Analysis Beispiele

$f (x) = - 4 x^{\frac{1}{4}} + \frac{\sqrt[4]{19}}{19} x$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 4 x^{\frac{1}{4}} + \frac{\sqrt[4]{19}}{19} x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{\sqrt[4]{19}}{19} x]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{\sqrt[4]{19}}{19} x]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{4}}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x^{\frac{1}{4}}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4}}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{\sqrt[4]{19}}{19} x]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{4}$ .

$- 4 (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1}) + \frac{d}{d x} [\frac{\sqrt[4]{19}}{19} x]$

Schritt 1.2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$- 4 (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}) + \frac{d}{d x} [\frac{\sqrt[4]{19}}{19} x]$

Schritt 1.2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{4}{4}$ .

$- 4 (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [\frac{\sqrt[4]{19}}{19} x]$

Schritt 1.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 4 (\frac{1}{4} x^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [\frac{\sqrt[4]{19}}{19} x]$

Schritt 1.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$- 4 (\frac{1}{4} x^{\frac{1 - 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [\frac{\sqrt[4]{19}}{19} x]$

Schritt 1.2.6.2

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$- 4 (\frac{1}{4} x^{\frac{- 3}{4}}) + \frac{d}{d x} [\frac{\sqrt[4]{19}}{19} x]$

Schritt 1.2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 4 (\frac{1}{4} x^{- \frac{3}{4}}) + \frac{d}{d x} [\frac{\sqrt[4]{19}}{19} x]$

Schritt 1.2.8

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{- \frac{3}{4}}$ .

$- 4 \frac{x^{- \frac{3}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{\sqrt[4]{19}}{19} x]$

Schritt 1.2.9

Kombiniere $- 4$ und $\frac{x^{- \frac{3}{4}}}{4}$ .

$\frac{- 4 x^{- \frac{3}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{\sqrt[4]{19}}{19} x]$

Schritt 1.2.10

Bringe $x^{- \frac{3}{4}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 4}{4 x^{\frac{3}{4}}} + \frac{d}{d x} [\frac{\sqrt[4]{19}}{19} x]$

Schritt 1.2.11

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$\frac{4 \cdot - 1}{4 x^{\frac{3}{4}}} + \frac{d}{d x} [\frac{\sqrt[4]{19}}{19} x]$

Schritt 1.2.12

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.12.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{\frac{3}{4}}$ heraus.

$\frac{4 \cdot - 1}{4 (x^{\frac{3}{4}})} + \frac{d}{d x} [\frac{\sqrt[4]{19}}{19} x]$

Schritt 1.2.12.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cdot - 1}{4 x^{\frac{3}{4}}} + \frac{d}{d x} [\frac{\sqrt[4]{19}}{19} x]$

Schritt 1.2.12.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{x^{\frac{3}{4}}} + \frac{d}{d x} [\frac{\sqrt[4]{19}}{19} x]$

Schritt 1.2.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} + \frac{d}{d x} [\frac{\sqrt[4]{19}}{19} x]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt[4]{19}}{19} x]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $\frac{\sqrt[4]{19}}{19}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{\sqrt[4]{19}}{19} x$ nach $x$ gleich $\frac{\sqrt[4]{19}}{19} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} + \frac{\sqrt[4]{19}}{19} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} + \frac{\sqrt[4]{19}}{19} \cdot 1$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[4]{19}}{19}$ mit $1$ .

$- \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} + \frac{\sqrt[4]{19}}{19}$

Schritt 1.4

Stelle die Terme um.

$\frac{\sqrt[4]{19}}{19} - \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{\sqrt[4]{19}}{19} - \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt[4]{19}}{19}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{\sqrt[4]{19}}{19}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}})$

Schritt 2.1.2

Da $\frac{\sqrt[4]{19}}{19}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{\sqrt[4]{19}}{19}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}})$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = - 1$ und $g (x) = \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} + \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$ als ${(x^{\frac{3}{4}})}^{- 1}$ um.

$f'' (x) = 0 - \frac{d}{d x} {(x^{\frac{3}{4}})}^{- 1} + \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{\frac{3}{4}}$ .

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Schritt 2.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{\frac{3}{4}}$ .

$f'' (x) = 0 - (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{4}})) + \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f'' (x) = 0 - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{4}}) + \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{\frac{3}{4}}$ .

$f'' (x) = 0 - (- {(x^{\frac{3}{4}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{4}}) + \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{3}{4}$ .

$f'' (x) = 0 - (- {(x^{\frac{3}{4}})}^{- 2} (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.2.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 0 - (- {(x^{\frac{3}{4}})}^{- 2} (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} \cdot 0$

Schritt 2.2.6

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{3}{4}})}^{- 2}$ .

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Schritt 2.2.6.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 0 - (- x^{\frac{3}{4} \cdot - 2} (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} \cdot 0$

Schritt 2.2.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f'' (x) = 0 - (- x^{\frac{3}{2 (2)} \cdot - 2} (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} \cdot 0$

Schritt 2.2.6.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$f'' (x) = 0 - (- x^{\frac{3}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} \cdot 0$

Schritt 2.2.6.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = 0 - (- x^{\frac{3}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} \cdot 0$

Schritt 2.2.6.2.4

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = 0 - (- x^{\frac{3}{2} \cdot - 1} (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} \cdot 0$

Schritt 2.2.6.3

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $- 1$ .

$f'' (x) = 0 - (- x^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} \cdot 0$

Schritt 2.2.6.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 0 - (- x^{\frac{- 3}{2}} (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} \cdot 0$

Schritt 2.2.6.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = 0 - (- x^{- \frac{3}{2}} (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} \cdot 0$

Schritt 2.2.7

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$f'' (x) = 0 - (- x^{- \frac{3}{2}} (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})) + \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} \cdot 0$

Schritt 2.2.8

Kombiniere $- 1$ und $\frac{4}{4}$ .

$f'' (x) = 0 - (- x^{- \frac{3}{2}} (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})) + \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} \cdot 0$

Schritt 2.2.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = 0 - (- x^{- \frac{3}{2}} (\frac{3}{4} x^{\frac{3 - 1 \cdot 4}{4}})) + \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} \cdot 0$

Schritt 2.2.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f'' (x) = 0 - (- x^{- \frac{3}{2}} (\frac{3}{4} x^{\frac{3 - 4}{4}})) + \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} \cdot 0$

Schritt 2.2.10.2

Subtrahiere $4$ von $3$ .

$f'' (x) = 0 - (- x^{- \frac{3}{2}} (\frac{3}{4} x^{\frac{- 1}{4}})) + \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} \cdot 0$

Schritt 2.2.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = 0 - (- x^{- \frac{3}{2}} (\frac{3}{4} x^{- \frac{1}{4}})) + \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} \cdot 0$

Schritt 2.2.12

Kombiniere $\frac{3}{4}$ und $x^{- \frac{1}{4}}$ .

$f'' (x) = 0 - (- x^{- \frac{3}{2}} \frac{3 x^{- \frac{1}{4}}}{4}) + \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} \cdot 0$

Schritt 2.2.13

Kombiniere $\frac{3 x^{- \frac{1}{4}}}{4}$ und $x^{- \frac{3}{2}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{3 x^{- \frac{1}{4}} x^{- \frac{3}{2}}}{4} + \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} \cdot 0$

Schritt 2.2.14

Multipliziere $x^{- \frac{1}{4}}$ mit $x^{- \frac{3}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.14.1

Bewege $x^{- \frac{3}{2}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{3 (x^{- \frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{4}})}{4} + \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} \cdot 0$

Schritt 2.2.14.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = 0 + \frac{3 x^{- \frac{3}{2} - \frac{1}{4}}}{4} + \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} \cdot 0$

Schritt 2.2.14.3

Um $- \frac{3}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{3 x^{- \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{4}}}{4} + \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} \cdot 0$

Schritt 2.2.14.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.2.14.4.1

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{3 x^{- \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{1}{4}}}{4} + \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} \cdot 0$

Schritt 2.2.14.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{3 x^{- \frac{3 \cdot 2}{4} - \frac{1}{4}}}{4} + \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} \cdot 0$

Schritt 2.2.14.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = 0 + \frac{3 x^{\frac{- 3 \cdot 2 - 1}{4}}}{4} + \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} \cdot 0$

Schritt 2.2.14.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.14.6.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{3 x^{\frac{- 6 - 1}{4}}}{4} + \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} \cdot 0$

Schritt 2.2.14.6.2

Subtrahiere $1$ von $- 6$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{3 x^{\frac{- 7}{4}}}{4} + \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} \cdot 0$

Schritt 2.2.14.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = 0 + \frac{3 x^{- \frac{7}{4}}}{4} + \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} \cdot 0$

Schritt 2.2.15

Bringe $x^{- \frac{7}{4}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{3}{4 x^{\frac{7}{4}}} + \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} \cdot 0$

Schritt 2.2.16

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 0 + 1 (\frac{3}{4 x^{\frac{7}{4}}}) + \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} \cdot 0$

Schritt 2.2.17

Mutltipliziere $\frac{3}{4 x^{\frac{7}{4}}}$ mit $1$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{3}{4 x^{\frac{7}{4}}} + \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} \cdot 0$

Schritt 2.2.18

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$ mit $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{3}{4 x^{\frac{7}{4}}} + 0$

Schritt 2.2.19

Addiere $\frac{3}{4 x^{\frac{7}{4}}}$ und $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{3}{4 x^{\frac{7}{4}}}$

Schritt 2.3

Addiere $0$ und $\frac{3}{4 x^{\frac{7}{4}}}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{7}{4}}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{\sqrt[4]{19}}{19} - \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 4 x^{\frac{1}{4}} + \frac{\sqrt[4]{19}}{19} x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{\sqrt[4]{19}}{19} x]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{\sqrt[4]{19}}{19} x]$

Schritt 4.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{4}}]$ .

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Schritt 4.1.2.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x^{\frac{1}{4}}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4}}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{\sqrt[4]{19}}{19} x]$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{4}$ .

$- 4 (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1}) + \frac{d}{d x} [\frac{\sqrt[4]{19}}{19} x]$

Schritt 4.1.2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$- 4 (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}) + \frac{d}{d x} [\frac{\sqrt[4]{19}}{19} x]$

Schritt 4.1.2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{4}{4}$ .

$- 4 (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [\frac{\sqrt[4]{19}}{19} x]$

Schritt 4.1.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 4 (\frac{1}{4} x^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [\frac{\sqrt[4]{19}}{19} x]$

Schritt 4.1.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$- 4 (\frac{1}{4} x^{\frac{1 - 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [\frac{\sqrt[4]{19}}{19} x]$

Schritt 4.1.2.6.2

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$- 4 (\frac{1}{4} x^{\frac{- 3}{4}}) + \frac{d}{d x} [\frac{\sqrt[4]{19}}{19} x]$

Schritt 4.1.2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 4 (\frac{1}{4} x^{- \frac{3}{4}}) + \frac{d}{d x} [\frac{\sqrt[4]{19}}{19} x]$

Schritt 4.1.2.8

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{- \frac{3}{4}}$ .

$- 4 \frac{x^{- \frac{3}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{\sqrt[4]{19}}{19} x]$

Schritt 4.1.2.9

Kombiniere $- 4$ und $\frac{x^{- \frac{3}{4}}}{4}$ .

$\frac{- 4 x^{- \frac{3}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{\sqrt[4]{19}}{19} x]$

Schritt 4.1.2.10

Bringe $x^{- \frac{3}{4}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 4}{4 x^{\frac{3}{4}}} + \frac{d}{d x} [\frac{\sqrt[4]{19}}{19} x]$

Schritt 4.1.2.11

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$\frac{4 \cdot - 1}{4 x^{\frac{3}{4}}} + \frac{d}{d x} [\frac{\sqrt[4]{19}}{19} x]$

Schritt 4.1.2.12

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.2.12.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{\frac{3}{4}}$ heraus.

$\frac{4 \cdot - 1}{4 (x^{\frac{3}{4}})} + \frac{d}{d x} [\frac{\sqrt[4]{19}}{19} x]$

Schritt 4.1.2.12.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cdot - 1}{4 x^{\frac{3}{4}}} + \frac{d}{d x} [\frac{\sqrt[4]{19}}{19} x]$

Schritt 4.1.2.12.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{x^{\frac{3}{4}}} + \frac{d}{d x} [\frac{\sqrt[4]{19}}{19} x]$

Schritt 4.1.2.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} + \frac{d}{d x} [\frac{\sqrt[4]{19}}{19} x]$

Schritt 4.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt[4]{19}}{19} x]$ .

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Schritt 4.1.3.1

Da $\frac{\sqrt[4]{19}}{19}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{\sqrt[4]{19}}{19} x$ nach $x$ gleich $\frac{\sqrt[4]{19}}{19} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} + \frac{\sqrt[4]{19}}{19} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} + \frac{\sqrt[4]{19}}{19} \cdot 1$

Schritt 4.1.3.3

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[4]{19}}{19}$ mit $1$ .

$- \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} + \frac{\sqrt[4]{19}}{19}$

Schritt 4.1.4

Stelle die Terme um.

$f' (x) = \frac{\sqrt[4]{19}}{19} - \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{\sqrt[4]{19}}{19} - \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$ .

$\frac{\sqrt[4]{19}}{19} - \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{\sqrt[4]{19}}{19} - \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{\sqrt[4]{19}}{19} - \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $\frac{\sqrt[4]{19}}{19}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} = - \frac{\sqrt[4]{19}}{19}$

Schritt 5.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 5.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x^{\frac{3}{4}}, 19$

Schritt 5.3.2

Da $x^{\frac{3}{4}}, 19$ sowohl Zahlen als auch Variablen enthält, sind zwei Schritte notwendig, um das kgV zu finden. Finde das kgV für den numerischen Teil $1, 19$ und anschließend für den variablen Teil $x^{\frac{3}{4}}$ .

Schritt 5.3.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 5.3.4

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 5.3.5

Da $19$ keine Teiler außer $1$ und $19$ hat.

$19$ ist eine Primzahl

Schritt 5.3.6

Das kgV von $1, 19$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$19$

Schritt 5.3.7

Das kgV von $x^{\frac{3}{4}}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$x^{\frac{3}{4}}$

Schritt 5.3.8

Das kgV von $x^{\frac{3}{4}}, 19$ ist der numerische Teil $19$ multipliziert mit dem variablen Teil.

$19 x^{\frac{3}{4}}$

Schritt 5.4

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} = - \frac{\sqrt[4]{19}}{19}$ mit $19 x^{\frac{3}{4}}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 5.4.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} = - \frac{\sqrt[4]{19}}{19}$ mit $19 x^{\frac{3}{4}}$ .

$- \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} (19 x^{\frac{3}{4}}) = - \frac{\sqrt[4]{19}}{19} (19 x^{\frac{3}{4}})$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{\frac{3}{4}}$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$ in den Zähler.

$\frac{- 1}{x^{\frac{3}{4}}} (19 x^{\frac{3}{4}}) = - \frac{\sqrt[4]{19}}{19} (19 x^{\frac{3}{4}})$

Schritt 5.4.2.1.2

Faktorisiere $x^{\frac{3}{4}}$ aus $19 x^{\frac{3}{4}}$ heraus.

$\frac{- 1}{x^{\frac{3}{4}}} (x^{\frac{3}{4}} \cdot 19) = - \frac{\sqrt[4]{19}}{19} (19 x^{\frac{3}{4}})$

Schritt 5.4.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{x^{\frac{3}{4}}} (x^{\frac{3}{4}} \cdot 19) = - \frac{\sqrt[4]{19}}{19} (19 x^{\frac{3}{4}})$

Schritt 5.4.2.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- 1 \cdot 19 = - \frac{\sqrt[4]{19}}{19} (19 x^{\frac{3}{4}})$

Schritt 5.4.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $19$ .

$- 19 = - \frac{\sqrt[4]{19}}{19} (19 x^{\frac{3}{4}})$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $19$ .

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Schritt 5.4.3.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\sqrt[4]{19}}{19}$ in den Zähler.

$- 19 = \frac{- \sqrt[4]{19}}{19} (19 x^{\frac{3}{4}})$

Schritt 5.4.3.1.2

Faktorisiere $19$ aus $19 x^{\frac{3}{4}}$ heraus.

$- 19 = \frac{- \sqrt[4]{19}}{19} (19 (x^{\frac{3}{4}}))$

Schritt 5.4.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 19 = \frac{- \sqrt[4]{19}}{19} (19 x^{\frac{3}{4}})$

Schritt 5.4.3.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- 19 = - \sqrt[4]{19} x^{\frac{3}{4}}$

Schritt 5.5

Löse die Gleichung.

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Schritt 5.5.1

Schreibe die Gleichung als $- \sqrt[4]{19} x^{\frac{3}{4}} = - 19$ um.

$- \sqrt[4]{19} x^{\frac{3}{4}} = - 19$

Schritt 5.5.2

Teile jeden Ausdruck in $- \sqrt[4]{19} x^{\frac{3}{4}} = - 19$ durch $- \sqrt[4]{19}$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- \sqrt[4]{19} x^{\frac{3}{4}} = - 19$ durch $- \sqrt[4]{19}$ .

$\frac{- \sqrt[4]{19} x^{\frac{3}{4}}}{- \sqrt[4]{19}} = \frac{- 19}{- \sqrt[4]{19}}$

Schritt 5.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\sqrt[4]{19} x^{\frac{3}{4}}}{\sqrt[4]{19}} = \frac{- 19}{- \sqrt[4]{19}}$

Schritt 5.5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt[4]{19} x^{\frac{3}{4}}}{\sqrt[4]{19}} = \frac{- 19}{- \sqrt[4]{19}}$

Schritt 5.5.2.2.3

Dividiere $x^{\frac{3}{4}}$ durch $1$ .

$x^{\frac{3}{4}} = \frac{- 19}{- \sqrt[4]{19}}$

Schritt 5.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x^{\frac{3}{4}} = \frac{19}{\sqrt[4]{19}}$

Schritt 5.5.2.3.2

Mutltipliziere $\frac{19}{\sqrt[4]{19}}$ mit $\frac{{\sqrt[4]{19}}^{3}}{{\sqrt[4]{19}}^{3}}$ .

$x^{\frac{3}{4}} = \frac{19}{\sqrt[4]{19}} \cdot \frac{{\sqrt[4]{19}}^{3}}{{\sqrt[4]{19}}^{3}}$

Schritt 5.5.2.3.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.5.2.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{19}{\sqrt[4]{19}}$ mit $\frac{{\sqrt[4]{19}}^{3}}{{\sqrt[4]{19}}^{3}}$ .

$x^{\frac{3}{4}} = \frac{19 {\sqrt[4]{19}}^{3}}{\sqrt[4]{19} {\sqrt[4]{19}}^{3}}$

Schritt 5.5.2.3.3.2

Potenziere $\sqrt[4]{19}$ mit $1$ .

$x^{\frac{3}{4}} = \frac{19 {\sqrt[4]{19}}^{3}}{{\sqrt[4]{19}}^{1} {\sqrt[4]{19}}^{3}}$

Schritt 5.5.2.3.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{\frac{3}{4}} = \frac{19 {\sqrt[4]{19}}^{3}}{{\sqrt[4]{19}}^{1 + 3}}$

Schritt 5.5.2.3.3.4

Addiere $1$ und $3$ .

$x^{\frac{3}{4}} = \frac{19 {\sqrt[4]{19}}^{3}}{{\sqrt[4]{19}}^{4}}$

Schritt 5.5.2.3.3.5

Schreibe ${\sqrt[4]{19}}^{4}$ als $19$ um.

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Schritt 5.5.2.3.3.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{19}$ als $19^{\frac{1}{4}}$ neu zu schreiben.

$x^{\frac{3}{4}} = \frac{19 {\sqrt[4]{19}}^{3}}{{(19^{\frac{1}{4}})}^{4}}$

Schritt 5.5.2.3.3.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{3}{4}} = \frac{19 {\sqrt[4]{19}}^{3}}{19^{\frac{1}{4} \cdot 4}}$

Schritt 5.5.2.3.3.5.3

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $4$ .

$x^{\frac{3}{4}} = \frac{19 {\sqrt[4]{19}}^{3}}{19^{\frac{4}{4}}}$

Schritt 5.5.2.3.3.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.5.2.3.3.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{3}{4}} = \frac{19 {\sqrt[4]{19}}^{3}}{19^{\frac{4}{4}}}$

Schritt 5.5.2.3.3.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{\frac{3}{4}} = \frac{19 {\sqrt[4]{19}}^{3}}{19^{1}}$

Schritt 5.5.2.3.3.5.5

Berechne den Exponenten.

$x^{\frac{3}{4}} = \frac{19 {\sqrt[4]{19}}^{3}}{19}$

Schritt 5.5.2.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $19$ .

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Schritt 5.5.2.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{3}{4}} = \frac{19 {\sqrt[4]{19}}^{3}}{19}$

Schritt 5.5.2.3.4.2

Dividiere ${\sqrt[4]{19}}^{3}$ durch $1$ .

$x^{\frac{3}{4}} = {\sqrt[4]{19}}^{3}$

Schritt 5.5.2.3.5

Schreibe ${\sqrt[4]{19}}^{3}$ als $\sqrt[4]{19^{3}}$ um.

$x^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{19^{3}}$

Schritt 5.5.2.3.6

Potenziere $19$ mit $3$ .

$x^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{6859}$

Schritt 5.5.3

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $\frac{4}{3}$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}} = {\sqrt[4]{6859}}^{\frac{4}{3}}$

Schritt 5.5.4

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 5.5.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.4.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}}$ .

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Schritt 5.5.4.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}}$ .

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Schritt 5.5.4.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}} = {\sqrt[4]{6859}}^{\frac{4}{3}}$

Schritt 5.5.4.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.5.4.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}} = {\sqrt[4]{6859}}^{\frac{4}{3}}$

Schritt 5.5.4.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {\sqrt[4]{6859}}^{\frac{4}{3}}$

Schritt 5.5.4.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.5.4.1.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {\sqrt[4]{6859}}^{\frac{4}{3}}$

Schritt 5.5.4.1.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = {\sqrt[4]{6859}}^{\frac{4}{3}}$

Schritt 5.5.4.1.1.2

Vereinfache.

$x = {\sqrt[4]{6859}}^{\frac{4}{3}}$

Schritt 5.5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.4.2.1

Vereinfache ${\sqrt[4]{6859}}^{\frac{4}{3}}$ .

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Schritt 5.5.4.2.1.1

Schreibe ${\sqrt[4]{6859}}^{\frac{4}{3}}$ als $\sqrt[3]{6859}$ um.

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Schritt 5.5.4.2.1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{6859}$ als $6859^{\frac{1}{4}}$ neu zu schreiben.

$x = {(6859^{\frac{1}{4}})}^{\frac{4}{3}}$

Schritt 5.5.4.2.1.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 6859^{\frac{1}{4} \cdot \frac{4}{3}}$

Schritt 5.5.4.2.1.1.3

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{4}{3}$ .

$x = 6859^{\frac{4}{4 \cdot 3}}$

Schritt 5.5.4.2.1.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$x = 6859^{\frac{4}{12}}$

Schritt 5.5.4.2.1.1.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $12$ .

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Schritt 5.5.4.2.1.1.5.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$x = 6859^{\frac{4 (1)}{12}}$

Schritt 5.5.4.2.1.1.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.5.4.2.1.1.5.2.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = 6859^{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}}$

Schritt 5.5.4.2.1.1.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 6859^{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}}$

Schritt 5.5.4.2.1.1.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = 6859^{\frac{1}{3}}$

Schritt 5.5.4.2.1.1.6

Schreibe $6859^{\frac{1}{3}}$ als $\sqrt[3]{6859}$ um.

$x = \sqrt[3]{6859}$

Schritt 5.5.4.2.1.2

Schreibe $6859$ als $19^{3}$ um.

$x = \sqrt[3]{19^{3}}$

Schritt 5.5.4.2.1.3

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$x = 19$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{\sqrt[4]{19}}{19} - \frac{1}{\sqrt[4]{x^{3}}}$

Schritt 6.2

Setze den Nenner in $\frac{1}{\sqrt[4]{x^{3}}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\sqrt[4]{x^{3}} = 0$

Schritt 6.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur $4$ . Potenz.

${\sqrt[4]{x^{3}}}^{4} = 0^{4}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 6.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{x^{3}}$ als $x^{\frac{3}{4}}$ neu zu schreiben.

${(x^{\frac{3}{4}})}^{4} = 0^{4}$

Schritt 6.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{3}{4}})}^{4}$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{3}{4} \cdot 4} = 0^{4}$

Schritt 6.3.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{3}{4} \cdot 4} = 0^{4}$

Schritt 6.3.2.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{3} = 0^{4}$

Schritt 6.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x^{3} = 0$

Schritt 6.3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.3.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \sqrt[3]{0}$

Schritt 6.3.3.2

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

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Schritt 6.3.3.2.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 6.3.3.2.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$x = 0$

Schritt 6.4

Setze den Radikanden in $\sqrt[4]{x^{3}}$ kleiner als $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{3} < 0$

Schritt 6.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.5.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Ungleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sqrt[3]{x^{3}} < \sqrt[3]{0}$

Schritt 6.5.2

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 6.5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.5.2.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x < \sqrt[3]{0}$

Schritt 6.5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.5.2.2.1

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

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Schritt 6.5.2.2.1.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$x < \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 6.5.2.2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x < 0$

Schritt 6.6

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 19, 0$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 19$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{3}{4 {(19)}^{\frac{7}{4}}}$

Schritt 9

Entferne die Klammern.

$\frac{3}{4 \cdot 19^{\frac{7}{4}}}$

Schritt 10

$x = 19$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 19$ ist ein lokales Minimum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 19$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $19$ .

$f (19) = - 4 {(19)}^{\frac{1}{4}} + \frac{\sqrt[4]{19}}{19} \cdot (19)$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $19$ .

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Schritt 11.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (19) = - 4 \cdot 19^{\frac{1}{4}} + \frac{\sqrt[4]{19}}{19} \cdot 19$

Schritt 11.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f (19) = - 4 \cdot 19^{\frac{1}{4}} + \sqrt[4]{19}$

Schritt 11.2.2

Die endgültige Lösung ist $- 4 \cdot 19^{\frac{1}{4}} + \sqrt[4]{19}$ .

$y = - 4 \cdot 19^{\frac{1}{4}} + \sqrt[4]{19}$

Schritt 12

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{3}{4 {(0)}^{\frac{7}{4}}}$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 13.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 13.1.1

Schreibe $0$ als $0^{4}$ um.

$\frac{3}{4 {(0^{4})}^{\frac{7}{4}}}$

Schritt 13.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{4 \cdot 0^{4 (\frac{7}{4})}}$

Schritt 13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 13.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{4 \cdot 0^{4 (\frac{7}{4})}}$

Schritt 13.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{4 \cdot 0^{7}}$

Schritt 13.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 13.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{3}{4 \cdot 0}$

Schritt 13.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$\frac{3}{0}$

Schritt 13.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{3}{0}$

Schritt 13.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 14

Da der erste Ableitungstest nicht erfolgreich war, gibt es kein lokales Extremum.

Keine lokalen Extrema

Schritt 15