Analysis Beispiele

$f (x) = 2 + 2 e^{- 0.3 x}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 + 2 e^{- 0.3 x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [2 e^{- 0.3 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [2 e^{- 0.3 x}]$

Schritt 1.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [2 e^{- 0.3 x}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 e^{- 0.3 x}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 e^{- 0.3 x}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [e^{- 0.3 x}]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d x} [e^{- 0.3 x}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - 0.3 x$ .

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Schritt 1.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- 0.3 x$ .

$0 + 2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 0.3 x])$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$0 + 2 (e^{u} \frac{d}{d x} [- 0.3 x])$

Schritt 1.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $- 0.3 x$ .

$0 + 2 (e^{- 0.3 x} \frac{d}{d x} [- 0.3 x])$

Schritt 1.2.3

Da $- 0.3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 0.3 x$ nach $x$ gleich $- 0.3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 2 (e^{- 0.3 x} (- 0.3 \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 2 (e^{- 0.3 x} (- 0.3 \cdot 1))$

Schritt 1.2.5

Mutltipliziere $- 0.3$ mit $1$ .

$0 + 2 (e^{- 0.3 x} \cdot - 0.3)$

Schritt 1.2.6

Bringe $- 0.3$ auf die linke Seite von $e^{- 0.3 x}$ .

$0 + 2 (- 0.3 \cdot e^{- 0.3 x})$

Schritt 1.2.7

Mutltipliziere $- 0.3$ mit $2$ .

$0 - 0.6 e^{- 0.3 x}$

Schritt 1.3

Subtrahiere $0.6 e^{- 0.3 x}$ von $0$ .

$- 0.6 e^{- 0.3 x}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Da $- 0.6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 0.6 e^{- 0.3 x}$ nach $x$ gleich $- 0.6 \frac{d}{d x} [e^{- 0.3 x}]$ .

$f'' (x) = - 0.6 \frac{d}{d x} e^{- 0.3 x}$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - 0.3 x$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- 0.3 x$ .

$f'' (x) = - 0.6 (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- 0.3 x))$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 0.6 (e^{u} \frac{d}{d x} (- 0.3 x))$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $- 0.3 x$ .

$f'' (x) = - 0.6 (e^{- 0.3 x} \frac{d}{d x} (- 0.3 x))$

Schritt 2.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1

Da $- 0.3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 0.3 x$ nach $x$ gleich $- 0.3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 0.6 e^{- 0.3 x} (- 0.3 \frac{d}{d x} x)$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $- 0.3$ mit $- 0.6$ .

$f'' (x) = 0.18 e^{- 0.3 x} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 0.18 e^{- 0.3 x} \cdot 1$

Schritt 2.3.4

Mutltipliziere $0.18$ mit $1$ .

$f'' (x) = 0.18 e^{- 0.3 x}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- 0.6 e^{- 0.3 x} = 0$

Schritt 4

Da es keinen Wert von $x$ gibt, der die erste Ableitung gleich $0$ macht, gibt es keine lokalen Extrema.

Keine lokalen Extrema

Schritt 5

Keine lokalen Extrema

Schritt 6