Analysis Beispiele

$f (x) = 2 x^{\frac{5}{2}} - 135 x - 1$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{\frac{5}{2}} - 135 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 135 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 135 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{5}{2}}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{\frac{5}{2}}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 135 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{5}{2}$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 135 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 135 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 135 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 135 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 135 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.2.6.2

Subtrahiere $2$ von $5$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 135 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.2.7

Kombiniere $\frac{5}{2}$ und $x^{\frac{3}{2}}$ .

$2 \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 135 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.2.8

Kombiniere $2$ und $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- 135 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.2.9

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$\frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 135 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.2.10

Faktorisiere $2$ aus $10 x^{\frac{3}{2}}$ heraus.

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- 135 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.2.11

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.11.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 135 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.2.11.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 135 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.2.11.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{1} + \frac{d}{d x} [- 135 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.2.11.4

Dividiere $5 x^{\frac{3}{2}}$ durch $1$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} + \frac{d}{d x} [- 135 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 135 x]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 135$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 135 x$ nach $x$ gleich $- 135 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} - 135 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} - 135 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $- 135$ mit $1$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} - 135 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} - 135 + 0$

Schritt 1.4.2

Addiere $5 x^{\frac{3}{2}} - 135$ und $0$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} - 135$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x^{\frac{3}{2}} - 135$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 135]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 135)$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{3}{2}}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{\frac{3}{2}}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$f'' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 135)$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{3}{2}$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} (- 135)$

Schritt 2.2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 135)$

Schritt 2.2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 135)$

Schritt 2.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = 5 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 135)$

Schritt 2.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 135)$

Schritt 2.2.6.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 135)$

Schritt 2.2.7

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (- 135)$

Schritt 2.2.8

Kombiniere $5$ und $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} (- 135)$

Schritt 2.2.9

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$f'' (x) = \frac{15 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} (- 135)$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.3.1

Da $- 135$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 135$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{15 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 0$

Schritt 2.3.2

Addiere $\frac{15 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{15 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$5 x^{\frac{3}{2}} - 135 = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{\frac{5}{2}} - 135 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 135 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 135 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 4.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{5}{2}}]$ .

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Schritt 4.1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{\frac{5}{2}}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 135 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{5}{2}$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 135 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 4.1.2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 135 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 4.1.2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 135 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 4.1.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 135 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 4.1.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 135 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 4.1.2.6.2

Subtrahiere $2$ von $5$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 135 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 4.1.2.7

Kombiniere $\frac{5}{2}$ und $x^{\frac{3}{2}}$ .

$2 \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 135 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 4.1.2.8

Kombiniere $2$ und $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- 135 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 4.1.2.9

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$\frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 135 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 4.1.2.10

Faktorisiere $2$ aus $10 x^{\frac{3}{2}}$ heraus.

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- 135 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 4.1.2.11

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.2.11.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 135 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 4.1.2.11.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 135 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 4.1.2.11.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{1} + \frac{d}{d x} [- 135 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 4.1.2.11.4

Dividiere $5 x^{\frac{3}{2}}$ durch $1$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} + \frac{d}{d x} [- 135 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 4.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 135 x]$ .

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Schritt 4.1.3.1

Da $- 135$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 135 x$ nach $x$ gleich $- 135 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} - 135 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} - 135 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 4.1.3.3

Mutltipliziere $- 135$ mit $1$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} - 135 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 4.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 4.1.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} - 135 + 0$

Schritt 4.1.4.2

Addiere $5 x^{\frac{3}{2}} - 135$ und $0$ .

$f' (x) = 5 x^{\frac{3}{2}} - 135$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $5 x^{\frac{3}{2}} - 135$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} - 135$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $5 x^{\frac{3}{2}} - 135 = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} - 135 = 0$

Schritt 5.2

Addiere $135$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 x^{\frac{3}{2}} = 135$

Schritt 5.3

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $\frac{2}{3}$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(5 x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = 135^{\frac{2}{3}}$

Schritt 5.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.1

Vereinfache ${(5 x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Schritt 5.4.1.1

Wende die Produktregel auf $5 x^{\frac{3}{2}}$ an.

$5^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = 135^{\frac{2}{3}}$

Schritt 5.4.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Schritt 5.4.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5^{\frac{2}{3}} x^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = 135^{\frac{2}{3}}$

Schritt 5.4.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.4.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5^{\frac{2}{3}} x^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = 135^{\frac{2}{3}}$

Schritt 5.4.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$5^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 135^{\frac{2}{3}}$

Schritt 5.4.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.4.1.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 135^{\frac{2}{3}}$

Schritt 5.4.1.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$5^{\frac{2}{3}} x^{1} = 135^{\frac{2}{3}}$

Schritt 5.4.1.3

Vereinfache.

$5^{\frac{2}{3}} x = 135^{\frac{2}{3}}$

Schritt 5.4.1.4

Stelle die Faktoren in $5^{\frac{2}{3}} x$ um.

$x \cdot 5^{\frac{2}{3}} = 135^{\frac{2}{3}}$

Schritt 5.5

Teile jeden Ausdruck in $x \cdot 5^{\frac{2}{3}} = 135^{\frac{2}{3}}$ durch $5^{\frac{2}{3}}$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.1

Teile jeden Ausdruck in $x \cdot 5^{\frac{2}{3}} = 135^{\frac{2}{3}}$ durch $5^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{x \cdot 5^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}} = \frac{135^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \cdot 5^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}} = \frac{135^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5.5.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{135^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.3.1

Wende die Quotientenregel an $\frac{a^{m}}{b^{m}} = {(\frac{a}{b})}^{m}$ .

$x = {(\frac{135}{5})}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 5.5.3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.5.3.2.1

Dividiere $135$ durch $5$ .

$x = 27^{\frac{2}{3}}$

Schritt 5.5.3.2.2

Schreibe $27$ als $3^{3}$ um.

$x = {(3^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 5.5.3.2.3

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 3^{3 (\frac{2}{3})}$

Schritt 5.5.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.5.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 3^{3 (\frac{2}{3})}$

Schritt 5.5.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 3^{2}$

Schritt 5.5.3.4

Potenziere $3$ mit $2$ .

$x = 9$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$5 \sqrt{x^{3}} - 135$

Schritt 6.2

Setze den Radikanden in $\sqrt{x^{3}}$ kleiner als $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{3} < 0$

Schritt 6.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Ungleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sqrt[3]{x^{3}} < \sqrt[3]{0}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 6.3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x < \sqrt[3]{0}$

Schritt 6.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.2.1

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$x < \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 6.3.2.2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x < 0$

Schritt 6.4

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 9$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 9$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{15 {(9)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{15 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 9.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{15 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}}{2}$

Schritt 9.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{15 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}}{2}$

Schritt 9.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{15 \cdot 3^{1}}{2}$

Schritt 9.1.4

Berechne den Exponenten.

$\frac{15 \cdot 3}{2}$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $15$ mit $3$ .

$\frac{45}{2}$

Schritt 10

$x = 9$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 9$ ist ein lokales Minimum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 9$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $9$ .

$f (9) = 2 {(9)}^{\frac{5}{2}} - 135 \cdot 9 - 1$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.1.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$f (9) = 2 {(3^{2})}^{\frac{5}{2}} - 135 \cdot 9 - 1$

Schritt 11.2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (9) = 2 \cdot 3^{2 (\frac{5}{2})} - 135 \cdot 9 - 1$

Schritt 11.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (9) = 2 \cdot 3^{2 (\frac{5}{2})} - 135 \cdot 9 - 1$

Schritt 11.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f (9) = 2 \cdot 3^{5} - 135 \cdot 9 - 1$

Schritt 11.2.1.4

Potenziere $3$ mit $5$ .

$f (9) = 2 \cdot 243 - 135 \cdot 9 - 1$

Schritt 11.2.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $243$ .

$f (9) = 486 - 135 \cdot 9 - 1$

Schritt 11.2.1.6

Mutltipliziere $- 135$ mit $9$ .

$f (9) = 486 - 1215 - 1$

Schritt 11.2.2

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 11.2.2.1

Subtrahiere $1215$ von $486$ .

$f (9) = - 729 - 1$

Schritt 11.2.2.2

Subtrahiere $1$ von $- 729$ .

$f (9) = - 730$

Schritt 11.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 730$ .

$y = - 730$

Schritt 12

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = 2 x^{\frac{5}{2}} - 135 x - 1$ .

$(9, - 730)$ ist ein lokales Minimum

Schritt 13