Gib eine Aufgabe ein ...
Analysis Beispiele
Schritt 1
Schritt 1.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.2
Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass gleich ist mit und .
Schritt 1.3
Differenziere.
Schritt 1.3.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 1.3.2
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.3.3
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.3.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.3.5
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.3.6
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.3.7
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.3.8
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.3.9
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.3.10
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.3.11
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 1.3.12
Addiere und .
Schritt 1.3.13
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 1.3.14
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.3.15
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 1.3.16
Vereinfache den Ausdruck.
Schritt 1.3.16.1
Addiere und .
Schritt 1.3.16.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4
Vereinfache.
Schritt 1.4.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 1.4.2
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 1.4.3
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 1.4.4
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 1.4.5
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 1.4.6
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 1.4.7
Vereine die Terme
Schritt 1.4.7.1
Potenziere mit .
Schritt 1.4.7.2
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 1.4.7.3
Addiere und .
Schritt 1.4.7.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.7.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.7.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.7.7
Potenziere mit .
Schritt 1.4.7.8
Potenziere mit .
Schritt 1.4.7.9
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 1.4.7.10
Addiere und .
Schritt 1.4.7.11
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.7.12
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.7.13
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.7.14
Addiere und .
Schritt 1.4.7.15
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 1.4.7.16
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.7.17
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.7.18
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.7.19
Subtrahiere von .
Schritt 1.4.7.20
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.7.21
Addiere und .
Schritt 1.4.7.22
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.7.23
Addiere und .
Schritt 1.4.7.24
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.7.25
Subtrahiere von .
Schritt 1.4.7.26
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.7.27
Subtrahiere von .
Schritt 2
Schritt 2.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 2.2
Berechne .
Schritt 2.2.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 2.2.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 2.2.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.3
Berechne .
Schritt 2.3.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 2.3.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 2.3.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.4
Berechne .
Schritt 2.4.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 2.4.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 2.4.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.5
Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.
Schritt 2.5.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 2.5.2
Addiere und .
Schritt 3
Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich und löse die Gleichung.
Schritt 4
Schritt 4.1
Bestimme die erste Ableitung.
Schritt 4.1.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 4.1.2
Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass gleich ist mit und .
Schritt 4.1.3
Differenziere.
Schritt 4.1.3.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 4.1.3.2
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 4.1.3.3
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 4.1.3.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.1.3.5
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 4.1.3.6
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 4.1.3.7
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.1.3.8
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 4.1.3.9
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 4.1.3.10
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.1.3.11
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 4.1.3.12
Addiere und .
Schritt 4.1.3.13
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 4.1.3.14
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 4.1.3.15
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 4.1.3.16
Vereinfache den Ausdruck.
Schritt 4.1.3.16.1
Addiere und .
Schritt 4.1.3.16.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.1.4
Vereinfache.
Schritt 4.1.4.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 4.1.4.2
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 4.1.4.3
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 4.1.4.4
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 4.1.4.5
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 4.1.4.6
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 4.1.4.7
Vereine die Terme
Schritt 4.1.4.7.1
Potenziere mit .
Schritt 4.1.4.7.2
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 4.1.4.7.3
Addiere und .
Schritt 4.1.4.7.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.1.4.7.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.1.4.7.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.1.4.7.7
Potenziere mit .
Schritt 4.1.4.7.8
Potenziere mit .
Schritt 4.1.4.7.9
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 4.1.4.7.10
Addiere und .
Schritt 4.1.4.7.11
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.1.4.7.12
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.1.4.7.13
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.1.4.7.14
Addiere und .
Schritt 4.1.4.7.15
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 4.1.4.7.16
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.1.4.7.17
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.1.4.7.18
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.1.4.7.19
Subtrahiere von .
Schritt 4.1.4.7.20
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.1.4.7.21
Addiere und .
Schritt 4.1.4.7.22
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.1.4.7.23
Addiere und .
Schritt 4.1.4.7.24
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.1.4.7.25
Subtrahiere von .
Schritt 4.1.4.7.26
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.1.4.7.27
Subtrahiere von .
Schritt 4.2
Die erste Ableitung von nach ist .
Schritt 5
Schritt 5.1
Setze die erste Ableitung gleich .
Schritt 5.2
Stelle jede Seite der Gleichung graphisch dar. Die Lösung ist der x-Wert des Schnittpunktes.
Schritt 6
Schritt 6.1
Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.
Schritt 7
Kritische Punkte zum auswerten.
Schritt 8
Berechne die zweite Ableitung an der Stelle . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.
Schritt 9
Schritt 9.1
Vereinfache jeden Term.
Schritt 9.1.1
Potenziere mit .
Schritt 9.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 9.1.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 9.2
Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.
Schritt 9.2.1
Addiere und .
Schritt 9.2.2
Subtrahiere von .
Schritt 10
ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.
ist ein lokales Minimum
Schritt 11
Schritt 11.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 11.2
Vereinfache das Ergebnis.
Schritt 11.2.1
Vereinfache den Ausdruck.
Schritt 11.2.1.1
Subtrahiere von .
Schritt 11.2.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 11.2.2
Vereinfache jeden Term.
Schritt 11.2.2.1
Potenziere mit .
Schritt 11.2.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 11.2.2.3
Potenziere mit .
Schritt 11.2.2.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 11.2.2.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 11.2.3
Vereinfache den Ausdruck.
Schritt 11.2.3.1
Addiere und .
Schritt 11.2.3.2
Addiere und .
Schritt 11.2.3.3
Subtrahiere von .
Schritt 11.2.3.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 11.2.4
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 12
Berechne die zweite Ableitung an der Stelle . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.
Schritt 13
Schritt 13.1
Vereinfache jeden Term.
Schritt 13.1.1
Potenziere mit .
Schritt 13.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 13.1.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 13.2
Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.
Schritt 13.2.1
Subtrahiere von .
Schritt 13.2.2
Subtrahiere von .
Schritt 14
ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.
ist ein lokales Maximum
Schritt 15
Schritt 15.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 15.2
Vereinfache das Ergebnis.
Schritt 15.2.1
Vereinfache den Ausdruck.
Schritt 15.2.1.1
Subtrahiere von .
Schritt 15.2.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 15.2.2
Vereinfache jeden Term.
Schritt 15.2.2.1
Potenziere mit .
Schritt 15.2.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 15.2.2.3
Potenziere mit .
Schritt 15.2.2.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 15.2.2.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 15.2.3
Vereinfache den Ausdruck.
Schritt 15.2.3.1
Addiere und .
Schritt 15.2.3.2
Subtrahiere von .
Schritt 15.2.3.3
Subtrahiere von .
Schritt 15.2.3.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 15.2.4
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 16
Berechne die zweite Ableitung an der Stelle . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.
Schritt 17
Schritt 17.1
Vereinfache jeden Term.
Schritt 17.1.1
Potenziere mit .
Schritt 17.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 17.1.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 17.2
Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.
Schritt 17.2.1
Subtrahiere von .
Schritt 17.2.2
Subtrahiere von .
Schritt 18
ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.
ist ein lokales Minimum
Schritt 19
Schritt 19.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 19.2
Vereinfache das Ergebnis.
Schritt 19.2.1
Vereinfache den Ausdruck.
Schritt 19.2.1.1
Subtrahiere von .
Schritt 19.2.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 19.2.2
Vereinfache jeden Term.
Schritt 19.2.2.1
Potenziere mit .
Schritt 19.2.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 19.2.2.3
Potenziere mit .
Schritt 19.2.2.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 19.2.2.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 19.2.3
Vereinfache den Ausdruck.
Schritt 19.2.3.1
Addiere und .
Schritt 19.2.3.2
Subtrahiere von .
Schritt 19.2.3.3
Subtrahiere von .
Schritt 19.2.3.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 19.2.4
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 20
Dies sind die lokalen Extrema für .
ist ein lokales Minimum
ist ein lokales Maximum
ist ein lokales Minimum
Schritt 21