Analysis Beispiele

$f (x) = - 3 x + 6 \ln (2 x)$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 3 x + 6 \ln (2 x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [6 \ln (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [6 \ln (2 x)]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6 \ln (2 x)]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6 \ln (2 x)]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$- 3 + \frac{d}{d x} [6 \ln (2 x)]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [6 \ln (2 x)]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 \ln (2 x)$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [\ln (2 x)]$ .

$- 3 + 6 \frac{d}{d x} [\ln (2 x)]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 1.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$- 3 + 6 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 1.3.2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$- 3 + 6 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 1.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$- 3 + 6 (\frac{1}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 1.3.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 + 6 (\frac{1}{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 3 + 6 (\frac{1}{2 x} (2 \cdot 1))$

Schritt 1.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- 3 + 6 (\frac{1}{2 x} \cdot 2)$

Schritt 1.3.6

Kombiniere $\frac{1}{2 x}$ und $2$ .

$- 3 + 6 \frac{2}{2 x}$

Schritt 1.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.3.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 3 + 6 \frac{2}{2 x}$

Schritt 1.3.7.2

Forme den Ausdruck um.

$- 3 + 6 \frac{1}{x}$

Schritt 1.3.8

Kombiniere $6$ und $\frac{1}{x}$ .

$- 3 + \frac{6}{x}$

Schritt 1.4

Stelle die Terme um.

$\frac{6}{x} - 3$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{6}{x} - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{6}{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{6}{x}) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{6}{x}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{6}{x}$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{- 1}) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f'' (x) = 6 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$f'' (x) = - 6 x^{- 2} + \frac{d}{d x} (- 3)$

Schritt 2.3

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - 6 x^{- 2} + 0$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{1}{x^{2}} + 0$

Schritt 2.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.4.2.1

Kombiniere $- 6$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 6}{x^{2}} + 0$

Schritt 2.4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{6}{x^{2}} + 0$

Schritt 2.4.2.3

Addiere $- \frac{6}{x^{2}}$ und $0$ .

$f'' (x) = - \frac{6}{x^{2}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{6}{x} - 3 = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 3 x + 6 \ln (2 x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [6 \ln (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [6 \ln (2 x)]$

Schritt 4.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Schritt 4.1.2.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6 \ln (2 x)]$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6 \ln (2 x)]$

Schritt 4.1.2.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$- 3 + \frac{d}{d x} [6 \ln (2 x)]$

Schritt 4.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [6 \ln (2 x)]$ .

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Schritt 4.1.3.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 \ln (2 x)$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [\ln (2 x)]$ .

$- 3 + 6 \frac{d}{d x} [\ln (2 x)]$

Schritt 4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 4.1.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$- 3 + 6 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 4.1.3.2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$- 3 + 6 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 4.1.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$- 3 + 6 (\frac{1}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 4.1.3.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 + 6 (\frac{1}{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 4.1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 3 + 6 (\frac{1}{2 x} (2 \cdot 1))$

Schritt 4.1.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- 3 + 6 (\frac{1}{2 x} \cdot 2)$

Schritt 4.1.3.6

Kombiniere $\frac{1}{2 x}$ und $2$ .

$- 3 + 6 \frac{2}{2 x}$

Schritt 4.1.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.3.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 3 + 6 \frac{2}{2 x}$

Schritt 4.1.3.7.2

Forme den Ausdruck um.

$- 3 + 6 \frac{1}{x}$

Schritt 4.1.3.8

Kombiniere $6$ und $\frac{1}{x}$ .

$- 3 + \frac{6}{x}$

Schritt 4.1.4

Stelle die Terme um.

$f' (x) = \frac{6}{x} - 3$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{6}{x} - 3$ .

$\frac{6}{x} - 3$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{6}{x} - 3 = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{6}{x} - 3 = 0$

Schritt 5.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{6}{x} = 3$

Schritt 5.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 5.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x, 1$

Schritt 5.3.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x$

Schritt 5.4

Multipliziere jeden Term in $\frac{6}{x} = 3$ mit $x$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 5.4.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{6}{x} = 3$ mit $x$ .

$\frac{6}{x} x = 3 x$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6}{x} x = 3 x$

Schritt 5.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$6 = 3 x$

Schritt 5.5

Löse die Gleichung.

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Schritt 5.5.1

Schreibe die Gleichung als $3 x = 6$ um.

$3 x = 6$

Schritt 5.5.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 6$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 6$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{6}{3}$

Schritt 5.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{6}{3}$

Schritt 5.5.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{6}{3}$

Schritt 5.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.2.3.1

Dividiere $6$ durch $3$ .

$x = 2$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Setze den Nenner in $\frac{6}{x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = 0$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 2$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 2$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \frac{6}{{(2)}^{2}}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{6}{4}$

Schritt 9.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $4$ .

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Schritt 9.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$- \frac{2 (3)}{4}$

Schritt 9.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$- \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Schritt 9.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Schritt 9.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{3}{2}$

Schritt 10

$x = 2$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 2$ ist ein lokales Maximum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 2$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = - 3 \cdot 2 + 6 \ln (2 (2))$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.1.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$f (2) = - 6 + 6 \ln (2 (2))$

Schritt 11.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (2) = - 6 + 6 \ln (4)$

Schritt 11.2.1.3

Vereinfache $6 \ln (4)$ , indem du $6$ in den Logarithmus ziehst.

$f (2) = - 6 + \ln (4^{6})$

Schritt 11.2.1.4

Potenziere $4$ mit $6$ .

$f (2) = - 6 + \ln (4096)$

Schritt 11.2.2

Die endgültige Lösung ist $- 6 + \ln (4096)$ .

$y = - 6 + \ln (4096)$

Schritt 12

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = - 3 x + 6 \ln (2 x)$ .

$(2, - 6 + \ln (4096))$ ist ein lokales Maximum

Schritt 13