Analysis Beispiele

$f (x) = - 3 + \log_{\frac{1}{3}} (x)$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 3 + \log_{\frac{1}{3}} (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [\log_{\frac{1}{3}} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [\log_{\frac{1}{3}} (x)]$

Schritt 1.1.2

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\log_{\frac{1}{3}} (x)]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\log_{\frac{1}{3}} (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x \ln (\frac{1}{3})}$ .

$0 + \frac{1}{x \ln (\frac{1}{3})}$

Schritt 1.3

Addiere $0$ und $\frac{1}{x \ln (\frac{1}{3})}$ .

$\frac{1}{x \ln (\frac{1}{3})}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Da $\frac{1}{\ln (\frac{1}{3})}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{x \ln (\frac{1}{3})}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{\ln (\frac{1}{3})} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{\ln (\frac{1}{3})} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Schritt 2.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$f'' (x) = \frac{1}{\ln (\frac{1}{3})} \cdot \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{\ln (\frac{1}{3})} \cdot (- x^{- 2})$

Schritt 2.4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.4.1

Kombiniere $\frac{1}{\ln (\frac{1}{3})}$ und $x^{- 2}$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- 2}}{\ln (\frac{1}{3})}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.4.2.1

Bringe $x^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{\ln (\frac{1}{3}) x^{2}}$

Schritt 2.4.2.2

Stelle die Faktoren in $- \frac{1}{\ln (\frac{1}{3}) x^{2}}$ um.

$f'' (x) = - \frac{1}{x^{2} \ln (\frac{1}{3})}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{1}{x \ln (\frac{1}{3})} = 0$

Schritt 4

Da es keinen Wert von $x$ gibt, der die erste Ableitung gleich $0$ macht, gibt es keine lokalen Extrema.

Keine lokalen Extrema

Schritt 5

Keine lokalen Extrema

Schritt 6