Analysis Beispiele

$f (x) = 3 \cos (x) - \cos^{3} (x)$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 \cos (x) - \cos^{3} (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 \cos (x)$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$

Schritt 1.2.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$3 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 3 \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \cos^{3} (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]$ .

$- 3 \sin (x) - \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = \cos (x)$ .

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Schritt 1.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\cos (x)$ .

$- 3 \sin (x) - (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Schritt 1.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- 3 \sin (x) - (3 u^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Schritt 1.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\cos (x)$ .

$- 3 \sin (x) - (3 \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Schritt 1.3.3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$- 3 \sin (x) - (3 \cos^{2} (x) (- \sin (x)))$

Schritt 1.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 3 \sin (x) - (- 3 \cos^{2} (x) \sin (x))$

Schritt 1.3.5

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$- 3 \sin (x) + 3 \cos^{2} (x) \sin (x)$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Stelle die Terme um.

$3 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x)$

Schritt 1.4.2

Faktorisiere $3 \sin (x)$ aus $3 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x)$ heraus.

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Schritt 1.4.2.1

Faktorisiere $3 \sin (x)$ aus $3 \cos^{2} (x) \sin (x)$ heraus.

$3 \sin (x) (\cos^{2} (x)) - 3 \sin (x)$

Schritt 1.4.2.2

Faktorisiere $3 \sin (x)$ aus $- 3 \sin (x)$ heraus.

$3 \sin (x) (\cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 1)$

Schritt 1.4.2.3

Faktorisiere $3 \sin (x)$ aus $3 \sin (x) (\cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 1)$ heraus.

$3 \sin (x) (\cos^{2} (x) - 1)$

Schritt 1.4.3

Stelle $\cos^{2} (x)$ und $- 1$ um.

$3 \sin (x) (- 1 + \cos^{2} (x))$

Schritt 1.4.4

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$3 \sin (x) (- 1 (1) + \cos^{2} (x))$

Schritt 1.4.5

Faktorisiere $- 1$ aus $\cos^{2} (x)$ heraus.

$3 \sin (x) (- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x)))$

Schritt 1.4.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ heraus.

$3 \sin (x) (- 1 (1 - \cos^{2} (x)))$

Schritt 1.4.7

Schreibe $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ als $- (1 - \cos^{2} (x))$ um.

$3 \sin (x) (- (1 - \cos^{2} (x)))$

Schritt 1.4.8

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$3 \sin (x) (- \sin^{2} (x))$

Schritt 1.4.9

Multipliziere $\sin (x)$ mit $\sin^{2} (x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.4.9.1

Bewege $\sin^{2} (x)$ .

$3 (\sin^{2} (x) \sin (x)) \cdot - 1$

Schritt 1.4.9.2

Mutltipliziere $\sin^{2} (x)$ mit $\sin (x)$ .

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Schritt 1.4.9.2.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$3 (\sin^{2} (x) \sin^{1} (x)) \cdot - 1$

Schritt 1.4.9.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 {\sin (x)}^{2 + 1} \cdot - 1$

Schritt 1.4.9.3

Addiere $2$ und $1$ .

$3 \sin^{3} (x) \cdot - 1$

Schritt 1.4.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 3 \sin^{3} (x)$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 \sin^{3} (x)$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} \sin^{3} (x)$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = \sin (x)$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\sin (x)$ .

$f'' (x) = - 3 (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f'' (x) = - 3 (3 u^{2} \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\sin (x)$ .

$f'' (x) = - 3 (3 \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$f'' (x) = - 9 (\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

Schritt 2.4

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 9 \sin^{2} (x) \cos (x)$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- 3 \sin^{3} (x) = 0$

Schritt 4

Teile jeden Ausdruck in $- 3 \sin^{3} (x) = 0$ durch $- 3$ und vereinfache.

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Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3 \sin^{3} (x) = 0$ durch $- 3$ .

$\frac{- 3 \sin^{3} (x)}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 \sin^{3} (x)}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $\sin^{3} (x)$ durch $1$ .

$\sin^{3} (x) = \frac{0}{- 3}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Dividiere $0$ durch $- 3$ .

$\sin^{3} (x) = 0$

Schritt 5

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sin (x) = \sqrt[3]{0}$

Schritt 6

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

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Schritt 6.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$\sin (x) = \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 6.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$\sin (x) = 0$

Schritt 7

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (0)$

Schritt 8

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.1

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 9

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - 0$

Schritt 10

Subtrahiere $0$ von $π$ .

$x = π$

Schritt 11

Die Lösung der Gleichung $x = 0$ .

$x = 0, π$

Schritt 12

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- 9 \sin^{2} (0) \cos (0)$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 13.1

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$- 9 \cdot 0^{2} \cos (0)$

Schritt 13.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- 9 \cdot 0 \cos (0)$

Schritt 13.3

Mutltipliziere $- 9$ mit $0$ .

$0 \cos (0)$

Schritt 13.4

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$0 \cdot 1$

Schritt 13.5

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$0$

Schritt 14

Da es mindestens einen Punkt mit $0$ oder eine nicht definierte zweite Ableitung gibt, wende den ersten Ableitungstest an.

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Schritt 14.1

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu $0$ oder nicht definiert machen.

$(- \infty, 0) \cup (0, π) \cup (π, \infty)$

Schritt 14.2

Setze eine beliebige Zahl, wie $- 2$ , aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die erste Ableitung $- 3 \sin^{3} (x)$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 14.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f' (- 2) = - 3 \sin^{3} (- 2)$

Schritt 14.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 14.2.2.1

Berechne $\sin (- 2)$ .

$f' (- 2) = - 3 {(- 0.90929742)}^{3}$

Schritt 14.2.2.2

Potenziere $- 0.90929742$ mit $3$ .

$f' (- 2) = - 3 \cdot - 0.75182694$

Schritt 14.2.2.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 0.75182694$ .

$f' (- 2) = 2.25548083$

Schritt 14.2.2.4

Die endgültige Lösung ist $2.25548083$ .

$2.25548083$

Schritt 14.3

Setze eine beliebige Zahl, wie $2$ , aus dem Intervall $(0, π)$ in die erste Ableitung $- 3 \sin^{3} (x)$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 14.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f' (2) = - 3 \sin^{3} (2)$

Schritt 14.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 14.3.2.1

Berechne $\sin (2)$ .

$f' (2) = - 3 \cdot {0.90929742}^{3}$

Schritt 14.3.2.2

Potenziere $0.90929742$ mit $3$ .

$f' (2) = - 3 \cdot 0.75182694$

Schritt 14.3.2.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $0.75182694$ .

$f' (2) = - 2.25548083$

Schritt 14.3.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 2.25548083$ .

$- 2.25548083$

Schritt 14.4

Setze eine beliebige Zahl, wie $6$ , aus dem Intervall $(π, \infty)$ in die erste Ableitung $- 3 \sin^{3} (x)$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 14.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $6$ .

$f' (6) = - 3 \sin^{3} (6)$

Schritt 14.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 14.4.2.1

Berechne $\sin (6)$ .

$f' (6) = - 3 {(- 0.27941549)}^{3}$

Schritt 14.4.2.2

Potenziere $- 0.27941549$ mit $3$ .

$f' (6) = - 3 \cdot - 0.02181481$

Schritt 14.4.2.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 0.02181481$ .

$f' (6) = 0.06544443$

Schritt 14.4.2.4

Die endgültige Lösung ist $0.06544443$ .

$0.06544443$

Schritt 14.5

Da die erste Ableitung um $x = 0$ herum das Vorzeichen von positiv zu negativ gewechselt hat, ist $x = 0$ ein lokales Maximum.

$x = 0$ ist ein lokales Maximum

Schritt 14.6

Da die erste Ableitung um $x = π$ herum das Vorzeichen von negativ zu positiv gewechselt hat, ist $x = π$ ein lokales Minimum.

$x = π$ ist ein lokales Minimum

Schritt 14.7

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = 3 \cos (x) - \cos^{3} (x)$ .

$x = 0$ ist ein lokales Maximum

$x = π$ ist ein lokales Minimum

$x = 0$ ist ein lokales Maximum

$x = π$ ist ein lokales Minimum

Schritt 15