Analysis Beispiele

$f (x) = 4 x^{\frac{3}{11}} - x^{\frac{4}{11}}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{\frac{3}{11}} - x^{\frac{4}{11}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{3}{11}}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{4}{11}}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{3}{11}}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{4}{11}}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{3}{11}}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{\frac{3}{11}}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{11}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{11}}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{4}{11}}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{3}{11}$ .

$4 (\frac{3}{11} x^{\frac{3}{11} - 1}) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{4}{11}}]$

Schritt 1.2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{11}{11}$ .

$4 (\frac{3}{11} x^{\frac{3}{11} - 1 \cdot \frac{11}{11}}) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{4}{11}}]$

Schritt 1.2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{11}{11}$ .

$4 (\frac{3}{11} x^{\frac{3}{11} + \frac{- 1 \cdot 11}{11}}) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{4}{11}}]$

Schritt 1.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 (\frac{3}{11} x^{\frac{3 - 1 \cdot 11}{11}}) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{4}{11}}]$

Schritt 1.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $11$ .

$4 (\frac{3}{11} x^{\frac{3 - 11}{11}}) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{4}{11}}]$

Schritt 1.2.6.2

Subtrahiere $11$ von $3$ .

$4 (\frac{3}{11} x^{\frac{- 8}{11}}) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{4}{11}}]$

Schritt 1.2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$4 (\frac{3}{11} x^{- \frac{8}{11}}) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{4}{11}}]$

Schritt 1.2.8

Kombiniere $\frac{3}{11}$ und $x^{- \frac{8}{11}}$ .

$4 \frac{3 x^{- \frac{8}{11}}}{11} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{4}{11}}]$

Schritt 1.2.9

Kombiniere $4$ und $\frac{3 x^{- \frac{8}{11}}}{11}$ .

$\frac{4 (3 x^{- \frac{8}{11}})}{11} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{4}{11}}]$

Schritt 1.2.10

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{12 x^{- \frac{8}{11}}}{11} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{4}{11}}]$

Schritt 1.2.11

Bringe $x^{- \frac{8}{11}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{12}{11 x^{\frac{8}{11}}} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{4}{11}}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{4}{11}}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{\frac{4}{11}}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{11}}]$ .

$\frac{12}{11 x^{\frac{8}{11}}} - \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{11}}]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{4}{11}$ .

$\frac{12}{11 x^{\frac{8}{11}}} - (\frac{4}{11} x^{\frac{4}{11} - 1})$

Schritt 1.3.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{11}{11}$ .

$\frac{12}{11 x^{\frac{8}{11}}} - (\frac{4}{11} x^{\frac{4}{11} - 1 \cdot \frac{11}{11}})$

Schritt 1.3.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{11}{11}$ .

$\frac{12}{11 x^{\frac{8}{11}}} - (\frac{4}{11} x^{\frac{4}{11} + \frac{- 1 \cdot 11}{11}})$

Schritt 1.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{12}{11 x^{\frac{8}{11}}} - (\frac{4}{11} x^{\frac{4 - 1 \cdot 11}{11}})$

Schritt 1.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $11$ .

$\frac{12}{11 x^{\frac{8}{11}}} - (\frac{4}{11} x^{\frac{4 - 11}{11}})$

Schritt 1.3.6.2

Subtrahiere $11$ von $4$ .

$\frac{12}{11 x^{\frac{8}{11}}} - (\frac{4}{11} x^{\frac{- 7}{11}})$

Schritt 1.3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{12}{11 x^{\frac{8}{11}}} - (\frac{4}{11} x^{- \frac{7}{11}})$

Schritt 1.3.8

Kombiniere $\frac{4}{11}$ und $x^{- \frac{7}{11}}$ .

$\frac{12}{11 x^{\frac{8}{11}}} - \frac{4 x^{- \frac{7}{11}}}{11}$

Schritt 1.3.9

Bringe $x^{- \frac{7}{11}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{12}{11 x^{\frac{8}{11}}} - \frac{4}{11 x^{\frac{7}{11}}}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{12}{11 x^{\frac{8}{11}}} - \frac{4}{11 x^{\frac{7}{11}}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{12}{11 x^{\frac{8}{11}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{11 x^{\frac{7}{11}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{12}{11 x^{\frac{8}{11}}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{11 x^{\frac{7}{11}}})$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{12}{11 x^{\frac{8}{11}}}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $\frac{12}{11}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{12}{11 x^{\frac{8}{11}}}$ nach $x$ gleich $\frac{12}{11} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{8}{11}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{8}{11}}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{11 x^{\frac{7}{11}}})$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{8}{11}}}$ als ${(x^{\frac{8}{11}})}^{- 1}$ um.

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{8}{11}})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{11 x^{\frac{7}{11}}})$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{\frac{8}{11}}$ .

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Schritt 2.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x^{\frac{8}{11}}$ .

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{8}{11}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{11 x^{\frac{7}{11}}})$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{8}{11}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{11 x^{\frac{7}{11}}})$

Schritt 2.2.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{\frac{8}{11}}$ .

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot (- {(x^{\frac{8}{11}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{8}{11}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{11 x^{\frac{7}{11}}})$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{8}{11}$ .

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot (- {(x^{\frac{8}{11}})}^{- 2} (\frac{8}{11} x^{\frac{8}{11} - 1})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{11 x^{\frac{7}{11}}})$

Schritt 2.2.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{8}{11}})}^{- 2}$ .

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Schritt 2.2.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot (- x^{\frac{8}{11} \cdot - 2} (\frac{8}{11} x^{\frac{8}{11} - 1})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{11 x^{\frac{7}{11}}})$

Schritt 2.2.5.2

Multipliziere $\frac{8}{11} \cdot - 2$ .

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Schritt 2.2.5.2.1

Kombiniere $\frac{8}{11}$ und $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot (- x^{\frac{8 \cdot - 2}{11}} (\frac{8}{11} x^{\frac{8}{11} - 1})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{11 x^{\frac{7}{11}}})$

Schritt 2.2.5.2.2

Mutltipliziere $8$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot (- x^{\frac{- 16}{11}} (\frac{8}{11} x^{\frac{8}{11} - 1})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{11 x^{\frac{7}{11}}})$

Schritt 2.2.5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot (- x^{- \frac{16}{11}} (\frac{8}{11} x^{\frac{8}{11} - 1})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{11 x^{\frac{7}{11}}})$

Schritt 2.2.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{11}{11}$ .

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot (- x^{- \frac{16}{11}} (\frac{8}{11} x^{\frac{8}{11} - 1 \cdot \frac{11}{11}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{11 x^{\frac{7}{11}}})$

Schritt 2.2.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{11}{11}$ .

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot (- x^{- \frac{16}{11}} (\frac{8}{11} x^{\frac{8}{11} + \frac{- 1 \cdot 11}{11}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{11 x^{\frac{7}{11}}})$

Schritt 2.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot (- x^{- \frac{16}{11}} (\frac{8}{11} x^{\frac{8 - 1 \cdot 11}{11}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{11 x^{\frac{7}{11}}})$

Schritt 2.2.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $11$ .

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot (- x^{- \frac{16}{11}} (\frac{8}{11} x^{\frac{8 - 11}{11}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{11 x^{\frac{7}{11}}})$

Schritt 2.2.9.2

Subtrahiere $11$ von $8$ .

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot (- x^{- \frac{16}{11}} (\frac{8}{11} x^{\frac{- 3}{11}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{11 x^{\frac{7}{11}}})$

Schritt 2.2.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot (- x^{- \frac{16}{11}} (\frac{8}{11} x^{- \frac{3}{11}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{11 x^{\frac{7}{11}}})$

Schritt 2.2.11

Kombiniere $\frac{8}{11}$ und $x^{- \frac{3}{11}}$ .

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot (- x^{- \frac{16}{11}} \frac{8 x^{- \frac{3}{11}}}{11}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{11 x^{\frac{7}{11}}})$

Schritt 2.2.12

Kombiniere $\frac{8 x^{- \frac{3}{11}}}{11}$ und $x^{- \frac{16}{11}}$ .

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot (- \frac{8 x^{- \frac{3}{11}} x^{- \frac{16}{11}}}{11}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{11 x^{\frac{7}{11}}})$

Schritt 2.2.13

Multipliziere $x^{- \frac{3}{11}}$ mit $x^{- \frac{16}{11}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.13.1

Bewege $x^{- \frac{16}{11}}$ .

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot (- \frac{8 (x^{- \frac{16}{11}} x^{- \frac{3}{11}})}{11}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{11 x^{\frac{7}{11}}})$

Schritt 2.2.13.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot (- \frac{8 x^{- \frac{16}{11} - \frac{3}{11}}}{11}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{11 x^{\frac{7}{11}}})$

Schritt 2.2.13.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot (- \frac{8 x^{\frac{- 16 - 3}{11}}}{11}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{11 x^{\frac{7}{11}}})$

Schritt 2.2.13.4

Subtrahiere $3$ von $- 16$ .

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot (- \frac{8 x^{\frac{- 19}{11}}}{11}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{11 x^{\frac{7}{11}}})$

Schritt 2.2.13.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot (- \frac{8 x^{- \frac{19}{11}}}{11}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{11 x^{\frac{7}{11}}})$

Schritt 2.2.14

Bringe $x^{- \frac{19}{11}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot (- \frac{8}{11 x^{\frac{19}{11}}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{11 x^{\frac{7}{11}}})$

Schritt 2.2.15

Mutltipliziere $\frac{12}{11}$ mit $\frac{8}{11 x^{\frac{19}{11}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{12 \cdot 8}{11 (11 x^{\frac{19}{11}})} + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{11 x^{\frac{7}{11}}})$

Schritt 2.2.16

Mutltipliziere $12$ mit $8$ .

$f'' (x) = - \frac{96}{11 (11 x^{\frac{19}{11}})} + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{11 x^{\frac{7}{11}}})$

Schritt 2.2.17

Mutltipliziere $11$ mit $11$ .

$f'' (x) = - \frac{96}{121 x^{\frac{19}{11}}} + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{11 x^{\frac{7}{11}}})$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{4}{11 x^{\frac{7}{11}}}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- \frac{4}{11}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{4}{11 x^{\frac{7}{11}}}$ nach $x$ gleich $- \frac{4}{11} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{7}{11}}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{96}{121 x^{\frac{19}{11}}} - \frac{4}{11} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{7}{11}}}$

Schritt 2.3.2

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{7}{11}}}$ als ${(x^{\frac{7}{11}})}^{- 1}$ um.

$f'' (x) = - \frac{96}{121 x^{\frac{19}{11}}} - \frac{4}{11} \cdot \frac{d}{d x} {(x^{\frac{7}{11}})}^{- 1}$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{\frac{7}{11}}$ .

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Schritt 2.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x^{\frac{7}{11}}$ .

$f'' (x) = - \frac{96}{121 x^{\frac{19}{11}}} - \frac{4}{11} \cdot (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{7}{11}}))$

Schritt 2.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f'' (x) = - \frac{96}{121 x^{\frac{19}{11}}} - \frac{4}{11} \cdot (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{7}{11}})$

Schritt 2.3.3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x^{\frac{7}{11}}$ .

$f'' (x) = - \frac{96}{121 x^{\frac{19}{11}}} - \frac{4}{11} \cdot (- {(x^{\frac{7}{11}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{7}{11}})$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{7}{11}$ .

$f'' (x) = - \frac{96}{121 x^{\frac{19}{11}}} - \frac{4}{11} \cdot (- {(x^{\frac{7}{11}})}^{- 2} (\frac{7}{11} x^{\frac{7}{11} - 1}))$

Schritt 2.3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{7}{11}})}^{- 2}$ .

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Schritt 2.3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{96}{121 x^{\frac{19}{11}}} - \frac{4}{11} \cdot (- x^{\frac{7}{11} \cdot - 2} (\frac{7}{11} x^{\frac{7}{11} - 1}))$

Schritt 2.3.5.2

Multipliziere $\frac{7}{11} \cdot - 2$ .

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Schritt 2.3.5.2.1

Kombiniere $\frac{7}{11}$ und $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{96}{121 x^{\frac{19}{11}}} - \frac{4}{11} \cdot (- x^{\frac{7 \cdot - 2}{11}} (\frac{7}{11} x^{\frac{7}{11} - 1}))$

Schritt 2.3.5.2.2

Mutltipliziere $7$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{96}{121 x^{\frac{19}{11}}} - \frac{4}{11} \cdot (- x^{\frac{- 14}{11}} (\frac{7}{11} x^{\frac{7}{11} - 1}))$

Schritt 2.3.5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{96}{121 x^{\frac{19}{11}}} - \frac{4}{11} \cdot (- x^{- \frac{14}{11}} (\frac{7}{11} x^{\frac{7}{11} - 1}))$

Schritt 2.3.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{11}{11}$ .

$f'' (x) = - \frac{96}{121 x^{\frac{19}{11}}} - \frac{4}{11} \cdot (- x^{- \frac{14}{11}} (\frac{7}{11} x^{\frac{7}{11} - 1 \cdot \frac{11}{11}}))$

Schritt 2.3.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{11}{11}$ .

$f'' (x) = - \frac{96}{121 x^{\frac{19}{11}}} - \frac{4}{11} \cdot (- x^{- \frac{14}{11}} (\frac{7}{11} x^{\frac{7}{11} + \frac{- 1 \cdot 11}{11}}))$

Schritt 2.3.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = - \frac{96}{121 x^{\frac{19}{11}}} - \frac{4}{11} \cdot (- x^{- \frac{14}{11}} (\frac{7}{11} x^{\frac{7 - 1 \cdot 11}{11}}))$

Schritt 2.3.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $11$ .

$f'' (x) = - \frac{96}{121 x^{\frac{19}{11}}} - \frac{4}{11} \cdot (- x^{- \frac{14}{11}} (\frac{7}{11} x^{\frac{7 - 11}{11}}))$

Schritt 2.3.9.2

Subtrahiere $11$ von $7$ .

$f'' (x) = - \frac{96}{121 x^{\frac{19}{11}}} - \frac{4}{11} \cdot (- x^{- \frac{14}{11}} (\frac{7}{11} x^{\frac{- 4}{11}}))$

Schritt 2.3.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{96}{121 x^{\frac{19}{11}}} - \frac{4}{11} \cdot (- x^{- \frac{14}{11}} (\frac{7}{11} x^{- \frac{4}{11}}))$

Schritt 2.3.11

Kombiniere $\frac{7}{11}$ und $x^{- \frac{4}{11}}$ .

$f'' (x) = - \frac{96}{121 x^{\frac{19}{11}}} - \frac{4}{11} \cdot (- x^{- \frac{14}{11}} \frac{7 x^{- \frac{4}{11}}}{11})$

Schritt 2.3.12

Kombiniere $\frac{7 x^{- \frac{4}{11}}}{11}$ und $x^{- \frac{14}{11}}$ .

$f'' (x) = - \frac{96}{121 x^{\frac{19}{11}}} - \frac{4}{11} \cdot (- \frac{7 x^{- \frac{4}{11}} x^{- \frac{14}{11}}}{11})$

Schritt 2.3.13

Multipliziere $x^{- \frac{4}{11}}$ mit $x^{- \frac{14}{11}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.13.1

Bewege $x^{- \frac{14}{11}}$ .

$f'' (x) = - \frac{96}{121 x^{\frac{19}{11}}} - \frac{4}{11} \cdot (- \frac{7 (x^{- \frac{14}{11}} x^{- \frac{4}{11}})}{11})$

Schritt 2.3.13.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - \frac{96}{121 x^{\frac{19}{11}}} - \frac{4}{11} \cdot (- \frac{7 x^{- \frac{14}{11} - \frac{4}{11}}}{11})$

Schritt 2.3.13.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = - \frac{96}{121 x^{\frac{19}{11}}} - \frac{4}{11} \cdot (- \frac{7 x^{\frac{- 14 - 4}{11}}}{11})$

Schritt 2.3.13.4

Subtrahiere $4$ von $- 14$ .

$f'' (x) = - \frac{96}{121 x^{\frac{19}{11}}} - \frac{4}{11} \cdot (- \frac{7 x^{\frac{- 18}{11}}}{11})$

Schritt 2.3.13.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{96}{121 x^{\frac{19}{11}}} - \frac{4}{11} \cdot (- \frac{7 x^{- \frac{18}{11}}}{11})$

Schritt 2.3.14

Bringe $x^{- \frac{18}{11}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{96}{121 x^{\frac{19}{11}}} - \frac{4}{11} \cdot (- \frac{7}{11 x^{\frac{18}{11}}})$

Schritt 2.3.15

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{96}{121 x^{\frac{19}{11}}} + 1 (\frac{4}{11}) \cdot \frac{7}{11 x^{\frac{18}{11}}}$

Schritt 2.3.16

Mutltipliziere $\frac{4}{11}$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{96}{121 x^{\frac{19}{11}}} + \frac{4}{11} \cdot \frac{7}{11 x^{\frac{18}{11}}}$

Schritt 2.3.17

Mutltipliziere $\frac{4}{11}$ mit $\frac{7}{11 x^{\frac{18}{11}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{96}{121 x^{\frac{19}{11}}} + \frac{4 \cdot 7}{11 (11 x^{\frac{18}{11}})}$

Schritt 2.3.18

Mutltipliziere $4$ mit $7$ .

$f'' (x) = - \frac{96}{121 x^{\frac{19}{11}}} + \frac{28}{11 (11 x^{\frac{18}{11}})}$

Schritt 2.3.19

Mutltipliziere $11$ mit $11$ .

$f'' (x) = - \frac{96}{121 x^{\frac{19}{11}}} + \frac{28}{121 x^{\frac{18}{11}}}$

Schritt 2.4

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = \frac{28}{121 x^{\frac{18}{11}}} - \frac{96}{121 x^{\frac{19}{11}}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{12}{11 x^{\frac{8}{11}}} - \frac{4}{11 x^{\frac{7}{11}}} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{\frac{3}{11}} - x^{\frac{4}{11}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{3}{11}}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{4}{11}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{\frac{3}{11}}) + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{4}{11}})$

Schritt 4.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{3}{11}}]$ .

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Schritt 4.1.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{\frac{3}{11}}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{11}}]$ .

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{11}}) + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{4}{11}})$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{3}{11}$ .

$f' (x) = 4 (\frac{3}{11} x^{\frac{3}{11} - 1}) + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{4}{11}})$

Schritt 4.1.2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{11}{11}$ .

$f' (x) = 4 (\frac{3}{11} x^{\frac{3}{11} - 1 \cdot \frac{11}{11}}) + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{4}{11}})$

Schritt 4.1.2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{11}{11}$ .

$f' (x) = 4 (\frac{3}{11} x^{\frac{3}{11} + \frac{- 1 \cdot 11}{11}}) + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{4}{11}})$

Schritt 4.1.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = 4 (\frac{3}{11} x^{\frac{3 - 1 \cdot 11}{11}}) + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{4}{11}})$

Schritt 4.1.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $11$ .

$f' (x) = 4 (\frac{3}{11} x^{\frac{3 - 11}{11}}) + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{4}{11}})$

Schritt 4.1.2.6.2

Subtrahiere $11$ von $3$ .

$f' (x) = 4 (\frac{3}{11} x^{\frac{- 8}{11}}) + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{4}{11}})$

Schritt 4.1.2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = 4 (\frac{3}{11} x^{- \frac{8}{11}}) + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{4}{11}})$

Schritt 4.1.2.8

Kombiniere $\frac{3}{11}$ und $x^{- \frac{8}{11}}$ .

$f' (x) = 4 (\frac{3 x^{- \frac{8}{11}}}{11}) + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{4}{11}})$

Schritt 4.1.2.9

Kombiniere $4$ und $\frac{3 x^{- \frac{8}{11}}}{11}$ .

$f' (x) = \frac{4 (3 x^{- \frac{8}{11}})}{11} + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{4}{11}})$

Schritt 4.1.2.10

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$f' (x) = \frac{12 x^{- \frac{8}{11}}}{11} + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{4}{11}})$

Schritt 4.1.2.11

Bringe $x^{- \frac{8}{11}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{12}{11 x^{\frac{8}{11}}} + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{4}{11}})$

Schritt 4.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{4}{11}}]$ .

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Schritt 4.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{\frac{4}{11}}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{11}}]$ .

$f' (x) = \frac{12}{11 x^{\frac{8}{11}}} - \frac{d}{d x} x^{\frac{4}{11}}$

Schritt 4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{4}{11}$ .

$f' (x) = \frac{12}{11 x^{\frac{8}{11}}} - (\frac{4}{11} x^{\frac{4}{11} - 1})$

Schritt 4.1.3.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{11}{11}$ .

$f' (x) = \frac{12}{11 x^{\frac{8}{11}}} - (\frac{4}{11} x^{\frac{4}{11} - 1 \cdot \frac{11}{11}})$

Schritt 4.1.3.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{11}{11}$ .

$f' (x) = \frac{12}{11 x^{\frac{8}{11}}} - (\frac{4}{11} x^{\frac{4}{11} + \frac{- 1 \cdot 11}{11}})$

Schritt 4.1.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = \frac{12}{11 x^{\frac{8}{11}}} - (\frac{4}{11} x^{\frac{4 - 1 \cdot 11}{11}})$

Schritt 4.1.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $11$ .

$f' (x) = \frac{12}{11 x^{\frac{8}{11}}} - (\frac{4}{11} x^{\frac{4 - 11}{11}})$

Schritt 4.1.3.6.2

Subtrahiere $11$ von $4$ .

$f' (x) = \frac{12}{11 x^{\frac{8}{11}}} - (\frac{4}{11} x^{\frac{- 7}{11}})$

Schritt 4.1.3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = \frac{12}{11 x^{\frac{8}{11}}} - (\frac{4}{11} x^{- \frac{7}{11}})$

Schritt 4.1.3.8

Kombiniere $\frac{4}{11}$ und $x^{- \frac{7}{11}}$ .

$f' (x) = \frac{12}{11 x^{\frac{8}{11}}} - \frac{4 x^{- \frac{7}{11}}}{11}$

Schritt 4.1.3.9

Bringe $x^{- \frac{7}{11}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{12}{11 x^{\frac{8}{11}}} - \frac{4}{11 x^{\frac{7}{11}}}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{12}{11 x^{\frac{8}{11}}} - \frac{4}{11 x^{\frac{7}{11}}}$ .

$\frac{12}{11 x^{\frac{8}{11}}} - \frac{4}{11 x^{\frac{7}{11}}}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{12}{11 x^{\frac{8}{11}}} - \frac{4}{11 x^{\frac{7}{11}}} = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{12}{11 x^{\frac{8}{11}}} - \frac{4}{11 x^{\frac{7}{11}}} = 0$

Schritt 5.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$11 x^{\frac{8}{11}}, 11 x^{\frac{7}{11}}, 1$

Schritt 5.2.2

Since $11 x^{\frac{8}{11}}, 11 x^{\frac{7}{11}}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $11, 11, 1$ then find LCM for the variable part $x^{\frac{8}{11}}, x^{\frac{7}{11}}$ .

Schritt 5.2.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 5.2.4

Da $11$ keine Teiler außer $1$ und $11$ hat.

$11$ ist eine Primzahl

Schritt 5.2.5

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 5.2.6

Das kgV von $11, 11, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$11$

Schritt 5.2.7

Das kgV von $x^{\frac{8}{11}}, x^{\frac{7}{11}}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$x^{\frac{8}{11}}$

Schritt 5.2.8

Das kgV von $11 x^{\frac{8}{11}}, 11 x^{\frac{7}{11}}, 1$ ist der numerische Teil $11$ multipliziert mit dem variablen Teil.

$11 x^{\frac{8}{11}}$

Schritt 5.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{12}{11 x^{\frac{8}{11}}} - \frac{4}{11 x^{\frac{7}{11}}} = 0$ mit $11 x^{\frac{8}{11}}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 5.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{12}{11 x^{\frac{8}{11}}} - \frac{4}{11 x^{\frac{7}{11}}} = 0$ mit $11 x^{\frac{8}{11}}$ .

$\frac{12}{11 x^{\frac{8}{11}}} (11 x^{\frac{8}{11}}) - \frac{4}{11 x^{\frac{7}{11}}} (11 x^{\frac{8}{11}}) = 0 (11 x^{\frac{8}{11}})$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$11 \frac{12}{11 x^{\frac{8}{11}}} x^{\frac{8}{11}} - \frac{4}{11 x^{\frac{7}{11}}} (11 x^{\frac{8}{11}}) = 0 (11 x^{\frac{8}{11}})$

Schritt 5.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $11$ .

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Schritt 5.3.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$11 \frac{12}{11 x^{\frac{8}{11}}} x^{\frac{8}{11}} - \frac{4}{11 x^{\frac{7}{11}}} (11 x^{\frac{8}{11}}) = 0 (11 x^{\frac{8}{11}})$

Schritt 5.3.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{12}{x^{\frac{8}{11}}} x^{\frac{8}{11}} - \frac{4}{11 x^{\frac{7}{11}}} (11 x^{\frac{8}{11}}) = 0 (11 x^{\frac{8}{11}})$

Schritt 5.3.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{\frac{8}{11}}$ .

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Schritt 5.3.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12}{x^{\frac{8}{11}}} x^{\frac{8}{11}} - \frac{4}{11 x^{\frac{7}{11}}} (11 x^{\frac{8}{11}}) = 0 (11 x^{\frac{8}{11}})$

Schritt 5.3.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$12 - \frac{4}{11 x^{\frac{7}{11}}} (11 x^{\frac{8}{11}}) = 0 (11 x^{\frac{8}{11}})$

Schritt 5.3.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{\frac{7}{11}} \cdot 11$ .

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Schritt 5.3.2.1.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{4}{11 x^{\frac{7}{11}}}$ in den Zähler.

$12 + \frac{- 4}{11 x^{\frac{7}{11}}} (11 x^{\frac{8}{11}}) = 0 (11 x^{\frac{8}{11}})$

Schritt 5.3.2.1.4.2

Faktorisiere $x^{\frac{7}{11}} \cdot 11$ aus $11 x^{\frac{7}{11}}$ heraus.

$12 + \frac{- 4}{x^{\frac{7}{11}} \cdot 11 (1)} (11 x^{\frac{8}{11}}) = 0 (11 x^{\frac{8}{11}})$

Schritt 5.3.2.1.4.3

Faktorisiere $x^{\frac{7}{11}} \cdot 11$ aus $11 x^{\frac{8}{11}}$ heraus.

$12 + \frac{- 4}{x^{\frac{7}{11}} \cdot 11 (1)} (x^{\frac{7}{11}} \cdot 11 (x^{\frac{1}{11}})) = 0 (11 x^{\frac{8}{11}})$

Schritt 5.3.2.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$12 + \frac{- 4}{x^{\frac{7}{11}} \cdot 11 \cdot 1} (x^{\frac{7}{11}} \cdot 11 x^{\frac{1}{11}}) = 0 (11 x^{\frac{8}{11}})$

Schritt 5.3.2.1.4.5

Forme den Ausdruck um.

$12 - 4 x^{\frac{1}{11}} = 0 (11 x^{\frac{8}{11}})$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Multipliziere $0 (11 x^{\frac{8}{11}})$ .

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Schritt 5.3.3.1.1

Mutltipliziere $11$ mit $0$ .

$12 - 4 x^{\frac{1}{11}} = 0 x^{\frac{8}{11}}$

Schritt 5.3.3.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $x^{\frac{8}{11}}$ .

$12 - 4 x^{\frac{1}{11}} = 0$

Schritt 5.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 5.4.1

Subtrahiere $12$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 x^{\frac{1}{11}} = - 12$

Schritt 5.4.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $11$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(- 4 x^{\frac{1}{11}})}^{11} = {(- 12)}^{11}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 5.4.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.3.1.1

Vereinfache ${(- 4 x^{\frac{1}{11}})}^{11}$ .

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Schritt 5.4.3.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- 4 x^{\frac{1}{11}}$ an.

${(- 4)}^{11} {(x^{\frac{1}{11}})}^{11} = {(- 12)}^{11}$

Schritt 5.4.3.1.1.2

Potenziere $- 4$ mit $11$ .

$- 4194304 {(x^{\frac{1}{11}})}^{11} = {(- 12)}^{11}$

Schritt 5.4.3.1.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{11}})}^{11}$ .

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Schritt 5.4.3.1.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4194304 x^{\frac{1}{11} \cdot 11} = {(- 12)}^{11}$

Schritt 5.4.3.1.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $11$ .

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Schritt 5.4.3.1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 4194304 x^{\frac{1}{11} \cdot 11} = {(- 12)}^{11}$

Schritt 5.4.3.1.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$- 4194304 x^{1} = {(- 12)}^{11}$

Schritt 5.4.3.1.1.4

Vereinfache.

$- 4194304 x = {(- 12)}^{11}$

Schritt 5.4.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.2.1

Potenziere $- 12$ mit $11$ .

$- 4194304 x = - 743008370688$

Schritt 5.4.4

Teile jeden Ausdruck in $- 4194304 x = - 743008370688$ durch $- 4194304$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $- 4194304 x = - 743008370688$ durch $- 4194304$ .

$\frac{- 4194304 x}{- 4194304} = \frac{- 743008370688}{- 4194304}$

Schritt 5.4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4194304$ .

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Schritt 5.4.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4194304 x}{- 4194304} = \frac{- 743008370688}{- 4194304}$

Schritt 5.4.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 743008370688}{- 4194304}$

Schritt 5.4.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.4.3.1

Dividiere $- 743008370688$ durch $- 4194304$ .

$x = 177147$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 6.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{12}{11 \sqrt[11]{x^{8}}} - \frac{4}{11 x^{\frac{7}{11}}}$

Schritt 6.1.2

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{12}{11 \sqrt[11]{x^{8}}} - \frac{4}{11 \sqrt[11]{x^{7}}}$

Schritt 6.2

Setze den Nenner in $\frac{12}{11 \sqrt[11]{x^{8}}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$11 \sqrt[11]{x^{8}} = 0$

Schritt 6.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur $11$ . Potenz.

${(11 \sqrt[11]{x^{8}})}^{11} = 0^{11}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 6.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[11]{x^{8}}$ als $x^{\frac{8}{11}}$ neu zu schreiben.

${(11 x^{\frac{8}{11}})}^{11} = 0^{11}$

Schritt 6.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.2.1

Vereinfache ${(11 x^{\frac{8}{11}})}^{11}$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $11 x^{\frac{8}{11}}$ an.

$11^{11} {(x^{\frac{8}{11}})}^{11} = 0^{11}$

Schritt 6.3.2.2.1.2

Potenziere $11$ mit $11$ .

$285311670611 {(x^{\frac{8}{11}})}^{11} = 0^{11}$

Schritt 6.3.2.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{8}{11}})}^{11}$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$285311670611 x^{\frac{8}{11} \cdot 11} = 0^{11}$

Schritt 6.3.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $11$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$285311670611 x^{\frac{8}{11} \cdot 11} = 0^{11}$

Schritt 6.3.2.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$285311670611 x^{8} = 0^{11}$

Schritt 6.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$285311670611 x^{8} = 0$

Schritt 6.3.3

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $285311670611 x^{8} = 0$ durch $285311670611$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $285311670611 x^{8} = 0$ durch $285311670611$ .

$\frac{285311670611 x^{8}}{285311670611} = \frac{0}{285311670611}$

Schritt 6.3.3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $285311670611$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.3.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{285311670611 x^{8}}{285311670611} = \frac{0}{285311670611}$

Schritt 6.3.3.1.2.1.2

Dividiere $x^{8}$ durch $1$ .

$x^{8} = \frac{0}{285311670611}$

Schritt 6.3.3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.3.1.3.1

Dividiere $0$ durch $285311670611$ .

$x^{8} = 0$

Schritt 6.3.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[8]{0}$

Schritt 6.3.3.3

Vereinfache $\pm \sqrt[8]{0}$ .

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Schritt 6.3.3.3.1

Schreibe $0$ als $0^{8}$ um.

$x = \pm \sqrt[8]{0^{8}}$

Schritt 6.3.3.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 6.3.3.3.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 6.4

Setze den Nenner in $\frac{4}{11 \sqrt[11]{x^{7}}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$11 \sqrt[11]{x^{7}} = 0$

Schritt 6.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.5.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur $11$ . Potenz.

${(11 \sqrt[11]{x^{7}})}^{11} = 0^{11}$

Schritt 6.5.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 6.5.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[11]{x^{7}}$ als $x^{\frac{7}{11}}$ neu zu schreiben.

${(11 x^{\frac{7}{11}})}^{11} = 0^{11}$

Schritt 6.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.5.2.2.1

Vereinfache ${(11 x^{\frac{7}{11}})}^{11}$ .

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Schritt 6.5.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $11 x^{\frac{7}{11}}$ an.

$11^{11} {(x^{\frac{7}{11}})}^{11} = 0^{11}$

Schritt 6.5.2.2.1.2

Potenziere $11$ mit $11$ .

$285311670611 {(x^{\frac{7}{11}})}^{11} = 0^{11}$

Schritt 6.5.2.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{7}{11}})}^{11}$ .

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Schritt 6.5.2.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$285311670611 x^{\frac{7}{11} \cdot 11} = 0^{11}$

Schritt 6.5.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $11$ .

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Schritt 6.5.2.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$285311670611 x^{\frac{7}{11} \cdot 11} = 0^{11}$

Schritt 6.5.2.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$285311670611 x^{7} = 0^{11}$

Schritt 6.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.5.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$285311670611 x^{7} = 0$

Schritt 6.5.3

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $285311670611 x^{7} = 0$ durch $285311670611$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.5.3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $285311670611 x^{7} = 0$ durch $285311670611$ .

$\frac{285311670611 x^{7}}{285311670611} = \frac{0}{285311670611}$

Schritt 6.5.3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.5.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $285311670611$ .

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Schritt 6.5.3.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{285311670611 x^{7}}{285311670611} = \frac{0}{285311670611}$

Schritt 6.5.3.1.2.1.2

Dividiere $x^{7}$ durch $1$ .

$x^{7} = \frac{0}{285311670611}$

Schritt 6.5.3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.5.3.1.3.1

Dividiere $0$ durch $285311670611$ .

$x^{7} = 0$

Schritt 6.5.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[7]{0}$

Schritt 6.5.3.3

Vereinfache $\sqrt[7]{0}$ .

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Schritt 6.5.3.3.1

Schreibe $0$ als $0^{7}$ um.

$x = \sqrt[7]{0^{7}}$

Schritt 6.5.3.3.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$x = 0$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 177147, 0$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 177147$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{28}{121 {(177147)}^{\frac{18}{11}}} - \frac{96}{121 {(177147)}^{\frac{19}{11}}}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.1.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.1.1.1

Schreibe $177147$ als $3^{11}$ um.

$\frac{28}{121 \cdot {(3^{11})}^{\frac{18}{11}}} - \frac{96}{121 {(177147)}^{\frac{19}{11}}}$

Schritt 9.1.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{28}{121 \cdot 3^{11 (\frac{18}{11})}} - \frac{96}{121 {(177147)}^{\frac{19}{11}}}$

Schritt 9.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $11$ .

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Schritt 9.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{28}{121 \cdot 3^{11 (\frac{18}{11})}} - \frac{96}{121 {(177147)}^{\frac{19}{11}}}$

Schritt 9.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{28}{121 \cdot 3^{18}} - \frac{96}{121 {(177147)}^{\frac{19}{11}}}$

Schritt 9.1.1.4

Potenziere $3$ mit $18$ .

$\frac{28}{121 \cdot 387420489} - \frac{96}{121 {(177147)}^{\frac{19}{11}}}$

Schritt 9.1.2

Mutltipliziere $121$ mit $387420489$ .

$\frac{28}{46877879169} - \frac{96}{121 {(177147)}^{\frac{19}{11}}}$

Schritt 9.1.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.1.3.1

Schreibe $177147$ als $3^{11}$ um.

$\frac{28}{46877879169} - \frac{96}{121 \cdot {(3^{11})}^{\frac{19}{11}}}$

Schritt 9.1.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{28}{46877879169} - \frac{96}{121 \cdot 3^{11 (\frac{19}{11})}}$

Schritt 9.1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $11$ .

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Schritt 9.1.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{28}{46877879169} - \frac{96}{121 \cdot 3^{11 (\frac{19}{11})}}$

Schritt 9.1.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{28}{46877879169} - \frac{96}{121 \cdot 3^{19}}$

Schritt 9.1.3.4

Potenziere $3$ mit $19$ .

$\frac{28}{46877879169} - \frac{96}{121 \cdot 1162261467}$

Schritt 9.1.4

Mutltipliziere $121$ mit $1162261467$ .

$\frac{28}{46877879169} - \frac{96}{140633637507}$

Schritt 9.1.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $96$ und $140633637507$ .

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Schritt 9.1.5.1

Faktorisiere $3$ aus $96$ heraus.

$\frac{28}{46877879169} - \frac{3 (32)}{140633637507}$

Schritt 9.1.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1.5.2.1

Faktorisiere $3$ aus $140633637507$ heraus.

$\frac{28}{46877879169} - \frac{3 \cdot 32}{3 \cdot 46877879169}$

Schritt 9.1.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{28}{46877879169} - \frac{3 \cdot 32}{3 \cdot 46877879169}$

Schritt 9.1.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{28}{46877879169} - \frac{32}{46877879169}$

Schritt 9.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 9.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{28 - 32}{46877879169}$

Schritt 9.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.2.2.1

Subtrahiere $32$ von $28$ .

$\frac{- 4}{46877879169}$

Schritt 9.2.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{4}{46877879169}$

Schritt 10

Da es mindestens einen Punkt mit $0$ oder eine nicht definierte zweite Ableitung gibt, wende den ersten Ableitungstest an.

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Schritt 10.1

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu $0$ oder nicht definiert machen.

$(- \infty, 0) \cup (0, 177147) \cup (177147, \infty)$

Schritt 10.2

Setze eine beliebige Zahl, wie $- 2$ , aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die erste Ableitung $\frac{12}{11 x^{\frac{8}{11}}} - \frac{4}{11 x^{\frac{7}{11}}}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 10.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f' (- 2) = \frac{12}{11 {(- 2)}^{\frac{8}{11}}} - \frac{4}{11 {(- 2)}^{\frac{7}{11}}}$

Schritt 10.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 10.2.2.1

Um $- \frac{4}{11 {(- 2)}^{\frac{7}{11}}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(- 2)}^{\frac{1}{11}}}{{(- 2)}^{\frac{1}{11}}}$ .

$f' (- 2) = \frac{12}{11 {(- 2)}^{\frac{8}{11}}} - \frac{4}{11 {(- 2)}^{\frac{7}{11}}} \cdot \frac{{(- 2)}^{\frac{1}{11}}}{{(- 2)}^{\frac{1}{11}}}$

Schritt 10.2.2.2

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $11 {(- 2)}^{\frac{8}{11}}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{4}{11 {(- 2)}^{\frac{7}{11}}}$ mit $\frac{{(- 2)}^{\frac{1}{11}}}{{(- 2)}^{\frac{1}{11}}}$ .

$f' (- 2) = \frac{12}{11 {(- 2)}^{\frac{8}{11}}} - \frac{4 {(- 2)}^{\frac{1}{11}}}{11 {(- 2)}^{\frac{7}{11}} {(- 2)}^{\frac{1}{11}}}$

Schritt 10.2.2.2.2

Multipliziere ${(- 2)}^{\frac{7}{11}}$ mit ${(- 2)}^{\frac{1}{11}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 10.2.2.2.2.1

Bewege ${(- 2)}^{\frac{1}{11}}$ .

$f' (- 2) = \frac{12}{11 {(- 2)}^{\frac{8}{11}}} - \frac{4 {(- 2)}^{\frac{1}{11}}}{11 ({(- 2)}^{\frac{1}{11}} {(- 2)}^{\frac{7}{11}})}$

Schritt 10.2.2.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (- 2) = \frac{12}{11 {(- 2)}^{\frac{8}{11}}} - \frac{4 {(- 2)}^{\frac{1}{11}}}{11 {(- 2)}^{\frac{1}{11} + \frac{7}{11}}}$

Schritt 10.2.2.2.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (- 2) = \frac{12}{11 {(- 2)}^{\frac{8}{11}}} - \frac{4 {(- 2)}^{\frac{1}{11}}}{11 {(- 2)}^{\frac{1 + 7}{11}}}$

Schritt 10.2.2.2.2.4

Addiere $1$ und $7$ .

$f' (- 2) = \frac{12}{11 {(- 2)}^{\frac{8}{11}}} - \frac{4 {(- 2)}^{\frac{1}{11}}}{11 {(- 2)}^{\frac{8}{11}}}$

Schritt 10.2.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (- 2) = \frac{12 - 4 {(- 2)}^{\frac{1}{11}}}{11 {(- 2)}^{\frac{8}{11}}}$

Schritt 10.2.2.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{12 - 4 {(- 2)}^{\frac{1}{11}}}{11 {(- 2)}^{\frac{8}{11}}}$ .

$\frac{12 - 4 {(- 2)}^{\frac{1}{11}}}{11 {(- 2)}^{\frac{8}{11}}}$

Schritt 10.3

Setze eine beliebige Zahl, wie $2$ , aus dem Intervall $(0, 177147)$ in die erste Ableitung $\frac{12}{11 x^{\frac{8}{11}}} - \frac{4}{11 x^{\frac{7}{11}}}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 10.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f' (2) = \frac{12}{11 {(2)}^{\frac{8}{11}}} - \frac{4}{11 {(2)}^{\frac{7}{11}}}$

Schritt 10.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 10.3.2.1

Entferne die Klammern.

$f' (2) = \frac{12}{11 \cdot 2^{\frac{8}{11}}} - \frac{4}{11 \cdot 2^{\frac{7}{11}}}$

Schritt 10.3.2.2

Um $- \frac{4}{11 \cdot 2^{\frac{7}{11}}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2^{\frac{1}{11}}}{2^{\frac{1}{11}}}$ .

$f' (2) = \frac{12}{11 \cdot 2^{\frac{8}{11}}} - \frac{4}{11 \cdot 2^{\frac{7}{11}}} \cdot \frac{2^{\frac{1}{11}}}{2^{\frac{1}{11}}}$

Schritt 10.3.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $11 \cdot 2^{\frac{8}{11}}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 10.3.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{4}{11 \cdot 2^{\frac{7}{11}}}$ mit $\frac{2^{\frac{1}{11}}}{2^{\frac{1}{11}}}$ .

$f' (2) = \frac{12}{11 \cdot 2^{\frac{8}{11}}} - \frac{4 \cdot 2^{\frac{1}{11}}}{11 \cdot 2^{\frac{7}{11}} \cdot 2^{\frac{1}{11}}}$

Schritt 10.3.2.3.2

Multipliziere $2^{\frac{7}{11}}$ mit $2^{\frac{1}{11}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 10.3.2.3.2.1

Bewege $2^{\frac{1}{11}}$ .

$f' (2) = \frac{12}{11 \cdot 2^{\frac{8}{11}}} - \frac{4 \cdot 2^{\frac{1}{11}}}{11 \cdot (2^{\frac{1}{11}} \cdot 2^{\frac{7}{11}})}$

Schritt 10.3.2.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (2) = \frac{12}{11 \cdot 2^{\frac{8}{11}}} - \frac{4 \cdot 2^{\frac{1}{11}}}{11 \cdot 2^{\frac{1}{11} + \frac{7}{11}}}$

Schritt 10.3.2.3.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (2) = \frac{12}{11 \cdot 2^{\frac{8}{11}}} - \frac{4 \cdot 2^{\frac{1}{11}}}{11 \cdot 2^{\frac{1 + 7}{11}}}$

Schritt 10.3.2.3.2.4

Addiere $1$ und $7$ .

$f' (2) = \frac{12}{11 \cdot 2^{\frac{8}{11}}} - \frac{4 \cdot 2^{\frac{1}{11}}}{11 \cdot 2^{\frac{8}{11}}}$

Schritt 10.3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (2) = \frac{12 - 4 \cdot 2^{\frac{1}{11}}}{11 \cdot 2^{\frac{8}{11}}}$

Schritt 10.3.2.5

Multipliziere $- 4 \cdot 2^{\frac{1}{11}}$ .

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Schritt 10.3.2.5.1

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$f' (2) = \frac{12 - (4 \cdot 2^{\frac{1}{11}})}{11 \cdot 2^{\frac{8}{11}}}$

Schritt 10.3.2.5.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f' (2) = \frac{12 - (2^{2} \cdot 2^{\frac{1}{11}})}{11 \cdot 2^{\frac{8}{11}}}$

Schritt 10.3.2.5.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (2) = \frac{12 - 2^{2 + \frac{1}{11}}}{11 \cdot 2^{\frac{8}{11}}}$

Schritt 10.3.2.5.4

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{11}{11}$ .

$f' (2) = \frac{12 - 2^{2 \cdot \frac{11}{11} + \frac{1}{11}}}{11 \cdot 2^{\frac{8}{11}}}$

Schritt 10.3.2.5.5

Kombiniere $2$ und $\frac{11}{11}$ .

$f' (2) = \frac{12 - 2^{\frac{2 \cdot 11}{11} + \frac{1}{11}}}{11 \cdot 2^{\frac{8}{11}}}$

Schritt 10.3.2.5.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (2) = \frac{12 - 2^{\frac{2 \cdot 11 + 1}{11}}}{11 \cdot 2^{\frac{8}{11}}}$

Schritt 10.3.2.5.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.3.2.5.7.1

Mutltipliziere $2$ mit $11$ .

$f' (2) = \frac{12 - 2^{\frac{22 + 1}{11}}}{11 \cdot 2^{\frac{8}{11}}}$

Schritt 10.3.2.5.7.2

Addiere $22$ und $1$ .

$f' (2) = \frac{12 - 2^{\frac{23}{11}}}{11 \cdot 2^{\frac{8}{11}}}$

Schritt 10.3.2.6

Die endgültige Lösung ist $\frac{12 - 2^{\frac{23}{11}}}{11 \cdot 2^{\frac{8}{11}}}$ .

$\frac{12 - 2^{\frac{23}{11}}}{11 \cdot 2^{\frac{8}{11}}}$

Schritt 10.4

Setze eine beliebige Zahl, wie $177150$ , aus dem Intervall $(177147, \infty)$ in die erste Ableitung $\frac{12}{11 x^{\frac{8}{11}}} - \frac{4}{11 x^{\frac{7}{11}}}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 10.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $177150$ .

$f' (177150) = \frac{12}{11 {(177150)}^{\frac{8}{11}}} - \frac{4}{11 {(177150)}^{\frac{7}{11}}}$

Schritt 10.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 10.4.2.1

Entferne die Klammern.

$f' (177150) = \frac{12}{11 \cdot 177150^{\frac{8}{11}}} - \frac{4}{11 \cdot 177150^{\frac{7}{11}}}$

Schritt 10.4.2.2

Um $- \frac{4}{11 \cdot 177150^{\frac{7}{11}}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{177150^{\frac{1}{11}}}{177150^{\frac{1}{11}}}$ .

$f' (177150) = \frac{12}{11 \cdot 177150^{\frac{8}{11}}} - \frac{4}{11 \cdot 177150^{\frac{7}{11}}} \cdot \frac{177150^{\frac{1}{11}}}{177150^{\frac{1}{11}}}$

Schritt 10.4.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $11 \cdot 177150^{\frac{8}{11}}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 10.4.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{4}{11 \cdot 177150^{\frac{7}{11}}}$ mit $\frac{177150^{\frac{1}{11}}}{177150^{\frac{1}{11}}}$ .

$f' (177150) = \frac{12}{11 \cdot 177150^{\frac{8}{11}}} - \frac{4 \cdot 177150^{\frac{1}{11}}}{11 \cdot 177150^{\frac{7}{11}} \cdot 177150^{\frac{1}{11}}}$

Schritt 10.4.2.3.2

Multipliziere $177150^{\frac{7}{11}}$ mit $177150^{\frac{1}{11}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 10.4.2.3.2.1

Bewege $177150^{\frac{1}{11}}$ .

$f' (177150) = \frac{12}{11 \cdot 177150^{\frac{8}{11}}} - \frac{4 \cdot 177150^{\frac{1}{11}}}{11 \cdot (177150^{\frac{1}{11}} \cdot 177150^{\frac{7}{11}})}$

Schritt 10.4.2.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (177150) = \frac{12}{11 \cdot 177150^{\frac{8}{11}}} - \frac{4 \cdot 177150^{\frac{1}{11}}}{11 \cdot 177150^{\frac{1}{11} + \frac{7}{11}}}$

Schritt 10.4.2.3.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (177150) = \frac{12}{11 \cdot 177150^{\frac{8}{11}}} - \frac{4 \cdot 177150^{\frac{1}{11}}}{11 \cdot 177150^{\frac{1 + 7}{11}}}$

Schritt 10.4.2.3.2.4

Addiere $1$ und $7$ .

$f' (177150) = \frac{12}{11 \cdot 177150^{\frac{8}{11}}} - \frac{4 \cdot 177150^{\frac{1}{11}}}{11 \cdot 177150^{\frac{8}{11}}}$

Schritt 10.4.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (177150) = \frac{12 - 4 \cdot 177150^{\frac{1}{11}}}{11 \cdot 177150^{\frac{8}{11}}}$

Schritt 10.4.2.5

Die endgültige Lösung ist $\frac{12 - 4 \cdot 177150^{\frac{1}{11}}}{11 \cdot 177150^{\frac{8}{11}}}$ .

$\frac{12 - 4 \cdot 177150^{\frac{1}{11}}}{11 \cdot 177150^{\frac{8}{11}}}$

Schritt 10.5

Da die erste Ableitung das Vorzeichen um $x = 0$ nicht gewechselt hat, ist dies kein lokales Maximum oder Minimum.

Kein lokales Maximum oder Minimum

Schritt 10.6

Da die erste Ableitung um $x = 177147$ herum das Vorzeichen von positiv zu negativ gewechselt hat, ist $x = 177147$ ein lokales Maximum.

$x = 177147$ ist ein lokales Maximum

Schritt 11