Analysis Beispiele

$f (x) = 2 \cos (x) + \sin^{2} (x)$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 \cos (x) + \sin^{2} (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 \cos (x)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Schritt 1.2.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

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Schritt 1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \sin (x)$ .

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Schritt 1.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\sin (x)$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 1.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 2 \sin (x) + 2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 1.3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $\sin (x)$ .

$- 2 \sin (x) + 2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 1.3.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$- 2 \sin (x) + 2 \sin (x) \cos (x)$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Stelle die Terme um.

$2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$

Schritt 1.4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.2.1

Stelle $2 \cos (x)$ und $\sin (x)$ um.

$\sin (x) (2 \cos (x)) - 2 \sin (x)$

Schritt 1.4.2.2

Stelle $\sin (x)$ und $2$ um.

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x)$

Schritt 1.4.2.3

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$\sin (2 x) - 2 \sin (x)$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sin (2 x) - 2 \sin (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\sin (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 2.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Schritt 2.2.1.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$f'' (x) = \cos (u) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Schritt 2.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Schritt 2.2.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Schritt 2.2.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos (2 x)$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 \sin (x)$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) - 2 \frac{d}{d x} \sin (x)$

Schritt 2.3.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) - 2 \cos (x)$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\sin (2 x) - 2 \sin (x) = 0$

Schritt 4

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) = 0$

Schritt 5

Faktorisiere $2 \sin (x)$ aus $2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x)$ heraus.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $2 \sin (x)$ aus $- 2 \sin (x)$ heraus.

$2 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) \cdot - 1 = 0$

Schritt 5.2

Faktorisiere $2 \sin (x)$ aus $2 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) \cdot - 1$ heraus.

$2 \sin (x) (\cos (x) - 1) = 0$

Schritt 6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\sin (x) = 0$

$\cos (x) - 1 = 0$

Schritt 7

Setze $\sin (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $\sin (x)$ gleich $0$ .

$\sin (x) = 0$

Schritt 7.2

Löse $\sin (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (0)$

Schritt 7.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.2.1

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 7.2.3

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - 0$

Schritt 7.2.4

Subtrahiere $0$ von $π$ .

$x = π$

Schritt 7.2.5

Die Lösung der Gleichung $x = 0$ .

$x = 0, π$

Schritt 8

Setze $\cos (x) - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Setze $\cos (x) - 1$ gleich $0$ .

$\cos (x) - 1 = 0$

Schritt 8.2

Löse $\cos (x) - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 8.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\cos (x) = 1$

Schritt 8.2.2

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (1)$

Schritt 8.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.3.1

Der genau Wert von $\arccos (1)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 8.2.4

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - 0$

Schritt 8.2.5

Subtrahiere $0$ von $2 π$ .

$x = 2 π$

Schritt 8.2.6

Die Lösung der Gleichung $x = 0$ .

$x = 0, 2 π$

Schritt 9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 \sin (x) (\cos (x) - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 0, π, 2 π$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$2 \cos (2 (0)) - 2 \cos (0)$

Schritt 11

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 11.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$2 \cos (0) - 2 \cos (0)$

Schritt 11.1.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$2 \cdot 1 - 2 \cos (0)$

Schritt 11.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 - 2 \cos (0)$

Schritt 11.1.4

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$2 - 2 \cdot 1$

Schritt 11.1.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$2 - 2$

Schritt 11.2

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$0$

Schritt 12

Da es mindestens einen Punkt mit $0$ oder eine nicht definierte zweite Ableitung gibt, wende den ersten Ableitungstest an.

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Schritt 12.1

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu $0$ oder nicht definiert machen.

$(- \infty, 0) \cup (0, π) \cup (π, 2 π) \cup (2 π, \infty)$

Schritt 12.2

Setze eine beliebige Zahl, wie $- 2$ , aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die erste Ableitung $\sin (2 x) - 2 \sin (x)$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 12.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f' (- 2) = \sin (2 (- 2)) - 2 \sin (- 2)$

Schritt 12.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 12.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.2.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f' (- 2) = \sin (- 4) - 2 \sin (- 2)$

Schritt 12.2.2.1.2

Berechne $\sin (- 4)$ .

$f' (- 2) = 0.75680249 - 2 \sin (- 2)$

Schritt 12.2.2.1.3

Berechne $\sin (- 2)$ .

$f' (- 2) = 0.75680249 - 2 \cdot - 0.90929742$

Schritt 12.2.2.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 0.90929742$ .

$f' (- 2) = 0.75680249 + 1.81859485$

Schritt 12.2.2.2

Addiere $0.75680249$ und $1.81859485$ .

$f' (- 2) = 2.57539734$

Schritt 12.2.2.3

Die endgültige Lösung ist $2.57539734$ .

$2.57539734$

Schritt 12.3

Setze eine beliebige Zahl, wie $2$ , aus dem Intervall $(0, π)$ in die erste Ableitung $\sin (2 x) - 2 \sin (x)$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 12.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f' (2) = \sin (2 (2)) - 2 \sin (2)$

Schritt 12.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 12.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.3.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f' (2) = \sin (4) - 2 \sin (2)$

Schritt 12.3.2.1.2

Berechne $\sin (4)$ .

$f' (2) = - 0.75680249 - 2 \sin (2)$

Schritt 12.3.2.1.3

Berechne $\sin (2)$ .

$f' (2) = - 0.75680249 - 2 \cdot 0.90929742$

Schritt 12.3.2.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $0.90929742$ .

$f' (2) = - 0.75680249 - 1.81859485$

Schritt 12.3.2.2

Subtrahiere $1.81859485$ von $- 0.75680249$ .

$f' (2) = - 2.57539734$

Schritt 12.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 2.57539734$ .

$- 2.57539734$

Schritt 12.4

Setze eine beliebige Zahl, wie $5$ , aus dem Intervall $(π, 2 π)$ in die erste Ableitung $\sin (2 x) - 2 \sin (x)$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 12.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $5$ .

$f' (5) = \sin (2 (5)) - 2 \sin (5)$

Schritt 12.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 12.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.4.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$f' (5) = \sin (10) - 2 \sin (5)$

Schritt 12.4.2.1.2

Berechne $\sin (10)$ .

$f' (5) = - 0.54402111 - 2 \sin (5)$

Schritt 12.4.2.1.3

Berechne $\sin (5)$ .

$f' (5) = - 0.54402111 - 2 \cdot - 0.95892427$

Schritt 12.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 0.95892427$ .

$f' (5) = - 0.54402111 + 1.91784854$

Schritt 12.4.2.2

Addiere $- 0.54402111$ und $1.91784854$ .

$f' (5) = 1.37382743$

Schritt 12.4.2.3

Die endgültige Lösung ist $1.37382743$ .

$1.37382743$

Schritt 12.5

Setze eine beliebige Zahl, wie $9$ , aus dem Intervall $(2 π, \infty)$ in die erste Ableitung $\sin (2 x) - 2 \sin (x)$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 12.5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $9$ .

$f' (9) = \sin (2 (9)) - 2 \sin (9)$

Schritt 12.5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 12.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.5.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$f' (9) = \sin (18) - 2 \sin (9)$

Schritt 12.5.2.1.2

Berechne $\sin (18)$ .

$f' (9) = - 0.75098724 - 2 \sin (9)$

Schritt 12.5.2.1.3

Berechne $\sin (9)$ .

$f' (9) = - 0.75098724 - 2 \cdot 0.41211848$

Schritt 12.5.2.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $0.41211848$ .

$f' (9) = - 0.75098724 - 0.82423697$

Schritt 12.5.2.2

Subtrahiere $0.82423697$ von $- 0.75098724$ .

$f' (9) = - 1.57522421$

Schritt 12.5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 1.57522421$ .

$- 1.57522421$

Schritt 12.6

Da die erste Ableitung um $x = 0$ herum das Vorzeichen von positiv zu negativ gewechselt hat, ist $x = 0$ ein lokales Maximum.

$x = 0$ ist ein lokales Maximum

Schritt 12.7

Da die erste Ableitung um $x = π$ herum das Vorzeichen von negativ zu positiv gewechselt hat, ist $x = π$ ein lokales Minimum.

$x = π$ ist ein lokales Minimum

Schritt 12.8

Da die erste Ableitung um $x = 2 π$ herum das Vorzeichen von positiv zu negativ gewechselt hat, ist $x = 2 π$ ein lokales Maximum.

$x = 2 π$ ist ein lokales Maximum

Schritt 12.9

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = 2 \cos (x) + \sin^{2} (x)$ .

$x = 0$ ist ein lokales Maximum

$x = π$ ist ein lokales Minimum

$x = 2 π$ ist ein lokales Maximum

$x = 0$ ist ein lokales Maximum

$x = π$ ist ein lokales Minimum

$x = 2 π$ ist ein lokales Maximum

Schritt 13