schritt 4.1.2.13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 32}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Schritt 4.1.2.13.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Schritt 4.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

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Schritt 4.1.3.1

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} - 9 (2 x)$

Schritt 4.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 9$ .

$\frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} - 18 x$

Schritt 4.1.4

Stelle die Terme um.

$f' (x) = - 18 x + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 18 x + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$- 18 x + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 18 x + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- 18 x + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Schritt 5.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, x^{\frac{1}{3}}, 1$

Schritt 5.2.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x^{\frac{1}{3}}$

Schritt 5.3

Multipliziere jeden Term in $- 18 x + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$ mit $x^{\frac{1}{3}}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 5.3.1

Multipliziere jeden Term in $- 18 x + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$ mit $x^{\frac{1}{3}}$ .

$- 18 x \cdot x^{\frac{1}{3}} + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.2.1.1

Multipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.2.1.1.1

Bewege $x^{\frac{1}{3}}$ .

$- 18 (x^{\frac{1}{3}} x) + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Schritt 5.3.2.1.1.2

Mutltipliziere $x^{\frac{1}{3}}$ mit $x$ .

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Schritt 5.3.2.1.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 18 (x^{\frac{1}{3}} x^{1}) + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Schritt 5.3.2.1.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 18 x^{\frac{1}{3} + 1} + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Schritt 5.3.2.1.1.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$- 18 x^{\frac{1}{3} + \frac{3}{3}} + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Schritt 5.3.2.1.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 18 x^{\frac{1 + 3}{3}} + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Schritt 5.3.2.1.1.5

Addiere $1$ und $3$ .

$- 18 x^{\frac{4}{3}} + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Schritt 5.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{\frac{1}{3}}$ .

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Schritt 5.3.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 18 x^{\frac{4}{3}} + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Schritt 5.3.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$- 18 x^{\frac{4}{3}} + 32 = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $x^{\frac{1}{3}}$ .

$- 18 x^{\frac{4}{3}} + 32 = 0$

Schritt 5.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 5.4.1

Subtrahiere $32$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 18 x^{\frac{4}{3}} = - 32$

Schritt 5.4.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $\frac{3}{4}$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(- 18 x^{\frac{4}{3}})}^{\frac{3}{4}} = \pm {(- 32)}^{\frac{3}{4}}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Vereinfache ${(- 18 x^{\frac{4}{3}})}^{\frac{3}{4}}$ .

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Schritt 5.4.3.1.1

Wende die Produktregel auf $- 18 x^{\frac{4}{3}}$ an.

${(- 18)}^{\frac{3}{4}} {(x^{\frac{4}{3}})}^{\frac{3}{4}} = \pm {(- 32)}^{\frac{3}{4}}$

Schritt 5.4.3.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{4}{3}})}^{\frac{3}{4}}$ .

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Schritt 5.4.3.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- 18)}^{\frac{3}{4}} x^{\frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4}} = \pm {(- 32)}^{\frac{3}{4}}$

Schritt 5.4.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.4.3.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(- 18)}^{\frac{3}{4}} x^{\frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4}} = \pm {(- 32)}^{\frac{3}{4}}$

Schritt 5.4.3.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(- 18)}^{\frac{3}{4}} x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm {(- 32)}^{\frac{3}{4}}$

Schritt 5.4.3.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.4.3.1.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(- 18)}^{\frac{3}{4}} x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm {(- 32)}^{\frac{3}{4}}$

Schritt 5.4.3.1.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

${(- 18)}^{\frac{3}{4}} x^{1} = \pm {(- 32)}^{\frac{3}{4}}$

Schritt 5.4.3.1.3

Vereinfache.

${(- 18)}^{\frac{3}{4}} x = \pm {(- 32)}^{\frac{3}{4}}$

Schritt 5.4.3.1.4

Stelle die Faktoren in ${(- 18)}^{\frac{3}{4}} x$ um.

$x {(- 18)}^{\frac{3}{4}} = \pm {(- 32)}^{\frac{3}{4}}$

Schritt 5.4.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.4.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x {(- 18)}^{\frac{3}{4}} = {(- 32)}^{\frac{3}{4}}$

Schritt 5.4.4.2

Teile jeden Ausdruck in $x {(- 18)}^{\frac{3}{4}} = {(- 32)}^{\frac{3}{4}}$ durch ${(- 18)}^{\frac{3}{4}}$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $x {(- 18)}^{\frac{3}{4}} = {(- 32)}^{\frac{3}{4}}$ durch ${(- 18)}^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{x {(- 18)}^{\frac{3}{4}}}{{(- 18)}^{\frac{3}{4}}} = \frac{{(- 32)}^{\frac{3}{4}}}{{(- 18)}^{\frac{3}{4}}}$

Schritt 5.4.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x {(- 18)}^{\frac{3}{4}}}{{(- 18)}^{\frac{3}{4}}} = \frac{{(- 32)}^{\frac{3}{4}}}{{(- 18)}^{\frac{3}{4}}}$

Schritt 5.4.4.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{{(- 32)}^{\frac{3}{4}}}{{(- 18)}^{\frac{3}{4}}}$

Schritt 5.4.4.3

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x {(- 18)}^{\frac{3}{4}} = - {(- 32)}^{\frac{3}{4}}$

Schritt 5.4.4.4

Teile jeden Ausdruck in $x {(- 18)}^{\frac{3}{4}} = - {(- 32)}^{\frac{3}{4}}$ durch ${(- 18)}^{\frac{3}{4}}$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $x {(- 18)}^{\frac{3}{4}} = - {(- 32)}^{\frac{3}{4}}$ durch ${(- 18)}^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{x {(- 18)}^{\frac{3}{4}}}{{(- 18)}^{\frac{3}{4}}} = \frac{- {(- 32)}^{\frac{3}{4}}}{{(- 18)}^{\frac{3}{4}}}$

Schritt 5.4.4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x {(- 18)}^{\frac{3}{4}}}{{(- 18)}^{\frac{3}{4}}} = \frac{- {(- 32)}^{\frac{3}{4}}}{{(- 18)}^{\frac{3}{4}}}$

Schritt 5.4.4.4.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- {(- 32)}^{\frac{3}{4}}}{{(- 18)}^{\frac{3}{4}}}$

Schritt 5.4.4.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.4.4.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{{(- 32)}^{\frac{3}{4}}}{{(- 18)}^{\frac{3}{4}}}$

Schritt 5.4.4.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{{(- 32)}^{\frac{3}{4}}}{{(- 18)}^{\frac{3}{4}}}, - \frac{{(- 32)}^{\frac{3}{4}}}{{(- 18)}^{\frac{3}{4}}}$

Schritt 5.5

Schließe die Lösungen aus, die $- 18 x + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$ nicht erfüllen.

$Keine Lösung$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 6.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$- 18 x + \frac{32}{\sqrt[3]{x^{1}}}$

Schritt 6.1.2

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$- 18 x + \frac{32}{\sqrt[3]{x}}$

Schritt 6.2

Setze den Nenner in $\frac{32}{\sqrt[3]{x}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\sqrt[3]{x} = 0$

Schritt 6.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${\sqrt[3]{x}}^{3} = 0^{3}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 6.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 6.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.2.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 6.3.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 6.3.2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = 0^{3}$

Schritt 6.3.2.2.1.2

Vereinfache.

$x = 0^{3}$

Schritt 6.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x = 0$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 0$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- 18 - \frac{32}{3 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.1.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$- 18 - \frac{32}{3 {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 9.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 18 - \frac{32}{3 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Schritt 9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 9.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 18 - \frac{32}{3 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Schritt 9.2.2

Forme den Ausdruck um.

$- 18 - \frac{32}{3 \cdot 0^{4}}$

Schritt 9.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- 18 - \frac{32}{3 \cdot 0}$

Schritt 9.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$- 18 - \frac{32}{0}$

Schritt 9.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$- 18 - \frac{32}{0}$

Schritt 9.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 10

Da es mindestens einen Punkt mit $0$ oder eine nicht definierte zweite Ableitung gibt, wende den ersten Ableitungstest an.

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Schritt 10.1

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu $0$ oder nicht definiert machen.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 10.2

Setze eine beliebige Zahl, wie $- 2$ , aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die erste Ableitung $- 18 x + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 10.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f' (- 2) = - 18 \cdot - 2 + \frac{32}{{(- 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 10.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 10.2.2.1

Mutltipliziere $- 18$ mit $- 2$ .

$f' (- 2) = 36 + \frac{32}{{(- 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 10.2.2.2

Die endgültige Lösung ist $36 + \frac{32}{{(- 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$36 + \frac{32}{{(- 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 10.3

Setze eine beliebige Zahl, wie $2$ , aus dem Intervall $(0, \infty)$ in die erste Ableitung $- 18 x + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 10.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f' (2) = - 18 \cdot 2 + \frac{32}{{(2)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 10.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.3.2.1

Mutltipliziere $- 18$ mit $2$ .

$f' (2) = - 36 + \frac{32}{2^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 10.3.2.2

Die endgültige Lösung ist $- 36 + \frac{32}{2^{\frac{1}{3}}}$ .

$- 36 + \frac{32}{2^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 10.4

Da die erste Ableitung um $x = 0$ herum das Vorzeichen von positiv zu negativ gewechselt hat, ist $x = 0$ ein lokales Maximum.

$x = 0$ ist ein lokales Maximum

Schritt 11