Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{3}{x^{3}} - 4 x^{4}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{3}{x^{3}} - 4 x^{4}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{3}}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{3}{x^{3}}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4}]$

Schritt 1.2.2

Schreibe $\frac{1}{x^{3}}$ als ${(x^{3})}^{- 1}$ um.

$3 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4}]$

Schritt 1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{3}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{3}$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4}]$

Schritt 1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4}]$

Schritt 1.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{3}$ .

$3 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4}]$

Schritt 1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4}]$

Schritt 1.2.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Schritt 1.2.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4}]$

Schritt 1.2.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$3 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4}]$

Schritt 1.2.6

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$3 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4}]$

Schritt 1.2.7

Multipliziere $x^{- 6}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.7.1

Bewege $x^{2}$ .

$3 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4}]$

Schritt 1.2.7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4}]$

Schritt 1.2.7.3

Subtrahiere $6$ von $2$ .

$3 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4}]$

Schritt 1.2.8

Mutltipliziere $- 3$ mit $3$ .

$- 9 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x^{4}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x^{4}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 9 x^{- 4} - 4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$- 9 x^{- 4} - 4 (4 x^{3})$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 4$ .

$- 9 x^{- 4} - 16 x^{3}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 9 \frac{1}{x^{4}} - 16 x^{3}$

Schritt 1.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.4.2.1

Kombiniere $- 9$ und $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{- 9}{x^{4}} - 16 x^{3}$

Schritt 1.4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{9}{x^{4}} - 16 x^{3}$

Schritt 1.4.3

Stelle die Terme um.

$- 16 x^{3} - \frac{9}{x^{4}}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 16 x^{3} - \frac{9}{x^{4}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{9}{x^{4}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{9}{x^{4}})$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 16 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (- \frac{9}{x^{4}})$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f'' (x) = - 16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{9}{x^{4}})$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 16$ .

$f'' (x) = - 48 x^{2} + \frac{d}{d x} (- \frac{9}{x^{4}})$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{9}{x^{4}}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{9}{x^{4}}$ nach $x$ gleich $- 9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$f'' (x) = - 48 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{4}}$

Schritt 2.3.2

Schreibe $\frac{1}{x^{4}}$ als ${(x^{4})}^{- 1}$ um.

$f'' (x) = - 48 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} {(x^{4})}^{- 1}$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{4}$ .

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Schritt 2.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{4}$ .

$f'' (x) = - 48 x^{2} - 9 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Schritt 2.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f'' (x) = - 48 x^{2} - 9 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{4})$

Schritt 2.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{4}$ .

$f'' (x) = - 48 x^{2} - 9 (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{4})$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f'' (x) = - 48 x^{2} - 9 (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3}))$

Schritt 2.3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{4})}^{- 2}$ .

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Schritt 2.3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 48 x^{2} - 9 (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3}))$

Schritt 2.3.5.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = - 48 x^{2} - 9 (- x^{- 8} (4 x^{3}))$

Schritt 2.3.6

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - 48 x^{2} - 9 (- 4 x^{- 8} x^{3})$

Schritt 2.3.7

Multipliziere $x^{- 8}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.7.1

Bewege $x^{3}$ .

$f'' (x) = - 48 x^{2} - 9 (- 4 (x^{3} x^{- 8}))$

Schritt 2.3.7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - 48 x^{2} - 9 (- 4 x^{3 - 8})$

Schritt 2.3.7.3

Subtrahiere $8$ von $3$ .

$f'' (x) = - 48 x^{2} - 9 (- 4 x^{- 5})$

Schritt 2.3.8

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 9$ .

$f'' (x) = - 48 x^{2} + 36 x^{- 5}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 48 x^{2} + 36 (\frac{1}{x^{5}})$

Schritt 2.4.2

Kombiniere $36$ und $\frac{1}{x^{5}}$ .

$f'' (x) = - 48 x^{2} + \frac{36}{x^{5}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- 16 x^{3} - \frac{9}{x^{4}} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{3}{x^{3}} - 4 x^{4}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4}]$

Schritt 4.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{3}}]$ .

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Schritt 4.1.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{3}{x^{3}}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4}]$

Schritt 4.1.2.2

Schreibe $\frac{1}{x^{3}}$ als ${(x^{3})}^{- 1}$ um.

$3 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4}]$

Schritt 4.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{3}$ .

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Schritt 4.1.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{3}$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4}]$

Schritt 4.1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4}]$

Schritt 4.1.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{3}$ .

$3 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4}]$

Schritt 4.1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4}]$

Schritt 4.1.2.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Schritt 4.1.2.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4}]$

Schritt 4.1.2.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$3 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4}]$

Schritt 4.1.2.6

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$3 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4}]$

Schritt 4.1.2.7

Multipliziere $x^{- 6}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.2.7.1

Bewege $x^{2}$ .

$3 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4}]$

Schritt 4.1.2.7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4}]$

Schritt 4.1.2.7.3

Subtrahiere $6$ von $2$ .

$3 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4}]$

Schritt 4.1.2.8

Mutltipliziere $- 3$ mit $3$ .

$- 9 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4}]$

Schritt 4.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x^{4}]$ .

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Schritt 4.1.3.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x^{4}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 9 x^{- 4} - 4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$- 9 x^{- 4} - 4 (4 x^{3})$

Schritt 4.1.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 4$ .

$- 9 x^{- 4} - 16 x^{3}$

Schritt 4.1.4

Vereinfache.

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Schritt 4.1.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 9 \frac{1}{x^{4}} - 16 x^{3}$

Schritt 4.1.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.1.4.2.1

Kombiniere $- 9$ und $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{- 9}{x^{4}} - 16 x^{3}$

Schritt 4.1.4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{9}{x^{4}} - 16 x^{3}$

Schritt 4.1.4.3

Stelle die Terme um.

$f' (x) = - 16 x^{3} - \frac{9}{x^{4}}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 16 x^{3} - \frac{9}{x^{4}}$ .

$- 16 x^{3} - \frac{9}{x^{4}}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 16 x^{3} - \frac{9}{x^{4}} = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- 16 x^{3} - \frac{9}{x^{4}} = 0$

Schritt 5.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, x^{4}, 1$

Schritt 5.2.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x^{4}$

Schritt 5.3

Multipliziere jeden Term in $- 16 x^{3} - \frac{9}{x^{4}} = 0$ mit $x^{4}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 5.3.1

Multipliziere jeden Term in $- 16 x^{3} - \frac{9}{x^{4}} = 0$ mit $x^{4}$ .

$- 16 x^{3} x^{4} - \frac{9}{x^{4}} x^{4} = 0 x^{4}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.2.1.1

Multipliziere $x^{3}$ mit $x^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.2.1.1.1

Bewege $x^{4}$ .

$- 16 (x^{4} x^{3}) - \frac{9}{x^{4}} x^{4} = 0 x^{4}$

Schritt 5.3.2.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 16 x^{4 + 3} - \frac{9}{x^{4}} x^{4} = 0 x^{4}$

Schritt 5.3.2.1.1.3

Addiere $4$ und $3$ .

$- 16 x^{7} - \frac{9}{x^{4}} x^{4} = 0 x^{4}$

Schritt 5.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{4}$ .

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Schritt 5.3.2.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{9}{x^{4}}$ in den Zähler.

$- 16 x^{7} + \frac{- 9}{x^{4}} x^{4} = 0 x^{4}$

Schritt 5.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 16 x^{7} + \frac{- 9}{x^{4}} x^{4} = 0 x^{4}$

Schritt 5.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 16 x^{7} - 9 = 0 x^{4}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $x^{4}$ .

$- 16 x^{7} - 9 = 0$

Schritt 5.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 5.4.1

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 16 x^{7} = 9$

Schritt 5.4.2

Teile jeden Ausdruck in $- 16 x^{7} = 9$ durch $- 16$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 16 x^{7} = 9$ durch $- 16$ .

$\frac{- 16 x^{7}}{- 16} = \frac{9}{- 16}$

Schritt 5.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 16$ .

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Schritt 5.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 16 x^{7}}{- 16} = \frac{9}{- 16}$

Schritt 5.4.2.2.1.2

Dividiere $x^{7}$ durch $1$ .

$x^{7} = \frac{9}{- 16}$

Schritt 5.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{7} = - \frac{9}{16}$

Schritt 5.4.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \sqrt[7]{- \frac{9}{16}}$

Schritt 5.4.4

Vereinfache $\sqrt[7]{- \frac{9}{16}}$ .

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Schritt 5.4.4.1

Schreibe $- \frac{9}{16}$ als ${({(- 1)}^{7})}^{7} \frac{9}{16}$ um.

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Schritt 5.4.4.1.1

Schreibe $- 1$ als ${(- 1)}^{7}$ um.

$x = \sqrt[7]{{(- 1)}^{7} \frac{9}{16}}$

Schritt 5.4.4.1.2

Schreibe $- 1$ als ${(- 1)}^{7}$ um.

$x = \sqrt[7]{{({(- 1)}^{7})}^{7} \frac{9}{16}}$

Schritt 5.4.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = {(- 1)}^{7} \sqrt[7]{\frac{9}{16}}$

Schritt 5.4.4.3

Potenziere $- 1$ mit $7$ .

$x = - \sqrt[7]{\frac{9}{16}}$

Schritt 5.4.4.4

Schreibe $\sqrt[7]{\frac{9}{16}}$ als $\frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}}$ um.

$x = - \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}}$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Setze den Nenner in $\frac{9}{x^{4}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{4} = 0$

Schritt 6.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt[4]{0}$ .

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Schritt 6.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{4}$ um.

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

Schritt 6.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 6.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = - \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}}$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- 48 {(- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}})}^{2} + \frac{36}{{(- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}})}^{5}}$

Schritt 9

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 9.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}}$ an.

$- 48 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}})}^{2}) + \frac{36}{{(- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}})}^{5}}$

Schritt 9.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}}$ an.

$- 48 ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt[7]{9}}^{2}}{{\sqrt[7]{16}}^{2}}) + \frac{36}{{(- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}})}^{5}}$

Schritt 9.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$- 48 (1 \frac{{\sqrt[7]{9}}^{2}}{{\sqrt[7]{16}}^{2}}) + \frac{36}{{(- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}})}^{5}}$

Schritt 9.3

Mutltipliziere $\frac{{\sqrt[7]{9}}^{2}}{{\sqrt[7]{16}}^{2}}$ mit $1$ .

$- 48 \frac{{\sqrt[7]{9}}^{2}}{{\sqrt[7]{16}}^{2}} + \frac{36}{{(- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}})}^{5}}$

Schritt 9.4

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.4.1

Schreibe ${\sqrt[7]{9}}^{2}$ als $\sqrt[7]{9^{2}}$ um.

$- 48 \frac{\sqrt[7]{9^{2}}}{{\sqrt[7]{16}}^{2}} + \frac{36}{{(- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}})}^{5}}$

Schritt 9.4.2

Potenziere $9$ mit $2$ .

$- 48 \frac{\sqrt[7]{81}}{{\sqrt[7]{16}}^{2}} + \frac{36}{{(- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}})}^{5}}$

Schritt 9.5

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.5.1

Schreibe ${\sqrt[7]{16}}^{2}$ als $\sqrt[7]{16^{2}}$ um.

$- 48 \frac{\sqrt[7]{81}}{\sqrt[7]{16^{2}}} + \frac{36}{{(- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}})}^{5}}$

Schritt 9.5.2

Potenziere $16$ mit $2$ .

$- 48 \frac{\sqrt[7]{81}}{\sqrt[7]{256}} + \frac{36}{{(- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}})}^{5}}$

Schritt 9.5.3

Schreibe $256$ als $2^{7} \cdot 2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.5.3.1

Faktorisiere $128$ aus $256$ heraus.

$- 48 \frac{\sqrt[7]{81}}{\sqrt[7]{128 (2)}} + \frac{36}{{(- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}})}^{5}}$

Schritt 9.5.3.2

Schreibe $128$ als $2^{7}$ um.

$- 48 \frac{\sqrt[7]{81}}{\sqrt[7]{2^{7} \cdot 2}} + \frac{36}{{(- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}})}^{5}}$

Schritt 9.5.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$- 48 \frac{\sqrt[7]{81}}{2 \sqrt[7]{2}} + \frac{36}{{(- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}})}^{5}}$

Schritt 9.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.6.1

Faktorisiere $2$ aus $- 48$ heraus.

$2 (- 24) \frac{\sqrt[7]{81}}{2 \sqrt[7]{2}} + \frac{36}{{(- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}})}^{5}}$

Schritt 9.6.2

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt[7]{2}$ heraus.

$2 (- 24) \frac{\sqrt[7]{81}}{2 (\sqrt[7]{2})} + \frac{36}{{(- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}})}^{5}}$

Schritt 9.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot - 24 \frac{\sqrt[7]{81}}{2 \sqrt[7]{2}} + \frac{36}{{(- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}})}^{5}}$

Schritt 9.6.4

Forme den Ausdruck um.

$- 24 \frac{\sqrt[7]{81}}{\sqrt[7]{2}} + \frac{36}{{(- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}})}^{5}}$

Schritt 9.7

Kombiniere $- 24$ und $\frac{\sqrt[7]{81}}{\sqrt[7]{2}}$ .

$\frac{- 24 \sqrt[7]{81}}{\sqrt[7]{2}} + \frac{36}{{(- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}})}^{5}}$

Schritt 9.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{24 \sqrt[7]{81}}{\sqrt[7]{2}} + \frac{36}{{(- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}})}^{5}}$

Schritt 9.9

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.9.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}}$ an.

$- \frac{24 \sqrt[7]{81}}{\sqrt[7]{2}} + \frac{36}{{(- 1)}^{5} {(\frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}})}^{5}}$

Schritt 9.9.2

Potenziere $- 1$ mit $5$ .

$- \frac{24 \sqrt[7]{81}}{\sqrt[7]{2}} + \frac{36}{- {(\frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}})}^{5}}$

Schritt 9.9.3

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}}$ an.

$- \frac{24 \sqrt[7]{81}}{\sqrt[7]{2}} + \frac{36}{- \frac{{\sqrt[7]{9}}^{5}}{{\sqrt[7]{16}}^{5}}}$

Schritt 9.9.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.9.4.1

Schreibe ${\sqrt[7]{9}}^{5}$ als $\sqrt[7]{9^{5}}$ um.

$- \frac{24 \sqrt[7]{81}}{\sqrt[7]{2}} + \frac{36}{- \frac{\sqrt[7]{9^{5}}}{{\sqrt[7]{16}}^{5}}}$

Schritt 9.9.4.2

Potenziere $9$ mit $5$ .

$- \frac{24 \sqrt[7]{81}}{\sqrt[7]{2}} + \frac{36}{- \frac{\sqrt[7]{59049}}{{\sqrt[7]{16}}^{5}}}$

Schritt 9.9.4.3

Schreibe $59049$ als $3^{7} \cdot 27$ um.

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Schritt 9.9.4.3.1

Faktorisiere $2187$ aus $59049$ heraus.

$- \frac{24 \sqrt[7]{81}}{\sqrt[7]{2}} + \frac{36}{- \frac{\sqrt[7]{2187 (27)}}{{\sqrt[7]{16}}^{5}}}$

Schritt 9.9.4.3.2

Schreibe $2187$ als $3^{7}$ um.

$- \frac{24 \sqrt[7]{81}}{\sqrt[7]{2}} + \frac{36}{- \frac{\sqrt[7]{3^{7} \cdot 27}}{{\sqrt[7]{16}}^{5}}}$

Schritt 9.9.4.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$- \frac{24 \sqrt[7]{81}}{\sqrt[7]{2}} + \frac{36}{- \frac{3 \sqrt[7]{27}}{{\sqrt[7]{16}}^{5}}}$

Schritt 9.9.5

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.9.5.1

Schreibe ${\sqrt[7]{16}}^{5}$ als $\sqrt[7]{16^{5}}$ um.

$- \frac{24 \sqrt[7]{81}}{\sqrt[7]{2}} + \frac{36}{- \frac{3 \sqrt[7]{27}}{\sqrt[7]{16^{5}}}}$

Schritt 9.9.5.2

Potenziere $16$ mit $5$ .

$- \frac{24 \sqrt[7]{81}}{\sqrt[7]{2}} + \frac{36}{- \frac{3 \sqrt[7]{27}}{\sqrt[7]{1048576}}}$

Schritt 9.9.5.3

Schreibe $1048576$ als $4^{7} \cdot 64$ um.

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Schritt 9.9.5.3.1

Faktorisiere $16384$ aus $1048576$ heraus.

$- \frac{24 \sqrt[7]{81}}{\sqrt[7]{2}} + \frac{36}{- \frac{3 \sqrt[7]{27}}{\sqrt[7]{16384 (64)}}}$

Schritt 9.9.5.3.2

Schreibe $16384$ als $4^{7}$ um.

$- \frac{24 \sqrt[7]{81}}{\sqrt[7]{2}} + \frac{36}{- \frac{3 \sqrt[7]{27}}{\sqrt[7]{4^{7} \cdot 64}}}$

Schritt 9.9.5.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$- \frac{24 \sqrt[7]{81}}{\sqrt[7]{2}} + \frac{36}{- \frac{3 \sqrt[7]{27}}{4 \sqrt[7]{64}}}$

Schritt 9.9.6

Mutltipliziere $\frac{3 \sqrt[7]{27}}{4 \sqrt[7]{64}}$ mit $\frac{{\sqrt[7]{64}}^{6}}{{\sqrt[7]{64}}^{6}}$ .

$- \frac{24 \sqrt[7]{81}}{\sqrt[7]{2}} + \frac{36}{- (\frac{3 \sqrt[7]{27}}{4 \sqrt[7]{64}} \cdot \frac{{\sqrt[7]{64}}^{6}}{{\sqrt[7]{64}}^{6}})}$

Schritt 9.9.7

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.9.7.1

Mutltipliziere $\frac{3 \sqrt[7]{27}}{4 \sqrt[7]{64}}$ mit $\frac{{\sqrt[7]{64}}^{6}}{{\sqrt[7]{64}}^{6}}$ .

$- \frac{24 \sqrt[7]{81}}{\sqrt[7]{2}} + \frac{36}{- \frac{3 \sqrt[7]{27} {\sqrt[7]{64}}^{6}}{4 \sqrt[7]{64} {\sqrt[7]{64}}^{6}}}$

Schritt 9.9.7.2

Bewege $\sqrt[7]{64}$ .

$- \frac{24 \sqrt[7]{81}}{\sqrt[7]{2}} + \frac{36}{- \frac{3 \sqrt[7]{27} {\sqrt[7]{64}}^{6}}{4 (\sqrt[7]{64} {\sqrt[7]{64}}^{6})}}$

Schritt 9.9.7.3

Potenziere $\sqrt[7]{64}$ mit $1$ .

$- \frac{24 \sqrt[7]{81}}{\sqrt[7]{2}} + \frac{36}{- \frac{3 \sqrt[7]{27} {\sqrt[7]{64}}^{6}}{4 ({\sqrt[7]{64}}^{1} {\sqrt[7]{64}}^{6})}}$

Schritt 9.9.7.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{24 \sqrt[7]{81}}{\sqrt[7]{2}} + \frac{36}{- \frac{3 \sqrt[7]{27} {\sqrt[7]{64}}^{6}}{4 {\sqrt[7]{64}}^{1 + 6}}}$

Schritt 9.9.7.5

Addiere $1$ und $6$ .

$- \frac{24 \sqrt[7]{81}}{\sqrt[7]{2}} + \frac{36}{- \frac{3 \sqrt[7]{27} {\sqrt[7]{64}}^{6}}{4 {\sqrt[7]{64}}^{7}}}$

Schritt 9.9.7.6

Schreibe ${\sqrt[7]{64}}^{7}$ als $64$ um.

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Schritt 9.9.7.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[7]{64}$ als $64^{\frac{1}{7}}$ neu zu schreiben.

$- \frac{24 \sqrt[7]{81}}{\sqrt[7]{2}} + \frac{36}{- \frac{3 \sqrt[7]{27} {\sqrt[7]{64}}^{6}}{4 {(64^{\frac{1}{7}})}^{7}}}$

Schritt 9.9.7.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{24 \sqrt[7]{81}}{\sqrt[7]{2}} + \frac{36}{- \frac{3 \sqrt[7]{27} {\sqrt[7]{64}}^{6}}{4 \cdot 64^{\frac{1}{7} \cdot 7}}}$

Schritt 9.9.7.6.3

Kombiniere $\frac{1}{7}$ und $7$ .

$- \frac{24 \sqrt[7]{81}}{\sqrt[7]{2}} + \frac{36}{- \frac{3 \sqrt[7]{27} {\sqrt[7]{64}}^{6}}{4 \cdot 64^{\frac{7}{7}}}}$

Schritt 9.9.7.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 9.9.7.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{24 \sqrt[7]{81}}{\sqrt[7]{2}} + \frac{36}{- \frac{3 \sqrt[7]{27} {\sqrt[7]{64}}^{6}}{4 \cdot 64^{\frac{7}{7}}}}$

Schritt 9.9.7.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{24 \sqrt[7]{81}}{\sqrt[7]{2}} + \frac{36}{- \frac{3 \sqrt[7]{27} {\sqrt[7]{64}}^{6}}{4 \cdot 64^{1}}}$

Schritt 9.9.7.6.5

Berechne den Exponenten.

$- \frac{24 \sqrt[7]{81}}{\sqrt[7]{2}} + \frac{36}{- \frac{3 \sqrt[7]{27} {\sqrt[7]{64}}^{6}}{4 \cdot 64}}$

Schritt 9.9.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.9.8.1

Schreibe ${\sqrt[7]{64}}^{6}$ als $\sqrt[7]{64^{6}}$ um.

$- \frac{24 \sqrt[7]{81}}{\sqrt[7]{2}} + \frac{36}{- \frac{3 \sqrt[7]{27} \sqrt[7]{64^{6}}}{4 \cdot 64}}$

Schritt 9.9.8.2

Potenziere $64$ mit $6$ .

$- \frac{24 \sqrt[7]{81}}{\sqrt[7]{2}} + \frac{36}{- \frac{3 \sqrt[7]{27} \sqrt[7]{68719476736}}{4 \cdot 64}}$

Schritt 9.9.8.3

Schreibe $68719476736$ als $32^{7} \cdot 2$ um.

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Schritt 9.9.8.3.1

Faktorisiere $34359738368$ aus $68719476736$ heraus.

$- \frac{24 \sqrt[7]{81}}{\sqrt[7]{2}} + \frac{36}{- \frac{3 \sqrt[7]{27} \sqrt[7]{34359738368 (2)}}{4 \cdot 64}}$

Schritt 9.9.8.3.2

Schreibe $34359738368$ als $32^{7}$ um.

$- \frac{24 \sqrt[7]{81}}{\sqrt[7]{2}} + \frac{36}{- \frac{3 \sqrt[7]{27} \sqrt[7]{32^{7} \cdot 2}}{4 \cdot 64}}$

Schritt 9.9.8.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$- \frac{24 \sqrt[7]{81}}{\sqrt[7]{2}} + \frac{36}{- \frac{3 \sqrt[7]{27} \cdot 32 \sqrt[7]{2}}{4 \cdot 64}}$

Schritt 9.9.8.5

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 9.9.8.5.1

Mutltipliziere $32$ mit $3$ .

$- \frac{24 \sqrt[7]{81}}{\sqrt[7]{2}} + \frac{36}{- \frac{96 \sqrt[7]{27} \sqrt[7]{2}}{4 \cdot 64}}$

Schritt 9.9.8.5.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$- \frac{24 \sqrt[7]{81}}{\sqrt[7]{2}} + \frac{36}{- \frac{96 \sqrt[7]{2 \cdot 27}}{4 \cdot 64}}$

Schritt 9.9.8.5.3

Mutltipliziere $2$ mit $27$ .

$- \frac{24 \sqrt[7]{81}}{\sqrt[7]{2}} + \frac{36}{- \frac{96 \sqrt[7]{54}}{4 \cdot 64}}$

Schritt 9.9.9

Mutltipliziere $4$ mit $64$ .

$- \frac{24 \sqrt[7]{81}}{\sqrt[7]{2}} + \frac{36}{- \frac{96 \sqrt[7]{54}}{256}}$

Schritt 9.9.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $96$ und $256$ .

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Schritt 9.9.10.1

Faktorisiere $32$ aus $96 \sqrt[7]{54}$ heraus.

$- \frac{24 \sqrt[7]{81}}{\sqrt[7]{2}} + \frac{36}{- \frac{32 (3 \sqrt[7]{54})}{256}}$

Schritt 9.9.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.9.10.2.1

Faktorisiere $32$ aus $256$ heraus.

$- \frac{24 \sqrt[7]{81}}{\sqrt[7]{2}} + \frac{36}{- \frac{32 (3 \sqrt[7]{54})}{32 (8)}}$

Schritt 9.9.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{24 \sqrt[7]{81}}{\sqrt[7]{2}} + \frac{36}{- \frac{32 (3 \sqrt[7]{54})}{32 \cdot 8}}$

Schritt 9.9.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{24 \sqrt[7]{81}}{\sqrt[7]{2}} + \frac{36}{- \frac{3 \sqrt[7]{54}}{8}}$

Schritt 9.10

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- \frac{24 \sqrt[7]{81}}{\sqrt[7]{2}} + 36 (- \frac{8}{3 \sqrt[7]{54}})$

Schritt 9.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 9.11.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{8}{3 \sqrt[7]{54}}$ in den Zähler.

$- \frac{24 \sqrt[7]{81}}{\sqrt[7]{2}} + 36 \frac{- 8}{3 \sqrt[7]{54}}$

Schritt 9.11.2

Faktorisiere $3$ aus $36$ heraus.

$- \frac{24 \sqrt[7]{81}}{\sqrt[7]{2}} + 3 (12) \frac{- 8}{3 \sqrt[7]{54}}$

Schritt 9.11.3

Faktorisiere $3$ aus $3 \sqrt[7]{54}$ heraus.

$- \frac{24 \sqrt[7]{81}}{\sqrt[7]{2}} + 3 (12) \frac{- 8}{3 (\sqrt[7]{54})}$

Schritt 9.11.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{24 \sqrt[7]{81}}{\sqrt[7]{2}} + 3 \cdot 12 \frac{- 8}{3 \sqrt[7]{54}}$

Schritt 9.11.5

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{24 \sqrt[7]{81}}{\sqrt[7]{2}} + 12 \frac{- 8}{\sqrt[7]{54}}$

Schritt 9.12

Kombiniere $12$ und $\frac{- 8}{\sqrt[7]{54}}$ .

$- \frac{24 \sqrt[7]{81}}{\sqrt[7]{2}} + \frac{12 \cdot - 8}{\sqrt[7]{54}}$

Schritt 9.13

Mutltipliziere $12$ mit $- 8$ .

$- \frac{24 \sqrt[7]{81}}{\sqrt[7]{2}} + \frac{- 96}{\sqrt[7]{54}}$

Schritt 9.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{24 \sqrt[7]{81}}{\sqrt[7]{2}} - \frac{96}{\sqrt[7]{54}}$

Schritt 10

$x = - \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}}$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = - \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = - \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}}$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}}$ .

$f (- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}}) = \frac{3}{{(- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}})}^{3}} - 4 {(- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}})}^{4}$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.1.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 11.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}}$ an.

$f (- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}}) = \frac{3}{{(- 1)}^{3} {(\frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}})}^{3}} - 4 {(- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}})}^{4}$

Schritt 11.2.1.1.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}}) = \frac{3}{- {(\frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}})}^{3}} - 4 {(- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}})}^{4}$

Schritt 11.2.1.1.3

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}}$ an.

$f (- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}}) = \frac{3}{- \frac{{\sqrt[7]{9}}^{3}}{{\sqrt[7]{16}}^{3}}} - 4 {(- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}})}^{4}$

Schritt 11.2.1.1.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.2.1.1.4.1

Schreibe ${\sqrt[7]{9}}^{3}$ als $\sqrt[7]{9^{3}}$ um.

$f (- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}}) = \frac{3}{- \frac{\sqrt[7]{9^{3}}}{{\sqrt[7]{16}}^{3}}} - 4 {(- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}})}^{4}$

Schritt 11.2.1.1.4.2

Potenziere $9$ mit $3$ .

$f (- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}}) = \frac{3}{- \frac{\sqrt[7]{729}}{{\sqrt[7]{16}}^{3}}} - 4 {(- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}})}^{4}$

Schritt 11.2.1.1.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 11.2.1.1.5.1

Schreibe ${\sqrt[7]{16}}^{3}$ als $\sqrt[7]{16^{3}}$ um.

$f (- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}}) = \frac{3}{- \frac{\sqrt[7]{729}}{\sqrt[7]{16^{3}}}} - 4 {(- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}})}^{4}$

Schritt 11.2.1.1.5.2

Potenziere $16$ mit $3$ .

$f (- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}}) = \frac{3}{- \frac{\sqrt[7]{729}}{\sqrt[7]{4096}}} - 4 {(- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}})}^{4}$

Schritt 11.2.1.1.5.3

Schreibe $4096$ als $2^{7} \cdot 32$ um.

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Schritt 11.2.1.1.5.3.1

Faktorisiere $128$ aus $4096$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}}) = \frac{3}{- \frac{\sqrt[7]{729}}{\sqrt[7]{128 (32)}}} - 4 {(- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}})}^{4}$

Schritt 11.2.1.1.5.3.2

Schreibe $128$ als $2^{7}$ um.

$f (- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}}) = \frac{3}{- \frac{\sqrt[7]{729}}{\sqrt[7]{2^{7} \cdot 32}}} - 4 {(- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}})}^{4}$

Schritt 11.2.1.1.5.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}}) = \frac{3}{- \frac{\sqrt[7]{729}}{2 \sqrt[7]{32}}} - 4 {(- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}})}^{4}$

Schritt 11.2.1.1.6

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[7]{729}}{2 \sqrt[7]{32}}$ mit $\frac{{\sqrt[7]{32}}^{6}}{{\sqrt[7]{32}}^{6}}$ .

$f (- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}}) = \frac{3}{- (\frac{\sqrt[7]{729}}{2 \sqrt[7]{32}} \cdot \frac{{\sqrt[7]{32}}^{6}}{{\sqrt[7]{32}}^{6}})} - 4 {(- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}})}^{4}$

Schritt 11.2.1.1.7

Vereinige und vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1.1.7.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[7]{729}}{2 \sqrt[7]{32}}$ mit $\frac{{\sqrt[7]{32}}^{6}}{{\sqrt[7]{32}}^{6}}$ .

$f (- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}}) = \frac{3}{- \frac{\sqrt[7]{729} {\sqrt[7]{32}}^{6}}{2 \sqrt[7]{32} {\sqrt[7]{32}}^{6}}} - 4 {(- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}})}^{4}$

Schritt 11.2.1.1.7.2

Bewege $\sqrt[7]{32}$ .

$f (- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}}) = \frac{3}{- \frac{\sqrt[7]{729} {\sqrt[7]{32}}^{6}}{2 (\sqrt[7]{32} {\sqrt[7]{32}}^{6})}} - 4 {(- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}})}^{4}$

Schritt 11.2.1.1.7.3

Potenziere $\sqrt[7]{32}$ mit $1$ .

$f (- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}}) = \frac{3}{- \frac{\sqrt[7]{729} {\sqrt[7]{32}}^{6}}{2 (\sqrt[7]{32} {\sqrt[7]{32}}^{6})}} - 4 {(- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}})}^{4}$

Schritt 11.2.1.1.7.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}}) = \frac{3}{- \frac{\sqrt[7]{729} {\sqrt[7]{32}}^{6}}{2 {\sqrt[7]{32}}^{1 + 6}}} - 4 {(- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}})}^{4}$

Schritt 11.2.1.1.7.5

Addiere $1$ und $6$ .

$f (- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}}) = \frac{3}{- \frac{\sqrt[7]{729} {\sqrt[7]{32}}^{6}}{2 {\sqrt[7]{32}}^{7}}} - 4 {(- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}})}^{4}$

Schritt 11.2.1.1.7.6

Schreibe ${\sqrt[7]{32}}^{7}$ als $32$ um.

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Schritt 11.2.1.1.7.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[7]{32}$ als $32^{\frac{1}{7}}$ neu zu schreiben.

$f (- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}}) = \frac{3}{- \frac{\sqrt[7]{729} {\sqrt[7]{32}}^{6}}{2 {(32^{\frac{1}{7}})}^{7}}} - 4 {(- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}})}^{4}$

Schritt 11.2.1.1.7.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}}) = \frac{3}{- \frac{\sqrt[7]{729} {\sqrt[7]{32}}^{6}}{2 \cdot 32^{\frac{1}{7} \cdot 7}}} - 4 {(- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}})}^{4}$

Schritt 11.2.1.1.7.6.3

Kombiniere $\frac{1}{7}$ und $7$ .

$f (- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}}) = \frac{3}{- \frac{\sqrt[7]{729} {\sqrt[7]{32}}^{6}}{2 \cdot 32^{\frac{7}{7}}}} - 4 {(- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}})}^{4}$

Schritt 11.2.1.1.7.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 11.2.1.1.7.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}}) = \frac{3}{- \frac{\sqrt[7]{729} {\sqrt[7]{32}}^{6}}{2 \cdot 32^{\frac{7}{7}}}} - 4 {(- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}})}^{4}$

Schritt 11.2.1.1.7.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}}) = \frac{3}{- \frac{\sqrt[7]{729} {\sqrt[7]{32}}^{6}}{2 \cdot 32}} - 4 {(- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}})}^{4}$

Schritt 11.2.1.1.7.6.5

Berechne den Exponenten.

$f (- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}}) = \frac{3}{- \frac{\sqrt[7]{729} {\sqrt[7]{32}}^{6}}{2 \cdot 32}} - 4 {(- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}})}^{4}$

Schritt 11.2.1.1.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.2.1.1.8.1

Schreibe ${\sqrt[7]{32}}^{6}$ als $\sqrt[7]{32^{6}}$ um.

$f (- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}}) = \frac{3}{- \frac{\sqrt[7]{729} \sqrt[7]{32^{6}}}{2 \cdot 32}} - 4 {(- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}})}^{4}$

Schritt 11.2.1.1.8.2

Potenziere $32$ mit $6$ .

$f (- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}}) = \frac{3}{- \frac{\sqrt[7]{729} \sqrt[7]{1073741824}}{2 \cdot 32}} - 4 {(- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}})}^{4}$

Schritt 11.2.1.1.8.3

Schreibe $1073741824$ als $16^{7} \cdot 4$ um.

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Schritt 11.2.1.1.8.3.1

Faktorisiere $268435456$ aus $1073741824$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}}) = \frac{3}{- \frac{\sqrt[7]{729} \sqrt[7]{268435456 (4)}}{2 \cdot 32}} - 4 {(- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}})}^{4}$

Schritt 11.2.1.1.8.3.2

Schreibe $268435456$ als $16^{7}$ um.

$f (- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}}) = \frac{3}{- \frac{\sqrt[7]{729} \sqrt[7]{16^{7} \cdot 4}}{2 \cdot 32}} - 4 {(- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}})}^{4}$

Schritt 11.2.1.1.8.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}}) = \frac{3}{- \frac{\sqrt[7]{729} \cdot (16 \sqrt[7]{4})}{2 \cdot 32}} - 4 {(- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}})}^{4}$

Schritt 11.2.1.1.8.5

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 11.2.1.1.8.5.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$f (- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}}) = \frac{3}{- \frac{16 \sqrt[7]{729 \cdot 4}}{2 \cdot 32}} - 4 {(- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}})}^{4}$

Schritt 11.2.1.1.8.5.2

Mutltipliziere $729$ mit $4$ .

$f (- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}}) = \frac{3}{- \frac{16 \sqrt[7]{2916}}{2 \cdot 32}} - 4 {(- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}})}^{4}$

Schritt 11.2.1.1.9

Mutltipliziere $2$ mit $32$ .

$f (- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}}) = \frac{3}{- \frac{16 \sqrt[7]{2916}}{64}} - 4 {(- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}})}^{4}$

Schritt 11.2.1.1.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16$ und $64$ .

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Schritt 11.2.1.1.10.1

Faktorisiere $16$ aus $16 \sqrt[7]{2916}$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}}) = \frac{3}{- \frac{16 (\sqrt[7]{2916})}{64}} - 4 {(- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}})}^{4}$

Schritt 11.2.1.1.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.2.1.1.10.2.1

Faktorisiere $16$ aus $64$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}}) = \frac{3}{- \frac{16 \sqrt[7]{2916}}{16 \cdot 4}} - 4 {(- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}})}^{4}$

Schritt 11.2.1.1.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}}) = \frac{3}{- \frac{16 \sqrt[7]{2916}}{16 \cdot 4}} - 4 {(- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}})}^{4}$

Schritt 11.2.1.1.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}}) = \frac{3}{- \frac{\sqrt[7]{2916}}{4}} - 4 {(- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}})}^{4}$

Schritt 11.2.1.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}}) = 3 (- \frac{4}{\sqrt[7]{2916}}) - 4 {(- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}})}^{4}$

Schritt 11.2.1.3

Multipliziere $3 (- \frac{4}{\sqrt[7]{2916}})$ .

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Schritt 11.2.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}}) = - 3 \frac{4}{\sqrt[7]{2916}} - 4 {(- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}})}^{4}$

Schritt 11.2.1.3.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{4}{\sqrt[7]{2916}}$ .

$f (- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}}) = \frac{- 3 \cdot 4}{\sqrt[7]{2916}} - 4 {(- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}})}^{4}$

Schritt 11.2.1.3.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $4$ .

$f (- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}}) = \frac{- 12}{\sqrt[7]{2916}} - 4 {(- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}})}^{4}$

Schritt 11.2.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}}) = - \frac{12}{\sqrt[7]{2916}} - 4 {(- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}})}^{4}$

Schritt 11.2.1.5

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 11.2.1.5.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}}$ an.

$f (- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}}) = - \frac{12}{\sqrt[7]{2916}} - 4 ({(- 1)}^{4} {(\frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}})}^{4})$

Schritt 11.2.1.5.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}}$ an.

$f (- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}}) = - \frac{12}{\sqrt[7]{2916}} - 4 ({(- 1)}^{4} (\frac{{\sqrt[7]{9}}^{4}}{{\sqrt[7]{16}}^{4}}))$

Schritt 11.2.1.6

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$f (- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}}) = - \frac{12}{\sqrt[7]{2916}} - 4 (1 (\frac{{\sqrt[7]{9}}^{4}}{{\sqrt[7]{16}}^{4}}))$

Schritt 11.2.1.7

Mutltipliziere $\frac{{\sqrt[7]{9}}^{4}}{{\sqrt[7]{16}}^{4}}$ mit $1$ .

$f (- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}}) = - \frac{12}{\sqrt[7]{2916}} - 4 \frac{{\sqrt[7]{9}}^{4}}{{\sqrt[7]{16}}^{4}}$

Schritt 11.2.1.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.2.1.8.1

Schreibe ${\sqrt[7]{9}}^{4}$ als $\sqrt[7]{9^{4}}$ um.

$f (- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}}) = - \frac{12}{\sqrt[7]{2916}} - 4 \frac{\sqrt[7]{9^{4}}}{{\sqrt[7]{16}}^{4}}$

Schritt 11.2.1.8.2

Potenziere $9$ mit $4$ .

$f (- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}}) = - \frac{12}{\sqrt[7]{2916}} - 4 \frac{\sqrt[7]{6561}}{{\sqrt[7]{16}}^{4}}$

Schritt 11.2.1.8.3

Schreibe $6561$ als $3^{7} \cdot 3$ um.

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Schritt 11.2.1.8.3.1

Faktorisiere $2187$ aus $6561$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}}) = - \frac{12}{\sqrt[7]{2916}} - 4 \frac{\sqrt[7]{2187 (3)}}{{\sqrt[7]{16}}^{4}}$

Schritt 11.2.1.8.3.2

Schreibe $2187$ als $3^{7}$ um.

$f (- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}}) = - \frac{12}{\sqrt[7]{2916}} - 4 \frac{\sqrt[7]{3^{7} \cdot 3}}{{\sqrt[7]{16}}^{4}}$

Schritt 11.2.1.8.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}}) = - \frac{12}{\sqrt[7]{2916}} - 4 \frac{3 \sqrt[7]{3}}{{\sqrt[7]{16}}^{4}}$

Schritt 11.2.1.9

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 11.2.1.9.1

Schreibe ${\sqrt[7]{16}}^{4}$ als $\sqrt[7]{16^{4}}$ um.

$f (- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}}) = - \frac{12}{\sqrt[7]{2916}} - 4 \frac{3 \sqrt[7]{3}}{\sqrt[7]{16^{4}}}$

Schritt 11.2.1.9.2

Potenziere $16$ mit $4$ .

$f (- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}}) = - \frac{12}{\sqrt[7]{2916}} - 4 \frac{3 \sqrt[7]{3}}{\sqrt[7]{65536}}$

Schritt 11.2.1.9.3

Schreibe $65536$ als $4^{7} \cdot 4$ um.

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Schritt 11.2.1.9.3.1

Faktorisiere $16384$ aus $65536$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}}) = - \frac{12}{\sqrt[7]{2916}} - 4 \frac{3 \sqrt[7]{3}}{\sqrt[7]{16384 (4)}}$

Schritt 11.2.1.9.3.2

Schreibe $16384$ als $4^{7}$ um.

$f (- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}}) = - \frac{12}{\sqrt[7]{2916}} - 4 \frac{3 \sqrt[7]{3}}{\sqrt[7]{4^{7} \cdot 4}}$

Schritt 11.2.1.9.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}}) = - \frac{12}{\sqrt[7]{2916}} - 4 \frac{3 \sqrt[7]{3}}{4 \sqrt[7]{4}}$

Schritt 11.2.1.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 11.2.1.10.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}}) = - \frac{12}{\sqrt[7]{2916}} + 4 (- 1) (\frac{3 \sqrt[7]{3}}{4 \sqrt[7]{4}})$

Schritt 11.2.1.10.2

Faktorisiere $4$ aus $4 \sqrt[7]{4}$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}}) = - \frac{12}{\sqrt[7]{2916}} + 4 (- 1) (\frac{3 \sqrt[7]{3}}{4 (\sqrt[7]{4})})$

Schritt 11.2.1.10.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}}) = - \frac{12}{\sqrt[7]{2916}} + 4 \cdot (- 1 \frac{3 \sqrt[7]{3}}{4 \sqrt[7]{4}})$

Schritt 11.2.1.10.4

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}}) = - \frac{12}{\sqrt[7]{2916}} - 1 \frac{3 \sqrt[7]{3}}{\sqrt[7]{4}}$

Schritt 11.2.1.11

Schreibe $- 1 \frac{3 \sqrt[7]{3}}{\sqrt[7]{4}}$ als $- \frac{3 \sqrt[7]{3}}{\sqrt[7]{4}}$ um.

$f (- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}}) = - \frac{12}{\sqrt[7]{2916}} - \frac{3 \sqrt[7]{3}}{\sqrt[7]{4}}$

Schritt 11.2.2

Die endgültige Lösung ist $- \frac{12}{\sqrt[7]{2916}} - \frac{3 \sqrt[7]{3}}{\sqrt[7]{4}}$ .

$y = - \frac{12}{\sqrt[7]{2916}} - \frac{3 \sqrt[7]{3}}{\sqrt[7]{4}}$

Schritt 12

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = \frac{3}{x^{3}} - 4 x^{4}$ .

$(- \frac{\sqrt[7]{9}}{\sqrt[7]{16}}, - \frac{12}{\sqrt[7]{2916}} - \frac{3 \sqrt[7]{3}}{\sqrt[7]{4}})$ ist ein lokales Maximum

Schritt 13