Analysis Beispiele

$f (x) = 4 \sqrt{x^{3}} - 9$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 \sqrt{x^{3}} - 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{3}}]$ .

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Schritt 1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{3}}$ als $x^{\frac{3}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Schritt 1.2.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{\frac{3}{2}}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Schritt 1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{3}{2}$ .

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

Schritt 1.2.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

Schritt 1.2.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

Schritt 1.2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

Schritt 1.2.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

Schritt 1.2.7.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

Schritt 1.2.8

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 9]$

Schritt 1.2.9

Kombiniere $4$ und $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{4 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- 9]$

Schritt 1.2.10

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{12 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 9]$

Schritt 1.2.11

Faktorisiere $2$ aus $12 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 (6 x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- 9]$

Schritt 1.2.12

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.12.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (6 x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 9]$

Schritt 1.2.12.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (6 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 9]$

Schritt 1.2.12.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{d}{d x} [- 9]$

Schritt 1.2.12.4

Dividiere $6 x^{\frac{1}{2}}$ durch $1$ .

$6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 9]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.3.1

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$6 x^{\frac{1}{2}} + 0$

Schritt 1.3.2

Addiere $6 x^{\frac{1}{2}}$ und $0$ .

$6 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Schritt 2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Schritt 2.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Schritt 2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = 6 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Schritt 2.8

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 2.9

Kombiniere $6$ und $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{6 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 2.10

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{6}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.11

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$f'' (x) = \frac{2 \cdot 3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.12

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.12.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{2 \cdot 3}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 2.12.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{2 \cdot 3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.12.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$6 x^{\frac{1}{2}} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 \sqrt{x^{3}} - 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Schritt 4.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{3}}]$ .

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Schritt 4.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{3}}$ als $x^{\frac{3}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Schritt 4.1.2.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{\frac{3}{2}}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Schritt 4.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{3}{2}$ .

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

Schritt 4.1.2.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

Schritt 4.1.2.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

Schritt 4.1.2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

Schritt 4.1.2.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.2.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

Schritt 4.1.2.7.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

Schritt 4.1.2.8

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 9]$

Schritt 4.1.2.9

Kombiniere $4$ und $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{4 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- 9]$

Schritt 4.1.2.10

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{12 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 9]$

Schritt 4.1.2.11

Faktorisiere $2$ aus $12 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 (6 x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- 9]$

Schritt 4.1.2.12

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.2.12.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (6 x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 9]$

Schritt 4.1.2.12.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (6 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 9]$

Schritt 4.1.2.12.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{d}{d x} [- 9]$

Schritt 4.1.2.12.4

Dividiere $6 x^{\frac{1}{2}}$ durch $1$ .

$6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 9]$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 4.1.3.1

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$6 x^{\frac{1}{2}} + 0$

Schritt 4.1.3.2

Addiere $6 x^{\frac{1}{2}}$ und $0$ .

$f' (x) = 6 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $6 x^{\frac{1}{2}}$ .

$6 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $6 x^{\frac{1}{2}} = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$6 x^{\frac{1}{2}} = 0$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $6 x^{\frac{1}{2}} = 0$ durch $6$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $6 x^{\frac{1}{2}} = 0$ durch $6$ .

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6} = \frac{0}{6}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6} = \frac{0}{6}$

Schritt 5.2.2.2

Dividiere $x^{\frac{1}{2}}$ durch $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{0}{6}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Dividiere $0$ durch $6$ .

$x^{\frac{1}{2}} = 0$

Schritt 5.3

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $2$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 5.4

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 5.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.4.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.4.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 5.4.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.4.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 5.4.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = 0^{2}$

Schritt 5.4.1.1.2

Vereinfache.

$x = 0^{2}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x = 0$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 6.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$6 \sqrt{x^{1}}$

Schritt 6.1.2

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$6 \sqrt{x}$

Schritt 6.2

Setze den Radikanden in $\sqrt{x}$ kleiner als $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x < 0$

Schritt 6.3

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 0$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{3}{{(0)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.1.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$\frac{3}{{(0^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 9.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{0^{2 (\frac{1}{2})}}$

Schritt 9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{0^{2 (\frac{1}{2})}}$

Schritt 9.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{0^{1}}$

Schritt 9.3

Berechne den Exponenten.

$\frac{3}{0}$

Schritt 9.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 10

Da der erste Ableitungstest nicht erfolgreich war, gibt es kein lokales Extremum.

Keine lokalen Extrema

Schritt 11