Analysis Beispiele

$f (x) = 2 x - \sin (2 x)$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - \sin (2 x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \sin (2 x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$2 - \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$2 - (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 1.3.2.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$2 - (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 1.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$2 - (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 1.3.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 - (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 - (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

Schritt 1.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 - (\cos (2 x) \cdot 2)$

Schritt 1.3.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos (2 x)$ .

$2 - (2 \cdot \cos (2 x))$

Schritt 1.3.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 - 2 \cos (2 x)$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 - 2 \cos (2 x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2) + \frac{d}{d x} (- 2 \cos (2 x))$

Schritt 2.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 2 \cos (2 x))$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 \cos (2 x)$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{d}{d x} \cos (2 x)$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

Schritt 2.2.2.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

Schritt 2.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Schritt 2.2.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

Schritt 2.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- 2 \sin (2 x))$

Schritt 2.2.7

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = 0 + 4 \sin (2 x)$

Schritt 2.3

Addiere $0$ und $4 \sin (2 x)$ .

$f'' (x) = 4 \sin (2 x)$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$2 - 2 \cos (2 x) = 0$

Schritt 4

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 \cos (2 x) = - 2$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $- 2 \cos (2 x) = - 2$ durch $- 2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 \cos (2 x) = - 2$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 \cos (2 x)}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 \cos (2 x)}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

Schritt 5.2.1.2

Dividiere $\cos (2 x)$ durch $1$ .

$\cos (2 x) = \frac{- 2}{- 2}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Dividiere $- 2$ durch $- 2$ .

$\cos (2 x) = 1$

Schritt 6

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$2 x = \arccos (1)$

Schritt 7

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Der genau Wert von $\arccos (1)$ ist $0$ .

$2 x = 0$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 0$ durch $2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$x = 0$

Schritt 9

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$2 x = 2 π - 0$

Schritt 10

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$2 x = 2 π + 0$

Schritt 10.1.2

Addiere $2 π$ und $0$ .

$2 x = 2 π$

Schritt 10.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 2 π$ durch $2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 2 π$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{2 π}{2}$

Schritt 10.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{2 π}{2}$

Schritt 10.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{2 π}{2}$

Schritt 10.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 π}{2}$

Schritt 10.2.3.1.2

Dividiere $π$ durch $1$ .

$x = π$

Schritt 11

Die Lösung der Gleichung $2 x = 0$ .

$x = 0, π$

Schritt 12

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$4 \sin (2 (0))$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$4 \sin (0)$

Schritt 13.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$4 \cdot 0$

Schritt 13.3

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$0$

Schritt 14

Da es mindestens einen Punkt mit $0$ oder eine nicht definierte zweite Ableitung gibt, wende den ersten Ableitungstest an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.1

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu $0$ oder nicht definiert machen.

$(- \infty, 0) \cup (0, π) \cup (π, \infty)$

Schritt 14.2

Setze eine beliebige Zahl, wie $- 2$ , aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die erste Ableitung $2 - 2 \cos (2 x)$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f' (- 2) = 2 - 2 \cos (2 (- 2))$

Schritt 14.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.2.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f' (- 2) = 2 - 2 \cos (- 4)$

Schritt 14.2.2.1.2

Berechne $\cos (- 4)$ .

$f' (- 2) = 2 - 2 \cdot - 0.65364362$

Schritt 14.2.2.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 0.65364362$ .

$f' (- 2) = 2 + 1.30728724$

Schritt 14.2.2.2

Addiere $2$ und $1.30728724$ .

$f' (- 2) = 3.30728724$

Schritt 14.2.2.3

Die endgültige Lösung ist $3.30728724$ .

$3.30728724$

Schritt 14.3

Setze eine beliebige Zahl, wie $2$ , aus dem Intervall $(0, π)$ in die erste Ableitung $2 - 2 \cos (2 x)$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f' (2) = 2 - 2 \cos (2 (2))$

Schritt 14.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.3.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f' (2) = 2 - 2 \cos (4)$

Schritt 14.3.2.1.2

Berechne $\cos (4)$ .

$f' (2) = 2 - 2 \cdot - 0.65364362$

Schritt 14.3.2.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 0.65364362$ .

$f' (2) = 2 + 1.30728724$

Schritt 14.3.2.2

Addiere $2$ und $1.30728724$ .

$f' (2) = 3.30728724$

Schritt 14.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $3.30728724$ .

$3.30728724$

Schritt 14.4

Setze eine beliebige Zahl, wie $6$ , aus dem Intervall $(π, \infty)$ in die erste Ableitung $2 - 2 \cos (2 x)$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $6$ .

$f' (6) = 2 - 2 \cos (2 (6))$

Schritt 14.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.4.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$f' (6) = 2 - 2 \cos (12)$

Schritt 14.4.2.1.2

Berechne $\cos (12)$ .

$f' (6) = 2 - 2 \cdot 0.84385395$

Schritt 14.4.2.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $0.84385395$ .

$f' (6) = 2 - 1.68770791$

Schritt 14.4.2.2

Subtrahiere $1.68770791$ von $2$ .

$f' (6) = 0.31229208$

Schritt 14.4.2.3

Die endgültige Lösung ist $0.31229208$ .

$0.31229208$

Schritt 14.5

Da die erste Ableitung das Vorzeichen um $x = 0$ nicht gewechselt hat, ist dies kein lokales Maximum oder Minimum.

Kein lokales Maximum oder Minimum

Schritt 14.6

Keine lokalen Maxima oder Minima für $f (x) = 2 x - \sin (2 x)$ gefunden.

Keine lokalen Maxima oder Minima

Schritt 15