Analysis Beispiele

$f (x) = 2 x - \sqrt{16 - x^{2}}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - \sqrt{16 - x^{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{16 - x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{16 - x^{2}}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{16 - x^{2}}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{16 - x^{2}}]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{16 - x^{2}}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \sqrt{16 - x^{2}}]$ .

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Schritt 1.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{16 - x^{2}}$ als ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$2 + \frac{d}{d x} [- {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.3.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 - \frac{d}{d x} [{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 16 - x^{2}$ .

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Schritt 1.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $16 - x^{2}$ .

$2 - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [16 - x^{2}])$

Schritt 1.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$2 - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}])$

Schritt 1.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $16 - x^{2}$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}])$

Schritt 1.3.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $16 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]))$

Schritt 1.3.5

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $16$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]))$

Schritt 1.3.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Schritt 1.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (2 x)))$

Schritt 1.3.8

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - (2 x)))$

Schritt 1.3.9

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - (2 x)))$

Schritt 1.3.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 - (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - (2 x)))$

Schritt 1.3.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.11.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - (2 x)))$

Schritt 1.3.11.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} (0 - (2 x)))$

Schritt 1.3.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 - (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 - (2 x)))$

Schritt 1.3.13

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 - 2 x))$

Schritt 1.3.14

Subtrahiere $2 x$ von $0$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (- 2 x))$

Schritt 1.3.15

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 - (\frac{{(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} (- 2 x))$

Schritt 1.3.16

Kombiniere $- 2$ und $\frac{{(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$2 - (\frac{- 2 {(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} x)$

Schritt 1.3.17

Kombiniere $\frac{- 2 {(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ und $x$ .

$2 - \frac{- 2 {(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} x}{2}$

Schritt 1.3.18

Bringe ${(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 - \frac{- 2 x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.3.19

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$2 - \frac{2 (- x)}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.3.20

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.20.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$2 - \frac{2 (- x)}{2 ({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 1.3.20.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 - \frac{2 (- x)}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.3.20.3

Forme den Ausdruck um.

$2 - \frac{- x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.3.21

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 - - \frac{x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.3.22

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$2 + 1 \frac{x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.3.23

Mutltipliziere $\frac{x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ mit $1$ .

$2 + \frac{x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.4

Stelle die Terme um.

$\frac{x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 16 - x^{2}$ .

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Schritt 2.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $16 - x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (16 - x^{2}))}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (16 - x^{2}))}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $16 - x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x (\frac{1}{2} \cdot {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (16 - x^{2}))}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.2.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $16 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x (\frac{1}{2} \cdot ({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} (16) + \frac{d}{d x} (- x^{2}))))}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.2.5

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $16$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x (\frac{1}{2} \cdot ({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2}))))}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.2.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x (\frac{1}{2} \cdot ({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d x} x^{2})))}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.2.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x (\frac{1}{2} \cdot ({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (2 x))))}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.2.8

Mutltipliziere ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot ({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (2 x))))}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.2.9

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot ({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - (2 x))))}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.2.10

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot ({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - (2 x))))}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.2.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot ({(16 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - (2 x))))}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.2.12

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.12.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot ({(16 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - (2 x))))}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.2.12.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot ({(16 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} (0 - (2 x))))}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.2.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot ({(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 - (2 x))))}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.2.14

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot ({(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 - 2 x)))}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.2.15

Subtrahiere $2 x$ von $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot ({(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (- 2 x)))}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.2.16

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot (- 2 x))}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.2.17

Kombiniere $- 2$ und $\frac{{(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{- 2 {(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot x)}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.2.18

Kombiniere $\frac{- 2 {(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ und $x$ .

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x \frac{- 2 {(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} x}{2}}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.2.19

Bringe ${(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x \frac{- 2 x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.2.20

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x \frac{2 (- x)}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.2.21

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.21.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x \frac{2 (- x)}{2 ({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.2.21.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x \frac{2 (- x)}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.2.21.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x \frac{- x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.2.22

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (- \frac{x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.2.23

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + 1 x (\frac{x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.2.24

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x (\frac{x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.2.25

Kombiniere $x$ und $\frac{x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x \cdot x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.2.26

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x \cdot x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.2.27

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x \cdot x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.2.28

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{1 + 1}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.2.29

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.2.30

Um ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.2.31

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.2.32

Multipliziere ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.32.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.2.32.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}} + x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.2.32.3

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{2}{2}} + x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.2.32.4

Dividiere $2$ durch $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{(16 - x^{2}) + x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.2.33

Vereinfache ${(16 - x^{2})}^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{16 - x^{2} + x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.2.34

Addiere $- x^{2}$ und $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{16 + 0}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.2.35

Addiere $16$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{16}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.2.36

Multipliziere die Exponenten in ${({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.36.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{16}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.2.36.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.36.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{\frac{16}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.2.36.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{\frac{16}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{16 - x^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.2.37

Vereinfache.

$f'' (x) = \frac{\frac{16}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{16 - x^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.2.38

Schreibe $\frac{\frac{16}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{16 - x^{2}}$ als ein Produkt um.

$f'' (x) = \frac{16}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{16 - x^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.2.39

Mutltipliziere $\frac{16}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{1}{16 - x^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{16}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (16 - x^{2})} + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.2.40

Multipliziere ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ mit $16 - x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.40.1

Mutltipliziere ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ mit $16 - x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.40.1.1

Potenziere $16 - x^{2}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{16}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (16 - x^{2})} + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.2.40.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{16}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + 1}} + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.2.40.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{16}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.2.40.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{16}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1 + 2}{2}}} + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.2.40.4

Addiere $1$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{16}{{(16 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{16}{{(16 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + 0$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Addiere $\frac{16}{{(16 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{16}{{(16 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.4.2

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = \frac{16}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - \sqrt{16 - x^{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{16 - x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{16 - x^{2}}]$

Schritt 4.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 4.1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{16 - x^{2}}]$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{16 - x^{2}}]$

Schritt 4.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{16 - x^{2}}]$

Schritt 4.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \sqrt{16 - x^{2}}]$ .

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Schritt 4.1.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{16 - x^{2}}$ als ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$2 + \frac{d}{d x} [- {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.1.3.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 - \frac{d}{d x} [{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 16 - x^{2}$ .

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Schritt 4.1.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $16 - x^{2}$ .

$2 - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [16 - x^{2}])$

Schritt 4.1.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$2 - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}])$

Schritt 4.1.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $16 - x^{2}$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}])$

Schritt 4.1.3.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $16 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]))$

Schritt 4.1.3.5

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $16$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]))$

Schritt 4.1.3.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Schritt 4.1.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (2 x)))$

Schritt 4.1.3.8

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - (2 x)))$

Schritt 4.1.3.9

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - (2 x)))$

Schritt 4.1.3.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 - (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - (2 x)))$

Schritt 4.1.3.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.3.11.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - (2 x)))$

Schritt 4.1.3.11.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} (0 - (2 x)))$

Schritt 4.1.3.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 - (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 - (2 x)))$

Schritt 4.1.3.13

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 - 2 x))$

Schritt 4.1.3.14

Subtrahiere $2 x$ von $0$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (- 2 x))$

Schritt 4.1.3.15

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 - (\frac{{(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} (- 2 x))$

Schritt 4.1.3.16

Kombiniere $- 2$ und $\frac{{(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$2 - (\frac{- 2 {(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} x)$

Schritt 4.1.3.17

Kombiniere $\frac{- 2 {(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ und $x$ .

$2 - \frac{- 2 {(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} x}{2}$

Schritt 4.1.3.18

Bringe ${(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 - \frac{- 2 x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.3.19

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$2 - \frac{2 (- x)}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.3.20

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.3.20.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$2 - \frac{2 (- x)}{2 ({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 4.1.3.20.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 - \frac{2 (- x)}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.3.20.3

Forme den Ausdruck um.

$2 - \frac{- x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.3.21

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 - - \frac{x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.3.22

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$2 + 1 \frac{x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.3.23

Mutltipliziere $\frac{x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ mit $1$ .

$2 + \frac{x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.4

Stelle die Terme um.

$f' (x) = \frac{x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2$ .

$\frac{x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 = 0$

Schritt 5.2

Stelle jede Seite der Gleichung graphisch dar. Die Lösung ist der x-Wert des Schnittpunktes.

$x \approx - 3.57770876$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 6.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{x}{\sqrt{{(16 - x^{2})}^{1}}} + 2$

Schritt 6.1.2

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$\frac{x}{\sqrt{16 - x^{2}}} + 2$

Schritt 6.2

Setze den Nenner in $\frac{x}{\sqrt{16 - x^{2}}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\sqrt{16 - x^{2}} = 0$

Schritt 6.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{16 - x^{2}}}^{2} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 6.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{16 - x^{2}}$ als ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.2.1

Vereinfache ${({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(16 - x^{2})}^{1} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2.1.2

Vereinfache.

$16 - x^{2} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$16 - x^{2} = 0$

Schritt 6.3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.3.1

Subtrahiere $16$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{2} = - 16$

Schritt 6.3.3.2

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = - 16$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = - 16$ durch $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 16}{- 1}$

Schritt 6.3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.3.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 16}{- 1}$

Schritt 6.3.3.2.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 16}{- 1}$

Schritt 6.3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.3.2.3.1

Dividiere $- 16$ durch $- 1$ .

$x^{2} = 16$

Schritt 6.3.3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{16}$

Schritt 6.3.3.4

Vereinfache $\pm \sqrt{16}$ .

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Schritt 6.3.3.4.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

Schritt 6.3.3.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 4$

Schritt 6.3.3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.3.3.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 4$

Schritt 6.3.3.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 4$

Schritt 6.3.3.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 4, - 4$

Schritt 6.4

Setze den Radikanden in $\sqrt{16 - x^{2}}$ kleiner als $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$16 - x^{2} < 0$

Schritt 6.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.5.1

Subtrahiere $16$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- x^{2} < - 16$

Schritt 6.5.2

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} < - 16$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 6.5.2.1

Teile jeden Term in $- x^{2} < - 16$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x^{2}}{- 1} > \frac{- 16}{- 1}$

Schritt 6.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.5.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2}}{1} > \frac{- 16}{- 1}$

Schritt 6.5.2.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} > \frac{- 16}{- 1}$

Schritt 6.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.5.2.3.1

Dividiere $- 16$ durch $- 1$ .

$x^{2} > 16$

Schritt 6.5.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Ungleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sqrt{x^{2}} > \sqrt{16}$

Schritt 6.5.4

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 6.5.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.5.4.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | > \sqrt{16}$

Schritt 6.5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.5.4.2.1

Vereinfache $\sqrt{16}$ .

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Schritt 6.5.4.2.1.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$| x | > \sqrt{4^{2}}$

Schritt 6.5.4.2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | > | 4 |$

Schritt 6.5.4.2.1.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $4$ ist $4$ .

$| x | > 4$

Schritt 6.5.5

Schreibe $| x | > 4$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 6.5.5.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$x \geq 0$

Schritt 6.5.5.2

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $x$ nicht negativ ist.

$x > 4$

Schritt 6.5.5.3

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$x < 0$

Schritt 6.5.5.4

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $x$ negativ ist.

$- x > 4$

Schritt 6.5.5.5

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} x > 4 & x \geq 0 \\ - x > 4 & x < 0 \end{cases}$

Schritt 6.5.6

Bestimme die Schnittmenge von $x > 4$ und $x \geq 0$ .

$x > 4$

Schritt 6.5.7

Teile jeden Ausdruck in $- x > 4$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 6.5.7.1

Teile jeden Term in $- x > 4$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{4}{- 1}$

Schritt 6.5.7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.5.7.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} < \frac{4}{- 1}$

Schritt 6.5.7.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x < \frac{4}{- 1}$

Schritt 6.5.7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.5.7.3.1

Dividiere $4$ durch $- 1$ .

$x < - 4$

Schritt 6.5.8

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$x < - 4$ oder $x > 4$

Schritt 6.6

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x \leq - 4, x \geq 4$

$(- \infty, - 4] \cup [4, \infty)$

$x \leq - 4, x \geq 4$

$(- \infty, - 4] \cup [4, \infty)$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = - 3.57770876, - 4, 4$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - 3.57770876$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{16}{{(- {(- 3.57770876)}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.1.1.1

Potenziere $- 3.57770876$ mit $2$ .

$\frac{16}{{(- 1 \cdot 12.8 + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9.1.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $12.8$ .

$\frac{16}{{(- 12.8 + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9.1.2

Addiere $- 12.8$ und $16$ .

$\frac{16}{{3.19999999}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9.1.3

Schreibe $3.19999999$ als ${1.78885438}^{2}$ um.

$\frac{16}{{({1.78885438}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9.1.4

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{16}{{1.78885438}^{2 (\frac{3}{2})}}$

Schritt 9.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{16}{{1.78885438}^{2 (\frac{3}{2})}}$

Schritt 9.1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{16}{{1.78885438}^{3}}$

Schritt 9.1.6

Potenziere $1.78885438$ mit $3$ .

$\frac{16}{5.72433402}$

Schritt 9.2

Dividiere $16$ durch $5.72433402$ .

$2.79508497$

Schritt 10

$x = - 3.57770876$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = - 3.57770876$ ist ein lokales Minimum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = - 3.57770876$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 3.57770876$ .

$f (- 3.57770876) = 2 (- 3.57770876) - \sqrt{16 - {(- 3.57770876)}^{2}}$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 3.57770876$ .

$f (- 3.57770876) = - 7.15541752 - \sqrt{16 - {(- 3.57770876)}^{2}}$

Schritt 11.2.1.2

Potenziere $- 3.57770876$ mit $2$ .

$f (- 3.57770876) = - 7.15541752 - \sqrt{16 - 1 \cdot 12.8}$

Schritt 11.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $12.8$ .

$f (- 3.57770876) = - 7.15541752 - \sqrt{16 - 12.8}$

Schritt 11.2.1.4

Subtrahiere $12.8$ von $16$ .

$f (- 3.57770876) = - 7.15541752 - \sqrt{3.19999999}$

Schritt 11.2.2

Subtrahiere $\sqrt{3.19999999}$ von $- 7.15541752$ .

$f (- 3.57770876) = - 8.9442719$

Schritt 11.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 8.9442719$ .

$y = - 8.9442719$

Schritt 12

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - 4$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{16}{{(- {(- 4)}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 13.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$\frac{16}{{(- 1 \cdot 16 + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 13.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$\frac{16}{{(- 16 + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 13.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.2.1

Addiere $- 16$ und $16$ .

$\frac{16}{0^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 13.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 13.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$\frac{16}{{(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 13.2.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{16}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Schritt 13.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 13.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{16}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Schritt 13.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{16}{0^{3}}$

Schritt 13.2.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{16}{0}$

Schritt 13.2.5

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{16}{0}$

Schritt 13.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 14

Da der erste Ableitungstest nicht erfolgreich war, gibt es kein lokales Extremum.

Keine lokalen Extrema

Schritt 15