Analysis Beispiele

$f (x) = 4.1 \sin (x) - 1.6 \cos (x)$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4.1 \sin (x) - 1.6 \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4.1 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 1.6 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4.1 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 1.6 \cos (x)]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4.1 \sin (x)]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $4.1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4.1 \sin (x)$ nach $x$ gleich $4.1 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$4.1 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 1.6 \cos (x)]$

Schritt 1.2.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$4.1 \cos (x) + \frac{d}{d x} [- 1.6 \cos (x)]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 1.6 \cos (x)]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 1.6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1.6 \cos (x)$ nach $x$ gleich $- 1.6 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$4.1 \cos (x) - 1.6 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 1.3.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$4.1 \cos (x) - 1.6 (- \sin (x))$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1.6$ .

$4.1 \cos (x) + 1.6 \sin (x)$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4.1 \cos (x) + 1.6 \sin (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4.1 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [1.6 \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4.1 \cos (x)) + \frac{d}{d x} (1.6 \sin (x))$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4.1 \cos (x)]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $4.1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4.1 \cos (x)$ nach $x$ gleich $4.1 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = 4.1 \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \frac{d}{d x} (1.6 \sin (x))$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = 4.1 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} (1.6 \sin (x))$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4.1$ .

$f'' (x) = - 4.1 \sin (x) + \frac{d}{d x} (1.6 \sin (x))$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [1.6 \sin (x)]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $1.6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1.6 \sin (x)$ nach $x$ gleich $1.6 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = - 4.1 \sin (x) + 1.6 \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Schritt 2.3.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 4.1 \sin (x) + 1.6 \cos (x)$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$4.1 \cos (x) + 1.6 \sin (x) = 0$

Schritt 4

Teile jeden Term in der Gleichung durch $\cos (x)$ .

$\frac{4.1 \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{1.6 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4.1 \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{1.6 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 5.2

Dividiere $4.1$ durch $1$ .

$4.1 + \frac{1.6 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 6

Separiere Brüche.

$4.1 + \frac{1.6}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 7

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$4.1 + \frac{1.6}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 8

Dividiere $1.6$ durch $1$ .

$4.1 + 1.6 \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 9

Separiere Brüche.

$4.1 + 1.6 \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 10

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$4.1 + 1.6 \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Schritt 11

Dividiere $0$ durch $1$ .

$4.1 + 1.6 \tan (x) = 0 \sec (x)$

Schritt 12

Mutltipliziere $0$ mit $\sec (x)$ .

$4.1 + 1.6 \tan (x) = 0$

Schritt 13

Subtrahiere $4.1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$1.6 \tan (x) = - 4.1$

Schritt 14

Teile jeden Ausdruck in $1.6 \tan (x) = - 4.1$ durch $1.6$ und vereinfache.

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Schritt 14.1

Teile jeden Ausdruck in $1.6 \tan (x) = - 4.1$ durch $1.6$ .

$\frac{1.6 \tan (x)}{1.6} = \frac{- 4.1}{1.6}$

Schritt 14.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 14.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1.6$ .

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Schritt 14.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1.6 \tan (x)}{1.6} = \frac{- 4.1}{1.6}$

Schritt 14.2.1.2

Dividiere $\tan (x)$ durch $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 4.1}{1.6}$

Schritt 14.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 14.3.1

Dividiere $- 4.1$ durch $1.6$ .

$\tan (x) = - 2.5625$

Schritt 15

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (- 2.5625)$

Schritt 16

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 16.1

Berechne $\arctan (- 2.5625)$ .

$x = - 1.19872856$

Schritt 17

Die Tangensfunktion ist negativ im zweiten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = - 1.19872856 - (3.14159265)$

Schritt 18

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 18.1

Addiere $2 π$ zu $- 1.19872856 - (3.14159265)$ .

$x = - 1.19872856 - (3.14159265) + 2 π$

Schritt 18.2

Der resultierende Winkel von $1.94286408$ ist positiv und gleich $- 1.19872856 - (3.14159265)$ .

$x = 1.94286408$

Schritt 19

Die Lösung der Gleichung $x = - 1.19872856$ .

$x = - 1.19872856, 1.94286408$

Schritt 20

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - 1.19872856$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- 4.1 \sin (- 1.19872856) + 1.6 \cos (- 1.19872856)$

Schritt 21

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 21.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 21.1.1

Mutltipliziere $- 4.1$ mit $\sin (- 1.19872856)$ .

$3.81946823 + 1.6 \cos (- 1.19872856)$

Schritt 21.1.2

Mutltipliziere $1.6$ mit $\cos (- 1.19872856)$ .

$3.81946823 + 0.58166797$

Schritt 21.2

Addiere $3.81946823$ und $0.58166797$ .

$4.40113621$

Schritt 22

$x = - 1.19872856$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = - 1.19872856$ ist ein lokales Minimum

Schritt 23

Ermittele den y-Wert, wenn $x = - 1.19872856$ .

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Schritt 23.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1.19872856$ .

$f (- 1.19872856) = 4.1 \sin (- 1.19872856) - 1.6 \cos (- 1.19872856)$

Schritt 23.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 23.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 23.2.1.1

Mutltipliziere $4.1$ mit $\sin (- 1.19872856)$ .

$f (- 1.19872856) = - 3.81946823 - 1.6 \cos (- 1.19872856)$

Schritt 23.2.1.2

Mutltipliziere $- 1.6$ mit $\cos (- 1.19872856)$ .

$f (- 1.19872856) = - 3.81946823 - 0.58166797$

Schritt 23.2.2

Subtrahiere $0.58166797$ von $- 3.81946823$ .

$f (- 1.19872856) = - 4.40113621$

Schritt 23.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 4.40113621$ .

$y = - 4.40113621$

Schritt 24

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 1.94286408$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- 4.1 \sin (1.94286408) + 1.6 \cos (1.94286408)$

Schritt 25

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 25.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 25.1.1

Mutltipliziere $- 4.1$ mit $\sin (1.94286408)$ .

$- 3.81946823 + 1.6 \cos (1.94286408)$

Schritt 25.1.2

Mutltipliziere $1.6$ mit $\cos (1.94286408)$ .

$- 3.81946823 - 0.58166797$

Schritt 25.2

Subtrahiere $0.58166797$ von $- 3.81946823$ .

$- 4.40113621$

Schritt 26

$x = 1.94286408$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 1.94286408$ ist ein lokales Maximum

Schritt 27

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 1.94286408$ .

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Schritt 27.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1.94286408$ .

$f (1.94286408) = 4.1 \sin (1.94286408) - 1.6 \cos (1.94286408)$

Schritt 27.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 27.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 27.2.1.1

Mutltipliziere $4.1$ mit $\sin (1.94286408)$ .

$f (1.94286408) = 3.81946823 - 1.6 \cos (1.94286408)$

Schritt 27.2.1.2

Mutltipliziere $- 1.6$ mit $\cos (1.94286408)$ .

$f (1.94286408) = 3.81946823 + 0.58166797$

Schritt 27.2.2

Addiere $3.81946823$ und $0.58166797$ .

$f (1.94286408) = 4.40113621$

Schritt 27.2.3

Die endgültige Lösung ist $4.40113621$ .

$y = 4.40113621$

Schritt 28

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = 4.1 \sin (x) - 1.6 \cos (x)$ .

$(- 1.19872856, - 4.40113621)$ ist ein lokales Minimum

$(1.94286408, 4.40113621)$ ist ein lokales Maximum

Schritt 29