Analysis Beispiele

$f (x) = 2 x (100 - \frac{4}{3} x)$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1.1

Kombiniere $x$ und $\frac{4}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [2 x (100 - \frac{x \cdot 4}{3})]$

Schritt 1.1.1.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x (100 - \frac{4 x}{3})]$

Schritt 1.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x (100 - \frac{4 x}{3})$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x (100 - \frac{4 x}{3})]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x (100 - \frac{4 x}{3})]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = 100 - \frac{4 x}{3}$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [100 - \frac{4 x}{3}] + (100 - \frac{4 x}{3}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.3

Differenziere.

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Schritt 1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $100 - \frac{4 x}{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [100] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}]$ .

$2 (x (\frac{d}{d x} [100] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}]) + (100 - \frac{4 x}{3}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.3.2

Da $100$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $100$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 (x (0 + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}]) + (100 - \frac{4 x}{3}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}]$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}] + (100 - \frac{4 x}{3}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.3.4

Da $- \frac{4}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{4 x}{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (x (- \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x]) + (100 - \frac{4 x}{3}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.3.5

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.3.5.1

Kombiniere $x$ und $\frac{4}{3}$ .

$2 (- \frac{x \cdot 4}{3} \frac{d}{d x} [x] + (100 - \frac{4 x}{3}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.3.5.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$2 (- \frac{4 \cdot x}{3} \frac{d}{d x} [x] + (100 - \frac{4 x}{3}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 (- \frac{4 x}{3} \cdot 1 + (100 - \frac{4 x}{3}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.3.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$2 (- \frac{4 x}{3} + (100 - \frac{4 x}{3}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 (- \frac{4 x}{3} + (100 - \frac{4 x}{3}) \cdot 1)$

Schritt 1.3.9

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.3.9.1

Mutltipliziere $100 - \frac{4 x}{3}$ mit $1$ .

$2 (- \frac{4 x}{3} + 100 - \frac{4 x}{3})$

Schritt 1.3.9.2

Subtrahiere $\frac{4 x}{3}$ von $- \frac{4 x}{3}$ .

$2 (- 2 \frac{4 x}{3} + 100)$

Schritt 1.3.9.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{4 x}{3}$ .

$2 (\frac{- 2 (4 x)}{3} + 100)$

Schritt 1.3.9.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.3.9.4.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$2 (\frac{- 8 x}{3} + 100)$

Schritt 1.3.9.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 (- \frac{8 x}{3} + 100)$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (- \frac{8 x}{3}) + 2 \cdot 100$

Schritt 1.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.4.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 \frac{8 x}{3} + 2 \cdot 100$

Schritt 1.4.2.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{8 x}{3}$ .

$\frac{- 2 (8 x)}{3} + 2 \cdot 100$

Schritt 1.4.2.3

Mutltipliziere $8$ mit $- 2$ .

$\frac{- 16 x}{3} + 2 \cdot 100$

Schritt 1.4.2.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{16 x}{3} + 2 \cdot 100$

Schritt 1.4.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $100$ .

$- \frac{16 x}{3} + 200$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- \frac{16 x}{3} + 200$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- \frac{16 x}{3}] + \frac{d}{d x} [200]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{16 x}{3}) + \frac{d}{d x} (200)$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{16 x}{3}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- \frac{16}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{16 x}{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{16}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{16}{3} \cdot \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (200)$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{16}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (200)$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{16}{3} + \frac{d}{d x} (200)$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.3.1

Da $200$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $200$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - \frac{16}{3} + 0$

Schritt 2.3.2

Addiere $- \frac{16}{3}$ und $0$ .

$f'' (x) = - \frac{16}{3}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- \frac{16 x}{3} + 200 = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 4.1.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1.1.1

Kombiniere $x$ und $\frac{4}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [2 x (100 - \frac{x \cdot 4}{3})]$

Schritt 4.1.1.1.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x (100 - \frac{4 x}{3})]$

Schritt 4.1.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x (100 - \frac{4 x}{3})$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x (100 - \frac{4 x}{3})]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x (100 - \frac{4 x}{3})]$

Schritt 4.1.2

$2 (x \frac{d}{d x} [100 - \frac{4 x}{3}] + (100 - \frac{4 x}{3}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.1.3

Differenziere.

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Schritt 4.1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $100 - \frac{4 x}{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [100] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}]$ .

$2 (x (\frac{d}{d x} [100] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}]) + (100 - \frac{4 x}{3}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.1.3.2

Da $100$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $100$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 (x (0 + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}]) + (100 - \frac{4 x}{3}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.1.3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}]$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}] + (100 - \frac{4 x}{3}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.1.3.4

Da $- \frac{4}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{4 x}{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (x (- \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x]) + (100 - \frac{4 x}{3}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.1.3.5

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.1.3.5.1

Kombiniere $x$ und $\frac{4}{3}$ .

$2 (- \frac{x \cdot 4}{3} \frac{d}{d x} [x] + (100 - \frac{4 x}{3}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.1.3.5.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$2 (- \frac{4 \cdot x}{3} \frac{d}{d x} [x] + (100 - \frac{4 x}{3}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.1.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 (- \frac{4 x}{3} \cdot 1 + (100 - \frac{4 x}{3}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.1.3.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$2 (- \frac{4 x}{3} + (100 - \frac{4 x}{3}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.1.3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 (- \frac{4 x}{3} + (100 - \frac{4 x}{3}) \cdot 1)$

Schritt 4.1.3.9

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1.3.9.1

Mutltipliziere $100 - \frac{4 x}{3}$ mit $1$ .

$2 (- \frac{4 x}{3} + 100 - \frac{4 x}{3})$

Schritt 4.1.3.9.2

Subtrahiere $\frac{4 x}{3}$ von $- \frac{4 x}{3}$ .

$2 (- 2 \frac{4 x}{3} + 100)$

Schritt 4.1.3.9.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{4 x}{3}$ .

$2 (\frac{- 2 (4 x)}{3} + 100)$

Schritt 4.1.3.9.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1.3.9.4.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$2 (\frac{- 8 x}{3} + 100)$

Schritt 4.1.3.9.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 (- \frac{8 x}{3} + 100)$

Schritt 4.1.4

Vereinfache.

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Schritt 4.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (- \frac{8 x}{3}) + 2 \cdot 100$

Schritt 4.1.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.1.4.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 \frac{8 x}{3} + 2 \cdot 100$

Schritt 4.1.4.2.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{8 x}{3}$ .

$\frac{- 2 (8 x)}{3} + 2 \cdot 100$

Schritt 4.1.4.2.3

Mutltipliziere $8$ mit $- 2$ .

$\frac{- 16 x}{3} + 2 \cdot 100$

Schritt 4.1.4.2.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{16 x}{3} + 2 \cdot 100$

Schritt 4.1.4.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $100$ .

$f' (x) = - \frac{16 x}{3} + 200$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{16 x}{3} + 200$ .

$- \frac{16 x}{3} + 200$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{16 x}{3} + 200 = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{16 x}{3} + 200 = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $200$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{16 x}{3} = - 200$

Schritt 5.3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- \frac{3}{16}$ .

$- \frac{3}{16} (- \frac{16 x}{3}) = - \frac{3}{16} \cdot - 200$

Schritt 5.4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 5.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.1.1

Vereinfache $- \frac{3}{16} (- \frac{16 x}{3})$ .

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Schritt 5.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.4.1.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3}{16}$ in den Zähler.

$\frac{- 3}{16} (- \frac{16 x}{3}) = - \frac{3}{16} \cdot - 200$

Schritt 5.4.1.1.1.2

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{16 x}{3}$ in den Zähler.

$\frac{- 3}{16} \cdot \frac{- 16 x}{3} = - \frac{3}{16} \cdot - 200$

Schritt 5.4.1.1.1.3

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$\frac{3 (- 1)}{16} \cdot \frac{- 16 x}{3} = - \frac{3}{16} \cdot - 200$

Schritt 5.4.1.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot - 1}{16} \cdot \frac{- 16 x}{3} = - \frac{3}{16} \cdot - 200$

Schritt 5.4.1.1.1.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{16} (- 16 x) = - \frac{3}{16} \cdot - 200$

Schritt 5.4.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $16$ .

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Schritt 5.4.1.1.2.1

Faktorisiere $16$ aus $- 16 x$ heraus.

$\frac{- 1}{16} (16 (- x)) = - \frac{3}{16} \cdot - 200$

Schritt 5.4.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{16} (16 (- x)) = - \frac{3}{16} \cdot - 200$

Schritt 5.4.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- - x = - \frac{3}{16} \cdot - 200$

Schritt 5.4.1.1.3

Multipliziere.

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Schritt 5.4.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 x = - \frac{3}{16} \cdot - 200$

Schritt 5.4.1.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x = - \frac{3}{16} \cdot - 200$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Vereinfache $- \frac{3}{16} \cdot - 200$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 5.4.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3}{16}$ in den Zähler.

$x = \frac{- 3}{16} \cdot - 200$

Schritt 5.4.2.1.1.2

Faktorisiere $8$ aus $16$ heraus.

$x = \frac{- 3}{8 (2)} \cdot - 200$

Schritt 5.4.2.1.1.3

Faktorisiere $8$ aus $- 200$ heraus.

$x = \frac{- 3}{8 \cdot 2} \cdot (8 \cdot - 25)$

Schritt 5.4.2.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{- 3}{8 \cdot 2} \cdot (8 \cdot - 25)$

Schritt 5.4.2.1.1.5

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{- 3}{2} \cdot - 25$

Schritt 5.4.2.1.2

Kombiniere $\frac{- 3}{2}$ und $- 25$ .

$x = \frac{- 3 \cdot - 25}{2}$

Schritt 5.4.2.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 25$ .

$x = \frac{75}{2}$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = \frac{75}{2}$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{75}{2}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \frac{16}{3}$

Schritt 9

$x = \frac{75}{2}$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{75}{2}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 10

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{75}{2}$ .

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Schritt 10.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{75}{2}$ .

$f (\frac{75}{2}) = 2 (\frac{75}{2}) (100 - \frac{4}{3} \cdot \frac{75}{2})$

Schritt 10.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 10.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{75}{2}) = 2 (\frac{75}{2}) \cdot (100 - \frac{4}{3} \cdot \frac{75}{2})$

Schritt 10.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{75}{2}) = 75 (100 - \frac{4}{3} \cdot \frac{75}{2})$

Schritt 10.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.2.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{4}{3}$ in den Zähler.

$f (\frac{75}{2}) = 75 (100 + \frac{- 4}{3} \cdot \frac{75}{2})$

Schritt 10.2.2.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$f (\frac{75}{2}) = 75 (100 + \frac{2 (- 2)}{3} \cdot \frac{75}{2})$

Schritt 10.2.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{75}{2}) = 75 (100 + \frac{2 \cdot - 2}{3} \cdot \frac{75}{2})$

Schritt 10.2.2.1.4

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{75}{2}) = 75 (100 + \frac{- 2}{3} \cdot 75)$

Schritt 10.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 10.2.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $75$ heraus.

$f (\frac{75}{2}) = 75 (100 + \frac{- 2}{3} \cdot (3 (25)))$

Schritt 10.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{75}{2}) = 75 (100 + \frac{- 2}{3} \cdot (3 \cdot 25))$

Schritt 10.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{75}{2}) = 75 (100 - 2 \cdot 25)$

Schritt 10.2.2.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $25$ .

$f (\frac{75}{2}) = 75 (100 - 50)$

Schritt 10.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 10.2.3.1

Subtrahiere $50$ von $100$ .

$f (\frac{75}{2}) = 75 \cdot 50$

Schritt 10.2.3.2

Mutltipliziere $75$ mit $50$ .

$f (\frac{75}{2}) = 3750$

Schritt 10.2.4

Die endgültige Lösung ist $3750$ .

$y = 3750$

Schritt 11

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = 2 x (100 - \frac{4}{3} x)$ .

$(\frac{75}{2}, 3750)$ ist ein lokales Maximum

Schritt 12