Analysis Beispiele

$f (x) = 4 x^{2} e^{x} + 10 x e^{x} - 24 e^{x}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{2} e^{x} + 10 x e^{x} - 24 e^{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [10 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 24 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [10 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 24 e^{x}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{2} e^{x}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{2} e^{x}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [10 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 24 e^{x}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = e^{x}$ .

$4 (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [10 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 24 e^{x}]$

Schritt 1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$4 (x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [10 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 24 e^{x}]$

Schritt 1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [10 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 24 e^{x}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [10 x e^{x}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $10 x e^{x}$ nach $x$ gleich $10 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 10 \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 24 e^{x}]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = e^{x}$ .

$4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 10 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 24 e^{x}]$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 10 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 24 e^{x}]$

Schritt 1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 10 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 24 e^{x}]$

Schritt 1.3.5

Mutltipliziere $e^{x}$ mit $1$ .

$4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 10 (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [- 24 e^{x}]$

Schritt 1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 24 e^{x}]$ .

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Schritt 1.4.1

Da $- 24$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 24 e^{x}$ nach $x$ gleich $- 24 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 10 (x e^{x} + e^{x}) - 24 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 10 (x e^{x} + e^{x}) - 24 e^{x}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (x^{2} e^{x}) + 4 (e^{x} (2 x)) + 10 (x e^{x} + e^{x}) - 24 e^{x}$

Schritt 1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (x^{2} e^{x}) + 4 (e^{x} (2 x)) + 10 (x e^{x}) + 10 e^{x} - 24 e^{x}$

Schritt 1.5.3

Vereine die Terme

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Schritt 1.5.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$4 x^{2} e^{x} + 8 (e^{x} (x)) + 10 (x e^{x}) + 10 e^{x} - 24 e^{x}$

Schritt 1.5.3.2

Addiere $8 e^{x} x$ und $10 x e^{x}$ .

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Schritt 1.5.3.2.1

Bewege $e^{x}$ .

$4 x^{2} e^{x} + 8 x e^{x} + 10 x e^{x} + 10 e^{x} - 24 e^{x}$

Schritt 1.5.3.2.2

Addiere $8 x e^{x}$ und $10 x e^{x}$ .

$4 x^{2} e^{x} + 18 x e^{x} + 10 e^{x} - 24 e^{x}$

Schritt 1.5.3.3

Subtrahiere $24 e^{x}$ von $10 e^{x}$ .

$4 x^{2} e^{x} + 18 x e^{x} - 14 e^{x}$

Schritt 1.5.4

Stelle die Terme um.

$4 e^{x} x^{2} + 18 e^{x} x - 14 e^{x}$

Schritt 1.5.5

Stelle die Faktoren in $4 e^{x} x^{2} + 18 e^{x} x - 14 e^{x}$ um.

$4 x^{2} e^{x} + 18 x e^{x} - 14 e^{x}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{2} e^{x} + 18 x e^{x} - 14 e^{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [18 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 14 e^{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{2} e^{x}) + \frac{d}{d x} (18 x e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 14 e^{x})$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{2} e^{x}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{2} e^{x}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{2} e^{x}) + \frac{d}{d x} (18 x e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 14 e^{x})$

Schritt 2.2.2

$f'' (x) = 4 (x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (18 x e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 14 e^{x})$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (18 x e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 14 e^{x})$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (18 x e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 14 e^{x})$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [18 x e^{x}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $18$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $18 x e^{x}$ nach $x$ gleich $18 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 18 \frac{d}{d x} (x e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 14 e^{x})$

Schritt 2.3.2

$f'' (x) = 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 18 (x \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- 14 e^{x})$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 18 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- 14 e^{x})$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 18 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 14 e^{x})$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $e^{x}$ mit $1$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 18 (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 14 e^{x})$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 14 e^{x}]$ .

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Schritt 2.4.1

Da $- 14$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 14 e^{x}$ nach $x$ gleich $- 14 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 18 (x e^{x} + e^{x}) - 14 \frac{d}{d x} e^{x}$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 18 (x e^{x} + e^{x}) - 14 e^{x}$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = 4 (x^{2} e^{x}) + 4 (e^{x} (2 x)) + 18 (x e^{x} + e^{x}) - 14 e^{x}$

Schritt 2.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = 4 (x^{2} e^{x}) + 4 (e^{x} (2 x)) + 18 (x e^{x}) + 18 e^{x} - 14 e^{x}$

Schritt 2.5.3

Vereine die Terme

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Schritt 2.5.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$f'' (x) = 4 x^{2} e^{x} + 8 (e^{x} (x)) + 18 (x e^{x}) + 18 e^{x} - 14 e^{x}$

Schritt 2.5.3.2

Addiere $8 e^{x} x$ und $18 x e^{x}$ .

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Schritt 2.5.3.2.1

Bewege $e^{x}$ .

$f'' (x) = 4 x^{2} e^{x} + 8 x e^{x} + 18 x e^{x} + 18 e^{x} - 14 e^{x}$

Schritt 2.5.3.2.2

Addiere $8 x e^{x}$ und $18 x e^{x}$ .

$f'' (x) = 4 x^{2} e^{x} + 26 x e^{x} + 18 e^{x} - 14 e^{x}$

Schritt 2.5.3.3

Subtrahiere $14 e^{x}$ von $18 e^{x}$ .

$f'' (x) = 4 x^{2} e^{x} + 26 x e^{x} + 4 e^{x}$

Schritt 2.5.4

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = 4 e^{x} x^{2} + 26 e^{x} x + 4 e^{x}$

Schritt 2.5.5

Stelle die Faktoren in $4 e^{x} x^{2} + 26 e^{x} x + 4 e^{x}$ um.

$f'' (x) = 4 x^{2} e^{x} + 26 x e^{x} + 4 e^{x}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$4 x^{2} e^{x} + 18 x e^{x} - 14 e^{x} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{2} e^{x} + 10 x e^{x} - 24 e^{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [10 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 24 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [10 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 24 e^{x}]$

Schritt 4.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{2} e^{x}]$ .

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Schritt 4.1.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{2} e^{x}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [10 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 24 e^{x}]$

Schritt 4.1.2.2

$4 (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [10 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 24 e^{x}]$

Schritt 4.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$4 (x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [10 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 24 e^{x}]$

Schritt 4.1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [10 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 24 e^{x}]$

Schritt 4.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [10 x e^{x}]$ .

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Schritt 4.1.3.1

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $10 x e^{x}$ nach $x$ gleich $10 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 10 \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 24 e^{x}]$

Schritt 4.1.3.2

$4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 10 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 24 e^{x}]$

Schritt 4.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 10 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 24 e^{x}]$

Schritt 4.1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 10 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 24 e^{x}]$

Schritt 4.1.3.5

Mutltipliziere $e^{x}$ mit $1$ .

$4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 10 (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [- 24 e^{x}]$

Schritt 4.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 24 e^{x}]$ .

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Schritt 4.1.4.1

Da $- 24$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 24 e^{x}$ nach $x$ gleich $- 24 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 10 (x e^{x} + e^{x}) - 24 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 4.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 10 (x e^{x} + e^{x}) - 24 e^{x}$

Schritt 4.1.5

Vereinfache.

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Schritt 4.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (x^{2} e^{x}) + 4 (e^{x} (2 x)) + 10 (x e^{x} + e^{x}) - 24 e^{x}$

Schritt 4.1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (x^{2} e^{x}) + 4 (e^{x} (2 x)) + 10 (x e^{x}) + 10 e^{x} - 24 e^{x}$

Schritt 4.1.5.3

Vereine die Terme

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Schritt 4.1.5.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$4 x^{2} e^{x} + 8 (e^{x} (x)) + 10 (x e^{x}) + 10 e^{x} - 24 e^{x}$

Schritt 4.1.5.3.2

Addiere $8 e^{x} x$ und $10 x e^{x}$ .

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Schritt 4.1.5.3.2.1

Bewege $e^{x}$ .

$4 x^{2} e^{x} + 8 x e^{x} + 10 x e^{x} + 10 e^{x} - 24 e^{x}$

Schritt 4.1.5.3.2.2

Addiere $8 x e^{x}$ und $10 x e^{x}$ .

$4 x^{2} e^{x} + 18 x e^{x} + 10 e^{x} - 24 e^{x}$

Schritt 4.1.5.3.3

Subtrahiere $24 e^{x}$ von $10 e^{x}$ .

$4 x^{2} e^{x} + 18 x e^{x} - 14 e^{x}$

Schritt 4.1.5.4

Stelle die Terme um.

$4 e^{x} x^{2} + 18 e^{x} x - 14 e^{x}$

Schritt 4.1.5.5

Stelle die Faktoren in $4 e^{x} x^{2} + 18 e^{x} x - 14 e^{x}$ um.

$f' (x) = 4 x^{2} e^{x} + 18 x e^{x} - 14 e^{x}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $4 x^{2} e^{x} + 18 x e^{x} - 14 e^{x}$ .

$4 x^{2} e^{x} + 18 x e^{x} - 14 e^{x}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $4 x^{2} e^{x} + 18 x e^{x} - 14 e^{x} = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$4 x^{2} e^{x} + 18 x e^{x} - 14 e^{x} = 0$

Schritt 5.2

Faktorisiere $2 e^{x}$ aus $4 x^{2} e^{x} + 18 x e^{x} - 14 e^{x}$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $2 e^{x}$ aus $4 x^{2} e^{x}$ heraus.

$2 e^{x} (2 x^{2}) + 18 x e^{x} - 14 e^{x} = 0$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $2 e^{x}$ aus $18 x e^{x}$ heraus.

$2 e^{x} (2 x^{2}) + 2 e^{x} (9 x) - 14 e^{x} = 0$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $2 e^{x}$ aus $- 14 e^{x}$ heraus.

$2 e^{x} (2 x^{2}) + 2 e^{x} (9 x) + 2 e^{x} (- 7) = 0$

Schritt 5.2.4

Faktorisiere $2 e^{x}$ aus $2 e^{x} (2 x^{2}) + 2 e^{x} (9 x)$ heraus.

$2 e^{x} (2 x^{2} + 9 x) + 2 e^{x} (- 7) = 0$

Schritt 5.2.5

Faktorisiere $2 e^{x}$ aus $2 e^{x} (2 x^{2} + 9 x) + 2 e^{x} (- 7)$ heraus.

$2 e^{x} (2 x^{2} + 9 x - 7) = 0$

Schritt 5.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$e^{x} = 0$

$2 x^{2} + 9 x - 7 = 0$

Schritt 5.4

Setze $e^{x}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.4.1

Setze $e^{x}$ gleich $0$ .

$e^{x} = 0$

Schritt 5.4.2

Löse $e^{x} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.4.2.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Schritt 5.4.2.2

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (0)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 5.4.2.3

Es gibt keine Lösung für $e^{x} = 0$

Keine Lösung

Schritt 5.5

Setze $2 x^{2} + 9 x - 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.5.1

Setze $2 x^{2} + 9 x - 7$ gleich $0$ .

$2 x^{2} + 9 x - 7 = 0$

Schritt 5.5.2

Löse $2 x^{2} + 9 x - 7 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.5.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 5.5.2.2

Setze die Werte $a = 2$ , $b = 9$ und $c = - 7$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 7)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.5.2.3

Vereinfache.

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Schritt 5.5.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.5.2.3.1.1

Potenziere $9$ mit $2$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 2 \cdot - 7}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.5.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot - 7$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 8 \cdot - 7}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.5.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 7$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 56}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.5.2.3.1.3

Addiere $81$ und $56$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{137}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.5.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{137}}{4}$

Schritt 5.5.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 5.5.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.5.2.4.1.1

Potenziere $9$ mit $2$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 2 \cdot - 7}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.5.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot - 7$ .

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Schritt 5.5.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 8 \cdot - 7}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.5.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 7$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 56}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.5.2.4.1.3

Addiere $81$ und $56$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{137}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.5.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{137}}{4}$

Schritt 5.5.2.4.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{- 9 + \sqrt{137}}{4}$

Schritt 5.5.2.4.4

Schreibe $- 9$ als $- 1 (9)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 9 + \sqrt{137}}{4}$

Schritt 5.5.2.4.5

Faktorisiere $- 1$ aus $\sqrt{137}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 9 - 1 (- \sqrt{137})}{4}$

Schritt 5.5.2.4.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (9) - 1 (- \sqrt{137})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (9 - \sqrt{137})}{4}$

Schritt 5.5.2.4.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{9 - \sqrt{137}}{4}$

Schritt 5.5.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 5.5.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.5.2.5.1.1

Potenziere $9$ mit $2$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 2 \cdot - 7}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.5.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot - 7$ .

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Schritt 5.5.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 8 \cdot - 7}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.5.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 7$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 56}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.5.2.5.1.3

Addiere $81$ und $56$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{137}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.5.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{137}}{4}$

Schritt 5.5.2.5.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{- 9 - \sqrt{137}}{4}$

Schritt 5.5.2.5.4

Schreibe $- 9$ als $- 1 (9)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 9 - \sqrt{137}}{4}$

Schritt 5.5.2.5.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sqrt{137}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 9 - (\sqrt{137})}{4}$

Schritt 5.5.2.5.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (9) - (\sqrt{137})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (9 + \sqrt{137})}{4}$

Schritt 5.5.2.5.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{9 + \sqrt{137}}{4}$

Schritt 5.5.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{9 - \sqrt{137}}{4}, - \frac{9 + \sqrt{137}}{4}$

Schritt 5.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 e^{x} (2 x^{2} + 9 x - 7) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{9 - \sqrt{137}}{4}, - \frac{9 + \sqrt{137}}{4}$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = - \frac{9 - \sqrt{137}}{4}, - \frac{9 + \sqrt{137}}{4}$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - \frac{9 - \sqrt{137}}{4}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$4 {(- \frac{9 - \sqrt{137}}{4})}^{2} e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 26 (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 4 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 9.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}$ an.

$4 ({(- 1)}^{2} {(\frac{9 - \sqrt{137}}{4})}^{2}) e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 26 (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 4 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 9.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{9 - \sqrt{137}}{4}$ an.

$4 ({(- 1)}^{2} \frac{{(9 - \sqrt{137})}^{2}}{4^{2}}) e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 26 (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 4 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 9.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$4 (1 \frac{{(9 - \sqrt{137})}^{2}}{4^{2}}) e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 26 (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 4 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 9.1.3

Mutltipliziere $\frac{{(9 - \sqrt{137})}^{2}}{4^{2}}$ mit $1$ .

$4 \frac{{(9 - \sqrt{137})}^{2}}{4^{2}} e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 26 (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 4 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 9.1.4

Potenziere $4$ mit $2$ .

$4 \frac{{(9 - \sqrt{137})}^{2}}{16} e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 26 (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 4 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 9.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 9.1.5.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$4 \frac{{(9 - \sqrt{137})}^{2}}{4 (4)} e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 26 (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 4 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 9.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \frac{{(9 - \sqrt{137})}^{2}}{4 \cdot 4} e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 26 (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 4 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 9.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{{(9 - \sqrt{137})}^{2}}{4} e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 26 (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 4 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 9.1.6

Schreibe ${(9 - \sqrt{137})}^{2}$ als $(9 - \sqrt{137}) (9 - \sqrt{137})$ um.

$\frac{(9 - \sqrt{137}) (9 - \sqrt{137})}{4} e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 26 (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 4 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 9.1.7

Multipliziere $(9 - \sqrt{137}) (9 - \sqrt{137})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 9.1.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{9 (9 - \sqrt{137}) - \sqrt{137} (9 - \sqrt{137})}{4} e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 26 (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 4 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 9.1.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{9 \cdot 9 + 9 (- \sqrt{137}) - \sqrt{137} (9 - \sqrt{137})}{4} e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 26 (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 4 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 9.1.7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{9 \cdot 9 + 9 (- \sqrt{137}) - \sqrt{137} \cdot 9 - \sqrt{137} (- \sqrt{137})}{4} e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 26 (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 4 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 9.1.8

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 9.1.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.1.8.1.1

Mutltipliziere $9$ mit $9$ .

$\frac{81 + 9 (- \sqrt{137}) - \sqrt{137} \cdot 9 - \sqrt{137} (- \sqrt{137})}{4} e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 26 (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 4 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 9.1.8.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$\frac{81 - 9 \sqrt{137} - \sqrt{137} \cdot 9 - \sqrt{137} (- \sqrt{137})}{4} e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 26 (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 4 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 9.1.8.1.3

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$\frac{81 - 9 \sqrt{137} - 9 \sqrt{137} - \sqrt{137} (- \sqrt{137})}{4} e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 26 (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 4 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 9.1.8.1.4

Multipliziere $- \sqrt{137} (- \sqrt{137})$ .

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Schritt 9.1.8.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{81 - 9 \sqrt{137} - 9 \sqrt{137} + 1 \sqrt{137} \sqrt{137}}{4} e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 26 (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 4 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 9.1.8.1.4.2

Mutltipliziere $\sqrt{137}$ mit $1$ .

$\frac{81 - 9 \sqrt{137} - 9 \sqrt{137} + \sqrt{137} \sqrt{137}}{4} e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 26 (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 4 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 9.1.8.1.4.3

Potenziere $\sqrt{137}$ mit $1$ .

$\frac{81 - 9 \sqrt{137} - 9 \sqrt{137} + {\sqrt{137}}^{1} \sqrt{137}}{4} e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 26 (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 4 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 9.1.8.1.4.4

Potenziere $\sqrt{137}$ mit $1$ .

$\frac{81 - 9 \sqrt{137} - 9 \sqrt{137} + {\sqrt{137}}^{1} {\sqrt{137}}^{1}}{4} e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 26 (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 4 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 9.1.8.1.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{81 - 9 \sqrt{137} - 9 \sqrt{137} + {\sqrt{137}}^{1 + 1}}{4} e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 26 (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 4 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 9.1.8.1.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{81 - 9 \sqrt{137} - 9 \sqrt{137} + {\sqrt{137}}^{2}}{4} e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 26 (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 4 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 9.1.8.1.5

Schreibe ${\sqrt{137}}^{2}$ als $137$ um.

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Schritt 9.1.8.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{137}$ als $137^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{81 - 9 \sqrt{137} - 9 \sqrt{137} + {(137^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4} e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 26 (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 4 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 9.1.8.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{81 - 9 \sqrt{137} - 9 \sqrt{137} + 137^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4} e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 26 (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 4 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 9.1.8.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{81 - 9 \sqrt{137} - 9 \sqrt{137} + 137^{\frac{2}{2}}}{4} e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 26 (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 4 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 9.1.8.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.1.8.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{81 - 9 \sqrt{137} - 9 \sqrt{137} + 137^{\frac{2}{2}}}{4} e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 26 (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 4 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 9.1.8.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{81 - 9 \sqrt{137} - 9 \sqrt{137} + 137^{1}}{4} e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 26 (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 4 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 9.1.8.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{81 - 9 \sqrt{137} - 9 \sqrt{137} + 137}{4} e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 26 (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 4 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 9.1.8.2

Addiere $81$ und $137$ .

$\frac{218 - 9 \sqrt{137} - 9 \sqrt{137}}{4} e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 26 (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 4 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 9.1.8.3

Subtrahiere $9 \sqrt{137}$ von $- 9 \sqrt{137}$ .

$\frac{218 - 18 \sqrt{137}}{4} e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 26 (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 4 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 9.1.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $218 - 18 \sqrt{137}$ und $4$ .

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Schritt 9.1.9.1

Faktorisiere $2$ aus $218$ heraus.

$\frac{2 (109) - 18 \sqrt{137}}{4} e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 26 (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 4 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 9.1.9.2

Faktorisiere $2$ aus $- 18 \sqrt{137}$ heraus.

$\frac{2 (109) + 2 (- 9 \sqrt{137})}{4} e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 26 (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 4 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 9.1.9.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (109) + 2 (- 9 \sqrt{137})$ heraus.

$\frac{2 (109 - 9 \sqrt{137})}{4} e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 26 (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 4 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 9.1.9.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.1.9.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 (109 - 9 \sqrt{137})}{2 \cdot 2} e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 26 (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 4 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 9.1.9.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (109 - 9 \sqrt{137})}{2 \cdot 2} e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 26 (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 4 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 9.1.9.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{109 - 9 \sqrt{137}}{2} e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 26 (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 4 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 9.1.10

Kombiniere $\frac{109 - 9 \sqrt{137}}{2}$ und $e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$ .

$\frac{(109 - 9 \sqrt{137}) e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}}{2} + 26 (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 4 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 9.1.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.1.11.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}$ in den Zähler.

$\frac{(109 - 9 \sqrt{137}) e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}}{2} + 26 \frac{- (9 - \sqrt{137})}{4} e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 4 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 9.1.11.2

Faktorisiere $2$ aus $26$ heraus.

$\frac{(109 - 9 \sqrt{137}) e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}}{2} + 2 (13) \frac{- (9 - \sqrt{137})}{4} e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 4 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 9.1.11.3

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{(109 - 9 \sqrt{137}) e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}}{2} + 2 \cdot 13 \frac{- (9 - \sqrt{137})}{2 \cdot 2} e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 4 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 9.1.11.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(109 - 9 \sqrt{137}) e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}}{2} + 2 \cdot 13 \frac{- (9 - \sqrt{137})}{2 \cdot 2} e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 4 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 9.1.11.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(109 - 9 \sqrt{137}) e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}}{2} + 13 \frac{- (9 - \sqrt{137})}{2} e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 4 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 9.1.12

Kombiniere $13$ und $\frac{- (9 - \sqrt{137})}{2}$ .

$\frac{(109 - 9 \sqrt{137}) e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}}{2} + \frac{13 (- (9 - \sqrt{137}))}{2} e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 4 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 9.1.13

Mutltipliziere $- 1$ mit $13$ .

$\frac{(109 - 9 \sqrt{137}) e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}}{2} + \frac{- 13 (9 - \sqrt{137})}{2} e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 4 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 9.1.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{(109 - 9 \sqrt{137}) e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}}{2} - \frac{13 (9 - \sqrt{137})}{2} e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 4 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 9.1.15

Kombiniere $e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$ und $\frac{13 (9 - \sqrt{137})}{2}$ .

$\frac{(109 - 9 \sqrt{137}) e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}}{2} - \frac{e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} (13 (9 - \sqrt{137}))}{2} + 4 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 9.1.16

Bringe $13$ auf die linke Seite von $e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$ .

$\frac{(109 - 9 \sqrt{137}) e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}}{2} - \frac{13 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} (9 - \sqrt{137})}{2} + 4 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 9.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + \frac{(109 - 9 \sqrt{137}) e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} - 13 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} (9 - \sqrt{137})}{2}$

Schritt 9.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + \frac{109 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} - 9 \sqrt{137} e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} - 13 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} (9 - \sqrt{137})}{2}$

Schritt 9.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + \frac{109 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} - 9 \sqrt{137} e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} - 13 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} \cdot 9 - 13 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} (- \sqrt{137})}{2}$

Schritt 9.3.3

Mutltipliziere $9$ mit $- 13$ .

$4 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + \frac{109 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} - 9 \sqrt{137} e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} - 117 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} - 13 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} (- \sqrt{137})}{2}$

Schritt 9.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 13$ .

$4 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + \frac{109 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} - 9 \sqrt{137} e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} - 117 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 13 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} \sqrt{137}}{2}$

Schritt 9.4

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 9.4.1

Subtrahiere $117 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$ von $109 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$ .

$4 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + \frac{- 9 \sqrt{137} e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} - 8 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 13 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} \sqrt{137}}{2}$

Schritt 9.4.2

Stelle die Faktoren von $- 9 \sqrt{137} e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$ um.

$4 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + \frac{- 9 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} \sqrt{137} - 8 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 13 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} \sqrt{137}}{2}$

Schritt 9.4.3

Addiere $- 9 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} \sqrt{137}$ und $13 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} \sqrt{137}$ .

$4 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + \frac{4 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} \sqrt{137} - 8 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}}{2}$

Schritt 9.5

Um $4 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$4 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{4 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} \sqrt{137} - 8 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}}{2}$

Schritt 9.6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 9.6.1

Kombiniere $4 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} \cdot 2}{2} + \frac{4 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} \sqrt{137} - 8 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}}{2}$

Schritt 9.6.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} \cdot 2 + 4 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} \sqrt{137} - 8 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}}{2}$

Schritt 9.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.7.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{8 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 4 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} \sqrt{137} - 8 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}}{2}$

Schritt 9.7.2

Subtrahiere $8 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$ von $8 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$ .

$\frac{4 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} \sqrt{137} + 0}{2}$

Schritt 9.7.3

Addiere $4 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} \sqrt{137}$ und $0$ .

$\frac{4 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} \sqrt{137}}{2}$

Schritt 9.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 9.8.1

Faktorisiere $2$ aus $4 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} \sqrt{137}$ heraus.

$\frac{2 (2 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} \sqrt{137})}{2}$

Schritt 9.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.8.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (2 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} \sqrt{137})}{2 (1)}$

Schritt 9.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (2 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} \sqrt{137})}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} \sqrt{137}}{1}$

Schritt 9.8.2.4

Dividiere $2 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} \sqrt{137}$ durch $1$ .

$2 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} \sqrt{137}$

Schritt 10

$x = - \frac{9 - \sqrt{137}}{4}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = - \frac{9 - \sqrt{137}}{4}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = - \frac{9 - \sqrt{137}}{4}$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}$ .

$f (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) = 4 {(- \frac{9 - \sqrt{137}}{4})}^{2} e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 10 (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) \cdot e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} - 24 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 11.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}$ an.

$f (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) = 4 ({(- 1)}^{2} {(\frac{9 - \sqrt{137}}{4})}^{2}) e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 10 (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) \cdot e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} - 24 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 11.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{9 - \sqrt{137}}{4}$ an.

$f (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) = 4 ({(- 1)}^{2} (\frac{{(9 - \sqrt{137})}^{2}}{4^{2}})) \cdot e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 10 (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) \cdot e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} - 24 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 11.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) = 4 (1 (\frac{{(9 - \sqrt{137})}^{2}}{4^{2}})) \cdot e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 10 (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) \cdot e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} - 24 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 11.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{{(9 - \sqrt{137})}^{2}}{4^{2}}$ mit $1$ .

$f (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) = 4 (\frac{{(9 - \sqrt{137})}^{2}}{4^{2}}) \cdot e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 10 (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) \cdot e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} - 24 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 11.2.1.4

Potenziere $4$ mit $2$ .

$f (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) = 4 (\frac{{(9 - \sqrt{137})}^{2}}{16}) \cdot e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 10 (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) \cdot e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} - 24 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 11.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 11.2.1.5.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$f (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) = 4 (\frac{{(9 - \sqrt{137})}^{2}}{4 (4)}) \cdot e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 10 (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) \cdot e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} - 24 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 11.2.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) = 4 (\frac{{(9 - \sqrt{137})}^{2}}{4 \cdot 4}) \cdot e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 10 (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) \cdot e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} - 24 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 11.2.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) = \frac{{(9 - \sqrt{137})}^{2}}{4} \cdot e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 10 (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) \cdot e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} - 24 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 11.2.1.6

Schreibe ${(9 - \sqrt{137})}^{2}$ als $(9 - \sqrt{137}) (9 - \sqrt{137})$ um.

$f (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) = \frac{(9 - \sqrt{137}) (9 - \sqrt{137})}{4} \cdot e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 10 (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) \cdot e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} - 24 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 11.2.1.7

Multipliziere $(9 - \sqrt{137}) (9 - \sqrt{137})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 11.2.1.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) = \frac{9 (9 - \sqrt{137}) - \sqrt{137} (9 - \sqrt{137})}{4} \cdot e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 10 (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) \cdot e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} - 24 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 11.2.1.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) = \frac{9 \cdot 9 + 9 (- \sqrt{137}) - \sqrt{137} (9 - \sqrt{137})}{4} \cdot e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 10 (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) \cdot e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} - 24 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 11.2.1.7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) = \frac{9 \cdot 9 + 9 (- \sqrt{137}) - \sqrt{137} \cdot 9 - \sqrt{137} (- \sqrt{137})}{4} \cdot e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 10 (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) \cdot e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} - 24 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 11.2.1.8

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 11.2.1.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.1.8.1.1

Mutltipliziere $9$ mit $9$ .

$f (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) = \frac{81 + 9 (- \sqrt{137}) - \sqrt{137} \cdot 9 - \sqrt{137} (- \sqrt{137})}{4} \cdot e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 10 (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) \cdot e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} - 24 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 11.2.1.8.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$f (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) = \frac{81 - 9 \sqrt{137} - \sqrt{137} \cdot 9 - \sqrt{137} (- \sqrt{137})}{4} \cdot e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 10 (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) \cdot e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} - 24 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 11.2.1.8.1.3

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$f (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) = \frac{81 - 9 \sqrt{137} - 9 \sqrt{137} - \sqrt{137} (- \sqrt{137})}{4} \cdot e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 10 (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) \cdot e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} - 24 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 11.2.1.8.1.4

Multipliziere $- \sqrt{137} (- \sqrt{137})$ .

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Schritt 11.2.1.8.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) = \frac{81 - 9 \sqrt{137} - 9 \sqrt{137} + 1 \sqrt{137} \sqrt{137}}{4} \cdot e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 10 (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) \cdot e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} - 24 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 11.2.1.8.1.4.2

Mutltipliziere $\sqrt{137}$ mit $1$ .

$f (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) = \frac{81 - 9 \sqrt{137} - 9 \sqrt{137} + \sqrt{137} \sqrt{137}}{4} \cdot e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 10 (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) \cdot e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} - 24 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 11.2.1.8.1.4.3

Potenziere $\sqrt{137}$ mit $1$ .

Schritt 11.2.1.8.1.4.4

Potenziere $\sqrt{137}$ mit $1$ .

Schritt 11.2.1.8.1.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) = \frac{81 - 9 \sqrt{137} - 9 \sqrt{137} + {\sqrt{137}}^{1 + 1}}{4} \cdot e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 10 (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) \cdot e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} - 24 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 11.2.1.8.1.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$f (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) = \frac{81 - 9 \sqrt{137} - 9 \sqrt{137} + {\sqrt{137}}^{2}}{4} \cdot e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 10 (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) \cdot e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} - 24 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 11.2.1.8.1.5

Schreibe ${\sqrt{137}}^{2}$ als $137$ um.

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Schritt 11.2.1.8.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{137}$ als $137^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) = \frac{81 - 9 \sqrt{137} - 9 \sqrt{137} + {(137^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4} \cdot e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 10 (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) \cdot e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} - 24 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 11.2.1.8.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) = \frac{81 - 9 \sqrt{137} - 9 \sqrt{137} + 137^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4} \cdot e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 10 (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) \cdot e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} - 24 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 11.2.1.8.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) = \frac{81 - 9 \sqrt{137} - 9 \sqrt{137} + 137^{\frac{2}{2}}}{4} \cdot e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 10 (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) \cdot e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} - 24 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 11.2.1.8.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.2.1.8.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 11.2.1.8.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) = \frac{81 - 9 \sqrt{137} - 9 \sqrt{137} + 137}{4} \cdot e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 10 (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) \cdot e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} - 24 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 11.2.1.8.1.5.5

Berechne den Exponenten.

Schritt 11.2.1.8.2

Addiere $81$ und $137$ .

$f (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) = \frac{218 - 9 \sqrt{137} - 9 \sqrt{137}}{4} \cdot e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 10 (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) \cdot e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} - 24 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 11.2.1.8.3

Subtrahiere $9 \sqrt{137}$ von $- 9 \sqrt{137}$ .

$f (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) = \frac{218 - 18 \sqrt{137}}{4} \cdot e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 10 (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) \cdot e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} - 24 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 11.2.1.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $218 - 18 \sqrt{137}$ und $4$ .

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Schritt 11.2.1.9.1

Faktorisiere $2$ aus $218$ heraus.

$f (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) = \frac{2 (109) - 18 \sqrt{137}}{4} \cdot e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 10 (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) \cdot e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} - 24 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 11.2.1.9.2

Faktorisiere $2$ aus $- 18 \sqrt{137}$ heraus.

$f (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) = \frac{2 (109) + 2 (- 9 \sqrt{137})}{4} \cdot e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 10 (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) \cdot e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} - 24 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 11.2.1.9.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (109) + 2 (- 9 \sqrt{137})$ heraus.

$f (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) = \frac{2 (109 - 9 \sqrt{137})}{4} \cdot e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 10 (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) \cdot e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} - 24 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 11.2.1.9.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1.9.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) = \frac{2 (109 - 9 \sqrt{137})}{2 \cdot 2} \cdot e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 10 (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) \cdot e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} - 24 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 11.2.1.9.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 11.2.1.9.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) = \frac{109 - 9 \sqrt{137}}{2} \cdot e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 10 (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) \cdot e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} - 24 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 11.2.1.10

Kombiniere $\frac{109 - 9 \sqrt{137}}{2}$ und $e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$ .

$f (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) = \frac{(109 - 9 \sqrt{137}) e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}}{2} + 10 (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) \cdot e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} - 24 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 11.2.1.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1.11.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}$ in den Zähler.

$f (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) = \frac{(109 - 9 \sqrt{137}) e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}}{2} + 10 (\frac{- (9 - \sqrt{137})}{4}) \cdot e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} - 24 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 11.2.1.11.2

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$f (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) = \frac{(109 - 9 \sqrt{137}) e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}}{2} + 2 (5) (\frac{- (9 - \sqrt{137})}{4}) \cdot e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} - 24 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 11.2.1.11.3

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) = \frac{(109 - 9 \sqrt{137}) e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}}{2} + 2 \cdot (5 (\frac{- (9 - \sqrt{137})}{2 \cdot 2})) \cdot e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} - 24 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 11.2.1.11.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 11.2.1.11.5

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) = \frac{(109 - 9 \sqrt{137}) e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}}{2} + 5 (\frac{- (9 - \sqrt{137})}{2}) \cdot e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} - 24 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 11.2.1.12

Kombiniere $5$ und $\frac{- (9 - \sqrt{137})}{2}$ .

$f (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) = \frac{(109 - 9 \sqrt{137}) e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}}{2} + \frac{5 (- (9 - \sqrt{137}))}{2} \cdot e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} - 24 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 11.2.1.13

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$f (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) = \frac{(109 - 9 \sqrt{137}) e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}}{2} + \frac{- 5 (9 - \sqrt{137})}{2} \cdot e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} - 24 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 11.2.1.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) = \frac{(109 - 9 \sqrt{137}) e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}}{2} - \frac{5 (9 - \sqrt{137})}{2} \cdot e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} - 24 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 11.2.1.15

Kombiniere $e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$ und $\frac{5 (9 - \sqrt{137})}{2}$ .

$f (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) = \frac{(109 - 9 \sqrt{137}) e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}}{2} - \frac{e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} (5 (9 - \sqrt{137}))}{2} - 24 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 11.2.1.16

Bringe $5$ auf die linke Seite von $e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$ .

$f (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) = \frac{(109 - 9 \sqrt{137}) e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}}{2} - \frac{5 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} (9 - \sqrt{137})}{2} - 24 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 11.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) = - 24 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + \frac{(109 - 9 \sqrt{137}) e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} - 5 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} (9 - \sqrt{137})}{2}$

Schritt 11.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) = - 24 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + \frac{109 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} - 9 \sqrt{137} e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} - 5 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} (9 - \sqrt{137})}{2}$

Schritt 11.2.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

Schritt 11.2.3.3

Mutltipliziere $9$ mit $- 5$ .

$f (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) = - 24 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + \frac{109 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} - 9 \sqrt{137} e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} - 45 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} - 5 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} (- \sqrt{137})}{2}$

Schritt 11.2.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

Schritt 11.2.4

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 11.2.4.1

Subtrahiere $45 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$ von $109 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$ .

$f (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) = - 24 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + \frac{- 9 \sqrt{137} e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 64 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 5 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} \sqrt{137}}{2}$

Schritt 11.2.4.2

Stelle die Faktoren von $- 9 \sqrt{137} e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$ um.

$f (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) = - 24 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + \frac{- 9 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} \sqrt{137} + 64 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + 5 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} \sqrt{137}}{2}$

Schritt 11.2.4.3

Addiere $- 9 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} \sqrt{137}$ und $5 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} \sqrt{137}$ .

$f (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) = - 24 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} + \frac{- 4 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} \sqrt{137} + 64 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}}{2}$

Schritt 11.2.5

Um $- 24 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) = - 24 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{- 4 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} \sqrt{137} + 64 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}}{2}$

Schritt 11.2.6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 11.2.6.1

Kombiniere $- 24 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$ und $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) = \frac{- 24 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} \cdot 2}{2} + \frac{- 4 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} \sqrt{137} + 64 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}}{2}$

Schritt 11.2.6.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) = \frac{- 24 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} \cdot 2 - 4 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} \sqrt{137} + 64 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}}{2}$

Schritt 11.2.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.2.7.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 24$ .

$f (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) = \frac{- 48 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} - 4 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} \sqrt{137} + 64 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}}{2}$

Schritt 11.2.7.2

Addiere $- 48 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$ und $64 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$ .

$f (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) = \frac{- 4 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} \sqrt{137} + 16 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}}{2}$

Schritt 11.2.8

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 11.2.8.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} \sqrt{137}$ heraus.

$f (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) = \frac{- (4 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} \sqrt{137}) + 16 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}}{2}$

Schritt 11.2.8.2

Faktorisiere $- 1$ aus $16 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}$ heraus.

$f (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) = \frac{- (4 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} \sqrt{137}) - (- 16 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}})}{2}$

Schritt 11.2.8.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (4 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} \sqrt{137}) - (- 16 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}})$ heraus.

$f (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) = \frac{- (4 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} \sqrt{137} - 16 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}})}{2}$

Schritt 11.2.8.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 11.2.8.4.1

Schreibe $- (4 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} \sqrt{137} - 16 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}})$ als $- 1 (4 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} \sqrt{137} - 16 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}})$ um.

$f (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) = \frac{- 1 (4 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} \sqrt{137} - 16 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}})}{2}$

Schritt 11.2.8.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}) = - \frac{4 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} \sqrt{137} - 16 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}}{2}$

Schritt 11.2.9

Die endgültige Lösung ist $- \frac{4 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} \sqrt{137} - 16 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}}{2}$ .

$y = - \frac{4 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} \sqrt{137} - 16 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}}{2}$

Schritt 12

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - \frac{9 + \sqrt{137}}{4}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$4 {(- \frac{9 + \sqrt{137}}{4})}^{2} e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + 26 (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + 4 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 13.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 13.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}$ an.

$4 ({(- 1)}^{2} {(\frac{9 + \sqrt{137}}{4})}^{2}) e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + 26 (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + 4 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 13.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{9 + \sqrt{137}}{4}$ an.

$4 ({(- 1)}^{2} \frac{{(9 + \sqrt{137})}^{2}}{4^{2}}) e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + 26 (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + 4 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 13.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$4 (1 \frac{{(9 + \sqrt{137})}^{2}}{4^{2}}) e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + 26 (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + 4 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 13.1.3

Mutltipliziere $\frac{{(9 + \sqrt{137})}^{2}}{4^{2}}$ mit $1$ .

$4 \frac{{(9 + \sqrt{137})}^{2}}{4^{2}} e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + 26 (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + 4 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 13.1.4

Potenziere $4$ mit $2$ .

$4 \frac{{(9 + \sqrt{137})}^{2}}{16} e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + 26 (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + 4 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 13.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 13.1.5.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$4 \frac{{(9 + \sqrt{137})}^{2}}{4 (4)} e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + 26 (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + 4 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 13.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \frac{{(9 + \sqrt{137})}^{2}}{4 \cdot 4} e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + 26 (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + 4 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 13.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{{(9 + \sqrt{137})}^{2}}{4} e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + 26 (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + 4 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 13.1.6

Schreibe ${(9 + \sqrt{137})}^{2}$ als $(9 + \sqrt{137}) (9 + \sqrt{137})$ um.

$\frac{(9 + \sqrt{137}) (9 + \sqrt{137})}{4} e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + 26 (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + 4 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 13.1.7

Multipliziere $(9 + \sqrt{137}) (9 + \sqrt{137})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 13.1.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{9 (9 + \sqrt{137}) + \sqrt{137} (9 + \sqrt{137})}{4} e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + 26 (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + 4 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 13.1.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{9 \cdot 9 + 9 \sqrt{137} + \sqrt{137} (9 + \sqrt{137})}{4} e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + 26 (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + 4 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 13.1.7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{9 \cdot 9 + 9 \sqrt{137} + \sqrt{137} \cdot 9 + \sqrt{137} \sqrt{137}}{4} e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + 26 (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + 4 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 13.1.8

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 13.1.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.1.8.1.1

Mutltipliziere $9$ mit $9$ .

$\frac{81 + 9 \sqrt{137} + \sqrt{137} \cdot 9 + \sqrt{137} \sqrt{137}}{4} e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + 26 (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + 4 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 13.1.8.1.2

Bringe $9$ auf die linke Seite von $\sqrt{137}$ .

$\frac{81 + 9 \sqrt{137} + 9 \cdot \sqrt{137} + \sqrt{137} \sqrt{137}}{4} e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + 26 (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + 4 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 13.1.8.1.3

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{81 + 9 \sqrt{137} + 9 \sqrt{137} + \sqrt{137 \cdot 137}}{4} e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + 26 (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + 4 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 13.1.8.1.4

Mutltipliziere $137$ mit $137$ .

$\frac{81 + 9 \sqrt{137} + 9 \sqrt{137} + \sqrt{18769}}{4} e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + 26 (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + 4 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 13.1.8.1.5

Schreibe $18769$ als $137^{2}$ um.

$\frac{81 + 9 \sqrt{137} + 9 \sqrt{137} + \sqrt{137^{2}}}{4} e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + 26 (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + 4 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 13.1.8.1.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{81 + 9 \sqrt{137} + 9 \sqrt{137} + 137}{4} e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + 26 (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + 4 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 13.1.8.2

Addiere $81$ und $137$ .

$\frac{218 + 9 \sqrt{137} + 9 \sqrt{137}}{4} e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + 26 (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + 4 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 13.1.8.3

Addiere $9 \sqrt{137}$ und $9 \sqrt{137}$ .

$\frac{218 + 18 \sqrt{137}}{4} e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + 26 (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + 4 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 13.1.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $218 + 18 \sqrt{137}$ und $4$ .

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Schritt 13.1.9.1

Faktorisiere $2$ aus $218$ heraus.

$\frac{2 (109) + 18 \sqrt{137}}{4} e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + 26 (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + 4 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 13.1.9.2

Faktorisiere $2$ aus $18 \sqrt{137}$ heraus.

$\frac{2 (109) + 2 (9 \sqrt{137})}{4} e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + 26 (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + 4 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 13.1.9.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (109) + 2 (9 \sqrt{137})$ heraus.

$\frac{2 (109 + 9 \sqrt{137})}{4} e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + 26 (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + 4 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 13.1.9.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1.9.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 (109 + 9 \sqrt{137})}{2 \cdot 2} e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + 26 (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + 4 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 13.1.9.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (109 + 9 \sqrt{137})}{2 \cdot 2} e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + 26 (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + 4 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 13.1.9.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{109 + 9 \sqrt{137}}{2} e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + 26 (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + 4 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 13.1.10

Kombiniere $\frac{109 + 9 \sqrt{137}}{2}$ und $e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}}$ .

$\frac{(109 + 9 \sqrt{137}) e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}}}{2} + 26 (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + 4 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 13.1.11

Bringe $e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{109 + 9 \sqrt{137}}{2 e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}}} + 26 (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + 4 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 13.1.12

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 13.1.12.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}$ in den Zähler.

$\frac{109 + 9 \sqrt{137}}{2 e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}}} + 26 \frac{- (9 + \sqrt{137})}{4} e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + 4 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 13.1.12.2

Faktorisiere $2$ aus $26$ heraus.

$\frac{109 + 9 \sqrt{137}}{2 e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}}} + 2 (13) \frac{- (9 + \sqrt{137})}{4} e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + 4 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 13.1.12.3

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{109 + 9 \sqrt{137}}{2 e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}}} + 2 \cdot 13 \frac{- (9 + \sqrt{137})}{2 \cdot 2} e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + 4 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 13.1.12.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{109 + 9 \sqrt{137}}{2 e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}}} + 2 \cdot 13 \frac{- (9 + \sqrt{137})}{2 \cdot 2} e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + 4 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 13.1.12.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{109 + 9 \sqrt{137}}{2 e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}}} + 13 \frac{- (9 + \sqrt{137})}{2} e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + 4 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 13.1.13

Kombiniere $13$ und $\frac{- (9 + \sqrt{137})}{2}$ .

$\frac{109 + 9 \sqrt{137}}{2 e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}}} + \frac{13 (- (9 + \sqrt{137}))}{2} e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + 4 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 13.1.14

Mutltipliziere $- 1$ mit $13$ .

$\frac{109 + 9 \sqrt{137}}{2 e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}}} + \frac{- 13 (9 + \sqrt{137})}{2} e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + 4 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 13.1.15

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{109 + 9 \sqrt{137}}{2 e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}}} - \frac{13 (9 + \sqrt{137})}{2} e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + 4 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 13.1.16

Kombiniere $e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}}$ und $\frac{13 (9 + \sqrt{137})}{2}$ .

$\frac{109 + 9 \sqrt{137}}{2 e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}}} - \frac{e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} (13 (9 + \sqrt{137}))}{2} + 4 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 13.1.17

Bringe $e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{109 + 9 \sqrt{137}}{2 e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}}} - \frac{13 (9 + \sqrt{137})}{2 e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}}} + 4 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 13.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + \frac{109 + 9 \sqrt{137} - 13 (9 + \sqrt{137})}{2 e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}}}$

Schritt 13.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + \frac{109 + 9 \sqrt{137} - 13 \cdot 9 - 13 \sqrt{137}}{2 e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}}}$

Schritt 13.3.2

Mutltipliziere $- 13$ mit $9$ .

$4 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + \frac{109 + 9 \sqrt{137} - 117 - 13 \sqrt{137}}{2 e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}}}$

Schritt 13.4

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 13.4.1

Subtrahiere $117$ von $109$ .

$4 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + \frac{- 8 + 9 \sqrt{137} - 13 \sqrt{137}}{2 e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}}}$

Schritt 13.4.2

Subtrahiere $13 \sqrt{137}$ von $9 \sqrt{137}$ .

$4 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + \frac{- 8 - 4 \sqrt{137}}{2 e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}}}$

Schritt 13.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.5.1

Faktorisiere $2$ aus $- 8$ heraus.

$4 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + \frac{2 \cdot - 4 - 4 \sqrt{137}}{2 e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}}}$

Schritt 13.5.2

Faktorisiere $2$ aus $- 4 \sqrt{137}$ heraus.

$4 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + \frac{2 \cdot - 4 + 2 (- 2 \sqrt{137})}{2 e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}}}$

Schritt 13.5.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- 4) + 2 (- 2 \sqrt{137})$ heraus.

$4 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + \frac{2 (- 4 - 2 \sqrt{137})}{2 e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}}}$

Schritt 13.5.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.5.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}}$ heraus.

$4 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + \frac{2 (- 4 - 2 \sqrt{137})}{2 (e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}})}$

Schritt 13.5.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + \frac{2 (- 4 - 2 \sqrt{137})}{2 e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}}}$

Schritt 13.5.4.3

Forme den Ausdruck um.

$4 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + \frac{- 4 - 2 \sqrt{137}}{e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}}}$

Schritt 13.6

Um $4 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}}}{e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}}}$ .

$\frac{4 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}}}{e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}}} + \frac{- 4 - 2 \sqrt{137}}{e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}}}$

Schritt 13.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}} - 4 - 2 \sqrt{137}}{e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}}}$

Schritt 13.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.8.1

Multipliziere $e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}}$ mit $e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 13.8.1.1

Bewege $e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}}$ .

$\frac{4 (e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}} e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}}) - 4 - 2 \sqrt{137}}{e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}}}$

Schritt 13.8.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4 e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4} - \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} - 4 - 2 \sqrt{137}}{e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}}}$

Schritt 13.8.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4 e^{\frac{9 + \sqrt{137} - (9 + \sqrt{137})}{4}} - 4 - 2 \sqrt{137}}{e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}}}$

Schritt 13.8.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.8.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 e^{\frac{9 + \sqrt{137} - 1 \cdot 9 - \sqrt{137}}{4}} - 4 - 2 \sqrt{137}}{e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}}}$

Schritt 13.8.1.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$\frac{4 e^{\frac{9 + \sqrt{137} - 9 - \sqrt{137}}{4}} - 4 - 2 \sqrt{137}}{e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}}}$

Schritt 13.8.1.5

Subtrahiere $9$ von $9$ .

$\frac{4 e^{\frac{0 + \sqrt{137} - \sqrt{137}}{4}} - 4 - 2 \sqrt{137}}{e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}}}$

Schritt 13.8.1.6

Addiere $0$ und $\sqrt{137}$ .

$\frac{4 e^{\frac{\sqrt{137} - \sqrt{137}}{4}} - 4 - 2 \sqrt{137}}{e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}}}$

Schritt 13.8.1.7

Subtrahiere $\sqrt{137}$ von $\sqrt{137}$ .

$\frac{4 e^{\frac{0}{4}} - 4 - 2 \sqrt{137}}{e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}}}$

Schritt 13.8.1.8

Dividiere $0$ durch $4$ .

$\frac{4 e^{0} - 4 - 2 \sqrt{137}}{e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}}}$

Schritt 13.8.2

Vereinfache $4 e^{0}$ .

$\frac{4 - 4 - 2 \sqrt{137}}{e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}}}$

Schritt 13.8.3

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$\frac{0 - 2 \sqrt{137}}{e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}}}$

Schritt 13.8.4

Subtrahiere $2 \sqrt{137}$ von $0$ .

$\frac{- 2 \sqrt{137}}{e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}}}$

Schritt 13.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 \sqrt{137}}{e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}}}$

Schritt 14

$x = - \frac{9 + \sqrt{137}}{4}$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = - \frac{9 + \sqrt{137}}{4}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 15

Ermittele den y-Wert, wenn $x = - \frac{9 + \sqrt{137}}{4}$ .

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Schritt 15.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}$ .

$f (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) = 4 {(- \frac{9 + \sqrt{137}}{4})}^{2} e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + 10 (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) \cdot e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} - 24 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 15.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 15.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 15.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}$ an.

$f (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) = 4 ({(- 1)}^{2} {(\frac{9 + \sqrt{137}}{4})}^{2}) e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + 10 (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) \cdot e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} - 24 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 15.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{9 + \sqrt{137}}{4}$ an.

$f (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) = 4 ({(- 1)}^{2} (\frac{{(9 + \sqrt{137})}^{2}}{4^{2}})) \cdot e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + 10 (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) \cdot e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} - 24 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 15.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) = 4 (1 (\frac{{(9 + \sqrt{137})}^{2}}{4^{2}})) \cdot e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + 10 (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) \cdot e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} - 24 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 15.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{{(9 + \sqrt{137})}^{2}}{4^{2}}$ mit $1$ .

$f (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) = 4 (\frac{{(9 + \sqrt{137})}^{2}}{4^{2}}) \cdot e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + 10 (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) \cdot e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} - 24 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 15.2.1.4

Potenziere $4$ mit $2$ .

$f (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) = 4 (\frac{{(9 + \sqrt{137})}^{2}}{16}) \cdot e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + 10 (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) \cdot e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} - 24 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 15.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 15.2.1.5.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$f (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) = 4 (\frac{{(9 + \sqrt{137})}^{2}}{4 (4)}) \cdot e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + 10 (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) \cdot e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} - 24 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 15.2.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) = 4 (\frac{{(9 + \sqrt{137})}^{2}}{4 \cdot 4}) \cdot e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + 10 (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) \cdot e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} - 24 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 15.2.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) = \frac{{(9 + \sqrt{137})}^{2}}{4} \cdot e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + 10 (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) \cdot e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} - 24 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 15.2.1.6

Schreibe ${(9 + \sqrt{137})}^{2}$ als $(9 + \sqrt{137}) (9 + \sqrt{137})$ um.

$f (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) = \frac{(9 + \sqrt{137}) (9 + \sqrt{137})}{4} \cdot e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + 10 (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) \cdot e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} - 24 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 15.2.1.7

Multipliziere $(9 + \sqrt{137}) (9 + \sqrt{137})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 15.2.1.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) = \frac{9 (9 + \sqrt{137}) + \sqrt{137} (9 + \sqrt{137})}{4} \cdot e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + 10 (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) \cdot e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} - 24 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 15.2.1.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) = \frac{9 \cdot 9 + 9 \sqrt{137} + \sqrt{137} (9 + \sqrt{137})}{4} \cdot e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + 10 (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) \cdot e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} - 24 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 15.2.1.7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) = \frac{9 \cdot 9 + 9 \sqrt{137} + \sqrt{137} \cdot 9 + \sqrt{137} \sqrt{137}}{4} \cdot e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + 10 (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) \cdot e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} - 24 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 15.2.1.8

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 15.2.1.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.2.1.8.1.1

Mutltipliziere $9$ mit $9$ .

$f (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) = \frac{81 + 9 \sqrt{137} + \sqrt{137} \cdot 9 + \sqrt{137} \sqrt{137}}{4} \cdot e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + 10 (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) \cdot e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} - 24 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 15.2.1.8.1.2

Bringe $9$ auf die linke Seite von $\sqrt{137}$ .

$f (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) = \frac{81 + 9 \sqrt{137} + 9 \cdot \sqrt{137} + \sqrt{137} \sqrt{137}}{4} \cdot e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + 10 (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) \cdot e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} - 24 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 15.2.1.8.1.3

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$f (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) = \frac{81 + 9 \sqrt{137} + 9 \sqrt{137} + \sqrt{137 \cdot 137}}{4} \cdot e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + 10 (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) \cdot e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} - 24 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 15.2.1.8.1.4

Mutltipliziere $137$ mit $137$ .

$f (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) = \frac{81 + 9 \sqrt{137} + 9 \sqrt{137} + \sqrt{18769}}{4} \cdot e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + 10 (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) \cdot e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} - 24 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 15.2.1.8.1.5

Schreibe $18769$ als $137^{2}$ um.

$f (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) = \frac{81 + 9 \sqrt{137} + 9 \sqrt{137} + \sqrt{137^{2}}}{4} \cdot e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + 10 (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) \cdot e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} - 24 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 15.2.1.8.1.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) = \frac{81 + 9 \sqrt{137} + 9 \sqrt{137} + 137}{4} \cdot e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + 10 (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) \cdot e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} - 24 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 15.2.1.8.2

Addiere $81$ und $137$ .

$f (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) = \frac{218 + 9 \sqrt{137} + 9 \sqrt{137}}{4} \cdot e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + 10 (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) \cdot e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} - 24 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 15.2.1.8.3

Addiere $9 \sqrt{137}$ und $9 \sqrt{137}$ .

$f (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) = \frac{218 + 18 \sqrt{137}}{4} \cdot e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + 10 (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) \cdot e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} - 24 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 15.2.1.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $218 + 18 \sqrt{137}$ und $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.1.9.1

Faktorisiere $2$ aus $218$ heraus.

$f (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) = \frac{2 (109) + 18 \sqrt{137}}{4} \cdot e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + 10 (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) \cdot e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} - 24 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 15.2.1.9.2

Faktorisiere $2$ aus $18 \sqrt{137}$ heraus.

$f (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) = \frac{2 (109) + 2 (9 \sqrt{137})}{4} \cdot e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + 10 (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) \cdot e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} - 24 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 15.2.1.9.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (109) + 2 (9 \sqrt{137})$ heraus.

$f (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) = \frac{2 (109 + 9 \sqrt{137})}{4} \cdot e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + 10 (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) \cdot e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} - 24 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 15.2.1.9.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 15.2.1.9.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) = \frac{2 (109 + 9 \sqrt{137})}{2 \cdot 2} \cdot e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + 10 (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) \cdot e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} - 24 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 15.2.1.9.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 15.2.1.9.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) = \frac{109 + 9 \sqrt{137}}{2} \cdot e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + 10 (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) \cdot e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} - 24 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 15.2.1.10

Kombiniere $\frac{109 + 9 \sqrt{137}}{2}$ und $e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}}$ .

$f (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) = \frac{(109 + 9 \sqrt{137}) e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}}}{2} + 10 (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) \cdot e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} - 24 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 15.2.1.11

Bringe $e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) = \frac{109 + 9 \sqrt{137}}{2 e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}}} + 10 (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) \cdot e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} - 24 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 15.2.1.12

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 15.2.1.12.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}$ in den Zähler.

$f (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) = \frac{109 + 9 \sqrt{137}}{2 e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}}} + 10 (\frac{- (9 + \sqrt{137})}{4}) \cdot e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} - 24 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 15.2.1.12.2

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$f (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) = \frac{109 + 9 \sqrt{137}}{2 e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}}} + 2 (5) (\frac{- (9 + \sqrt{137})}{4}) \cdot e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} - 24 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 15.2.1.12.3

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) = \frac{109 + 9 \sqrt{137}}{2 e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}}} + 2 \cdot (5 (\frac{- (9 + \sqrt{137})}{2 \cdot 2})) \cdot e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} - 24 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 15.2.1.12.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 15.2.1.12.5

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) = \frac{109 + 9 \sqrt{137}}{2 e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}}} + 5 (\frac{- (9 + \sqrt{137})}{2}) \cdot e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} - 24 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 15.2.1.13

Kombiniere $5$ und $\frac{- (9 + \sqrt{137})}{2}$ .

$f (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) = \frac{109 + 9 \sqrt{137}}{2 e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}}} + \frac{5 (- (9 + \sqrt{137}))}{2} \cdot e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} - 24 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 15.2.1.14

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$f (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) = \frac{109 + 9 \sqrt{137}}{2 e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}}} + \frac{- 5 (9 + \sqrt{137})}{2} \cdot e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} - 24 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 15.2.1.15

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) = \frac{109 + 9 \sqrt{137}}{2 e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}}} - \frac{5 (9 + \sqrt{137})}{2} \cdot e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} - 24 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 15.2.1.16

Kombiniere $e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}}$ und $\frac{5 (9 + \sqrt{137})}{2}$ .

$f (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) = \frac{109 + 9 \sqrt{137}}{2 e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}}} - \frac{e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} (5 (9 + \sqrt{137}))}{2} - 24 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 15.2.1.17

Bringe $e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) = \frac{109 + 9 \sqrt{137}}{2 e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}}} - \frac{5 (9 + \sqrt{137})}{2 e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}}} - 24 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}}$

Schritt 15.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) = - 24 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + \frac{109 + 9 \sqrt{137} - 5 (9 + \sqrt{137})}{2 e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}}}$

Schritt 15.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) = - 24 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + \frac{109 + 9 \sqrt{137} - 5 \cdot 9 - 5 \sqrt{137}}{2 e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}}}$

Schritt 15.2.3.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $9$ .

$f (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) = - 24 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + \frac{109 + 9 \sqrt{137} - 45 - 5 \sqrt{137}}{2 e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}}}$

Schritt 15.2.4

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 15.2.4.1

Subtrahiere $45$ von $109$ .

$f (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) = - 24 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + \frac{64 + 9 \sqrt{137} - 5 \sqrt{137}}{2 e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}}}$

Schritt 15.2.4.2

Subtrahiere $5 \sqrt{137}$ von $9 \sqrt{137}$ .

$f (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) = - 24 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + \frac{64 + 4 \sqrt{137}}{2 e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}}}$

Schritt 15.2.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.2.5.1

Faktorisiere $2$ aus $64$ heraus.

$f (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) = - 24 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + \frac{2 \cdot 32 + 4 \sqrt{137}}{2 e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}}}$

Schritt 15.2.5.2

Faktorisiere $2$ aus $4 \sqrt{137}$ heraus.

$f (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) = - 24 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + \frac{2 \cdot 32 + 2 (2 \sqrt{137})}{2 e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}}}$

Schritt 15.2.5.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (32) + 2 (2 \sqrt{137})$ heraus.

$f (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) = - 24 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + \frac{2 (32 + 2 \sqrt{137})}{2 e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}}}$

Schritt 15.2.5.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 15.2.5.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}}$ heraus.

$f (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) = - 24 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + \frac{2 (32 + 2 \sqrt{137})}{2 (e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}})}$

Schritt 15.2.5.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) = - 24 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + \frac{2 (32 + 2 \sqrt{137})}{2 e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}}}$

Schritt 15.2.5.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) = - 24 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + \frac{32 + 2 \sqrt{137}}{e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}}}$

Schritt 15.2.6

Um $- 24 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}}}{e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}}}$ .

$f (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) = - 24 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} \cdot \frac{e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}}}{e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}}} + \frac{32 + 2 \sqrt{137}}{e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}}}$

Schritt 15.2.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 15.2.7.1

Kombiniere $- 24 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}}$ und $\frac{e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}}}{e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}}}$ .

$f (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) = \frac{- 24 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}}}{e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}}} + \frac{32 + 2 \sqrt{137}}{e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}}}$

Schritt 15.2.7.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) = \frac{- 24 e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + 32 + 2 \sqrt{137}}{e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}}}$

Schritt 15.2.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 15.2.8.1

Multipliziere $e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}}$ mit $e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 15.2.8.1.1

Bewege $e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}}$ .

$f (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) = \frac{- 24 (e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}} e^{- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}}) + 32 + 2 \sqrt{137}}{e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}}}$

Schritt 15.2.8.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) = \frac{- 24 e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4} - \frac{9 + \sqrt{137}}{4}} + 32 + 2 \sqrt{137}}{e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}}}$

Schritt 15.2.8.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) = \frac{- 24 e^{\frac{9 + \sqrt{137} - (9 + \sqrt{137})}{4}} + 32 + 2 \sqrt{137}}{e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}}}$

Schritt 15.2.8.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.2.8.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) = \frac{- 24 e^{\frac{9 + \sqrt{137} - 1 \cdot 9 - \sqrt{137}}{4}} + 32 + 2 \sqrt{137}}{e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}}}$

Schritt 15.2.8.1.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$f (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) = \frac{- 24 e^{\frac{9 + \sqrt{137} - 9 - \sqrt{137}}{4}} + 32 + 2 \sqrt{137}}{e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}}}$

Schritt 15.2.8.1.5

Subtrahiere $9$ von $9$ .

$f (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) = \frac{- 24 e^{\frac{0 + \sqrt{137} - \sqrt{137}}{4}} + 32 + 2 \sqrt{137}}{e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}}}$

Schritt 15.2.8.1.6

Addiere $0$ und $\sqrt{137}$ .

$f (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) = \frac{- 24 e^{\frac{\sqrt{137} - \sqrt{137}}{4}} + 32 + 2 \sqrt{137}}{e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}}}$

Schritt 15.2.8.1.7

Subtrahiere $\sqrt{137}$ von $\sqrt{137}$ .

$f (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) = \frac{- 24 e^{\frac{0}{4}} + 32 + 2 \sqrt{137}}{e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}}}$

Schritt 15.2.8.1.8

Dividiere $0$ durch $4$ .

$f (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) = \frac{- 24 e^{0} + 32 + 2 \sqrt{137}}{e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}}}$

Schritt 15.2.8.2

Vereinfache $- 24 e^{0}$ .

$f (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) = \frac{- 24 + 32 + 2 \sqrt{137}}{e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}}}$

Schritt 15.2.8.3

Addiere $- 24$ und $32$ .

$f (- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}) = \frac{8 + 2 \sqrt{137}}{e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}}}$

Schritt 15.2.9

Die endgültige Lösung ist $\frac{8 + 2 \sqrt{137}}{e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}}}$ .

$y = \frac{8 + 2 \sqrt{137}}{e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}}}$

Schritt 16

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = 4 x^{2} e^{x} + 10 x e^{x} - 24 e^{x}$ .

$(- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}, - \frac{4 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}} \sqrt{137} - 16 e^{- \frac{9 - \sqrt{137}}{4}}}{2})$ ist ein lokales Minimum

$(- \frac{9 + \sqrt{137}}{4}, \frac{8 + 2 \sqrt{137}}{e^{\frac{9 + \sqrt{137}}{4}}})$ ist ein lokales Maximum

Schritt 17