Analysis Beispiele

$f (x) = 2 x - \tan (x)$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - \tan (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \tan (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$2 - \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Schritt 1.3.2

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$2 - \sec^{2} (x)$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 - \sec^{2} (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sec^{2} (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2) + \frac{d}{d x} (- \sec^{2} (x))$

Schritt 2.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \sec^{2} (x))$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \sec^{2} (x)]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \sec^{2} (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{d}{d x} \sec^{2} (x)$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \sec (x)$ .

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Schritt 2.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\sec (x)$ .

$f'' (x) = 0 - (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

Schritt 2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 0 - (2 u \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

Schritt 2.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\sec (x)$ .

$f'' (x) = 0 - (2 \sec (x) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

Schritt 2.2.3

Die Ableitung von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\sec (x) \tan (x)$ .

$f'' (x) = 0 - (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))$

Schritt 2.2.4

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$f'' (x) = 0 - (2 (\sec (x) \sec (x)) \tan (x))$

Schritt 2.2.5

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$f'' (x) = 0 - (2 (\sec (x) \sec (x)) \tan (x))$

Schritt 2.2.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = 0 - (2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x))$

Schritt 2.2.7

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = 0 - (2 \sec^{2} (x) \tan (x))$

Schritt 2.2.8

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Schritt 2.3

Subtrahiere $2 \sec^{2} (x) \tan (x)$ von $0$ .

$f'' (x) = - 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$2 - \sec^{2} (x) = 0$

Schritt 4

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \sec^{2} (x) = - 2$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $- \sec^{2} (x) = - 2$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $- \sec^{2} (x) = - 2$ durch $- 1$ .

$\frac{- \sec^{2} (x)}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\sec^{2} (x)}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 5.2.2

Dividiere $\sec^{2} (x)$ durch $1$ .

$\sec^{2} (x) = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Dividiere $- 2$ durch $- 1$ .

$\sec^{2} (x) = 2$

Schritt 6

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sec (x) = \pm \sqrt{2}$

Schritt 7

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 7.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\sec (x) = \sqrt{2}$

Schritt 7.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\sec (x) = - \sqrt{2}$

Schritt 7.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\sec (x) = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Schritt 8

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\sec (x) = \sqrt{2}$

$\sec (x) = - \sqrt{2}$

Schritt 9

Löse in $\sec (x) = \sqrt{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 9.1

Bilde den inversen Sekans von beiden Seiten der Gleichung, um $x$ aus dem Sekans zu ziehen.

$x = arcsec (\sqrt{2})$

Schritt 9.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.2.1

Der genau Wert von $arcsec (\sqrt{2})$ ist $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Schritt 9.3

DIe Sekans-Funktion ist im ersten und vierten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

Schritt 9.4

Vereinfache $2 π - \frac{π}{4}$ .

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Schritt 9.4.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 9.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 9.4.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 9.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Schritt 9.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.4.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$x = \frac{8 π - π}{4}$

Schritt 9.4.3.2

Subtrahiere $π$ von $8 π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Schritt 9.5

Die Lösung der Gleichung $x = \frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}, \frac{7 π}{4}$

Schritt 10

Löse in $\sec (x) = - \sqrt{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 10.1

Bilde den inversen Sekans von beiden Seiten der Gleichung, um $x$ aus dem Sekans zu ziehen.

$x = arcsec (- \sqrt{2})$

Schritt 10.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.2.1

Der genau Wert von $arcsec (- \sqrt{2})$ ist $\frac{3 π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Schritt 10.3

Die Sekans-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadraten zu ermitteln.

$x = 2 π - \frac{3 π}{4}$

Schritt 10.4

Vereinfache $2 π - \frac{3 π}{4}$ .

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Schritt 10.4.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Schritt 10.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 10.4.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Schritt 10.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

Schritt 10.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.4.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$x = \frac{8 π - 3 π}{4}$

Schritt 10.4.3.2

Subtrahiere $3 π$ von $8 π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Schritt 10.5

Die Lösung der Gleichung $x = \frac{3 π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}, \frac{5 π}{4}$

Schritt 11

Liste alle Lösungen auf.

$x = \frac{π}{4}, \frac{7 π}{4}, \frac{3 π}{4}, \frac{5 π}{4}$

Schritt 12

Schließe die Lösungen aus, die $2 - \sec^{2} (x) = 0$ nicht erfüllen.

$x = \frac{π}{4}, \frac{7 π}{4}, \frac{3 π}{4}, \frac{5 π}{4}$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{π}{4}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- 2 \sec^{2} (\frac{π}{4}) \tan (\frac{π}{4})$

Schritt 14

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 14.1

Der genau Wert von $\sec (\frac{π}{4})$ ist $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$- 2 {(\frac{2}{\sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Schritt 14.2

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- 2 {(\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Schritt 14.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 14.3.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Schritt 14.3.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Schritt 14.3.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Schritt 14.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Schritt 14.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Schritt 14.3.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 14.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Schritt 14.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Schritt 14.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Schritt 14.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 14.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Schritt 14.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Schritt 14.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Schritt 14.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 14.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Schritt 14.4.2

Dividiere $\sqrt{2}$ durch $1$ .

$- 2 {\sqrt{2}}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Schritt 14.5

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 14.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- 2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Schritt 14.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} \tan (\frac{π}{4})$

Schritt 14.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} \tan (\frac{π}{4})$

Schritt 14.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 14.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} \tan (\frac{π}{4})$

Schritt 14.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- 2 \cdot 2^{1} \tan (\frac{π}{4})$

Schritt 14.5.5

Berechne den Exponenten.

$- 2 \cdot 2 \tan (\frac{π}{4})$

Schritt 14.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$- 4 \tan (\frac{π}{4})$

Schritt 14.7

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{4})$ ist $1$ .

$- 4 \cdot 1$

Schritt 14.8

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$- 4$

Schritt 15

$x = \frac{π}{4}$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{π}{4}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 16

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{π}{4}$ .

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Schritt 16.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{π}{4}$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{π}{4}) - \tan (\frac{π}{4})$

Schritt 16.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 16.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 16.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 16.2.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{π}{2 (2)}) - \tan (\frac{π}{4})$

Schritt 16.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{π}{2 \cdot 2}) - \tan (\frac{π}{4})$

Schritt 16.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{π}{2} - \tan (\frac{π}{4})$

Schritt 16.2.1.2

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{4})$ ist $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{π}{2} - 1 \cdot 1$

Schritt 16.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{π}{2} - 1$

Schritt 16.2.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{π}{2} - 1$ .

$y = \frac{π}{2} - 1$

Schritt 17

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{7 π}{4}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- 2 \sec^{2} (\frac{7 π}{4}) \tan (\frac{7 π}{4})$

Schritt 18

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 18.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$- 2 \sec^{2} (\frac{π}{4}) \tan (\frac{7 π}{4})$

Schritt 18.2

Der genau Wert von $\sec (\frac{π}{4})$ ist $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$- 2 {(\frac{2}{\sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{7 π}{4})$

Schritt 18.3

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- 2 {(\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{7 π}{4})$

Schritt 18.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 18.4.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{7 π}{4})$

Schritt 18.4.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{7 π}{4})$

Schritt 18.4.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2} \tan (\frac{7 π}{4})$

Schritt 18.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2} \tan (\frac{7 π}{4})$

Schritt 18.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2} \tan (\frac{7 π}{4})$

Schritt 18.4.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 18.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} \tan (\frac{7 π}{4})$

Schritt 18.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} \tan (\frac{7 π}{4})$

Schritt 18.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} \tan (\frac{7 π}{4})$

Schritt 18.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 18.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} \tan (\frac{7 π}{4})$

Schritt 18.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2} \tan (\frac{7 π}{4})$

Schritt 18.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2} \tan (\frac{7 π}{4})$

Schritt 18.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 18.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2} \tan (\frac{7 π}{4})$

Schritt 18.5.2

Dividiere $\sqrt{2}$ durch $1$ .

$- 2 {\sqrt{2}}^{2} \tan (\frac{7 π}{4})$

Schritt 18.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 18.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- 2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} \tan (\frac{7 π}{4})$

Schritt 18.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} \tan (\frac{7 π}{4})$

Schritt 18.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} \tan (\frac{7 π}{4})$

Schritt 18.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 18.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} \tan (\frac{7 π}{4})$

Schritt 18.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- 2 \cdot 2^{1} \tan (\frac{7 π}{4})$

Schritt 18.6.5

Berechne den Exponenten.

$- 2 \cdot 2 \tan (\frac{7 π}{4})$

Schritt 18.7

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$- 4 \tan (\frac{7 π}{4})$

Schritt 18.8

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Tangens im vierten Quadranten negativ ist.

$- 4 (- \tan (\frac{π}{4}))$

Schritt 18.9

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{4})$ ist $1$ .

$- 4 (- 1 \cdot 1)$

Schritt 18.10

Multipliziere $- 4 (- 1 \cdot 1)$ .

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Schritt 18.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 4 \cdot - 1$

Schritt 18.10.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$4$

Schritt 19

$x = \frac{7 π}{4}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{7 π}{4}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 20

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{7 π}{4}$ .

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Schritt 20.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{7 π}{4}$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = 2 (\frac{7 π}{4}) - \tan (\frac{7 π}{4})$

Schritt 20.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 20.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 20.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 20.2.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (\frac{7 π}{4}) = 2 (\frac{7 π}{2 (2)}) - \tan (\frac{7 π}{4})$

Schritt 20.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{7 π}{4}) = 2 (\frac{7 π}{2 \cdot 2}) - \tan (\frac{7 π}{4})$

Schritt 20.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{7 π}{2} - \tan (\frac{7 π}{4})$

Schritt 20.2.1.2

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{7 π}{2} + \tan (\frac{π}{4})$

Schritt 20.2.1.3

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{4})$ ist $1$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{7 π}{2} - (- 1 \cdot 1)$

Schritt 20.2.1.4

Multipliziere $- (- 1 \cdot 1)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 20.2.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{7 π}{2} + 1$

Schritt 20.2.1.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{7 π}{2} + 1$

Schritt 20.2.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{7 π}{2} + 1$ .

$y = \frac{7 π}{2} + 1$

Schritt 21

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{3 π}{4}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- 2 \sec^{2} (\frac{3 π}{4}) \tan (\frac{3 π}{4})$

Schritt 22

Berechne die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 22.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sekans im zweiten Quadranten negativ ist.

$- 2 {(- \sec (\frac{π}{4}))}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

Schritt 22.2

Der genau Wert von $\sec (\frac{π}{4})$ ist $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$- 2 {(- \frac{2}{\sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

Schritt 22.3

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- 2 {(- (\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}))}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

Schritt 22.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 22.4.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

Schritt 22.4.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

Schritt 22.4.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

Schritt 22.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

Schritt 22.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

Schritt 22.4.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 22.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

Schritt 22.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

Schritt 22.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

Schritt 22.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 22.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

Schritt 22.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

Schritt 22.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

Schritt 22.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 22.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

Schritt 22.5.2

Dividiere $\sqrt{2}$ durch $1$ .

$- 2 {(- \sqrt{2})}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

Schritt 22.6

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 22.6.1

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{2}$ an.

$- 2 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}) \tan (\frac{3 π}{4})$

Schritt 22.6.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 (1 {\sqrt{2}}^{2}) \tan (\frac{3 π}{4})$

Schritt 22.6.3

Mutltipliziere ${\sqrt{2}}^{2}$ mit $1$ .

$- 2 {\sqrt{2}}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

Schritt 22.7

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 22.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- 2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

Schritt 22.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} \tan (\frac{3 π}{4})$

Schritt 22.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} \tan (\frac{3 π}{4})$

Schritt 22.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 22.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} \tan (\frac{3 π}{4})$

Schritt 22.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- 2 \cdot 2^{1} \tan (\frac{3 π}{4})$

Schritt 22.7.5

Berechne den Exponenten.

$- 2 \cdot 2 \tan (\frac{3 π}{4})$

Schritt 22.8

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$- 4 \tan (\frac{3 π}{4})$

Schritt 22.9

$- 4 (- \tan (\frac{π}{4}))$

Schritt 22.10

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{4})$ ist $1$ .

$- 4 (- 1 \cdot 1)$

Schritt 22.11

Multipliziere $- 4 (- 1 \cdot 1)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 22.11.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 4 \cdot - 1$

Schritt 22.11.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$4$

Schritt 23

$x = \frac{3 π}{4}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{3 π}{4}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 24

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{3 π}{4}$ .

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Schritt 24.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{3 π}{4}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 (\frac{3 π}{4}) - \tan (\frac{3 π}{4})$

Schritt 24.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 24.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 24.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 24.2.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 (\frac{3 π}{2 (2)}) - \tan (\frac{3 π}{4})$

Schritt 24.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 (\frac{3 π}{2 \cdot 2}) - \tan (\frac{3 π}{4})$

Schritt 24.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{3 π}{2} - \tan (\frac{3 π}{4})$

Schritt 24.2.1.2

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{3 π}{2} + \tan (\frac{π}{4})$

Schritt 24.2.1.3

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{4})$ ist $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{3 π}{2} - (- 1 \cdot 1)$

Schritt 24.2.1.4

Multipliziere $- (- 1 \cdot 1)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 24.2.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{3 π}{2} + 1$

Schritt 24.2.1.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{3 π}{2} + 1$

Schritt 24.2.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{3 π}{2} + 1$ .

$y = \frac{3 π}{2} + 1$

Schritt 25

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{5 π}{4}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- 2 \sec^{2} (\frac{5 π}{4}) \tan (\frac{5 π}{4})$

Schritt 26

Berechne die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 26.1

Wende den Referenzwinkel an durch Ermitteln des Winkels mit äquivalenten trigonometrischen Werten im ersten Quadranten. Mache den Ausdruck negativ, da der Sekans im dritten Quadranten negativ ist.

$- 2 {(- \sec (\frac{π}{4}))}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

Schritt 26.2

Der genau Wert von $\sec (\frac{π}{4})$ ist $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$- 2 {(- \frac{2}{\sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

Schritt 26.3

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- 2 {(- (\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}))}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

Schritt 26.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 26.4.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

Schritt 26.4.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

Schritt 26.4.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

Schritt 26.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

Schritt 26.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

Schritt 26.4.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 26.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

Schritt 26.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

Schritt 26.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

Schritt 26.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 26.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

Schritt 26.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

Schritt 26.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

Schritt 26.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 26.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

Schritt 26.5.2

Dividiere $\sqrt{2}$ durch $1$ .

$- 2 {(- \sqrt{2})}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

Schritt 26.6

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 26.6.1

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{2}$ an.

$- 2 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}) \tan (\frac{5 π}{4})$

Schritt 26.6.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 (1 {\sqrt{2}}^{2}) \tan (\frac{5 π}{4})$

Schritt 26.6.3

Mutltipliziere ${\sqrt{2}}^{2}$ mit $1$ .

$- 2 {\sqrt{2}}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

Schritt 26.7

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 26.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- 2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

Schritt 26.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} \tan (\frac{5 π}{4})$

Schritt 26.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} \tan (\frac{5 π}{4})$

Schritt 26.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 26.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} \tan (\frac{5 π}{4})$

Schritt 26.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- 2 \cdot 2^{1} \tan (\frac{5 π}{4})$

Schritt 26.7.5

Berechne den Exponenten.

$- 2 \cdot 2 \tan (\frac{5 π}{4})$

Schritt 26.8

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$- 4 \tan (\frac{5 π}{4})$

Schritt 26.9

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$- 4 \tan (\frac{π}{4})$

Schritt 26.10

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{4})$ ist $1$ .

$- 4 \cdot 1$

Schritt 26.11

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$- 4$

Schritt 27

$x = \frac{5 π}{4}$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{5 π}{4}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 28

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{5 π}{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 28.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{5 π}{4}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 2 (\frac{5 π}{4}) - \tan (\frac{5 π}{4})$

Schritt 28.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 28.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 28.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 28.2.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (\frac{5 π}{4}) = 2 (\frac{5 π}{2 (2)}) - \tan (\frac{5 π}{4})$

Schritt 28.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{5 π}{4}) = 2 (\frac{5 π}{2 \cdot 2}) - \tan (\frac{5 π}{4})$

Schritt 28.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{5 π}{2} - \tan (\frac{5 π}{4})$

Schritt 28.2.1.2

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{5 π}{2} - \tan (\frac{π}{4})$

Schritt 28.2.1.3

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{4})$ ist $1$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{5 π}{2} - 1 \cdot 1$

Schritt 28.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{5 π}{2} - 1$

Schritt 28.2.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{5 π}{2} - 1$ .

$y = \frac{5 π}{2} - 1$

Schritt 29

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = 2 x - \tan (x)$ .

$(\frac{π}{4}, \frac{π}{2} - 1)$ ist ein lokales Maximum

$(\frac{7 π}{4}, \frac{7 π}{2} + 1)$ ist ein lokales Minimum

$(\frac{3 π}{4}, \frac{3 π}{2} + 1)$ ist ein lokales Minimum

$(\frac{5 π}{4}, \frac{5 π}{2} - 1)$ ist ein lokales Maximum

Schritt 30