Analysis Beispiele

$f (x) = 4 {(\frac{x}{x + 5})}^{2}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 {(\frac{x}{x + 5})}^{2}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [{(\frac{x}{x + 5})}^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(\frac{x}{x + 5})}^{2}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \frac{x}{x + 5}$ .

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Schritt 1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{x}{x + 5}$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 5}])$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 (2 u \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 5}])$

Schritt 1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x}{x + 5}$ .

$4 (2 \frac{x}{x + 5} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 5}])$

Schritt 1.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.3.1

Kombiniere $2$ und $\frac{x}{x + 5}$ .

$4 (\frac{2 x}{x + 5} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 5}])$

Schritt 1.3.2

Kombiniere $\frac{2 x}{x + 5}$ und $4$ .

$\frac{2 x \cdot 4}{x + 5} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 5}]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{8 x}{x + 5} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 5}]$

Schritt 1.4

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x + 5$ .

$\frac{8 x}{x + 5} \cdot \frac{(x + 5) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}}$

Schritt 1.5

Differenziere.

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Schritt 1.5.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{8 x}{x + 5} \cdot \frac{(x + 5) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}}$

Schritt 1.5.2

Mutltipliziere $x + 5$ mit $1$ .

$\frac{8 x}{x + 5} \cdot \frac{x + 5 - x \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}}$

Schritt 1.5.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{8 x}{x + 5} \cdot \frac{x + 5 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])}{{(x + 5)}^{2}}$

Schritt 1.5.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{8 x}{x + 5} \cdot \frac{x + 5 - x (1 + \frac{d}{d x} [5])}{{(x + 5)}^{2}}$

Schritt 1.5.5

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{8 x}{x + 5} \cdot \frac{x + 5 - x (1 + 0)}{{(x + 5)}^{2}}$

Schritt 1.5.6

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.5.6.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{8 x}{x + 5} \cdot \frac{x + 5 - x \cdot 1}{{(x + 5)}^{2}}$

Schritt 1.5.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{8 x}{x + 5} \cdot \frac{x + 5 - x}{{(x + 5)}^{2}}$

Schritt 1.5.6.3

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$\frac{8 x}{x + 5} \cdot \frac{0 + 5}{{(x + 5)}^{2}}$

Schritt 1.5.6.4

Addiere $0$ und $5$ .

$\frac{8 x}{x + 5} \cdot \frac{5}{{(x + 5)}^{2}}$

Schritt 1.5.6.5

Mutltipliziere $\frac{8 x}{x + 5}$ mit $\frac{5}{{(x + 5)}^{2}}$ .

$\frac{8 x \cdot 5}{(x + 5) {(x + 5)}^{2}}$

Schritt 1.5.6.6

Mutltipliziere $5$ mit $8$ .

$\frac{40 x}{(x + 5) {(x + 5)}^{2}}$

Schritt 1.6

Multipliziere $x + 5$ mit ${(x + 5)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.6.1

Mutltipliziere $x + 5$ mit ${(x + 5)}^{2}$ .

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Schritt 1.6.1.1

Potenziere $x + 5$ mit $1$ .

$\frac{40 x}{{(x + 5)}^{1} {(x + 5)}^{2}}$

Schritt 1.6.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{40 x}{{(x + 5)}^{1 + 2}}$

Schritt 1.6.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{40 x}{{(x + 5)}^{3}}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Da $40$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{40 x}{{(x + 5)}^{3}}$ nach $x$ gleich $40 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 5)}^{3}}]$ .

$f'' (x) = 40 \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(x + 5)}^{3}})$

Schritt 2.2

$f'' (x) = 40 (\frac{{(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x + 5)}^{3}}{{({(x + 5)}^{3})}^{2}})$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 5)}^{3})}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 40 (\frac{{(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x + 5)}^{3}}{{(x + 5)}^{3 \cdot 2}})$

Schritt 2.3.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f'' (x) = 40 (\frac{{(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x + 5)}^{3}}{{(x + 5)}^{6}})$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 40 (\frac{{(x + 5)}^{3} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x + 5)}^{3}}{{(x + 5)}^{6}})$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere ${(x + 5)}^{3}$ mit $1$ .

$f'' (x) = 40 (\frac{{(x + 5)}^{3} - x \frac{d}{d x} {(x + 5)}^{3}}{{(x + 5)}^{6}})$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = x + 5$ .

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Schritt 2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 5$ .

$f'' (x) = 40 (\frac{{(x + 5)}^{3} - x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x + 5))}{{(x + 5)}^{6}})$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f'' (x) = 40 (\frac{{(x + 5)}^{3} - x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x + 5))}{{(x + 5)}^{6}})$

Schritt 2.4.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 5$ .

$f'' (x) = 40 (\frac{{(x + 5)}^{3} - x (3 {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x + 5))}{{(x + 5)}^{6}})$

Schritt 2.5

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 40 (\frac{{(x + 5)}^{3} - 3 x ({(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x + 5))}{{(x + 5)}^{6}})$

Schritt 2.5.2

Faktorisiere ${(x + 5)}^{2}$ aus ${(x + 5)}^{3} - 3 x ({(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 5])$ heraus.

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Schritt 2.5.2.1

Faktorisiere ${(x + 5)}^{2}$ aus ${(x + 5)}^{3}$ heraus.

$f'' (x) = 40 (\frac{{(x + 5)}^{2} (x + 5) - 3 x ({(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x + 5))}{{(x + 5)}^{6}})$

Schritt 2.5.2.2

Faktorisiere ${(x + 5)}^{2}$ aus $- 3 x ({(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 5])$ heraus.

$f'' (x) = 40 (\frac{{(x + 5)}^{2} (x + 5) + {(x + 5)}^{2} (- 3 x (\frac{d}{d x} (x + 5)))}{{(x + 5)}^{6}})$

Schritt 2.5.2.3

Faktorisiere ${(x + 5)}^{2}$ aus ${(x + 5)}^{2} (x + 5) + {(x + 5)}^{2} (- 3 x (\frac{d}{d x} [x + 5]))$ heraus.

$f'' (x) = 40 (\frac{{(x + 5)}^{2} (x + 5 - 3 x (\frac{d}{d x} (x + 5)))}{{(x + 5)}^{6}})$

Schritt 2.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.6.1

Faktorisiere ${(x + 5)}^{2}$ aus ${(x + 5)}^{6}$ heraus.

$f'' (x) = 40 (\frac{{(x + 5)}^{2} (x + 5 - 3 x (\frac{d}{d x} (x + 5)))}{{(x + 5)}^{2} {(x + 5)}^{4}})$

Schritt 2.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = 40 (\frac{{(x + 5)}^{2} (x + 5 - 3 x (\frac{d}{d x} (x + 5)))}{{(x + 5)}^{2} {(x + 5)}^{4}})$

Schritt 2.6.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = 40 (\frac{x + 5 - 3 x (\frac{d}{d x} (x + 5))}{{(x + 5)}^{4}})$

Schritt 2.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$f'' (x) = 40 (\frac{x + 5 - 3 x (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (5))}{{(x + 5)}^{4}})$

Schritt 2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 40 (\frac{x + 5 - 3 x (1 + \frac{d}{d x} (5))}{{(x + 5)}^{4}})$

Schritt 2.9

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 40 (\frac{x + 5 - 3 x (1 + 0)}{{(x + 5)}^{4}})$

Schritt 2.10

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.10.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f'' (x) = 40 (\frac{x + 5 - 3 x \cdot 1}{{(x + 5)}^{4}})$

Schritt 2.10.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$f'' (x) = 40 (\frac{x + 5 - 3 x}{{(x + 5)}^{4}})$

Schritt 2.10.3

Subtrahiere $3 x$ von $x$ .

$f'' (x) = 40 (\frac{- 2 x + 5}{{(x + 5)}^{4}})$

Schritt 2.10.4

Kombiniere $40$ und $\frac{- 2 x + 5}{{(x + 5)}^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{40 (- 2 x + 5)}{{(x + 5)}^{4}}$

Schritt 2.11

Vereinfache.

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Schritt 2.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{40 (- 2 x) + 40 \cdot 5}{{(x + 5)}^{4}}$

Schritt 2.11.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.11.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $40$ .

$f'' (x) = \frac{- 80 x + 40 \cdot 5}{{(x + 5)}^{4}}$

Schritt 2.11.2.2

Mutltipliziere $40$ mit $5$ .

$f'' (x) = \frac{- 80 x + 200}{{(x + 5)}^{4}}$

Schritt 2.11.3

Faktorisiere $40$ aus $- 80 x + 200$ heraus.

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Schritt 2.11.3.1

Faktorisiere $40$ aus $- 80 x$ heraus.

$f'' (x) = \frac{40 (- 2 x) + 200}{{(x + 5)}^{4}}$

Schritt 2.11.3.2

Faktorisiere $40$ aus $200$ heraus.

$f'' (x) = \frac{40 (- 2 x) + 40 (5)}{{(x + 5)}^{4}}$

Schritt 2.11.3.3

Faktorisiere $40$ aus $40 (- 2 x) + 40 (5)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{40 (- 2 x + 5)}{{(x + 5)}^{4}}$

Schritt 2.11.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x$ heraus.

$f'' (x) = \frac{40 (- (2 x) + 5)}{{(x + 5)}^{4}}$

Schritt 2.11.5

Schreibe $5$ als $- 1 (- 5)$ um.

$f'' (x) = \frac{40 (- (2 x) - 1 \cdot - 5)}{{(x + 5)}^{4}}$

Schritt 2.11.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x) - 1 (- 5)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{40 (- (2 x - 5))}{{(x + 5)}^{4}}$

Schritt 2.11.7

Schreibe $- (2 x - 5)$ als $- 1 (2 x - 5)$ um.

$f'' (x) = \frac{40 (- 1 (2 x - 5))}{{(x + 5)}^{4}}$

Schritt 2.11.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{40 (2 x - 5)}{{(x + 5)}^{4}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{40 x}{{(x + 5)}^{3}} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 {(\frac{x}{x + 5})}^{2}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [{(\frac{x}{x + 5})}^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(\frac{x}{x + 5})}^{2}]$

Schritt 4.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \frac{x}{x + 5}$ .

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Schritt 4.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{x}{x + 5}$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 5}])$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 (2 u \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 5}])$

Schritt 4.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x}{x + 5}$ .

$4 (2 \frac{x}{x + 5} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 5}])$

Schritt 4.1.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.1.3.1

Kombiniere $2$ und $\frac{x}{x + 5}$ .

$4 (\frac{2 x}{x + 5} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 5}])$

Schritt 4.1.3.2

Kombiniere $\frac{2 x}{x + 5}$ und $4$ .

$\frac{2 x \cdot 4}{x + 5} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 5}]$

Schritt 4.1.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{8 x}{x + 5} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 5}]$

Schritt 4.1.4

$\frac{8 x}{x + 5} \cdot \frac{(x + 5) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}}$

Schritt 4.1.5

Differenziere.

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Schritt 4.1.5.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{8 x}{x + 5} \cdot \frac{(x + 5) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}}$

Schritt 4.1.5.2

Mutltipliziere $x + 5$ mit $1$ .

$\frac{8 x}{x + 5} \cdot \frac{x + 5 - x \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}}$

Schritt 4.1.5.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{8 x}{x + 5} \cdot \frac{x + 5 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])}{{(x + 5)}^{2}}$

Schritt 4.1.5.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{8 x}{x + 5} \cdot \frac{x + 5 - x (1 + \frac{d}{d x} [5])}{{(x + 5)}^{2}}$

Schritt 4.1.5.5

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{8 x}{x + 5} \cdot \frac{x + 5 - x (1 + 0)}{{(x + 5)}^{2}}$

Schritt 4.1.5.6

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1.5.6.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{8 x}{x + 5} \cdot \frac{x + 5 - x \cdot 1}{{(x + 5)}^{2}}$

Schritt 4.1.5.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{8 x}{x + 5} \cdot \frac{x + 5 - x}{{(x + 5)}^{2}}$

Schritt 4.1.5.6.3

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$\frac{8 x}{x + 5} \cdot \frac{0 + 5}{{(x + 5)}^{2}}$

Schritt 4.1.5.6.4

Addiere $0$ und $5$ .

$\frac{8 x}{x + 5} \cdot \frac{5}{{(x + 5)}^{2}}$

Schritt 4.1.5.6.5

Mutltipliziere $\frac{8 x}{x + 5}$ mit $\frac{5}{{(x + 5)}^{2}}$ .

$\frac{8 x \cdot 5}{(x + 5) {(x + 5)}^{2}}$

Schritt 4.1.5.6.6

Mutltipliziere $5$ mit $8$ .

$\frac{40 x}{(x + 5) {(x + 5)}^{2}}$

Schritt 4.1.6

Multipliziere $x + 5$ mit ${(x + 5)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.6.1

Mutltipliziere $x + 5$ mit ${(x + 5)}^{2}$ .

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Schritt 4.1.6.1.1

Potenziere $x + 5$ mit $1$ .

$\frac{40 x}{{(x + 5)}^{1} {(x + 5)}^{2}}$

Schritt 4.1.6.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{40 x}{{(x + 5)}^{1 + 2}}$

Schritt 4.1.6.2

Addiere $1$ und $2$ .

$f' (x) = \frac{40 x}{{(x + 5)}^{3}}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{40 x}{{(x + 5)}^{3}}$ .

$\frac{40 x}{{(x + 5)}^{3}}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{40 x}{{(x + 5)}^{3}} = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{40 x}{{(x + 5)}^{3}} = 0$

Schritt 5.2

Setze den Zähler gleich Null.

$40 x = 0$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $40 x = 0$ durch $40$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $40 x = 0$ durch $40$ .

$\frac{40 x}{40} = \frac{0}{40}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $40$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{40 x}{40} = \frac{0}{40}$

Schritt 5.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{40}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Dividiere $0$ durch $40$ .

$x = 0$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Setze den Nenner in $\frac{40 x}{{(x + 5)}^{3}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(x + 5)}^{3} = 0$

Schritt 6.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Setze $x + 5$ gleich $0$ .

$x + 5 = 0$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 0$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \frac{40 (2 (0) - 5)}{{((0) + 5)}^{4}}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$- \frac{40 (0 - 5)}{{(0 + 5)}^{4}}$

Schritt 9.1.2

Subtrahiere $5$ von $0$ .

$- \frac{40 \cdot - 5}{{(0 + 5)}^{4}}$

Schritt 9.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.2.1

Addiere $0$ und $5$ .

$- \frac{40 \cdot - 5}{5^{4}}$

Schritt 9.2.2

Potenziere $5$ mit $4$ .

$- \frac{40 \cdot - 5}{625}$

Schritt 9.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.3.1

Mutltipliziere $40$ mit $- 5$ .

$- \frac{- 200}{625}$

Schritt 9.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 200$ und $625$ .

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Schritt 9.3.2.1

Faktorisiere $25$ aus $- 200$ heraus.

$- \frac{25 (- 8)}{625}$

Schritt 9.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.3.2.2.1

Faktorisiere $25$ aus $625$ heraus.

$- \frac{25 \cdot - 8}{25 \cdot 25}$

Schritt 9.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{25 \cdot - 8}{25 \cdot 25}$

Schritt 9.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{- 8}{25}$

Schritt 9.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- - \frac{8}{25}$

Schritt 9.4

Multipliziere $- - \frac{8}{25}$ .

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Schritt 9.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (\frac{8}{25})$

Schritt 9.4.2

Mutltipliziere $\frac{8}{25}$ mit $1$ .

$\frac{8}{25}$

Schritt 10

$x = 0$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 0$ ist ein lokales Minimum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 0$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = 4 {(\frac{0}{(0) + 5})}^{2}$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $(0) + 5$ .

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Schritt 11.2.1.1

Faktorisiere $5$ aus $0$ heraus.

$f (0) = 4 {(\frac{5 (0)}{(0) + 5})}^{2}$

Schritt 11.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.2.1.2.1

Faktorisiere $5$ aus $0$ heraus.

$f (0) = 4 {(\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 0 + 5})}^{2}$

Schritt 11.2.1.2.2

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$f (0) = 4 {(\frac{5 (0)}{5 \cdot 0 + 5 \cdot 1})}^{2}$

Schritt 11.2.1.2.3

Faktorisiere $5$ aus $5 \cdot 0 + 5 \cdot 1$ heraus.

$f (0) = 4 {(\frac{5 (0)}{5 \cdot (0 + 1)})}^{2}$

Schritt 11.2.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (0) = 4 {(\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot (0 + 1)})}^{2}$

Schritt 11.2.1.2.5

Forme den Ausdruck um.

$f (0) = 4 {(\frac{0}{0 + 1})}^{2}$

Schritt 11.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 11.2.2.1

Addiere $0$ und $1$ .

$f (0) = 4 {(\frac{0}{1})}^{2}$

Schritt 11.2.2.2

Dividiere $0$ durch $1$ .

$f (0) = 4 \cdot 0^{2}$

Schritt 11.2.2.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 4 \cdot 0$

Schritt 11.2.2.4

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$f (0) = 0$

Schritt 11.2.3

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$y = 0$

Schritt 12

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = 4 {(\frac{x}{x + 5})}^{2}$ .

$(0, 0)$ ist ein lokales Minimum

Schritt 13