Analysis Beispiele

$f (x) = 32 x^{0.25}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Da $32$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $32 x^{0.25}$ nach $x$ gleich $32 \frac{d}{d x} [x^{0.25}]$ .

$32 \frac{d}{d x} [x^{0.25}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 0.25$ .

$32 (0.25 x^{- 0.75})$

Schritt 1.3

Mutltipliziere $0.25$ mit $32$ .

$8 x^{- 0.75}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 \frac{1}{x^{0.75}}$

Schritt 1.4.2

Kombiniere $8$ und $\frac{1}{x^{0.75}}$ .

$\frac{8}{x^{0.75}}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{8}{x^{0.75}}$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{0.75}}]$ .

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{0.75}})$

Schritt 2.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.2.1

Schreibe $\frac{1}{x^{0.75}}$ als ${(x^{0.75})}^{- 1}$ um.

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} ({(x^{0.75})}^{- 1})$

Schritt 2.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{0.75})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x^{0.75 \cdot - 1})$

Schritt 2.2.2.2

Mutltipliziere $0.75$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x^{- 0.75})$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 0.75$ .

$f'' (x) = 8 (- 0.75 x^{- 1.75})$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $- 0.75$ mit $8$ .

$f'' (x) = - 6 x^{- 1.75}$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{1}{x^{1.75}}$

Schritt 2.5.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.5.2.1

Kombiniere $- 6$ und $\frac{1}{x^{1.75}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 6}{x^{1.75}}$

Schritt 2.5.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{6}{x^{1.75}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{8}{x^{0.75}} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Da $32$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $32 x^{0.25}$ nach $x$ gleich $32 \frac{d}{d x} [x^{0.25}]$ .

$32 \frac{d}{d x} [x^{0.25}]$

Schritt 4.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 0.25$ .

$32 (0.25 x^{- 0.75})$

Schritt 4.1.3

Mutltipliziere $0.25$ mit $32$ .

$8 x^{- 0.75}$

Schritt 4.1.4

Vereinfache.

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Schritt 4.1.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 \frac{1}{x^{0.75}}$

Schritt 4.1.4.2

Kombiniere $8$ und $\frac{1}{x^{0.75}}$ .

$f' (x) = \frac{8}{x^{0.75}}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{8}{x^{0.75}}$ .

$\frac{8}{x^{0.75}}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{8}{x^{0.75}} = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{8}{x^{0.75}} = 0$

Schritt 5.2

Setze den Zähler gleich Null.

$8 = 0$

Schritt 5.3

Da $8 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 6.1.1

Wandle $0.75$ in einen Bruch um.

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Schritt 6.1.1.1

Multipliziere mit $\frac{100}{100}$ , um die Dezimalstellen zu beseitigen.

$\frac{8}{x^{\frac{100 \cdot 0.75}{100}}}$

Schritt 6.1.1.2

Mutltipliziere $100$ mit $0.75$ .

$\frac{8}{x^{\frac{75}{100}}}$

Schritt 6.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $75$ und $100$ .

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Schritt 6.1.1.3.1

Faktorisiere $25$ aus $75$ heraus.

$\frac{8}{x^{\frac{25 (3)}{100}}}$

Schritt 6.1.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1.1.3.2.1

Faktorisiere $25$ aus $100$ heraus.

$\frac{8}{x^{\frac{25 \cdot 3}{25 \cdot 4}}}$

Schritt 6.1.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8}{x^{\frac{25 \cdot 3}{25 \cdot 4}}}$

Schritt 6.1.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{8}{x^{\frac{3}{4}}}$

Schritt 6.1.2

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{8}{\sqrt[4]{x^{3}}}$

Schritt 6.2

Setze den Nenner in $\frac{8}{\sqrt[4]{x^{3}}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\sqrt[4]{x^{3}} = 0$

Schritt 6.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur $4$ . Potenz.

${\sqrt[4]{x^{3}}}^{4} = 0^{4}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 6.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{x^{3}}$ als $x^{\frac{3}{4}}$ neu zu schreiben.

${(x^{\frac{3}{4}})}^{4} = 0^{4}$

Schritt 6.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{3}{4}})}^{4}$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{3}{4} \cdot 4} = 0^{4}$

Schritt 6.3.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{3}{4} \cdot 4} = 0^{4}$

Schritt 6.3.2.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{3} = 0^{4}$

Schritt 6.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x^{3} = 0$

Schritt 6.3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.3.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \sqrt[3]{0}$

Schritt 6.3.3.2

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

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Schritt 6.3.3.2.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 6.3.3.2.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$x = 0$

Schritt 6.4

Setze den Radikanden in $\sqrt[4]{x^{3}}$ kleiner als $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{3} < 0$

Schritt 6.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.5.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Ungleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sqrt[3]{x^{3}} < \sqrt[3]{0}$

Schritt 6.5.2

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 6.5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.5.2.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x < \sqrt[3]{0}$

Schritt 6.5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.5.2.2.1

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

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Schritt 6.5.2.2.1.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$x < \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 6.5.2.2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x < 0$

Schritt 6.6

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 0$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \frac{6}{{(0)}^{1.75}}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{6}{0}$

Schritt 9.2

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 10

Da der erste Ableitungstest nicht erfolgreich war, gibt es kein lokales Extremum.

Keine lokalen Extrema

Schritt 11