Analysis Beispiele

$f (x) = 24 x^{3} - 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $24 x^{3} - 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [24 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))]$ .

$\frac{d}{d x} [24 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [24 x^{3}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Da $24$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $24 x^{3}$ nach $x$ gleich $24 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$24 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$24 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $24$ .

$72 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$72 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3 + 4} \cdot (24 - 3 x)]$

Schritt 1.3.2

Addiere $3$ und $4$ .

$72 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{7} \cdot (24 - 3 x)]$

Schritt 1.3.3

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x^{7} (24 - 3 x)$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x^{7} (24 - 3 x)]$ .

$72 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{7} (24 - 3 x)]$

Schritt 1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{7}$ und $g (x) = 24 - 3 x$ .

$72 x^{2} - 3 (x^{7} \frac{d}{d x} [24 - 3 x] + (24 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Schritt 1.3.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $24 - 3 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [24] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$72 x^{2} - 3 (x^{7} (\frac{d}{d x} [24] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + (24 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Schritt 1.3.6

Da $24$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $24$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$72 x^{2} - 3 (x^{7} (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + (24 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Schritt 1.3.7

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$72 x^{2} - 3 (x^{7} (0 - 3 \frac{d}{d x} [x]) + (24 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Schritt 1.3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$72 x^{2} - 3 (x^{7} (0 - 3 \cdot 1) + (24 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Schritt 1.3.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 7$ .

$72 x^{2} - 3 (x^{7} (0 - 3 \cdot 1) + (24 - 3 x) (7 x^{6}))$

Schritt 1.3.10

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$72 x^{2} - 3 (x^{7} (0 - 3) + (24 - 3 x) (7 x^{6}))$

Schritt 1.3.11

Subtrahiere $3$ von $0$ .

$72 x^{2} - 3 (x^{7} \cdot - 3 + (24 - 3 x) (7 x^{6}))$

Schritt 1.3.12

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $x^{7}$ .

$72 x^{2} - 3 (- 3 \cdot x^{7} + (24 - 3 x) (7 x^{6}))$

Schritt 1.3.13

Bringe $7$ auf die linke Seite von $24 - 3 x$ .

$72 x^{2} - 3 (- 3 x^{7} + 7 (24 - 3 x) x^{6})$

Schritt 1.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$72 x^{2} - 3 (- 3 x^{7} + (7 \cdot 24 + 7 (- 3 x)) x^{6})$

Schritt 1.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$72 x^{2} - 3 (- 3 x^{7} + 7 \cdot 24 x^{6} + 7 (- 3 x) x^{6})$

Schritt 1.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$72 x^{2} - 3 (- 3 x^{7}) - 3 (7 \cdot 24 x^{6}) - 3 (7 (- 3 x) x^{6})$

Schritt 1.4.4

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.4.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 3$ .

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 3 (7 \cdot 24 x^{6}) - 3 (7 (- 3 x) x^{6})$

Schritt 1.4.4.2

Mutltipliziere $7$ mit $24$ .

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 3 (168 x^{6}) - 3 (7 (- 3 x) x^{6})$

Schritt 1.4.4.3

Mutltipliziere $168$ mit $- 3$ .

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} - 3 (7 (- 3 x) x^{6})$

Schritt 1.4.4.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $7$ .

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} - 3 (- 21 x \cdot x^{6})$

Schritt 1.4.4.5

Multipliziere $x$ mit $x^{6}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.4.5.1

Bewege $x^{6}$ .

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} - 3 (- 21 (x^{6} x))$

Schritt 1.4.4.5.2

Mutltipliziere $x^{6}$ mit $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.4.5.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} - 3 (- 21 (x^{6} x^{1}))$

Schritt 1.4.4.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} - 3 (- 21 x^{6 + 1})$

Schritt 1.4.4.5.3

Addiere $6$ und $1$ .

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} - 3 (- 21 x^{7})$

Schritt 1.4.4.6

Mutltipliziere $- 21$ mit $- 3$ .

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} + 63 x^{7}$

Schritt 1.4.4.7

Addiere $9 x^{7}$ und $63 x^{7}$ .

$72 x^{2} + 72 x^{7} - 504 x^{6}$

Schritt 1.4.5

Stelle die Terme um.

$72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [72 x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 504 x^{6}] + \frac{d}{d x} [72 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (72 x^{7}) + \frac{d}{d x} (- 504 x^{6}) + \frac{d}{d x} (72 x^{2})$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [72 x^{7}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Da $72$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $72 x^{7}$ nach $x$ gleich $72 \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$f'' (x) = 72 \frac{d}{d x} (x^{7}) + \frac{d}{d x} (- 504 x^{6}) + \frac{d}{d x} (72 x^{2})$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 7$ .

$f'' (x) = 72 (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} (- 504 x^{6}) + \frac{d}{d x} (72 x^{2})$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $7$ mit $72$ .

$f'' (x) = 504 x^{6} + \frac{d}{d x} (- 504 x^{6}) + \frac{d}{d x} (72 x^{2})$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 504 x^{6}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Da $- 504$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 504 x^{6}$ nach $x$ gleich $- 504 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$f'' (x) = 504 x^{6} - 504 \frac{d}{d x} x^{6} + \frac{d}{d x} (72 x^{2})$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 6$ .

$f'' (x) = 504 x^{6} - 504 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (72 x^{2})$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $6$ mit $- 504$ .

$f'' (x) = 504 x^{6} - 3024 x^{5} + \frac{d}{d x} (72 x^{2})$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [72 x^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Da $72$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $72 x^{2}$ nach $x$ gleich $72 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 504 x^{6} - 3024 x^{5} + 72 \frac{d}{d x} (x^{2})$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 504 x^{6} - 3024 x^{5} + 72 (2 x)$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $72$ .

$f'' (x) = 504 x^{6} - 3024 x^{5} + 144 x$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $24 x^{3} - 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [24 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))]$ .

$\frac{d}{d x} [24 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))]$

Schritt 4.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [24 x^{3}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1

Da $24$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $24 x^{3}$ nach $x$ gleich $24 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$24 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))]$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$24 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))]$

Schritt 4.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $24$ .

$72 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))]$

Schritt 4.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.3.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$72 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3 + 4} \cdot (24 - 3 x)]$

Schritt 4.1.3.2

Addiere $3$ und $4$ .

$72 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{7} \cdot (24 - 3 x)]$

Schritt 4.1.3.3

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x^{7} (24 - 3 x)$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x^{7} (24 - 3 x)]$ .

$72 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{7} (24 - 3 x)]$

Schritt 4.1.3.4

$72 x^{2} - 3 (x^{7} \frac{d}{d x} [24 - 3 x] + (24 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Schritt 4.1.3.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $24 - 3 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [24] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$72 x^{2} - 3 (x^{7} (\frac{d}{d x} [24] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + (24 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Schritt 4.1.3.6

Da $24$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $24$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$72 x^{2} - 3 (x^{7} (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + (24 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Schritt 4.1.3.7

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$72 x^{2} - 3 (x^{7} (0 - 3 \frac{d}{d x} [x]) + (24 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Schritt 4.1.3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$72 x^{2} - 3 (x^{7} (0 - 3 \cdot 1) + (24 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Schritt 4.1.3.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 7$ .

$72 x^{2} - 3 (x^{7} (0 - 3 \cdot 1) + (24 - 3 x) (7 x^{6}))$

Schritt 4.1.3.10

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$72 x^{2} - 3 (x^{7} (0 - 3) + (24 - 3 x) (7 x^{6}))$

Schritt 4.1.3.11

Subtrahiere $3$ von $0$ .

$72 x^{2} - 3 (x^{7} \cdot - 3 + (24 - 3 x) (7 x^{6}))$

Schritt 4.1.3.12

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $x^{7}$ .

$72 x^{2} - 3 (- 3 \cdot x^{7} + (24 - 3 x) (7 x^{6}))$

Schritt 4.1.3.13

Bringe $7$ auf die linke Seite von $24 - 3 x$ .

$72 x^{2} - 3 (- 3 x^{7} + 7 (24 - 3 x) x^{6})$

Schritt 4.1.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$72 x^{2} - 3 (- 3 x^{7} + (7 \cdot 24 + 7 (- 3 x)) x^{6})$

Schritt 4.1.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$72 x^{2} - 3 (- 3 x^{7} + 7 \cdot 24 x^{6} + 7 (- 3 x) x^{6})$

Schritt 4.1.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$72 x^{2} - 3 (- 3 x^{7}) - 3 (7 \cdot 24 x^{6}) - 3 (7 (- 3 x) x^{6})$

Schritt 4.1.4.4

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.4.4.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 3$ .

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 3 (7 \cdot 24 x^{6}) - 3 (7 (- 3 x) x^{6})$

Schritt 4.1.4.4.2

Mutltipliziere $7$ mit $24$ .

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 3 (168 x^{6}) - 3 (7 (- 3 x) x^{6})$

Schritt 4.1.4.4.3

Mutltipliziere $168$ mit $- 3$ .

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} - 3 (7 (- 3 x) x^{6})$

Schritt 4.1.4.4.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $7$ .

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} - 3 (- 21 x \cdot x^{6})$

Schritt 4.1.4.4.5

Multipliziere $x$ mit $x^{6}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.4.4.5.1

Bewege $x^{6}$ .

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} - 3 (- 21 (x^{6} x))$

Schritt 4.1.4.4.5.2

Mutltipliziere $x^{6}$ mit $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.4.4.5.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} - 3 (- 21 (x^{6} x^{1}))$

Schritt 4.1.4.4.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} - 3 (- 21 x^{6 + 1})$

Schritt 4.1.4.4.5.3

Addiere $6$ und $1$ .

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} - 3 (- 21 x^{7})$

Schritt 4.1.4.4.6

Mutltipliziere $- 21$ mit $- 3$ .

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} + 63 x^{7}$

Schritt 4.1.4.4.7

Addiere $9 x^{7}$ und $63 x^{7}$ .

$72 x^{2} + 72 x^{7} - 504 x^{6}$

Schritt 4.1.4.5

Stelle die Terme um.

$f' (x) = 72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2}$ .

$72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2} = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2} = 0$

Schritt 5.2

Stelle jede Seite der Gleichung graphisch dar. Die Lösung ist der x-Wert des Schnittpunktes.

$x \approx - 0.60223321, 0, 0.62944187, 6.9995834$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = - 0.60223321, 0, 0.62944187, 6.9995834$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - 0.60223321$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$504 {(- 0.60223321)}^{6} - 3024 {(- 0.60223321)}^{5} + 144 (- 0.60223321)$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1.1

Potenziere $- 0.60223321$ mit $6$ .

$504 \cdot 0.04770767 - 3024 {(- 0.60223321)}^{5} + 144 (- 0.60223321)$

Schritt 9.1.2

Mutltipliziere $504$ mit $0.04770767$ .

$24.04466629 - 3024 {(- 0.60223321)}^{5} + 144 (- 0.60223321)$

Schritt 9.1.3

Potenziere $- 0.60223321$ mit $5$ .

$24.04466629 - 3024 \cdot - 0.07921793 + 144 (- 0.60223321)$

Schritt 9.1.4

Mutltipliziere $- 3024$ mit $- 0.07921793$ .

$24.04466629 + 239.55503398 + 144 (- 0.60223321)$

Schritt 9.1.5

Mutltipliziere $144$ mit $- 0.60223321$ .

$24.04466629 + 239.55503398 - 86.72158264$

Schritt 9.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.1

Addiere $24.04466629$ und $239.55503398$ .

$263.59970027 - 86.72158264$

Schritt 9.2.2

Subtrahiere $86.72158264$ von $263.59970027$ .

$176.87811762$

Schritt 10

$x = - 0.60223321$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = - 0.60223321$ ist ein lokales Minimum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = - 0.60223321$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.60223321$ .

$f (- 0.60223321) = 24 {(- 0.60223321)}^{3} - 3 {(- 0.60223321)}^{4} \cdot ({(- 0.60223321)}^{3} (24 - 3 \cdot - 0.60223321))$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1.1

Potenziere $- 0.60223321$ mit $3$ .

$f (- 0.60223321) = 24 \cdot - 0.21842085 - 3 {(- 0.60223321)}^{4} \cdot ({(- 0.60223321)}^{3} (24 - 3 \cdot - 0.60223321))$

Schritt 11.2.1.2

Mutltipliziere $24$ mit $- 0.21842085$ .

$f (- 0.60223321) = - 5.24210059 - 3 {(- 0.60223321)}^{4} \cdot ({(- 0.60223321)}^{3} (24 - 3 \cdot - 0.60223321))$

Schritt 11.2.1.3

Multipliziere ${(- 0.60223321)}^{4}$ mit ${(- 0.60223321)}^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1.3.1

Bewege ${(- 0.60223321)}^{3}$ .

$f (- 0.60223321) = - 5.24210059 - 3 ({(- 0.60223321)}^{3} {(- 0.60223321)}^{4}) \cdot (24 - 3 \cdot - 0.60223321)$

Schritt 11.2.1.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (- 0.60223321) = - 5.24210059 - 3 {(- 0.60223321)}^{3 + 4} \cdot (24 - 3 \cdot - 0.60223321)$

Schritt 11.2.1.3.3

Addiere $3$ und $4$ .

$f (- 0.60223321) = - 5.24210059 - 3 {(- 0.60223321)}^{7} \cdot (24 - 3 \cdot - 0.60223321)$

Schritt 11.2.1.4

Potenziere $- 0.60223321$ mit $7$ .

$f (- 0.60223321) = - 5.24210059 - 3 \cdot - 0.02873114 \cdot (24 - 3 \cdot - 0.60223321)$

Schritt 11.2.1.5

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 0.02873114$ .

$f (- 0.60223321) = - 5.24210059 + 0.08619343 \cdot (24 - 3 \cdot - 0.60223321)$

Schritt 11.2.1.6

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 0.60223321$ .

$f (- 0.60223321) = - 5.24210059 + 0.08619343 \cdot (24 + 1.80669963)$

Schritt 11.2.1.7

Addiere $24$ und $1.80669963$ .

$f (- 0.60223321) = - 5.24210059 + 0.08619343 \cdot 25.80669963$

Schritt 11.2.1.8

Mutltipliziere $0.08619343$ mit $25.80669963$ .

$f (- 0.60223321) = - 5.24210059 + 2.22436801$

Schritt 11.2.2

Addiere $- 5.24210059$ und $2.22436801$ .

$f (- 0.60223321) = - 3.01773257$

Schritt 11.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 3.01773257$ .

$y = - 3.01773257$

Schritt 12

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$504 {(0)}^{6} - 3024 {(0)}^{5} + 144 (0)$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$504 \cdot 0 - 3024 {(0)}^{5} + 144 (0)$

Schritt 13.1.2

Mutltipliziere $504$ mit $0$ .

$0 - 3024 {(0)}^{5} + 144 (0)$

Schritt 13.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 - 3024 \cdot 0 + 144 (0)$

Schritt 13.1.4

Mutltipliziere $- 3024$ mit $0$ .

$0 + 0 + 144 (0)$

Schritt 13.1.5

Mutltipliziere $144$ mit $0$ .

$0 + 0 + 0$

Schritt 13.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$0 + 0$

Schritt 13.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$0$

Schritt 14

Da es mindestens einen Punkt mit $0$ oder eine nicht definierte zweite Ableitung gibt, wende den ersten Ableitungstest an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.1

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu $0$ oder nicht definiert machen.

$(- \infty, - 0.60223321) \cup (- 0.60223321, 0) \cup (0, 0.62944187) \cup (0.62944187, 6.9995834) \cup (6.9995834, \infty)$

Schritt 14.2

Setze eine beliebige Zahl, wie $- 3$ , aus dem Intervall $(- \infty, - 0.60223321)$ in die erste Ableitung $72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 3$ .

$f' (- 3) = 72 {(- 3)}^{7} - 504 {(- 3)}^{6} + 72 {(- 3)}^{2}$

Schritt 14.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.2.2.1.1

Potenziere $- 3$ mit $7$ .

$f' (- 3) = 72 \cdot - 2187 - 504 {(- 3)}^{6} + 72 {(- 3)}^{2}$

Schritt 14.2.2.1.2

Mutltipliziere $72$ mit $- 2187$ .

$f' (- 3) = - 157464 - 504 {(- 3)}^{6} + 72 {(- 3)}^{2}$

Schritt 14.2.2.1.3

Potenziere $- 3$ mit $6$ .

$f' (- 3) = - 157464 - 504 \cdot 729 + 72 {(- 3)}^{2}$

Schritt 14.2.2.1.4

Mutltipliziere $- 504$ mit $729$ .

$f' (- 3) = - 157464 - 367416 + 72 {(- 3)}^{2}$

Schritt 14.2.2.1.5

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$f' (- 3) = - 157464 - 367416 + 72 \cdot 9$

Schritt 14.2.2.1.6

Mutltipliziere $72$ mit $9$ .

$f' (- 3) = - 157464 - 367416 + 648$

Schritt 14.2.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.2.2.2.1

Subtrahiere $367416$ von $- 157464$ .

$f' (- 3) = - 524880 + 648$

Schritt 14.2.2.2.2

Addiere $- 524880$ und $648$ .

$f' (- 3) = - 524232$

Schritt 14.2.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 524232$ .

$- 524232$

Schritt 14.3

Setze eine beliebige Zahl, wie $- 0.3$ , aus dem Intervall $(- 0.60223321, 0)$ in die erste Ableitung $72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.3$ .

$f' (- 0.3) = 72 {(- 0.3)}^{7} - 504 {(- 0.3)}^{6} + 72 {(- 0.3)}^{2}$

Schritt 14.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.3.2.1.1

Potenziere $- 0.3$ mit $7$ .

$f' (- 0.3) = 72 \cdot - 0.0002187 - 504 {(- 0.3)}^{6} + 72 {(- 0.3)}^{2}$

Schritt 14.3.2.1.2

Mutltipliziere $72$ mit $- 0.0002187$ .

$f' (- 0.3) = - 0.0157464 - 504 {(- 0.3)}^{6} + 72 {(- 0.3)}^{2}$

Schritt 14.3.2.1.3

Potenziere $- 0.3$ mit $6$ .

$f' (- 0.3) = - 0.0157464 - 504 \cdot 0.000729 + 72 {(- 0.3)}^{2}$

Schritt 14.3.2.1.4

Mutltipliziere $- 504$ mit $0.000729$ .

$f' (- 0.3) = - 0.0157464 - 0.367416 + 72 {(- 0.3)}^{2}$

Schritt 14.3.2.1.5

Potenziere $- 0.3$ mit $2$ .

$f' (- 0.3) = - 0.0157464 - 0.367416 + 72 \cdot 0.09$

Schritt 14.3.2.1.6

Mutltipliziere $72$ mit $0.09$ .

$f' (- 0.3) = - 0.0157464 - 0.367416 + 6.48$

Schritt 14.3.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.3.2.2.1

Subtrahiere $0.367416$ von $- 0.0157464$ .

$f' (- 0.3) = - 0.3831624 + 6.48$

Schritt 14.3.2.2.2

Addiere $- 0.3831624$ und $6.48$ .

$f' (- 0.3) = 6.0968376$

Schritt 14.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $6.0968376$ .

$6.0968376$

Schritt 14.4

Setze eine beliebige Zahl, wie $0.31$ , aus dem Intervall $(0, 0.62944187)$ in die erste Ableitung $72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.31$ .

$f' (0.31) = 72 {(0.31)}^{7} - 504 {(0.31)}^{6} + 72 {(0.31)}^{2}$

Schritt 14.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.4.2.1.1

Potenziere $0.31$ mit $7$ .

$f' (0.31) = 72 \cdot 0.00027512 - 504 {(0.31)}^{6} + 72 {(0.31)}^{2}$

Schritt 14.4.2.1.2

Mutltipliziere $72$ mit $0.00027512$ .

$f' (0.31) = 0.01980908 - 504 {(0.31)}^{6} + 72 {(0.31)}^{2}$

Schritt 14.4.2.1.3

Potenziere $0.31$ mit $6$ .

$f' (0.31) = 0.01980908 - 504 \cdot 0.0008875 + 72 {(0.31)}^{2}$

Schritt 14.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 504$ mit $0.0008875$ .

$f' (0.31) = 0.01980908 - 0.44730185 + 72 {(0.31)}^{2}$

Schritt 14.4.2.1.5

Potenziere $0.31$ mit $2$ .

$f' (0.31) = 0.01980908 - 0.44730185 + 72 \cdot 0.0961$

Schritt 14.4.2.1.6

Mutltipliziere $72$ mit $0.0961$ .

$f' (0.31) = 0.01980908 - 0.44730185 + 6.9192$

Schritt 14.4.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.4.2.2.1

Subtrahiere $0.44730185$ von $0.01980908$ .

$f' (0.31) = - 0.42749277 + 6.9192$

Schritt 14.4.2.2.2

Addiere $- 0.42749277$ und $6.9192$ .

$f' (0.31) = 6.49170722$

Schritt 14.4.2.3

Die endgültige Lösung ist $6.49170722$ .

$6.49170722$

Schritt 14.5

Setze eine beliebige Zahl, wie $4$ , aus dem Intervall $(0.62944187, 6.9995834)$ in die erste Ableitung $72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f' (4) = 72 {(4)}^{7} - 504 {(4)}^{6} + 72 {(4)}^{2}$

Schritt 14.5.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.5.2.1.1

Potenziere $4$ mit $7$ .

$f' (4) = 72 \cdot 16384 - 504 {(4)}^{6} + 72 {(4)}^{2}$

Schritt 14.5.2.1.2

Mutltipliziere $72$ mit $16384$ .

$f' (4) = 1179648 - 504 {(4)}^{6} + 72 {(4)}^{2}$

Schritt 14.5.2.1.3

Potenziere $4$ mit $6$ .

$f' (4) = 1179648 - 504 \cdot 4096 + 72 {(4)}^{2}$

Schritt 14.5.2.1.4

Mutltipliziere $- 504$ mit $4096$ .

$f' (4) = 1179648 - 2064384 + 72 {(4)}^{2}$

Schritt 14.5.2.1.5

Potenziere $4$ mit $2$ .

$f' (4) = 1179648 - 2064384 + 72 \cdot 16$

Schritt 14.5.2.1.6

Mutltipliziere $72$ mit $16$ .

$f' (4) = 1179648 - 2064384 + 1152$

Schritt 14.5.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.5.2.2.1

Subtrahiere $2064384$ von $1179648$ .

$f' (4) = - 884736 + 1152$

Schritt 14.5.2.2.2

Addiere $- 884736$ und $1152$ .

$f' (4) = - 883584$

Schritt 14.5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 883584$ .

$- 883584$

Schritt 14.6

Setze eine beliebige Zahl, wie $9$ , aus dem Intervall $(6.9995834, \infty)$ in die erste Ableitung $72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $9$ .

$f' (9) = 72 {(9)}^{7} - 504 {(9)}^{6} + 72 {(9)}^{2}$

Schritt 14.6.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.6.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.6.2.1.1

Potenziere $9$ mit $7$ .

$f' (9) = 72 \cdot 4782969 - 504 {(9)}^{6} + 72 {(9)}^{2}$

Schritt 14.6.2.1.2

Mutltipliziere $72$ mit $4782969$ .

$f' (9) = 344373768 - 504 {(9)}^{6} + 72 {(9)}^{2}$

Schritt 14.6.2.1.3

Potenziere $9$ mit $6$ .

$f' (9) = 344373768 - 504 \cdot 531441 + 72 {(9)}^{2}$

Schritt 14.6.2.1.4

Mutltipliziere $- 504$ mit $531441$ .

$f' (9) = 344373768 - 267846264 + 72 {(9)}^{2}$

Schritt 14.6.2.1.5

Potenziere $9$ mit $2$ .

$f' (9) = 344373768 - 267846264 + 72 \cdot 81$

Schritt 14.6.2.1.6

Mutltipliziere $72$ mit $81$ .

$f' (9) = 344373768 - 267846264 + 5832$

Schritt 14.6.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.6.2.2.1

Subtrahiere $267846264$ von $344373768$ .

$f' (9) = 76527504 + 5832$

Schritt 14.6.2.2.2

Addiere $76527504$ und $5832$ .

$f' (9) = 76533336$

Schritt 14.6.2.3

Die endgültige Lösung ist $76533336$ .

$76533336$

Schritt 14.7

Da die erste Ableitung um $x = - 0.60223321$ herum das Vorzeichen von negativ zu positiv gewechselt hat, ist $x = - 0.60223321$ ein lokales Minimum.

$x = - 0.60223321$ ist ein lokales Minimum

Schritt 14.8

Da die erste Ableitung das Vorzeichen um $x = 0$ nicht gewechselt hat, ist dies kein lokales Maximum oder Minimum.

Kein lokales Maximum oder Minimum

Schritt 14.9

Da die erste Ableitung um $x = 0.62944187$ herum das Vorzeichen von positiv zu negativ gewechselt hat, ist $x = 0.62944187$ ein lokales Maximum.

$x = 0.62944187$ ist ein lokales Maximum

Schritt 14.10

Da die erste Ableitung um $x = 6.9995834$ herum das Vorzeichen von negativ zu positiv gewechselt hat, ist $x = 6.9995834$ ein lokales Minimum.

$x = 6.9995834$ ist ein lokales Minimum

Schritt 14.11

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = 24 x^{3} - 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))$ .

$x = - 0.60223321$ ist ein lokales Minimum

$x = 0.62944187$ ist ein lokales Maximum

$x = 6.9995834$ ist ein lokales Minimum

$x = - 0.60223321$ ist ein lokales Minimum

$x = 0.62944187$ ist ein lokales Maximum

$x = 6.9995834$ ist ein lokales Minimum

Schritt 15