Analysis Beispiele

$f (x) = 3 x - \ln (x)$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x - \ln (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \ln (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$3 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 1.3.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$3 - \frac{1}{x}$

Schritt 1.4

Stelle die Terme um.

$- \frac{1}{x} + 3$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- \frac{1}{x} + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (3)$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = - 1$ und $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (3)$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} x^{- 1} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (3)$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f'' (x) = x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (3)$

Schritt 2.2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (3)$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (3)$

Schritt 2.2.6

Mutltipliziere $x^{- 2}$ mit $1$ .

$f'' (x) = x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (3)$

Schritt 2.2.7

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $0$ .

$f'' (x) = x^{- 2} + 0 + \frac{d}{d x} (3)$

Schritt 2.2.8

Addiere $x^{- 2}$ und $0$ .

$f'' (x) = x^{- 2} + \frac{d}{d x} (3)$

Schritt 2.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = x^{- 2} + 0$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{x^{2}} + 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $\frac{1}{x^{2}}$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- \frac{1}{x} + 3 = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x - \ln (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Schritt 4.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Schritt 4.1.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Schritt 4.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Schritt 4.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

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Schritt 4.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \ln (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$3 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 4.1.3.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$3 - \frac{1}{x}$

Schritt 4.1.4

Stelle die Terme um.

$f' (x) = - \frac{1}{x} + 3$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{1}{x} + 3$ .

$- \frac{1}{x} + 3$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{1}{x} + 3 = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{1}{x} + 3 = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{1}{x} = - 3$

Schritt 5.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 5.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x, 1$

Schritt 5.3.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x$

Schritt 5.4

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{x} = - 3$ mit $x$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 5.4.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{x} = - 3$ mit $x$ .

$- \frac{1}{x} x = - 3 x$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{x}$ in den Zähler.

$\frac{- 1}{x} x = - 3 x$

Schritt 5.4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{x} x = - 3 x$

Schritt 5.4.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 1 = - 3 x$

Schritt 5.5

Löse die Gleichung.

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Schritt 5.5.1

Schreibe die Gleichung als $- 3 x = - 1$ um.

$- 3 x = - 1$

Schritt 5.5.2

Teile jeden Ausdruck in $- 3 x = - 1$ durch $- 3$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3 x = - 1$ durch $- 3$ .

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Schritt 5.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

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Schritt 5.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Schritt 5.5.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 3}$

Schritt 5.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{1}{3}$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Setze den Nenner in $\frac{1}{x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = 0$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = \frac{1}{3}$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{1}{3}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{1}{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{3}$ an.

$\frac{1}{\frac{1^{2}}{3^{2}}}$

Schritt 9.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{\frac{1}{3^{2}}}$

Schritt 9.1.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{1}{\frac{1}{9}}$

Schritt 9.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$1 \cdot 9$

Schritt 9.3

Mutltipliziere $9$ mit $1$ .

$9$

Schritt 10

$x = \frac{1}{3}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{1}{3}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{1}{3}$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = 3 (\frac{1}{3}) - \ln (\frac{1}{3})$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 11.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{1}{3}) = 3 (\frac{1}{3}) - \ln (\frac{1}{3})$

Schritt 11.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{1}{3}) = 1 - \ln (\frac{1}{3})$

Schritt 11.2.2

Die endgültige Lösung ist $1 - \ln (\frac{1}{3})$ .

$y = 1 - \ln (\frac{1}{3})$

Schritt 12

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = 3 x - \ln (x)$ .

$(\frac{1}{3}, 1 - \ln (\frac{1}{3}))$ ist ein lokales Minimum

Schritt 13