Analysis Beispiele

$f (x) = 2 x^{\frac{5}{2}} - x^{2}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{\frac{5}{2}} - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{5}{2}}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{\frac{5}{2}}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{5}{2}$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 1.2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 1.2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 1.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 1.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 1.2.6.2

Subtrahiere $2$ von $5$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 1.2.7

Kombiniere $\frac{5}{2}$ und $x^{\frac{3}{2}}$ .

$2 \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 1.2.8

Kombiniere $2$ und $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 1.2.9

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$\frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 1.2.10

Faktorisiere $2$ aus $10 x^{\frac{3}{2}}$ heraus.

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 1.2.11

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.11.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 1.2.11.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 1.2.11.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{1} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 1.2.11.4

Dividiere $5 x^{\frac{3}{2}}$ durch $1$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} - (2 x)$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} - 2 x$

Schritt 1.4

Stelle die Terme um.

$- 2 x + 5 x^{\frac{3}{2}}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 2 x + 5 x^{\frac{3}{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5 x^{\frac{3}{2}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{3}{2}})$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{3}{2}})$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{3}{2}})$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 2 + \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{3}{2}})$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{3}{2}}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{\frac{3}{2}}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$f'' (x) = - 2 + 5 \frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{2}})$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{3}{2}$ .

$f'' (x) = - 2 + 5 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

Schritt 2.3.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - 2 + 5 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 2.3.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - 2 + 5 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 2.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = - 2 + 5 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 2.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = - 2 + 5 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

Schritt 2.3.6.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$f'' (x) = - 2 + 5 (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 2.3.7

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - 2 + 5 (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 2.3.8

Kombiniere $5$ und $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = - 2 + \frac{5 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Schritt 2.3.9

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$f'' (x) = - 2 + \frac{15 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- 2 x + 5 x^{\frac{3}{2}} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{\frac{5}{2}} - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 4.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{5}{2}}]$ .

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Schritt 4.1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{\frac{5}{2}}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{5}{2}$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 4.1.2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 4.1.2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 4.1.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 4.1.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 4.1.2.6.2

Subtrahiere $2$ von $5$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 4.1.2.7

Kombiniere $\frac{5}{2}$ und $x^{\frac{3}{2}}$ .

$2 \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 4.1.2.8

Kombiniere $2$ und $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 4.1.2.9

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$\frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 4.1.2.10

Faktorisiere $2$ aus $10 x^{\frac{3}{2}}$ heraus.

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 4.1.2.11

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.2.11.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 4.1.2.11.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 4.1.2.11.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{1} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 4.1.2.11.4

Dividiere $5 x^{\frac{3}{2}}$ durch $1$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 4.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Schritt 4.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} - (2 x)$

Schritt 4.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} - 2 x$

Schritt 4.1.4

Stelle die Terme um.

$f' (x) = - 2 x + 5 x^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 2 x + 5 x^{\frac{3}{2}}$ .

$- 2 x + 5 x^{\frac{3}{2}}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 2 x + 5 x^{\frac{3}{2}} = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- 2 x + 5 x^{\frac{3}{2}} = 0$

Schritt 5.2

Faktorisiere $- x$ aus $- 2 x + 5 x^{\frac{3}{2}}$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $- x$ aus $- 2 x$ heraus.

$- x \cdot 2 + 5 x^{\frac{3}{2}} = 0$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $- x$ aus $5 x^{\frac{3}{2}}$ heraus.

$- x \cdot 2 - x (- 5 x^{\frac{1}{2}}) = 0$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $- x$ aus $- x (2) - x (- 5 x^{\frac{1}{2}})$ heraus.

$- x (2 - 5 x^{\frac{1}{2}}) = 0$

Schritt 5.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$2 - 5 x^{\frac{1}{2}} = 0$

Schritt 5.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 5.5

Setze $2 - 5 x^{\frac{1}{2}}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.5.1

Setze $2 - 5 x^{\frac{1}{2}}$ gleich $0$ .

$2 - 5 x^{\frac{1}{2}} = 0$

Schritt 5.5.2

Löse $2 - 5 x^{\frac{1}{2}} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.5.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 5 x^{\frac{1}{2}} = - 2$

Schritt 5.5.2.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $2$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(- 5 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Schritt 5.5.2.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 5.5.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.3.1.1

Vereinfache ${(- 5 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.5.2.3.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- 5 x^{\frac{1}{2}}$ an.

${(- 5)}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Schritt 5.5.2.3.1.1.2

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$25 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Schritt 5.5.2.3.1.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.5.2.3.1.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$25 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2)}^{2}$

Schritt 5.5.2.3.1.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.5.2.3.1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$25 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2)}^{2}$

Schritt 5.5.2.3.1.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$25 x^{1} = {(- 2)}^{2}$

Schritt 5.5.2.3.1.1.4

Vereinfache.

$25 x = {(- 2)}^{2}$

Schritt 5.5.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.2.3.2.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$25 x = 4$

Schritt 5.5.2.4

Teile jeden Ausdruck in $25 x = 4$ durch $25$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.2.4.1

Teile jeden Ausdruck in $25 x = 4$ durch $25$ .

$\frac{25 x}{25} = \frac{4}{25}$

Schritt 5.5.2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $25$ .

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Schritt 5.5.2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{25 x}{25} = \frac{4}{25}$

Schritt 5.5.2.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{4}{25}$

Schritt 5.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- x (2 - 5 x^{\frac{1}{2}}) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \frac{4}{25}$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$- 2 x + 5 \sqrt{x^{3}}$

Schritt 6.2

Setze den Radikanden in $\sqrt{x^{3}}$ kleiner als $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{3} < 0$

Schritt 6.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Ungleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sqrt[3]{x^{3}} < \sqrt[3]{0}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 6.3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x < \sqrt[3]{0}$

Schritt 6.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.2.1

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$x < \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 6.3.2.2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x < 0$

Schritt 6.4

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 0, \frac{4}{25}$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- 2 + \frac{15 {(0)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.1.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$- 2 + \frac{15 \cdot {(0^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 9.1.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 + \frac{15 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})}}{2}$

Schritt 9.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 2 + \frac{15 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})}}{2}$

Schritt 9.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$- 2 + \frac{15 \cdot 0^{1}}{2}$

Schritt 9.1.1.4

Berechne den Exponenten.

$- 2 + \frac{15 \cdot 0}{2}$

Schritt 9.1.2

Mutltipliziere $15$ mit $0$ .

$- 2 + \frac{0}{2}$

Schritt 9.1.3

Dividiere $0$ durch $2$ .

$- 2 + 0$

Schritt 9.2

Addiere $- 2$ und $0$ .

$- 2$

Schritt 10

$x = 0$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 0$ ist ein lokales Maximum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 0$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = 2 {(0)}^{\frac{5}{2}} - {(0)}^{2}$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.1.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$f (0) = 2 {(0^{2})}^{\frac{5}{2}} - {(0)}^{2}$

Schritt 11.2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (0) = 2 \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})} - {(0)}^{2}$

Schritt 11.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (0) = 2 \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})} - {(0)}^{2}$

Schritt 11.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f (0) = 2 \cdot 0^{5} - {(0)}^{2}$

Schritt 11.2.1.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 2 \cdot 0 - {(0)}^{2}$

Schritt 11.2.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$f (0) = 0 - {(0)}^{2}$

Schritt 11.2.1.6

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 0 - 0$

Schritt 11.2.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Schritt 11.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$f (0) = 0$

Schritt 11.2.3

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$y = 0$

Schritt 12

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{4}{25}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- 2 + \frac{15 {(\frac{4}{25})}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 13.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{4}{25}$ an.

$- 2 + \frac{15 \frac{4^{\frac{1}{2}}}{25^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Schritt 13.1.1.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.1.1.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$- 2 + \frac{15 \frac{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}{25^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Schritt 13.1.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 + \frac{15 \frac{2^{2 (\frac{1}{2})}}{25^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Schritt 13.1.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 13.1.1.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 2 + \frac{15 \frac{2^{2 (\frac{1}{2})}}{25^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Schritt 13.1.1.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$- 2 + \frac{15 \frac{2^{1}}{25^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Schritt 13.1.1.2.4

Berechne den Exponenten.

$- 2 + \frac{15 \frac{2}{25^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Schritt 13.1.1.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 13.1.1.3.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$- 2 + \frac{15 \frac{2}{{(5^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Schritt 13.1.1.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 + \frac{15 \frac{2}{5^{2 (\frac{1}{2})}}}{2}$

Schritt 13.1.1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 13.1.1.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 2 + \frac{15 \frac{2}{5^{2 (\frac{1}{2})}}}{2}$

Schritt 13.1.1.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$- 2 + \frac{15 \frac{2}{5^{1}}}{2}$

Schritt 13.1.1.3.4

Berechne den Exponenten.

$- 2 + \frac{15 (\frac{2}{5})}{2}$

Schritt 13.1.2

Kombiniere $15$ und $\frac{2}{5}$ .

$- 2 + \frac{\frac{15 \cdot 2}{5}}{2}$

Schritt 13.1.3

Mutltipliziere $15$ mit $2$ .

$- 2 + \frac{\frac{30}{5}}{2}$

Schritt 13.1.4

Dividiere $30$ durch $5$ .

$- 2 + \frac{6}{2}$

Schritt 13.1.5

Dividiere $6$ durch $2$ .

$- 2 + 3$

Schritt 13.2

Addiere $- 2$ und $3$ .

$1$

Schritt 14

$x = \frac{4}{25}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{4}{25}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 15

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{4}{25}$ .

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Schritt 15.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{4}{25}$ .

$f (\frac{4}{25}) = 2 {(\frac{4}{25})}^{\frac{5}{2}} - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Schritt 15.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 15.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{4}{25}$ an.

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{4^{\frac{5}{2}}}{25^{\frac{5}{2}}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Schritt 15.2.1.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 15.2.1.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{{(2^{2})}^{\frac{5}{2}}}{25^{\frac{5}{2}}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Schritt 15.2.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{2^{2 (\frac{5}{2})}}{25^{\frac{5}{2}}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Schritt 15.2.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 15.2.1.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{2^{2 (\frac{5}{2})}}{25^{\frac{5}{2}}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Schritt 15.2.1.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{2^{5}}{25^{\frac{5}{2}}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Schritt 15.2.1.2.4

Potenziere $2$ mit $5$ .

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{32}{25^{\frac{5}{2}}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Schritt 15.2.1.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 15.2.1.3.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{32}{{(5^{2})}^{\frac{5}{2}}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Schritt 15.2.1.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{32}{5^{2 (\frac{5}{2})}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Schritt 15.2.1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 15.2.1.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{32}{5^{2 (\frac{5}{2})}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Schritt 15.2.1.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{32}{5^{5}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Schritt 15.2.1.3.4

Potenziere $5$ mit $5$ .

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{32}{3125}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Schritt 15.2.1.4

Multipliziere $2 (\frac{32}{3125})$ .

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Schritt 15.2.1.4.1

Kombiniere $2$ und $\frac{32}{3125}$ .

$f (\frac{4}{25}) = \frac{2 \cdot 32}{3125} - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Schritt 15.2.1.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $32$ .

$f (\frac{4}{25}) = \frac{64}{3125} - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Schritt 15.2.1.5

Wende die Produktregel auf $\frac{4}{25}$ an.

$f (\frac{4}{25}) = \frac{64}{3125} - \frac{4^{2}}{25^{2}}$

Schritt 15.2.1.6

Potenziere $4$ mit $2$ .

$f (\frac{4}{25}) = \frac{64}{3125} - \frac{16}{25^{2}}$

Schritt 15.2.1.7

Potenziere $25$ mit $2$ .

$f (\frac{4}{25}) = \frac{64}{3125} - \frac{16}{625}$

Schritt 15.2.2

Um $- \frac{16}{625}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{4}{25}) = \frac{64}{3125} - \frac{16}{625} \cdot \frac{5}{5}$

Schritt 15.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $3125$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 15.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{16}{625}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{4}{25}) = \frac{64}{3125} - \frac{16 \cdot 5}{625 \cdot 5}$

Schritt 15.2.3.2

Mutltipliziere $625$ mit $5$ .

$f (\frac{4}{25}) = \frac{64}{3125} - \frac{16 \cdot 5}{3125}$

Schritt 15.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{4}{25}) = \frac{64 - 16 \cdot 5}{3125}$

Schritt 15.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 15.2.5.1

Mutltipliziere $- 16$ mit $5$ .

$f (\frac{4}{25}) = \frac{64 - 80}{3125}$

Schritt 15.2.5.2

Subtrahiere $80$ von $64$ .

$f (\frac{4}{25}) = \frac{- 16}{3125}$

Schritt 15.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{4}{25}) = - \frac{16}{3125}$

Schritt 15.2.7

Die endgültige Lösung ist $- \frac{16}{3125}$ .

$y = - \frac{16}{3125}$

Schritt 16

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = 2 x^{\frac{5}{2}} - x^{2}$ .

$(0, 0)$ ist ein lokales Maximum

$(\frac{4}{25}, - \frac{16}{3125})$ ist ein lokales Minimum

Schritt 17