Analysis Beispiele

$\int x {(6 + \sqrt{x})}^{2} d x$

Schritt 1

Vereinfache.

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Schritt 1.1

Schreibe ${(6 + \sqrt{x})}^{2}$ als $(6 + \sqrt{x}) (6 + \sqrt{x})$ um.

$\int x ((6 + \sqrt{x}) (6 + \sqrt{x})) d x$

Schritt 1.2

Multipliziere $(6 + \sqrt{x}) (6 + \sqrt{x})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int x (6 (6 + \sqrt{x}) + \sqrt{x} (6 + \sqrt{x})) d x$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int x (6 \cdot 6 + 6 \sqrt{x} + \sqrt{x} (6 + \sqrt{x})) d x$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\int x (6 \cdot 6 + 6 \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 6 + \sqrt{x} \sqrt{x}) d x$

Schritt 1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Mutltipliziere $6$ mit $6$ .

$\int x (36 + 6 \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 6 + \sqrt{x} \sqrt{x}) d x$

Schritt 1.3.1.2

Bringe $6$ auf die linke Seite von $\sqrt{x}$ .

$\int x (36 + 6 \sqrt{x} + 6 \cdot \sqrt{x} + \sqrt{x} \sqrt{x}) d x$

Schritt 1.3.1.3

Multipliziere $\sqrt{x} \sqrt{x}$ .

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Schritt 1.3.1.3.1

Potenziere $\sqrt{x}$ mit $1$ .

$\int x (36 + 6 \sqrt{x} + 6 \sqrt{x} + {\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}) d x$

Schritt 1.3.1.3.2

Potenziere $\sqrt{x}$ mit $1$ .

$\int x (36 + 6 \sqrt{x} + 6 \sqrt{x} + {\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}) d x$

Schritt 1.3.1.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int x (36 + 6 \sqrt{x} + 6 \sqrt{x} + {\sqrt{x}}^{1 + 1}) d x$

Schritt 1.3.1.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\int x (36 + 6 \sqrt{x} + 6 \sqrt{x} + {\sqrt{x}}^{2}) d x$

Schritt 1.3.1.4

Schreibe ${\sqrt{x}}^{2}$ als $x$ um.

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Schritt 1.3.1.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int x (36 + 6 \sqrt{x} + 6 \sqrt{x} + {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) d x$

Schritt 1.3.1.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int x (36 + 6 \sqrt{x} + 6 \sqrt{x} + x^{\frac{1}{2} \cdot 2}) d x$

Schritt 1.3.1.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\int x (36 + 6 \sqrt{x} + 6 \sqrt{x} + x^{\frac{2}{2}}) d x$

Schritt 1.3.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.3.1.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int x (36 + 6 \sqrt{x} + 6 \sqrt{x} + x^{\frac{2}{2}}) d x$

Schritt 1.3.1.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\int x (36 + 6 \sqrt{x} + 6 \sqrt{x} + x^{1}) d x$

Schritt 1.3.1.4.5

Vereinfache.

$\int x (36 + 6 \sqrt{x} + 6 \sqrt{x} + x) d x$

Schritt 1.3.2

Addiere $6 \sqrt{x}$ und $6 \sqrt{x}$ .

$\int x (36 + 12 \sqrt{x} + x) d x$

Schritt 1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\int x \cdot 36 + x (12 \sqrt{x}) + x \cdot x d x$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Bringe $36$ auf die linke Seite von $x$ .

$\int 36 \cdot x + x (12 \sqrt{x}) + x \cdot x d x$

Schritt 1.5.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\int 36 \cdot x + 12 x \sqrt{x} + x \cdot x d x$

Schritt 1.5.3

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\int 36 \cdot x + 12 x \sqrt{x} + x^{2} d x$

$\int 36 x + 12 x \sqrt{x} + x^{2} d x$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int 36 x + 12 x \cdot x^{\frac{1}{2}} + x^{2} d x$

Schritt 2.2

Multipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.1

Bewege $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int 36 x + 12 (x^{\frac{1}{2}} x) + x^{2} d x$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $x$ .

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Schritt 2.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int 36 x + 12 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) + x^{2} d x$

Schritt 2.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 36 x + 12 x^{\frac{1}{2} + 1} + x^{2} d x$

Schritt 2.2.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\int 36 x + 12 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} + x^{2} d x$

Schritt 2.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int 36 x + 12 x^{\frac{1 + 2}{2}} + x^{2} d x$

Schritt 2.2.5

Addiere $1$ und $2$ .

$\int 36 x + 12 x^{\frac{3}{2}} + x^{2} d x$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 36 x d x + \int 12 x^{\frac{3}{2}} d x + \int x^{2} d x$

Schritt 4

Da $36$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $36$ aus dem Integral.

$36 \int x d x + \int 12 x^{\frac{3}{2}} d x + \int x^{2} d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$36 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 12 x^{\frac{3}{2}} d x + \int x^{2} d x$

Schritt 6

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $12$ aus dem Integral.

$36 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 12 \int x^{\frac{3}{2}} d x + \int x^{2} d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{3}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$36 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 12 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) + \int x^{2} d x$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$36 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 12 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Vereinfache.

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Schritt 9.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$36 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 12 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Schritt 9.1.2

Kombiniere $\frac{2}{5}$ und $x^{\frac{5}{2}}$ .

$36 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 12 (\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Schritt 9.2

Vereinfache.

$18 x^{2} + \frac{24 x^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Schritt 9.3

Stelle die Terme um.

$18 x^{2} + \frac{24}{5} x^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{3} x^{3} + C$