Analysis Beispiele

$f (x) = 2 x^{2} \cdot (3 x y) + 4 y^{2} - 2 x + 10 y$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{2} \cdot (3 x y) + 4 y^{2} - 2 x + 10 y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{2} \cdot (3 x y)] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} \cdot (3 x y)] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{2} \cdot (3 x y)]$ .

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Schritt 1.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2} \cdot (x y)] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Schritt 1.2.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [6 (x^{1} x^{2}) \cdot y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Schritt 1.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d}{d x} [6 x^{1 + 2} \cdot y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Schritt 1.2.4

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{3} \cdot y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Schritt 1.2.5

Da $6 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x^{3} y$ nach $x$ gleich $6 y \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$6 y \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Schritt 1.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$6 y (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Schritt 1.2.7

Mutltipliziere $3$ mit $6$ .

$18 y x^{2} + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Schritt 1.3

Da $4 y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 y^{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$18 y x^{2} + 0 + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Schritt 1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Schritt 1.4.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$18 y x^{2} + 0 - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Schritt 1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$18 y x^{2} + 0 - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [10 y]$

Schritt 1.4.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$18 y x^{2} + 0 - 2 + \frac{d}{d x} [10 y]$

Schritt 1.5

Da $10 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $10 y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$18 y x^{2} + 0 - 2 + 0$

Schritt 1.6

Vereinfache.

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Schritt 1.6.1

Vereine die Terme

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Schritt 1.6.1.1

Addiere $18 y x^{2}$ und $0$ .

$18 y x^{2} - 2 + 0$

Schritt 1.6.1.2

Addiere $18 y x^{2} - 2$ und $0$ .

$18 y x^{2} - 2$

Schritt 1.6.2

Stelle die Terme um.

$18 x^{2} y - 2$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $18 x^{2} y - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [18 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (18 x^{2} y) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [18 x^{2} y]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $18 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $18 x^{2} y$ nach $x$ gleich $18 y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 18 y \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 18 y (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $18$ .

$f'' (x) = 36 y x + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 2.3

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 36 y x + 0$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Addiere $36 y x$ und $0$ .

$f'' (x) = 36 y x$

Schritt 2.4.2

Stelle die Faktoren von $36 y x$ um.

$f'' (x) = 36 x y$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$18 x^{2} y - 2 = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} \cdot (3 x y)] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Schritt 4.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{2} \cdot (3 x y)]$ .

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2} \cdot (x y)] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Schritt 4.1.2.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [6 (x^{1} x^{2}) \cdot y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Schritt 4.1.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d}{d x} [6 x^{1 + 2} \cdot y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Schritt 4.1.2.4

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{3} \cdot y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Schritt 4.1.2.5

Da $6 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x^{3} y$ nach $x$ gleich $6 y \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$6 y \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Schritt 4.1.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$6 y (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Schritt 4.1.2.7

Mutltipliziere $3$ mit $6$ .

$18 y x^{2} + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Schritt 4.1.3

Da $4 y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 y^{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$18 y x^{2} + 0 + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Schritt 4.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Schritt 4.1.4.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$18 y x^{2} + 0 - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Schritt 4.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$18 y x^{2} + 0 - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [10 y]$

Schritt 4.1.4.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$18 y x^{2} + 0 - 2 + \frac{d}{d x} [10 y]$

Schritt 4.1.5

Da $10 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $10 y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$18 y x^{2} + 0 - 2 + 0$

Schritt 4.1.6

Vereinfache.

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Schritt 4.1.6.1

Vereine die Terme

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Schritt 4.1.6.1.1

Addiere $18 y x^{2}$ und $0$ .

$18 y x^{2} - 2 + 0$

Schritt 4.1.6.1.2

Addiere $18 y x^{2} - 2$ und $0$ .

$18 y x^{2} - 2$

Schritt 4.1.6.2

Stelle die Terme um.

$f' (x) = 18 x^{2} y - 2$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $18 x^{2} y - 2$ .

$18 x^{2} y - 2$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $18 x^{2} y - 2 = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$18 x^{2} y - 2 = 0$

Schritt 5.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$18 x^{2} y = 2$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $18 x^{2} y = 2$ durch $18 y$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $18 x^{2} y = 2$ durch $18 y$ .

$\frac{18 x^{2} y}{18 y} = \frac{2}{18 y}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $18$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{18 x^{2} y}{18 y} = \frac{2}{18 y}$

Schritt 5.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{2} y}{y} = \frac{2}{18 y}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} y}{y} = \frac{2}{18 y}$

Schritt 5.3.2.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{2}{18 y}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $18$ .

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Schritt 5.3.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$x^{2} = \frac{2 (1)}{18 y}$

Schritt 5.3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $18 y$ heraus.

$x^{2} = \frac{2 (1)}{2 (9 y)}$

Schritt 5.3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} = \frac{2 \cdot 1}{2 (9 y)}$

Schritt 5.3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} = \frac{1}{9 y}$

Schritt 5.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{9 y}}$

Schritt 5.5

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{1}{9 y}}$ .

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Schritt 5.5.1

Schreibe $\frac{1}{9 y}$ als ${(\frac{1}{3})}^{2} \frac{1}{y}$ um.

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Schritt 5.5.1.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $1$ heraus.

$x = \pm \sqrt{\frac{1^{2} \cdot 1}{9 y}}$

Schritt 5.5.1.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $3^{2}$ aus $9 y$ heraus.

$x = \pm \sqrt{\frac{1^{2} \cdot 1}{3^{2} y}}$

Schritt 5.5.1.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} \cdot 1}{3^{2} y}$ um.

$x = \pm \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} \frac{1}{y}}$

Schritt 5.5.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm \frac{1}{3} \sqrt{\frac{1}{y}}$

Schritt 5.5.3

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{y}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{y}}$ um.

$x = \pm \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{y}}$

Schritt 5.5.4

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{y}}$

Schritt 5.5.5

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{y}}$ mit $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

$x = \pm \frac{1}{3} (\frac{1}{\sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}})$

Schritt 5.5.6

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.5.6.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{y}}$ mit $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

$x = \pm \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y} \sqrt{y}}$

Schritt 5.5.6.2

Potenziere $\sqrt{y}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y}}$

Schritt 5.5.6.3

Potenziere $\sqrt{y}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1}}$

Schritt 5.5.6.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1 + 1}}$

Schritt 5.5.6.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{2}}$

Schritt 5.5.6.6

Schreibe ${\sqrt{y}}^{2}$ als $y$ um.

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Schritt 5.5.6.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y}$ als $y^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{y}}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 5.5.6.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{y}}{y^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 5.5.6.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.5.6.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.5.6.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.5.6.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{y}}{y^{1}}$

Schritt 5.5.6.6.5

Vereinfache.

$x = \pm \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{y}}{y}$

Schritt 5.5.7

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{\sqrt{y}}{y}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{y}}{3 y}$

Schritt 5.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{\sqrt{y}}{3 y}$

Schritt 5.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{\sqrt{y}}{3 y}$

Schritt 5.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{\sqrt{y}}{3 y}$

$x = - \frac{\sqrt{y}}{3 y}$

$x = \frac{\sqrt{y}}{3 y}$

$x = - \frac{\sqrt{y}}{3 y}$

$x = \frac{\sqrt{y}}{3 y}$

$x = - \frac{\sqrt{y}}{3 y}$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = \frac{\sqrt{y}}{3 y}$

$x = - \frac{\sqrt{y}}{3 y}$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{\sqrt{y}}{3 y}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$36 (\frac{\sqrt{y}}{3 y}) y$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 9.1.1

Faktorisiere $3$ aus $36$ heraus.

$3 (12) \frac{\sqrt{y}}{3 y} y$

Schritt 9.1.2

Faktorisiere $3$ aus $3 y$ heraus.

$3 (12) \frac{\sqrt{y}}{3 (y)} y$

Schritt 9.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \cdot 12 \frac{\sqrt{y}}{3 y} y$

Schritt 9.1.4

Forme den Ausdruck um.

$12 \frac{\sqrt{y}}{y} y$

Schritt 9.2

Kombiniere $12$ und $\frac{\sqrt{y}}{y}$ .

$\frac{12 \sqrt{y}}{y} y$

Schritt 9.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 9.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12 \sqrt{y}}{y} y$

Schritt 9.3.2

Forme den Ausdruck um.

$12 \sqrt{y}$

Schritt 10

Da es mindestens einen Punkt mit $0$ oder eine nicht definierte zweite Ableitung gibt, wende den ersten Ableitungstest an.

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Schritt 10.1

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu $0$ oder nicht definiert machen.

$(- \infty, \infty)$

Schritt 10.2

Setze eine beliebige Zahl, wie $0$ , aus dem Intervall $(- \infty, \infty)$ in die erste Ableitung $18 x^{2} y - 2$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 10.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f' (0) = 18 {(0)}^{2} y - 2$

Schritt 10.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 10.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.2.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f' (0) = 18 \cdot (0 y) - 2$

Schritt 10.2.2.1.2

Mutltipliziere $18$ mit $0$ .

$f' (0) = 0 y - 2$

Schritt 10.2.2.1.3

Mutltipliziere $0$ mit $y$ .

$f' (0) = 0 - 2$

Schritt 10.2.2.2

Subtrahiere $2$ von $0$ .

$f' (0) = - 2$

Schritt 10.2.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 2$ .

$- 2$

Schritt 10.3

Keine lokalen Maxima oder Minima für $f (x) = 2 x^{2} \cdot (3 x y) + 4 y^{2} - 2 x + 10 y$ gefunden.

Keine lokalen Maxima oder Minima

Schritt 11